L évolution des systèmes électriques

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1 hapire 4 évoluion des sysèmes élecriques Pré-requis : noaions de première, lois des mailles, lois des nœuds, loi d addiivié des ensions. Dans le cours de physique de la classe de première quelques propriéés de circuis élecriques en couran coninu on éé abordées. Dans ce chapire, on s inéresse mainenan à des phénomènes associés à des courans variables, e plus spécifiquemen aux élémens qui permeen de conrôler l évoluion emporelle d un couran élecrique : condensaeurs e bobines. es lois fondamenales uilisées en couran coninu (loi des ensions, loi des inensiés) seron dans les applicaions oujours valables pour les valeurs insananées des ensions u() e des inensiés i() variables. I. e dipôle R I.1. e condensaeur a. qu es-ce qu un condensaeur? Un condensaeur es un composan élecrique élémenaire, consiué de deux armaures conducrices (appelées "élecrodes") séparées par un isolan. Sa propriéé principale es de pouvoir socker (condenser!) des charges élecriques opposées sur ses armaures. On symbolise le condensaeur par ses deux plaques (en noir) : on accompagne cee noaion par les marquages habiuels du couran élecrique i() e de la ension u AB () en convenion récepeur oujours uilisée. Sur la plaque A, une charge +q se condense e en vis-àvis, une charge q se place sur l armaure q B. A i u AB B e couran i vien alimener la plaque A en charge q : le couran i es par définiion la variaion de la charge q par rappor au emps : i=/d ampère n es que du coulomb par seconde mais on ne va changer d unié pour cela ;) inensié peu êre vue comme un débi de charges. Deux formes classiques : verre e boueille de eyde (ycée Zola, Rennes) "Une expérience nouvelle, mais errible, que je vous conseille de ne poin ener vous-même" (ere de Musschenbroek à Réaumur, 0 janvier 1746) ondensaeur d'aepinus avec armaures méalliques mobiles e plaque de verre amovible (Musée des Ars e Méiers) es condensaeurs acuels : e son des condensaeurs consiués de deux conduceurs enroulés auour d une feuille isolane. Il exise aussi des condensaeurs élecrochimiques.

2 b. relaion charge-ension a charge n es pas aisée à mesurer : souvenez-vous du TP de première avec le coulomb-mère qui s agiai à cause de l orage d éé du soir! Heureusemen, il exise une relaion de proporionnalié enre la ension u AB e les charges accumulées q sur les armaures. On place en expérience de cours un généraeur de couran de 60 ma qui va alimener un condensaeur AB. On observe une hausse progressive de la ension u AB proporionnelle au emps. On dédui la charge q en inégran i consan : I=consane=/d implique q=i. (liberé fraernié). Au chronomère : Temps (s) Inensié calculée I() Q()=I en m 0 0,6 1, 1,8 Tension u() en V 0 0,7 0,55 0,8 On remarque que Q es proporionnel à u : la consane de proporionnalié es appelée capacié du condensaeur e elle es noée en Farad (symbole F). Ses sous-uniés (plus uilisées) son le F ou le nf. Ici q =. u avec environ égal à 1, /0,8 =,19 mf. I.. e dipôle R a. circui élecrique + Généraeur de ension coninue i E = 1 V E u () A B D Nous allons réaliser le circui élecrique suivan : on branche dans une maille un condensaeur en série avec une résisance. ee maille peu êre en conac avec un généraeur de ension coninue de 1 V (voir schéma ci-dessous). Ecrivons la loi des mailles lorsque l inerrupeur es sur : -E+Ri+u =0. Il va falloir résoudre cee équaion pour obenir u () b. résoluion mahémaique de la charge

3 R i u E R u E d du d R u E On obien donc une équaion différenielle lian la dérivée de u par rappor au emps avec u. es chose courane en physique e c es pour cela que le calcul différeniel a éé invené par eibniz e Newon. a soluion générale de cee équaion es de la forme : u c ()= A exp(-/)+b. Il s agi de rouver A, B e à parir des condiions iniiales (u c (=0)=0 ) e des paramères du circui (R, e E). d( Ae B) R ( Ae B) E d 1 R Ae Ae B E R A 1 e B E ( relaion *) On voi dans la démonsraion que nous n avons pas d aure choix que de poser B=E. Par conre, nous avons un problème pour A car il y a un faceur muliplicaif bizarre Si B=E alors il n y a pas d aure choix que de fixer =R. Pour rouver A, nous allons prendre la valeur de u à =0 soi zéro vol car la ension aux bornes du condensaeur es coninue: u (0) 0 0 Ae E A E 0 0 e A E la soluion es donc R R u ( ) E Ee E (1 e ) c. vérificaion expérimenale de la charge - Vérifions expérimenalemen ce que nous avons rouvé : on observe bien une sore d exponenielle de consane de emps auour de 0,1 s. es la valeur que prend la courbe lorsque le condensaeur es chargé à 63%. On peu le déerminer en racer la angene bleue en zéro qui inercepe u c ()=E en au. - Quelle es la valeur de l inensié dans le circui? On rappelle que i es la dérivée de q donc la dérivée de u (). es donc à une consane près la dérivée par rappor au emps de la courbe de charge ci-dessus!

4 du i d d. Ainsi, au débu de la courbe de u, la dérivée es conséquene alors qu au bou de plusieurs, elle end progressivemen vers 0. - Pour une durée de 5, on aein déjà 99% de la charge! d. la décharge E =1 V - a décharge en bleue es une exponenielle décroissane qui provien du fai que la consane B de la résoluion mahémaique (relaion * au paragraphe I..b) es mainenan nulle. Au bou d une durée égale à la consane de emps, on n es plus qu à 37% de la valeur iniiale. u (0) E 0 Ae 0 E A 0 E e A E la soluion es donc R u () Ee E e R I.3. Aspec énergéique omme des charges élecriques son «condensées» dans les armaures e qu elles peuven se décharger ransforman ainsi le condensaeur en généraeur élecrique, le condensaeur emmagasine une énergie E elle que : E u 1 1 q

5 On pourra faire le calcul pour un condensaeur de, mf e une ension de 1 V : on rouve que l énergie élecrique sockée es de 0,16 J. I.4. Dimensions Pour erminer ce chapire I, nous allons examiner les dimensions de la consane de = R. On noe T=[] la dimension du emps, la disance e A la dimension de l inensié par exemple. R R 1 U I q U U I q U q I / / / / d q q d d T a consan de emps es bien homogène à un emps ce qui es pluô rassuran II. e dipôle R. II.1. Qu es-ce qu une bobine? Une bobine (ou solénoïde) es consiué d un enroulemen de fil conduceur recouver d un vernis isolan ou, dans le jargon des physiciens, de spires joinives conducrices. En expérience de cours, on remarque que lorsqu on essaie d éablir un couran élecrique dans un circui consiué de deux branches (la première ayan une résisance e la deuxième consiuée d une bobine de résisance inerne équivalene). a bobine semble s opposer au passage du couran car la lampe n s allume lenemen. Une bobine es définie par une valeur physique, l inducance elle que : u = di/d : le symbole, l inducance, es exprimée en Henry (H ou sous-unié mh). On y ajoue souven une peie résisance inerne r expriman la résisance du fil enroulé. On résume donc physiquemen (dans la convenion récepeur) une bobine (,r) par : u = di/d +r i

6 II.. e dipôle R Un dipôle R es consiué d une résisance R e d une bobine (,r) en série. Regardons à l oscilloscope ce qui se passe lorsque nous imposons au circui ci-conre une ension posiive E. a Réponse d un dipôle R à l éablissemen d un couran : A la fermeure de l inerrupeur K, le couran élecrique i() peine à s insaller e aein enfin un régime permanen. Rerouvons mahémaiquemen ces résulas expérimenaux : di di di E R i u E R i ri E ( R r) i E i d d R r d R r On voi qu il s agi d une équaion différenielle linéaire d ordre 1 de soluion générale i()=ae -/ +B. d( Ae B) E 1 E ( Ae B) Ae Ae B R r d R r R r R r R r E E A 1 e B B ( soluion pariculière) R r R r R r si A 1 e 0 alors R r 1 0 e R r E omme il y a coninuié de l 'inensié : i(0) 0 A B A R r a soluion es donc : E i( ) (1 e ) avec R r R r omme dans le cas de la charge du condensaeur, nous obenons une courbe qui end asympoiquemen vers une valeur fixe avec une consane de emps =/(R+r). b Réponse d un dipôle R à l annulaion d un couran : De la même façon, on a la même équaion différenielle mais sans second membre ce qui facilie la résoluion e l on rouve : E i ( ) e avec. R r R r a déerminaion de la consane de emps se fai de la même façon que pour le dipôle R soi avec les valeurs 0,63I 0 ou 0,37I 0 ou la méhode de la angene en =0.

7 III. Oscillaions dans un circui R en série. III.1. Décharge oscillane d un condensaeur dans une bobine. A parir du monage élecrique ci-dessous, on va éudier la décharge du condensaeur dans une bobine e observer la variaion de la ension u ()aux bornes du condensaeur. ommen expliquer une elle courbe sinusoïdale? Uilisons les relaions élecriques rouvées précédemmen (les résisances son supposées négligeables) q di u e u d d or nous savons que i donc u d d d d les deux composans son dans une branche donc u d u d q d q q d q q u 0 soi 0 ou 0 d d d Il s agi d une équaion différenielle du deuxième ordre don la soluion générale es donnée : u 0 q()=q m cos( + 0 ) où T 0 =/ 0 es la période propre. Q m es la charge maximale T 0 Exercice 1 : Prouver que Q m cos( + 0 ) es bien soluion de l équaion différenielle avec 0 =1/. Exercice : rouver avec les dimensions de e la dimension e donc l unié de T. III.. Influence de l amorissemen. e régime périodique es idéal car il exise une résisance inerne qui va provoquer un amorissemen de la courbe oscillane. Plus la résisance es imporane, plus le régime es amori. Du régime périodique idéal sans amorissemen, on passe à un régime pseudopériodique (cela oscille encore!) puis la ension aux bornes de s écrase direcemen vers 0. a pseudo-période T es oujours plus longue que la période propre T 0 : plus la résisance augmene, plus on quie la valeur de T 0.

8 Remarque : le régime apériodique es appelé criique lorsque la courbe passe brusquemen d une sinusoïde à l enveloppe exponenielle vers une courbe foremen décroissane. a valeur criique de R es R (hors programme). III.3. Inerpréaion énergéique e enreien des oscillaions. On sai depuis la classe de première S qu une résisance es le siège d une pere d énergie (effe Joule). A chaque fois que le couran i() n es pas nul, le sysème perd une puissance Ri : peu à peu, le sysème se vide en énergie e la ension aux bornes du condensaeur converge vers zéro vol. Il exise donc un jeu de ping-pong enre l énergie élecrosaique du condensaeur ½u e l énergie magnéique de la bobine ½i (E ond diminue quand E Bob augmene e vice versa). Quelques balles se perden donc à chaque passage dans la résisance dans ce ransfer d énergie Il exise un monage (connaissance hors programme) qui perme de compenser cee pere d énergie par l inermédiaire d un amplificaeur opéraionnel. On éabli à nouveau un régime périodique avec des oscillaions dies libres en changean une résisance annexe (die résisance négaive!) qui va permere d obenir une sinusoïde fixe.

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