TD n 6 : Circuits linéaires du 1 er ordre - Correction. 1 Fonctionnement d une minuterie MPSI 4
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- Henriette Gobeil
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1 MPSI 4 TD n 6 : ircuits linéaires du 1 er ordre - orrection 1 Fonctionnement d une minuterie On s intéresse dans ce problème au fonctionnement d une minuterie permettant l extinction d une lampe automatiquement au bout d une durée T 0 réglable. Dans le montage donné, le composant M (à base d amplificateur opérationnel en mode comparateur) permet l allumage de la lampe L tant que la tension du condensateur est inferieure à une tension limite, notée U lim, que l on fixera à 18V. Le composant M possède une alimentation électrique propre (non représentée) qui lui fournit l énergie nécessaire à l allumage de la lampe. On admettra qu il ne perturbe pas le fonctionnement du circuit. À l instant initial, le condensateur est déchargé. On ferme l interrupteur K, le bouton poussoir P, permettant de court-circuiter le condensateur lorsqu on appuie dessus, est relâché. K A = 30 V P B u (t) M L D 1. avec la loi des mailles, on obtient : du dt + u =. n régime permanent, le bouton poussoir étant relâché, u = U P =. 3. On pose la constante de temps τ =. La solution est : 4. Graphe de u (t) : u (t) = ( 1 e t/τ) u τ t 5. AN : τ = 0 s. 1
2 6. On cherche l instant T 0 tel que u (T 0 ) = U lim : U lim = ( 1 e T 0/τ ) ( ) T 0 = τ ln = 18, 3 s U lim 7. Tant que T 0 τ, l extinction est clairement prévisible puisque u varie significativement au moment de l extinction. Si T 0 τ, le régime permanent est alors établi est on ne peut connaitre précisément l instant ou s éteindra la lampe. 8. T 0 est proportionnel à, on peut par exemple augmenter la valeur de la résistance pour augmenter la durée d allumage. 9. Lorsqu on appuie sur le bouton poussoir, la tension aux bornes du condensateur devient nulle car celui-ci est court-circuité. La tension est donc inférieure à U lim. (a) Si la lampe est déjà allumée, elle le reste car la tension u est remise à zéro. La lampe restera allumé pendant T 0 à partir du moment où le bouton poussoir est relâché. (b) Si la lampe est éteinte, elle s allume et reste allumée pendant T 0 à partir du moment où le bouton poussoir est relâché. Modélisation d un condensateur réel 1. Lorsqu on associe le voltmètre aux bornes du condensateur réel, on a le circuit suivant : u(t) f r La tension u(t) vérifie : À l instant T, u(t ) = soit : u(t) = e t/τ où τ = r f r + f = e T/τ r f r + f = T ln (/ ) f = rt r ln (/ ) T = 13, MΩ. La résistance de fuite est du même ordre que celle du voltmètre, on ne peut pas négliger f devant r, il faut donc bien tenir compte du voltmètre.
3 3 Étude d un circuit inductif On considère le circuit représenté ci-dessous. était ouvert depuis très longtemps. À l instant t = 0, on ferme l interrupteur K qui K e(t) L s(t) 1. L intensité du courant i traversant la résistance n a pas à être continue car il ne s agit pas d une bobine. À t = 0, le circuit est le suivant : i(0 ) On obtient s(0 ) = 0, i(0 ) = 0, i 1 (0 ) = 0, i (0 ) = 0. K i 1 (0 ) i (0 ) s(0 ) À t = 0 +, le circuit est le suivant : Par continuité du courant traversant la bobine, i (0 + ) = i (0 ) = 0. La loi des nœuds et la loi d Ohm pour la résistance / donnent alors : i(0 + ) = i 1 (0 + ) = s(0+ ) La loi des mailles donne = i(0 + ) + s(0 + ) = 3s(0 + ). Finalement, i(0 + ) L s(0 + ) i 1 (0 + ) i (0 + ) s(0 + ) = 3 i(0 + ) = i 1 (0 + ) = 3 L intensité i et la tension s ne sont donc pas continues à t = 0.. Voir question précédente. 3. Lorsque t, on a le circuit équivalent suivant : 3
4 La tension aux bornes d un fil est nulle : s = 0. Bien que ça ne soit pas demandé, on peut établir l expression des intensités des différents courants en régime permanent : La loi d Ohm pour la résistance / donne : i 1 = s = 0 Avec la loi de noeuds et la loi des mailles, on i i 1 i s a donc i = i =. 4. Équation différentielle vérifiée par s(t) : On raisonne sur le circuit en régime transitoire l interrupteur étant fermé depuis peu. La loi des mailles donne : On dérive par rapport à t : = i + s Avec la loi des nœuds : i = i 1 + i, di dt + ds dt = 0 On pose la constante de temps τ = 3L. di 1 dt + di dt + ds dt = 0 ds dt + L s + ds dt = 0 ds dt + 3L s = 0 ds dt + s τ = 0 5. La résolution donne : s(t) = Ae t/τ et on détermine A avec la condition initiale s(0 + ) = 3 : 6. Allure de s(t) : s(t) = 3 e t/τ 4
5 s /3 τ t 7. La tension s a été divisée par 10 lorsqu elle vaut 30. On a alors : 30 = 3 e t 0 τ : t 0 = τ ln(10) = 3L ln(10) 8. On utilise les curseurs horizontaux afin de repérer l instant où la tension a été divisée par 10. s Voie 1 (oscillo) i Voie (oscillo) /3 /30 t 0 t i1 i L s 9. L = t 0 = 434 µh. 3 ln(10) 10. Il faut qu une demi période du créneau soit supérieure à t 0 c est à dire : soit f < 1 t 0. T > t 0 4 Étude d un circuit capacitif onsidérons le circuit suivant. On appelle i l intensité dans la résistance, i 1 celle dans le condensateur, i celle dans la résistance / et u(t) la tension aux bornes du condensateur. L interrupteur est ouvert depuis très longtemps. À l instant t = 0, pris pour origine des temps, on ferme l interrupteur K. 5
6 i K i i 1 u 1. À t = 0, on a le circuit équivalent suivant : i(0 ) K i (0 ) i 1 (0 ) u(0 ) Le circuit est ouvert, toutes les intensité sont nulles : i(0 ) = 0 ; i 1 (0 ) = 0 ; i (0 ) = 0 La tension aux bornes du condensateur est égale à celle aux bornes du générateur u(0 ) =.. À t = 0 +, on a le circuit équivalent suivant : i(0 + ) i (0 + ) i 1 (0 + ) u(0 + ) Par continuité de la tension aux bornes d un condensateur, u(0 ) = u(0 + ) =. Loi des mailles : = i(0 + ) + u(0 + ) = i(0 + ) +. Donc i(0 + ) = 0. Loi d Ohm : i (0 + ) = u(0+ ) =. La loi des nœuds permet d écrire : i 1 (0 + ) = i(0 + ) i (0 + ) = 6
7 3. Le circuit équivalent quand t (régime permanent est établi) est le suivant : i i i 1 u On obtient i 1 = 0 et i = i. Par la loi des mailles, = i + i. Donc i = i = 3. nfin, u = i = Équation différentielle vérifiée par u(t) ; on applique la loi des mailles : Loi des nœuds : i = i 1 + i = du dt + u = i + u = du dt + u + u du dt + 3u = On pose τ = 3, ce qui donne : du dt + u τ = 3τ La résolution donne : u(t) = Ae t/τ + 3. La condition initiale sur u : u(0+ ) = donne A = 3. u(t) = 3 e t/τ + 3 On vérifie que ce résultat est compatible avec les questions et Allure de u(t) : 7
8 u 3 t 6. i 1 (t) = du dt = e t/τ i (t) = u = 4 3 e t/τ + 3 i(t) = u = 3 e t/τ + 3. On obtient les courbes suivantes, compatibles avec les questions et 3 : i 3 i t i 1 8
9 5 Transfert de charges entre deux condensateurs Un condensateur de capacité est chargé sous une différence de potentiel, puis, à t = 0 est relié, par fermeture de l interrupteur K, à un circuit (, ) série. Le condensateur de capacité est initialement déchargé. i(t) u(t) K u (t) 1. Il s agit d un circuit en série. Les deux points reliés à la masse sont au même potentiel et auraient pu être reliés par un fil. La loi des mailles donne : u = i + u et i = du dt i = di dt + i di dt + 1 ( ) i = 0 di dt + + () i = 0 di dt + i τ = 0 où τ = + est la constante de temps du circuit. du ; i =. On dérive la loi des mailles : dt On résout : i(t) = Ae t/τ. Il faut déterminer i(0 + ) pour trouver A. On applique la loi des mailles juste après la fermeture de l interrupteur : u(0 + ) = i(0+) + u (0 + ) Par continuité de la tension aux bornes d un condensateur, u(0 + ) = u(0 ) = et u (0 + ) = u (0 ) = 0. On a donc : i(0+) = i(t) = e t/τ. Pour le condensateur de capacité, = (final) (initial) = 1 u 1 avec u la tension u dans l état final en régime permanent. De même, pour le condensateur de capacité, = (final) (initial) = 1 u (car u (0) = 0) avec u la tension u dans l état final en régime permanent. 9
10 Pour déterminer la variation d énergie de l ensemble il faut donc déterminer les tensions u et u. n régime permanent, l intensité est nulle car les condensateurs se comportent comme des interrupteurs ouverts. La tension aux bornes de la résistance est donc nulle et on a u = u = U 0. On peut utiliser la conservation de la charge globale dans le circuit. Dans l état initial, la charge est Q(0) = u(0) = et dans l état final, Q = U 0 + U 0. La charge étant conservée, obtient, U 0 = + On obtient ainsi : = + = 1 U U 0. Après calcul, = ( + ) 3. L énergie dissipée par effet Joule dans la résistance est donnée par = = = = 0 0 i dt e t/τ dt [ τ ] e t/τ 0 [ τ e t/τ ] 0 = τ = ( + ) = 4. Quand tend vers 0 la résistance (absente) semble continuer à dissiper de l énergie ce qui est absurde. n réalité, quand 0, τ 0. Pour τ L, on sort du cadre de l AQS et les c lois de Kirchhoff ne peuvent plus être appliquées. L expression obtenue pour n est plus valable. emarques : n réalité il y a toujours des phénomènes dissipatifs (résistance des fils, condensateurs non idéaux) qui dissipent de l énergie. La résistance n est jamais exactement nulle. Lorsqu on sort du cadre de l AQS, une partie de l énergie du système de condensateurs est rayonnée sous forme d onde électromagnétique (effet antenne). 6 La diode de roue libre On considère le montage ci-dessous (figure 1). On donne = 10 V, L = 1 mh, = 150 Ω. Le dipôle D est une diode idéale dont la caractéristique courant-tension est donnée également (figure ). Il s agit d un composant qui ne laisse passer le courant que dans un sens (celui de la flèche). À la date t = 0, on ferme l interrupteur K. 10
11 K i(t) i D i D i D L u(t) u D u D D u D figure 1 : circuit étudié figure : caractéristique d une diode idéale 1. Lorsqu on ferme l interrupteur K, la tension aux bornes de la diode est u D = < 0. L intensité i D qui traverse la diode est alors nulle d après la caractéristique fournie. La diode est bien bloquante, on peut la remplacer par un interrupteur ouvert.. La loi des mailles donne = i + L di qui se met sous forme canonique : dt di dt + i τ = L Avec τ = L la constante de temps du circuit. La continuité de l intensité qui traverse la bobine impose i(0 ) = i(0 + ) = 0. La solution en tenant compte de cette condition initiale est i(t) = ( 1 e t/τ ) 3. n régime permanent (quand t ), l expression précédente donne I P = et comme l intensité ne varie plus, la tension aux bornes de la bobine est nulle (u = L di = 0, elle se dt comprte comme un fil) : U P = 0. On a toujours u D =, la diode est toujours bloquante en régime permanent. 4. Initialement, le courant traversant la bobine étant nul, l énergie initiale est nulle. Dans l état final, elle est traversée par le courant I P ce qui correspond à une énergie stockée : W L = 1 LI P = L 5. Le temps de réponse à 5% est de 3τ et au bout de 4,6τ, i = 0, 99I P. On peut donc considérer qu au bout de 8τ, le régime permanent est atteint. 6. Lorsqu on ouvre l interrupteur, pour t > θ, i = i D. Par ailleurs l intensité qui traverse la bobine doit rester continue, c est à dire que i(θ ) = i(θ + ) = I P > 0. Ainsi i D (θ + ) > 0 ce qui veut dire que la diode est passante et que la tension à ses bornes est nulle d après la caractéristique. Après ouverture de l interrupteur, on a donc le circuit équivalent suivant : i(t) L u(t) 11
12 emarque : i D ne peut être négatif d après la caractéristique de la diode. Soit u D i D = 0, la diode est alors bloquante ; soit u D = 0 et i D > 0, la diode est passante. 7. On applique la loi des mailles pour t > θ : < 0 et u = L di di = i dt dt + i τ = 0 Avec τ = L. La solution est i(t) = Ae t/τ avec i(θ + ) =. On en déduit A : = Ae θ/τ L intensité i tend alors vers 0 en quelques τ. A = eθ/τ i = ( exp t θ ) τ 8. L énergie stockée dans la bobine est-elle dissipée par effet Joule dans la résistance. 9. On constate que θ = 8τ = 8 L = 0, 64 ms < 3 ms. n 3 ms l intensité atteint dans un premier temps le régime permanent jusqu à θ puis décroit jusqu à s annuler : i I P = θ = 8τ 3 ms t 10. Un interrupteur idéal ne laisse pas passer le courant quelle que soit la tension à ses bornes. n l absence de diode, l ouverture de l interrupteur entrainerait une discontinuité de l intensité qui passerait de i(θ ) = / à i(θ + ) = 0. La tension aux bornes de la bobine donnée par u = L di devient alors très grande, on parle dt de surtension. La tension aux bornes de l interrupteur est alors également très élevée (loi des mailles). Si cette tension dépasse la tension de claquage de l air, l air devient conducteur et laisse passer le courant (production d un arc électrique ou étincelle). L interrupteur ne peut plus être considéré idéal. La diode a donc pour rôle d assurer la continuité de l intensité en cas d ouverture accidentelle du circuit. 1
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