1 Circuit fixe dans un champ variable 1.1 fem induite

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1 EM1 : Inducion élecromagnéique Loi de modéraion de Lenz Les effes magnéiques, élecrocinéiques e mécaniques de l inducion s opposen à la cause qui les a produis. 1 Circui fixe dans un champ variable 1.1 fem induie Parons de la loi de Maxwell-flux : ro E= S roe = S = Γ E dl e déerminons un flux au ravers d une surface S : Or la grandeur E dl es homogène à une ension. Il en résule que sur un conour fermé dans une zone de champ magnéique variable apparaî une fem die induie Loi de Faraday Dans le cas d un circui fermé fixe de conour Γ oriené, placé dans un champ magnéique variable, la f.e.m induie e ind es donnée par la loi de Faraday e= dφ = d( Σ B. ds) Σ s appuyan sur le conour Γ, oriené selon la règle du ire bouchon Le conour doi héoriquemen êre fermé afin d appliquer la loi de Faraday. En praique, on pourra l uiliser enre deux poin A e B sur un conour quasimen refermé. Loi d Ohm généralisée Pour une porion AB de circui de résisance R pour lequel le phénomène d inducion es radui par la fem induie e AB, u AB = R.i AB e AB

2 1.2 Auo-inducion Inducance propre Il exise un phénomène d inducion du à l appariion d un champ magnéique crée par le couran circulan dans le circui lui-même. Ce phénomène es alors appelé auo-inducion. L inensié parcouran un circui créan un champ magnéique, celui-ci va avoir les mêmes conséquences sur le circui qu un champ exérieur. On peu quanifier ce effe : Le couran i() raversan le circui crée en ou poin M un champ (M,) En orienan le conour selon le sens choisi pour i(), on peu calculer le flux propre pour le circui Φ P = S (M,).d S M Or les ligne de champ son orienées de l inérieur vers l exérieur de la surface, donc (M,).d S M > 0 M S D aure par, en ou poin M, le champ magnéique es proporionnel à l inensié du couran i() raversan le circui. Bilan : Φ P = L.i() On se siue ici dans le cas de Neumann : e p ()= dφ P = L. di() Le flux du champ magnéique indui par le couran i() raversan le circui, nommé flux propre, es proporionnel à i(). On défini l inducance propre, L, exprimée en Henry (H) ce coefficien. Alors Φ P = L.i() L effe sur le circui es alors caracérisé par une f.e.m induie : i() R e p = L di() e p = L di() Loi d Ohm généralisée V A V B = R.i+L. di e ex avec e ex : fem induie par d aures phénomènes que l auo-inducion

3 1.2.2 Circui R L soumis à un échelon de ension On alimene une bobine de résisance R e d inducance L par un généraeur fournissan un échelon de ension enre 0 e E. Il n exise aucun champ magnéique exérieur. Loi d Ohm généralisée : e()=r.i+l. di Pour >0, e()=e ce qui donne avec les CI : Le bilan de puissance nous donne i()= E 1 e τ τ= L R P Joule = R.i 2 = E2 1 e τ P géné = E.i= E2 1 e τ P bob =P géné P Joule = E2 1 e τ. 1 1 e τ En réarrangean l expression, on obien alors Energie élecromagnéique P bob = L.i. di = d (1 2 L.i2 ) Une bobine crée en ou poin M de l espace un champ magnéique (M) auquel on associe une énergie magnéique volumique u m = 1.B 2 (M) 2µ 0 L énergie oale associée au champ magnéique, e donc au phénomène d auo-inducion, correspond à 1 E m =.B 2 (M).dτ espace 2µ 0 Or on a vu dans l éude précédene que l énergie emmagasinée par un el sysème s exprime en foncion du coefficien L. On peu donc comparer les deux expressions Énergie emmagasinée par la bobine Une bobine d inducance L emmagasine une énergie à un insan elle que E m = L.i2 ()=.B 2 (M).dτ espace 2µ 0 2

4 On peu considérer qu il s agi là d une seconde définiion du coefficien d auo-inducion. 1.3 Couplage magnéique de circuis Inducance muuelle Considérons deux circuis fermés, chacun comporan une bobine. On noe respecivemen N 1 e N 2 leur nombre de spire e S 1 e S 2 leurs secions. i 1 () r 1,L 1 u 1 () r 2,L 2 u 2 () i 2 () La bobine (1) crée au niveau de la bobine (2) un champ magnéique 1. Alors Φ 1 2 = 1 (P,) ds 2 N 2 D après la loi de Bio e Savar, L inensié du champ 1 sera proporionnel, en ou poin de l espace, à l inensié i 1 raversan la bobine créean le champ. On peu donc définir une céracérisique M 12 de la géomérie des circuis (1) e (2) e écrire ce flux sous la forme Φ 1 2 = M 12.i 1 () De la même manière, on défini M 21 el que Φ 2 1 = M 21.i 2 (). Inducance muuelle Deux circuis couplés son caracérisés par leur inducance muuelle dépendan de la géomérie des circuis M= M 12 = M 21 On adme l égalié des deux grandeur (Théorème de Neumann) Alors Φ 1 2 = M.i 1 () Φ 2 1 = M.i 2 () Le coefficien M es une grandeur algébrique. En effe, si l on choisi d inverser le sens de "roaion" de l inensié dans l une des bobines, le champ crée par cee bobine changera de sens e par conséquen l effe sur la seconde sera inversé.

5 1.3.2 Equaions élecriques On a désormais pour chacune des bobines les effes cumulés de l auo-inducion e de la muuelle inducion. Φ i = Φ p,i + Φ j i Ce qui donne d après la loi d Ohm généralisée vu précédemmen : De même pour le second circui. On peu donc reenir l analogie suivane : u 1 i 1 L 1,r 1 M Aspec énergéique i 2 L 2,r 2 u 2 Si l on reprend l exemple précéden, on aura di 1 u 1 ()=r 1 i 1 + L 1 + M di 2 di 1 e 1 = L 1 M di 2 di 1 P sources = u 1.i 1 + u 2.i 2 =(r 1 + L 1 + M di 2 ) i di 2 1+(r 2 + L 2 + M di 1 ) i 2 Or le bilan peu égalemen s écrire i 1 r 1 r 2 i 2 di 2 e 2 = L 2 M di 1 P sources =P joule + de m CommeP joule = r 1.i r 2.i 2 2, on obien par idenificaion l énergie magnéique d un el sysème L énergie magnéique d un sysème de deux circuis couplés, en l absence d aures sources magnéiques, s écri E m = 1 2 L 1i L 2i 2 2+ Mi 1 i 2 2 Circui mobile dans un champ saique fem induie On admera que pour les circuis éudiés, la loi de Faraday e la loi d Ohm généralisée son applicables.

6 2.1 Conversion élecromécanique : le hau-parleur Analyse de la réponse Schéma du hau-parleur 1 Aiman i Bobine Ressor Membrane Coupe ransversale de l aiman Modélisaion : L,r u() (k,l 0 ) l Mise en équaions x x() Fem induie : e= B.L.ẋ Équaion élecrique : u()=b.l.ẋ+r.i+l. di Équaion mécanique : m.ẍ=b.l.i k.x f.ẋ Bilan de puissance On exprime les puissances sous deux formes : Puissance élecrique générée par la f.e.m induie A B Puissance des forces de Laplace Aiman Bobine i x Vue de face de l aiman Bilan des forces pour le sysème barre AB : Poids e réacions se compensen Force de rappel du ressor(k,l 0 ) (modélisan la membrane ainsi que la pression de l air) Froemens fluides de coefficien f Forces de Laplace Foncion de ransfer elecro-mécanique : P ind = e.i= L.ẋ.B.i P Lapl = F lapl v =+L.ẋ.B.i ẋ u = L.B L 2.B 2 +(r+ j.l.ω).(f+ j.(m.ω k ω )) Conversion d énergie Le phénomène d inducion prélève l énergie au circui élecrique pour la resiuer sous forme mécanique. Ce couplage es parfai 1. Ce schéma es mis à disposiion sur ce sie. Merci à l aueur!

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