Correction contrôle de mathématiques

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1 Chapitres 5 : la fonction eponentielle 7 décembre 0 Correction contrôle de mathématiques Du lundi 0 décembre 0 Eercice ROC (4 points) ) On détermine les variation deϕ: ϕ ()e or R, e >0. La fonctionϕest donc strictement croissante surr 0 ϕ() ϕ(0) or ϕ(0) ϕ() )ϕ() >0 pour >0. On a donc : e > e > or + e + donc par comparaison : ) a) On pose : X. Donc si + alors X + On a donc : e Xe X X. Donc par quotient de la ite du ), on ex obtient : b) f () e 4 e 4 ( )e Comme R, e > 0, on a : X f () + X + e X 0 f ()0 0 Le signe de f () est le signe de On obtient alors le tableau de variation suivant : f () f () 0 e 0 Eercice Tangente passant par l origine (6 points) Partie A : étude de la fonction Paul Milan Terminale S

2 ) Limite de f en : f () e e + or e 0 donc, par quotient et somme, on a : f () On en déduit quecadmet une asymptote horizontale d équation : y ) Limite de f en+. Pas de forme indéterminée, par produit, quotient et somme de ites, on a : f ()+ + 3) f ()e + e (+)e 4) Comme R, e > 0, on a : f ()0 +0 Le signe de f () est le signe de (+). On obtient le tableau de variation suivant : f () f () e + Partie B : recherche d une tangente particulière ) La tangente àcen a : T a a pour équation : On pose b a e a + y f ()( a)+ f (a) (a+)e a ( a)+ae a + (a+)e a +a( a ) e a + (a+)e a a e a + ) T a passe par l origine si, et seulement si, l équation de la droite T a a son ordonnée à l origine b nulle. On a donc : a e a 0 3) On pose la fonction g définie et dérivable sur [0;+ [ par : g() e + On étudie la fonction g sur [0;+ [. on a : g () e e (+) e or si >0, +>0 et e > 0 donc g ()<0 g est donc strictement décroissante sur ]0;+ [. On a : g(0) et : + + e + On a donc : g(]0;+ [)] ; [ Par produit et somme g() + Paul Milan Terminale S

3 La fonction g est continue (car dérivable), monotone (décroissante) et 0 g(]0; + [), d après le théorème des valeurs intermédiaires, il eiste une unique solution sur ]0; + [ à l équation g() 0. or g() 0 donc est l unique solution de g() 0 sur ]0, + [. 4) On a l équation T : y Eercice 3 Suite Partie A ) g ()e et e 0 0. (7,5 points) Comme la fonction eponentielle est strictement croissante surr, g () > 0 si >0. Le fonction g est donc strictement croissante sur [0;+ [ ) g(0)0comme g est croissante sur [0;+ [, donc la fonction g est positive si >0 3) Comme g() 0 si 0, on a e >0. Partie B ) Comme f est strictement croissante sur [0 ; ] : 0 f (0) f () f () or f (0)0 et f () e e donc La fonction f est stable sur [0 ;]. ) a) On a : f () e e 0 f () e e + e e ( )+ e e ( )+( )(+) e e ( ) ( )(+) e ( )(e ) e ( )g() e b) Si ]0; [ on a : >0, g()>0, e >0 Partie C Donc si ]0; [ f () >0. La courbe (C) est donc au dessus de la droite (D). La droite (D) coupe (C) en 0 et car f (0)0 et f (). ) Cf annee Paul Milan 3 Terminale S

4 ) Soit P n : n N, u n u n+. Montrons P n par récurrence : Initialisation : on a u 0 ( ) et u f or f est croissante et stable dans [0, ], donc u 0 u. P 0 est vraie. Hérédité : On suppose que : u n u n+. Comme la fonction f est croissante et stable sur [0; ], on a : ( ) f f (u n ) f (u n+ ) f () u n+ u n+ P n est héréditaire. Par initialisation et hérédité, la proposition P n est vrai pour tout entier naturel n. 3) La suite (u n ) est croissante (u n u n+ ) et majorée par, donc la suite (u n ) est convergente. Comme la fonction f est continue sur [0; ], d après le théorème du point fie, la itelde la suite (u n ) vérifie :l f (l). De plus de la partie B, on sait que l équation f () 0 sur [0 ;] admet comme solution 0 et. Commel, on a l. Eercice 4 Fonction logistique (,5 points) ) On multiplie le numérateur et dénominateur par : e 4. On a alors : ) Limite en+ Par somme et quotient : Limite en f () 3e 4 e 4 e 4+ e 4 e e 0 f () e + Par somme et quotient : f ()0 3) On dérive avec la forme de la question ). ( 3 ) e 4 f 4 () ( +e 4) Comme R, e 4 > 0, on a f ()>0. La fonction f est donc croissante surr 3 +e 4 Par composition + e 4 0 Par composition e 4 + 3e 4 ( +e 4 Les courbes des fonctions logistiques ont la forme d un "s". On obtient la représentation suivante de la fonction f : ) Paul Milan 4 Terminale S

5 O ANNEXE y O u 0 u u u 3 Paul Milan 5 Terminale S

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