Projet de Recherche (PRE)

Transcription

1 Projet de Recherche (PRE) Spécialité : SIM Année Scolaire : 011/01 Simulation numérique d un problème de mécanique des fluides Étude des effets de la compressibilité dans le problème du piston Auteur : BALMONT Alexandre Promotion : 013 Tuteur ENSTA ParisTech : Tuteur organisme d accueil : LENOIR Marc GHIDAGLIA Jean-Michel Stage effectué du 14/05/01 au 13/07/01 NOM de l organisme d accueil : CMLA Adresse : bât. Laplace, 1er étage, 61 av. du président Wilson 9435 CACHAN cedex 1

2

3 Table des matières Table des figures 4 Introduction 5 Présentation du problème Situation de départ Objectif du stage, modifications envisagées Premier modèle : Ressort Equations d Euler Adimensionnement Introduction de la compressibilité du piston Maillage mobile Schéma sur maillage mobile Schéma VFFC Conditions aux limites - Mur Conditions aux limites - Bords intérieurs Mise en évidence d un facteur k naturel Différents cas d étude Critère d incompressibilité Détection du maximum Résultats Cas sans fuite Cas faible fuite Cas avec fuite Deuxième modèle : Fluide 1D 6.1 Équations du gaz Équations du liquide Raccord entre gaz et fluide - Déplacement du fluide Schéma VFFC Flux aux bords Résultats Cas avec fuite Cas sans fuite Conclusion 3 011/01 Non confidentiel 3

4 Table des figures 1 Présentation du piston avec ressort Vitesse de déplacement du maillage Représentation du maillage Constante de raideur k naturelle Évolution de la longueur du piston pour K = 3450 avec S= Évolution de la longueur du piston pour K = 3450 avec S= Évolution de la pression, K=40, S= Cas avec fuite - Durée de simulation égale à 0. secondes Détection du premier pic Maximum de pression en fonction de S - Sans fuite - Premier modèle Maximum de pression en fonction de S - Faible fuite - K = 3450 jusqu à Maximum de pression en fonction de S - Faible fuite - K = 3450 jusqu à Maximum de pression en fonction de S - Avec fuite - Premier modèle Présentation du piston avec fluide 1D Maximum de pression en fonction de S - Fluide 1D - Avec fuite Maximum de pression en fonction de S - Fluide 1D - Sans fuite Maximum de pression en fonction de S - Comparaison Fluide 1D/Ressort - Avec fuite Maximum de pression en fonction de S - Comparaison Fluide 1D/Ressort - Sans fuite /01 Non confidentiel 4

5 Introduction Présentation du problème Encore de nos jours, le transport du gaz traité est beaucoup plus difficile que pour le pétrole. Pour transporter le gaz naturel des gisements vers les lieux de consommation, les gazoducs sont le moyen le plus courant. Mais une part croissante du gaz est transporté sous forme liquide, à -16 degré Celsius et à pression atmosphérique, dans des méthaniers du lieu de production vers les lieux de consommation : on l appelle le GNL (Gaz Naturel Liquéfié). L entreprise GTT (Gaztransport & Technigaz), avec qui travaille le centre de mathématiques du CMLA, est le leader dans les systèmes de transport par cargo du GNL. Celle-ci est spécialisée dans la conception de systèmes de retenue à l aide de membrane pour le stockage et le transport maritime du GNL. GTT fait appel au CMLA afin de simuler numériquement les écoulements du gaz et du liquide au sein de ces cuves de méthaniers et mettre en avant les phénomènes physiques qui s y produisent et qui pourraient par exemple endommager les parois des cuves. Or ces dégradations ne sont pas envisageables. Étant donné que le méthane est transporté à la température très basse de -16 degré Celsius, si celui-ci entre en contact avec l acier constituant la coque du bâteau, il le rendrait très cassant et pourrait engendrer le naufrage du cargo. Je me suis essentiellement intéressé au phénomène de vagues créées au niveau de l interface gaz/liquide. Ces dernières viennent s écraser contre la paroi et peuvent donc la dégrader. Il est ainsi très utile d étudier les pics de pression au niveau de la paroi afin de connaitre les conditions auxquelles elle est soumise et construire alors une cuve capable de resister à de telles contraintes. L étude complète de l écoulement est possible mais elle est bien trop coûteuse en temps. C est pourquoi on va prendre en considération un modèle plus simple qui conduira à des simulations plus courtes et permettra alors de faire varier bien plus de paramètres et d en observer l influence sur les effets ressentis au niveau de la paroi. 011/01 Non confidentiel 5

6 Situation de départ À mon arrivée au stage, des études avaient déjà été menées et le problème du piston avait déjà été traité pour une problématique différente (étude de la fuite du gaz lors de la compression du piston). J ai donc pu bénéficier des travaux précédents pour le début de mes recherches, notamment la documentation ainsi que les codes MATLAB utilisés, ce qui a été très pratique pour la comprehension du problème. Cela m a d autant plus permis de pouvoir rapidement commencer à coder et obtenir des résultats. Objectif du stage, modifications envisagées L objectif principal de ce stage de recherche est de mettre en évidence les influences de la compressibilité du piston sur les maxima de pression ressentis sur la paroi. Jusqu alors les études avaient été faites avec un piston incompressible, indéformable. Pour prendre en compte la compressibilité du piston, deux modèles ont été traités. L objectif du premier modèle est d apporter les modifications nécessaires au code initial pour pouvoir prendre en compte la compressibilité du piston à l aide d un système qui venait naturellement à l esprit et qui était simple à mettre en place. Pour cela on considère désormais que le piston n est plus indéformable mais consitué de deux masses séparées par un ressort de raideur k. Le deuxième modèle consiste à prendre en compte un fluide compressible 1D qui est donc soumis aux équations d Euler. 011/01 Non confidentiel 6

7 1 Premier modèle : Ressort Figure 1 Présentation du piston avec ressort 1.1 Equations d Euler On s intéresse à un système de loi de conservation en D sous la forme suivante : t V + x F (V ) + y G(V ) = S(V ) Pour notre problème il s agit des équations d Euler isentropique : ρ V = ρu ρv ρu F (V ) = ρu + p ρuv G(V ) = ρv ρuv ρv + p 0 S(V ) = ρg 0 où ρ est la masse volumique du gaz, u la vitesse selon e x, v la vitesse selon e y et p la pression. 011/01 Non confidentiel 7

8 Cela est équivalent aux équations suivantes : t (ρ) + x (ρu) + y (ρv) = 0 t (ρu) + x (ρu ) + y (ρuv) + x p = ρg t (ρv) + x (ρuv) + y (ρv ) + y p = 0 Pour la pression, on utilise la loi des gaz parfaits (p 0 et ρ 0 sont respectivement la pression et la masse volumique à l instant intial et γ le coefficient isentropique du gaz) : p(ρ) = p 0 ( ρ ρ 0 ) γ En ce qui concerne les deux masses, on obtient les équations suivantes : M Ẍ = M g + Se l M L = Se l l p (t, X(t), y) dy + k(l(t) L l 0 ) l [ p (t, X(t) + L(t), y) + p (t, X(t), y) ] dy k(l(t) L l 0 ) avec M = S e L 0 ρ l la masse du piston, S e la surface d une plaque constituant le piston, k la constante de raideur du ressort et L 0 sa longueur initiale. Les conditions aux limites sont : u(t, X(t), y) = Ẋ(t), u(t, X(t) + L(t), y) = Ẋ(t) + L(t) pour y [ l, l v(t, x, l ) = 0, v(t, x, l ) = 0 pour x [X(t), X(t) + L(t)] [ ] u(t, 0, y) = 0 u(t, H, y) = 0, pour y Ly, Ly v(t, x, Ly Ly ) = 0, v(t, x, ) = 0 pour x [0, H] ] Et les conditions initiales : u(t = 0, x, y) = u 1 (x) v(t = 0) = 0 ρ(t = 0) = ρ 0 p(t = 0) = p 0 X(t = 0) = X 0 Ẋ(t = 0) = u 0 L(t = 0) = L 0 L(t = 0) = 0 011/01 Non confidentiel 8

9 1. Adimensionnement On se ramène à un système d équations adimensionnées en posant (avec τ = X 0 u 0 ) : ρ = ρ ρ 0, ũ = u u 0, ṽ = v u 0, p = p p 0, x = x X 0, ỹ = y X 0, t = t τ, X(t) ξ(t) = X 0, L (t) = L(t) L 0 Cet adimensionnement met en avant plusieurs nombres sans dimensions : S = ρ l u 0 L 0 X 0 p 0 appelé nombre d impact, DR = ρ 0 ρ l, a = L 0 X 0, b = l X 0, d = L y X 0, e = H X 0, M g = u 0 c 0, g h = g X 0 u 0 k L 0 K = DR(c 0 g) ρ l S e On obtient alors le système suivant : t ( ρ) + x( ρũ) + ỹ( ρṽ) = 0 t ( ρũ) + x( ρũ ) + ỹ( ρũṽ) + a S.DR x p = h ρ t ( ρṽ) + x( ρũṽ) + ỹ( ρṽ ) + a S.DR ỹ p = 0 ξ = S.b p( t, ξ(t), ỹ) dỹ + KDR (L (t) 1) h b b L = S.a.b p = ρ γ b b am g [ p ( t, ξ(t) + al (t), ỹ ) + p ( t, ξ(t), ỹ )] dỹ + 4 KDR (L (t) 1) a Mg Auquel s ajoutent les conditions aux limites : ũ( t, ξ( t), ỹ) = ξ( t), ũ( t, ξ( t) + al ( t), ỹ) = ξ( t) + al ( t) pour ỹ [ b, b ] ṽ( t, x, b ) = 0, ṽ( t, x, b ) = 0 pour x [ ξ( t), ξ( t) + L ( t) ] ũ( t, 0, ỹ) = 0, ũ( t, e, ỹ) = 0 pour ỹ [ d, d ṽ( t, x, d ) = 0, ṽ( t, x, d ) = 0 pour x [0, e] 011/01 Non confidentiel 9 ]

10 Ainsi que les conditions initiales : ũ( t = 0, x, ỹ) = u 1( x) u 0 ṽ( t = 0) = 0 ρ( t = 0) = 1 p( t = 0) = 1 X( t = 0) = 1 X( t = 0) = 1 L ( t = 0) = 1 L ( t = 0) = Introduction de la compressibilité du piston Le premier objectif du stage est d apporter les modifications nécessaires au code initial afin de pouvoir prendre en compte la compressibilité du piston à l aide d un modèle simple. Pour cela on considère désormais que le piston n est plus indéformable mais consitué de deux plaques séparées par un ressort de raideur k. La première difficulté a été rencontrée pour le choix de ce facteur k. L adimensionnement nous permet de montrer que k est proportionnel à une fraction de paramètres intrinsèques au problème : k = KDR (c0 g) ρ l S e L 0 où c 0 est la vitesse du son dans le fluide au repos, ρ l est la masse volumique initiale du piston, S e est la section du piston et L 0 la longueur initiale du piston. Problème : devait-on choisir K arbitrairement en réalisant plusieurs expériences permettant d obtenir la valeur optimale? Ou y avait-il un moyen d établir une valeur de K à partir des données initiales qui serait satisfaisante? 1.4 Maillage mobile Afin d étudier plus précisement ce qui se passe au niveau de la paroi lorsque le piston s en trouve très proche, on a utilisé un maillage mobile. Chaque point x i 1 du maillage est déplacé dans la direction selon e x, sa vitesse est notée ω i 1 (t) = ẋ i 1 (t). Dans un premier temps, la vitesse ω est choisie linéairement dans les trois parties Avec les conditions suivantes : x [0, X(t)] x [X(t), X(t) + L(t)] x [X(t) + L(t), H] ω(x = 0) = 0 ω(x = X(t)) = Ẋ(t) 011/01 Non confidentiel 10

11 ω(x = X(t) + L(t)) = Ẋ(t) + L(t) ω(x = H) = 0 Figure Vitesse de déplacement du maillage 1.5 Schéma sur maillage mobile Pour la résolution de ce problème, on utilise un schéma VFFC D sur maillage mobile suivant la direction e x, structuré et rectangulaire de N x N y points. Le maillage est déplacé de telle sorte que les noeuds qui délimite le piston porte toujours le même indice. On note alors N x A 1/ et N x B 1/ les indices des noeuds qui le délimitent dans la direction x, N y A 1/ et N y B 1/ ceux dans la direction y. Figure 3 Représentation du maillage 011/01 Non confidentiel 11

12 Le schéma s obtient par intégration des équations sur une maille K(t) = [x i 1/ (t), x i+1/ (t)] [y j 1/, y j+1/ ] avec i 1, N x 1 et j 1, N y 1. K t V + x F (V ) + y G(V ) = S(V ) K K K On note dx i (t) et dy i les dimensions de la maille K(t), et on garde la notation ω i 1/ (t) pour la vitesse de déplacement des noeuds. On a alors d V ω dt i+1/ (t) K(t) yj+1/ y j 1/ yj+1/ V (t, x i+1/ (t), y)dy + ω i 1/ (t) V (t, x i 1/ (t), y)dy y j 1/ yj+1/ yj+1/ + F (V (t, x i+1/ (t), y))dy F (V (t, x i 1/ (t), y))dy y j 1/ y j 1/ + xi+1/ (t) x i 1/ (t) G(V (t, x, y j+1/ ))dx = K(t) xi+1/ (t) x i 1/ (t) S(V ) G(V (t, x, y j 1/ ))dx Par la suite, on note V i,j (t) la valeur moyenne de V dans la maille K(t) et on approche la moyenne de S(V ) par la valeur de S à l état moyen V i,j. Enfin, on introduit les flux aux interfaces : fluxf i 1/,j = 1 dy j yj+1/ y j 1/ F (V (t, x i 1/ (t), y))dy i 1, N x, j 1, N y 1 fluxg i,j 1/ = 1 xi+1/ G(V (t, x, y dx i (t) j 1/ ))dx i 1, N x 1, j 1, N y x i 1/ Ainsi que la nouvelle moyenne : V i 1/,j = 1 dy j yj+1/ y j 1/ V (t, x i 1/ (t), y)dy i 1, N x, j 1, N y 1 On obtient ainsi le schéma final, permettant de calculer la valeur V i,j au temps t + dt à partir des données au temps t : dx i (t + dt) V i,j (t+dt) = V i,j (t) dt [fluxf i+1/,j ω i+1/ V i+1/,j ] [fluxf i 1/,j ω i 1/ V i 1/,j ] dx i (t) dx i (t) dt fluxg i,j+1/ fluxg i,j 1/ dy j + dt S(V i,j (t)) 011/01 Non confidentiel 1

13 1.6 Schéma VFFC La donnée du schéma se fait par la donnée de formules approchées des flux aux interfaces ainsi que des états moyens V i 1/,j. En notant F i,j = F (V i,j ) et G i,j = G(V i,j ), les flux intérieurs (les flux aux bords seront donnés par le traitement des conditions aux limites) peuvent être obtenus par des formules de la forme : fluxf i+1/,j = F i,j + F i+1,j fluxg i,j+1/ = G i,j + G i,j+1 + termes de décentrement + termes de décentrement V i+1/,j = V i,j + V i+1,j + termes de décentrement Pour le schéma VFFC, les termes de décentrement sont obtenus à l aide du signe de la matrice gradient du flux physique, qui peuvent s écrire dans le cas des équations d Euler isentropique de la manière suivante : AF = V F (V ) = c u u 0 uv v u AG = V G(V ) = Les formules des flux sont alors : uv v u c v 0 v fluxg i,j+1/ = G i,j + G i,j+1 + sign(ag(µ i,j+1/ )) G i,j+1 G i,j fluxf i+1/,j = F i,j + F i+1,j V i+1/,j = V i,j + V i+1,j + sign(ax(µ i+1/,j, ω i+1/ )) F i+1,j F i,j + sign(ax(µ i+1/,j, ω i+1/ )) V i+1,j V i,j où µ i+1/,j et µ i,j+1/ sont des états moyens pondérés par le volume des mailles : µ i+1/,j = K i,j V i,j + K i+1,j V i+1,j K i,j + K i+1,j µ i,j+1/ = K i,j V i,j + K i,j+1 V i,j+1 K i,j + K i,j+1 et AX(V, ω) = AF (V ) ωi d = ω 1 0 c u u ω 0 uv v u ω 011/01 Non confidentiel 13

14 Calcul des matrices signe Les matrices AG et AX sont R-diagonalisables, on peut donc calculer leur matrice signe en utilisant la formule sign(a) = L Λ R, où Λ est la matrice diagonale des valeurs propres, R la matrice des vecteurs colonnes propres à droite de la matrice A, et L la matrice des vecteurs lignes propres à gauche de A et telles que L.R = I d. Pour la matrice AG, on a les valeurs suivantes : Pour la matrice AX : λ G 1 = v c, λ G = v, λ G 3 = v + c R G = ( r1 G r G r3 G ) = u 1 u v c 0 v + c L G = l G 1 l G l G 3 = c+v c 0 1 c u 1 0 c v c 0 1 c λ X 1 = u ω c, λ X = u ω, λ X 3 = u ω + c R X = ( r1 X r X r3 X ) = u c 0 u + c v 1 v L X = l X 1 l X l X 3 = 1.7 Conditions aux limites - Mur c+u c 1 c 0 v 0 1 c u c 1 c 0 Sur les bords du domaine, on impose une condition mur, c est-à-dire que la vitesse dans la direction normale au mur est prise égale à zéro. Nous avons dans notre situation deux cas à distinguer : les bords verticaux et les bords horizontaux. Bords verticaux Pour les bords verticaux, c est la vitesse selon e x qui est nulle, il faut donc imposer les flux entrants ou sortants fluxf 1/,j ω 1/,j V 1/,j et fluxf Nx 1/,j ω Nx 1/,jV Nx 1/,j tels que l on ait u = 0 sur ces bords (j variant de 1 à N y 1). Pour calculer ces flux, on utilise la méthode des caractéristiques, ce qui revient à résoudre les équations suivantes : l F 1 (V 1,j ).(fluxf 1/,j ω 1/,j V 1/,j ) = l F 1 (V 1,j ).(F 1,j ω 1,j V 1,j ) l3 F (V Nx 1,j).(fluxF Nx 1/,j ω Nx 1/,jV Nx 1/,j) = l3 F (V Nx 1,j).(F Nx 1,j ω Nx 1,jV Nx 1,j) ρ avec fluxf a,j = F (V a,j ) et V a,j de la forme V /u=ω=0 = 0 pour a {1/, N x 1/}. ρv 0 Par conséquent fluxf a,j = p a,j et ω a,j = /01 Non confidentiel 14

15 En ce qui concerne ω 1,j et ω Nx 1,j on prend les valeurs suivantes : Bords horizontaux ω 1,j = ω 3/,j, ω Nx 1,j = ω N x 3/,j Pour ces bords là, c est la vitesse selon e y qui est nulle : v = 0, et ce sont les flux aux bords fluxg i,1/ et fluxg i,ny 1/ (i compris entre 1 et N x 1). En procédant de la même manière que pour les bords verticaux on obtient les formules suivantes : fluxg i,b = 0 0 p i,b pour b {1/, N y 1/} 1.8 Conditions aux limites - Bords intérieurs On impose également une condition mur pour les interfaces intérieures, c est-à-dire aux interfaces avec le piston. On obtient des formules similaires à celles obtenues pour les bords entourant le domaine : fluxf a,j = 0 p a,j 0 fluxg i,b = pour a {N x A 1/, N x B 1/} et 1 j N y p i,b pour b {1/, N y 1/} et 1 i N x Mise en évidence d un facteur k naturel On s interesse à un gaz contenu dans un volume V 0, à la pression p 0 et de masse volumique ρ 0 à l instant initial. Ce gaz est enfermé par une barre mobile de masse M et de section S e. La pression à l extérieur est prise égale à p 0. Figure 4 Constante de raideur k naturelle 011/01 Non confidentiel 15

16 On cherche alors à mettre l équation du mouvement sous la forme Mẍ = k(x x 0 ), avec k dépendant des données du problème. Tout d abord on peut remarquer que ρ c = ( dp ) d 1 ρ En faisant un développement limité de la pression on obtient aisément le résultat suivant : ( ) 1 p = p 0 ρ 0c 0 ρ 1 ρ 0 L équation de la barre est Mẍ = (p p 0 )S e, ce qui nous donne en utilisant le résultat précédent : ( 1 Mẍ = ρ 0c 0 ρ 1 ) S e ρ 0 Or ρ = m 0 V = SeL 0ρ 0 xse = L 0ρ 0 x, où m 0 est la masse de gaz enfermé. Par conséquent le mouvement de la barre est régi par l équation suivante : Mẍ = k(x x 0 ), avec k = ρ 0c 0 S e L Différents cas d étude Lors du transport du méthane liquide dans les cuves de méthaniers, deux phénomènes peuvent causer des dégats sur les parois, notamment dus à une augmentation intensive de la pression, elle même engendrée par la compression du gaz entourant le méthane. Tout d abord, le premier impact se fait lorsque la vague entre en contact avec la paroi. A ce moment là, le gaz se trouvant autour peut s echapper. On parle alors de cas avec fuite. Ensuite, une fois que la vague est venue s écraser contre le bord, une poche de gaz reste enfermée sous la vague et va alors être comprimée. C est pourquoi il était également nécessaire de coder des simulations dans le cas où le gaz ne pouvait s échapper. Il s agit du cas sans fuite. Il m a également paru essentiel de faire des simulations tout en permettant au gaz de s échapper légèrement en laissant un passage très étroit autour du piston. En effet, je voulais voir si la transition entre le cas avec fuite et le cas sans fuite se faisait progressivement et si une très faible fuite conduisait à des résultats plus proches de ceux du cas sans fuite ou de ceux avec fuite. De plus, il me parait fort probable que, dans un grand nombre de situations, un fin passage soit laissé au gaz pour s echapper et que le cas sans fuite se produise bien moins souvent. Tout ceci a d autant plus motivé ce choix. 011/01 Non confidentiel 16

17 1.11 Critère d incompressibilité Une des grandes problématiques s est portée sur le choix de la constante de raideur k ainsi que sur la variation de celle-ci pour étudier l influence de la compressibilité sur la pression observée sur la paroi. La constante de raideur k étant proportionnelle au nombre sans dimension K, on a décider de concentrer notre attention sur le facteur K plutôt que sur k, ce qui revient au même puisque les différents paramètres intervenant dans le facteur K, mis à part k, sont resté inchangés lors des nombreuses simulations. Finalement, j ai cherché à determiner un nombre K l tel que pour K = K l, on puisse considérer le piston comme incompressible. J ai alors établi un critère correspondant à une limite de compressibilité : L(t) L Le piston est considéré comme incompressible lorsque max 0 t L 0 < 10 3 dans le cas sans fuite, et quelque soit S appartenant à [1, 10]. Après de multiples simulations ce nombre K l a pu être mis en évidence : K l = 3450 Figure 5 Évolution de la longueur du piston pour K = 3450 avec S=1 011/01 Non confidentiel 17

18 Figure 6 Évolution de la longueur du piston pour K = 3450 avec S=10 Ensuite, pour satisfaire aux objectifs de ce stage, qui sont de comprendre quelle peut être l infleunce de la compressibilité du piston sur les pics de pression ressentis sur la paroi, j ai procédé aux calculs avec des valeurs de K décroissantes en partant de K l, et pour chacune de ses valeurs j ai tracé la courbe représentant l évolution du maximum de pression en fonction du nombre d impact S. Les valeurs de K sont choisies de la manière suivantes : K n = K l, pour n 0, 5 n 011/01 Non confidentiel 18

19 1.1 Détection du maximum L objectif principal des simulations réalisées était, pour un K donné, de tracer l évolution de la pression au niveau de la paroi pour un S fixé, puis d en obtenir le maximum. L opération était réalisée plusieurs fois pour des S différents à chaque fois afin de tracer la courbe décrivant l évolution du maximum de pression en fonction de S. Il était donc important de faire une simulation sur un temps suffisamment long pour qu on puisse détecter ce maximum car, tout naturellement, c est lorsque le piston se rapproche le plus de la paroi que la pression est la plus élevée. Initialement, le piston se trouve à une distance égale à 1m par rapport au bord et est animée d une vitesse u 0 = 4 m.s 1. Par conséquent, on peut estimer à 0.5s le temps que mettra le piston pour atteindre la paroi. J ai donc, dans un premier temps, lancé les simulations sur une durée de 0.5s dans le cas avec fuite. Voici le type de courbe obtenu dans le cas avec fuite : Figure 7 Évolution de la pression, K=40, S=0.1 Comme on l espérait, on observe bien une forte augmentation de pression lorsque la distance entre le piston et la paroi est très petite. Au temps t = 0.5s, la distance valait x = Cependant, plus le piston se rapproche, plus il est nécessaire d avoir un pas de temps petit pour éviter que les calculs ne divergent. L obtention d une telle courbe est donc très couteuse en temps (environ 30 minutes). On remarque de plus que l on obtient pas encore le maximum et que la durée de simulation devrait donc être augmentée. Il m a fallu renoncer à cette idée là car le temps de calcul serait inacceptablement long, d autant plus que ces calculs doivent être conduits une vingtaine de fois pour tracer la courbe voulue. J ai alors décidé de fixer une durée de simulation en fonction des courbes obtenues 011/01 Non confidentiel 19

20 pour le cas sans fuite. En effet dans ce cas là, une simulation d une durée de 0.5 secondes est réalisée en quelques minutes car la pression dans le gaz devient suffisamment élevée pour pouvoir faire repartir le piston dans l autre sens, du coup celui-ci reste à une distance plus élevée de la paroi, ce qui permet d avoir des calculs moins couteux en temps. Pour la durée de simulation, j ai opté pour la solution suivante : déterminer le temps auquel le piston à une vitesse nulle dans le cas sans fuite (lorsqu il commence à repartir dans l autre sens) et pendre deux fois ce temps là pour les simulations dans le cas avec fuite. On obtient un temps de simulation égal à 0. secondes. Très vite, je me suis rendu compte que ce choix n était toujours pas satisfaisant. En effet, la pression oscille au sein du gaz, avec des amplitudes en général de plus en plus grandes et avec des fréquences différentes suivant la valeur du nombre d impact S. Du coup il arrivait que l on arrête la simulation alors que la pression était en train de monter et n avait pas encore atteint son maximum pour certains S alors qu on avait le temps de l atteindre pour d autres. Tout ceci nous a conduit à des courbes inexploitables : Figure 8 Cas avec fuite - Durée de simulation égale à 0. secondes J ai finalement trouvé une solution satisfaisante. Le choix suivant a été fait : le maximum de pression retenu sera celui du premier pic. La simulation est donc arrêtée lorsque la pression a décru de 10%. D une part, cela permet d eviter le problème rencontré précédemment et d autre part, j ai gagné un temps de calcul considérable en procédant de la sorte, le premier de pression étant atteint en environ deux minutes. 011/01 Non confidentiel 0

21 Figure 9 Détection du premier pic 1.13 Résultats Dans les trois cas suivants, on a pris les données suivantes : γ = 1.4 g = 0 Dr = a = 0.5 e = 3 f = 1 χ = 1/γ X 0 = 1 ρ 0 = 1 u 0 = 4 Seules les valeurs de b et d varient. 011/01 Non confidentiel 1

22 Cas sans fuite Dans un premier temps, j ai réalisé les calculs dasn le cas où il n y a pas de fuite possible pour le gaz b = 1.0 d = 1.0 On peut alors observer les influence de la compressibilité en observant l évolution du maximum de pression ressenti au niveau de la paroi en x = 0 pour des valeurs de K différentes. Cela conduit aux courbes suivantes : Figure 10 Maximum de pression en fonction de S - Sans fuite - Premier modèle 011/01 Non confidentiel

23 Cas faible fuite J ai réalisé les calculs avec les données suivantes pour le cas avec faible fuite : b = 1.0 d = 1.01 J ai alors, comme pour le cas sans fuite, tracé la courbe du maximum de pression au niveau de la paroi en fonction du nombre d impact S, pour des valeurs de K différentes. Figure 11 Maximum de pression en fonction de S - Faible fuite - K = 3450 jusqu à /01 Non confidentiel 3

24 Figure 1 Maximum de pression en fonction de S - Faible fuite - K = 3450 jusqu à 45 On peut observer que pour K variant de 3450 à 180, les courbes sont quasiment identiques. On commence à observer des courbes pour lesquelles le maximum de pression est plus faible à partir de K = 90. Cela est encore plus marqué pour K = 45. On voit donc que dans le cas avec faible fuite, la compressibilité a une influence négligeable. On peux également remarquer que l on obtient des courbes tout à fait différentes que pour le cas sans fuite. L étroit couloir laissé au gaz pour s échapper entraine des modifications considérables. 011/01 Non confidentiel 4

25 Cas avec fuite Pour le cas avec fuite, j ai pris les données suivantes : b = 1.0 d = 3 On obtient alors les courbes suivantes : Figure 13 Maximum de pression en fonction de S - Avec fuite - Premier modèle 011/01 Non confidentiel 5

26 Deuxième modèle : Fluide 1D Dans cette partie, le modèle choisi est bien plus proche de la réalité puisqu on prend désormais un fluide 1D pour le piston. On a alors deux systèmes d équations, un pour le gaz et un pour le liquide. Figure 14 Présentation du piston avec fluide 1D.1 Équations du gaz t (ρ) + x (ρu) + y (ρv) = 0 t (ρu) + x (ρu ) + y (ρuv) + x p = ρg t (ρv) + x (ρuv) + y (ρv ) + y p = 0 On ajoute à ce système d équations la loi des gaz parfaits : ) γg p = p 0 ( ρ ρ 0 g. Équations du liquide { t (r) + x (rµ) = 0 t (rµ) + x (rµ ) + x π = rg Avec une loi d état stiffened gaz : ( ) r γl π + π 0 = (p 0 + π 0 ) ρ 0 l 011/01 Non confidentiel 6

27 où r est la masse volumique du fluide, µ sa vitesse dans la direction e x et π sa pression. On ajoute en plus la condition c 0 l = Cela nous donne la loi d état suivante : π = γ l p 0 ρ 0 l (c0 l ) + [ ρ 0 ] ( ) r γl l (c0 l ) (γ l 1)p 0 ρ 0 l.3 Raccord entre gaz et fluide - Déplacement du fluide Entre le gaz et le fluide nous avons une zone de contact. Par conséquent la condition à la limite gaz/fluide est une condition d égalisation des pressions : π(x(t), t) = 1 l l l p(x(t), y, t)dy π(x(t) + L(t), t) = 1 l l l p(x(t) + L(t), y, t)dy où p(x, y, t) est la pression du gaz. En ce qui concerne le déplacement de la masse de fluide, la position X(t) ainsi que la longueur L(t) sont obtenues en utilisant les formules qui suivent : { Ẋ(t) = µ(x(t), t) Ẋ(t) + L(t) = µ(x(t) + L(t), t) Pour résoudre ce problème on utilise comme pour le premier cas un schéma VFFC D avec maillage mobile..4 Schéma VFFC Pour résoudre le système d équations pour le gaz, le schéma VFFC est exactement le même que pour le modèle du piston-ressort. En ce qui concerne le liquide, l équation peut être mise sous la forme t U + x H(U) = S l (U) Avec ( ) r U = rµ ( ) rµ H(U) = rµ + π ( ) 0 S l (U) = rg 011/01 Non confidentiel 7

28 On procède de la même manière que pour le cas du système masses-ressort à la seule différence que désormais le schéma est 1D et ne dépend donc pas de y : dx i (t + dt) U i (t+dt) = U i (t) dt [fluxh i+1/ ω i+1/ U i+1/ ] [fluxh i 1/ ω i 1/ U i 1/ ] dx i (t) dx i (t) + dt S(U i (t)) en reprenant les mêmes notations qu à la partie précédente. Par exemple fluxh i 1/ = H(U(t, x i 1/ (t))) Le schéma VFFC consiste à prendre pour fluxh i 1/ et pour U i+1/ les formules suivantes : fluxh i+1/ = H i + H i+1 + sign(ah(µ i+1/, ω i+1/ )) H i+1 H i U i+1/ = U i + U i+1 où H i = H(U i ) ( ω 1 et AH(U, ω) = c µ µ ω + sign(ah(µ i+1/, ω i+1/ )) U i+1 U i ) Les éléments propres de la matrice AH permettant de calculer sa matrice signe sont les suivants : λ H 1 = µ ω c, λ H = µ ω + c.5 Flux aux bords R H = ( r H 1 r H L H = ( l H 1 l H ( ) 1 1 = µ c µ + c ) ) = ( c+µ c c µ c 1 c 1 c Pour ce qui est des flux aux interfaces pour le gaz entourant le piston, les formules restent inchangées. En revanche, pour les flux aux limites pour le fluide, le fait d imposer cette fois-ci la pression aux bords plutôt que la vitesse conduit aux formules suivantes : ( ) 0 fluxh NxA+1/ = π(x(t), t) ( fluxh NxB 1/ = 0 π(x(t) + L(t), t) où π(x(t), t) et π(x(t)+l(t), t) sont calculées grâce aux formules données dans la section.3. ) ) 011/01 Non confidentiel 8

29 .6 Résultats Cas avec fuite Figure 15 Maximum de pression en fonction de S - Fluide 1D - Avec fuite 011/01 Non confidentiel 9

30 Cas sans fuite Figure 16 Maximum de pression en fonction de S - Fluide 1D - Sans fuite Pour comparer les résultats avec ceux obtenus pour le modèle du ressort, j ai tracé sur le même graphique les courbes du maximum de pression pour le fluide 1D ainsi que pour le ressort. 011/01 Non confidentiel 30

31 Figure 17 Maximum de pression en fonction de S - Comparaison Fluide 1D/Ressort - Avec fuite Figure 18 Maximum de pression en fonction de S - Comparaison Fluide 1D/Ressort - Sans fuite On voit aisément que les courbes sont similaires à celles obtenues pour le ressort, il est donc très avantageux d avoir utilisé le modèle du ressort car celui-ci est bien moins couteux en temps et son code est plus simple à rédiger et à comprendre. 011/01 Non confidentiel 31

32 Conclusion Mon travail au sein du Centre de Mathématiques et Leurs Applications a été fructeux, que ce soit pour le laboratoire ou pour moi. Il a été possible de coder la simulation de la compression du piston pour deux modèles différents et de mettre en évidence l influence de la compressibilité sur les maxima de pression qui étaient ressentis au niveau de la paroi. D autre part, le premier modèle présentait l avantage d être simple tandis que le second était bien plus proche de la réalité. Cependant, les résultats obtenus pour les deux modèles sont très similaires. Par conséquent, à l avenir il sera plus avantageux de travailler sur le premier modèle. Ce projet de recherche m a ouvert au monde de la recherche et m a offert l opportunité de développer encore plus des aptitudes telles que la rigueur, l autonomie, la précision et l esprit critique, compétences importantes pour le métier d ingénieur. 011/01 Non confidentiel 3