produit scalaire Leçon 18 1 rappels et définition 1.1 orthogonalité et colinéarité 1.2 propriétés 1.3 carré scalaire

Transcription

1 Leçon 18 produit salaire Dans tout le hapitre, le plan et l espae sont munis d un repère orthonormal. 1 rappels et définition Si u et v sont deux veteurs non nuls, le produit salaire u v est défini par u v = u v os( u, v Si l un des deux veteurs est nul, u v = 0. onséquene si ( u, v est aigu, u v > 0 et si ( u, v est obtus, u v < orthogonalité et olinéarité u v = 0 u v u = 0 ou u = 0 ou ( u, v = π 2 à π près. Si les veteurs u et v sont olinéaires de même sens, u v = u v Si les veteurs sont olinéaires de sens opposés, u v = u v Dans les deux as : si les veteurs u et v sont olinéaires u v = u v 1.2 propriétés si u, v et w sont trois veteurs et λ un réel, u v = v u u ( v + w = u v + u w u (λ v = λ u v utilisation quand on alule u v, il peut-être utile de déomposer v en v = v 1 + v 2 ave v 1 olinéaire à u et v 2 orthogonal à u Dans e as u v = u( v 1 + v 2 = u v 1 + u v 2 = u v 1 Comme v 1 olinéaire à u, le résultat est ± u v arré salaire La relation u u = u 2 vient du fait que os( u, u = 1 62

2 2. VECTEUR NORMAL À UN PLAN LEÇON 18. PRODUIT SCALAIRE identités remarquables expression du produit salaire on en déduit appliations dans un triangle ( u + v 2 = u u v + v 2 = u + v 2 = u u v + v 2 ( u v 2 = u 2 2 u v + v 2 = u v 2 = u 2 2 u v + v 2 ( u + v ( u v = u 2 v 2 = u 2 v 2 2 u v = u + v 2 u 2 v 2 2 u v = u 2 + v 2 u v 2 Théorème 18.1 (Pythagore. u v ( u + v 2 = u 2 + v 2 Démonstration. u v 2 u v = 0 u + v 2 u 2 v 2 = 0 Théorème dans un triangle ABC, on a C 2 AB AC = AB 2 + AC 2 BC 2 v u v A u B Démonstration. il suffit de poser u = AB et v = AC. On en déduit u v = AB AC = AB + CA = CB. La relation 2 u v = u 2 + v 2 u v 2 donne le résultat. 1.4 oordonnées dans un repère orthonormal dans l espae xy Si u( et v z ( x y alors u v = xx + yy + zz z u = x 2 + y 2 + z 2 et AB = AB = (xb x A 2 + (y B y A 2 + (z B z A 2 dans le plan mêmes formules sans z. 2 veteur normal à un plan 2.1 définition On dit que le veteur u est un veteur normal au plan P si et seulement si u est non nul et u est orthogonal à deux veteurs non olinéaires du plan P. Dans e as u est orthogonal à tout veteur de P. 63

3 2. VECTEUR NORMAL À UN PLAN LEÇON 18. PRODUIT SCALAIRE 2.2 ensemble de points Soit A un point de l espae et u un veteur non nul. L ensemble des points M qui vérifient AM. u = 0 est le plan de veteur normal u qui passe par A. 2.3 équation artésienne d un plan ( ab Théorème Un plan P de veteur normal u admet une équation de la forme ax + by + z + d = 0 Réiproquement, ( si P admet une équation artésienne de la forme ax + by + z + d = 0, alors il admet un ab veteur normal u ab Démonstration. Si P est le plan qui passe par A(x A ; y A ; z A et de veteur normal u( alors tout point M(x, y, z de P vérifie AM u = 0 ave ( x xa AM = y y A e qui donne a(x x A + b(y y A + (z z C = 0 ou z z C enore ax + by + z + d = 0 ave d = ax A by A z A. Réiproquement si A(x A, y A, z A est un point du plan d équation ax + by + z + d = 0, alors ax A + by A + z A + d = 0 et don d = ax A by A z A. Tout point M(x, y, z de P vérifie ax+by+z ax A by A z A = 0 ou enore a(x x A +b(y y A +(z z C = 0 est-à-dire AM u = parallélisme et orthogonalité Si deux plans P et P admettent respetivement pour veteur normal u et u alors si u et u sont olinéaires, P et P sont parallèles ; si u et u sont orthogonaux, P et P sont perpendiulaires. 2.5 projeté orthogonal sur un plan Si M est un point de l espae qui n appartient pas au plan P, alors le projeté orthogonal de M sur P est le K P point K qui vérifie KM P Si M P, alors K = M (M est son propre projeté orthogonal. 2.6 distane d un point à un plan On appelle distane du point M au plan P la distane du point M au point K projeté orthogonal de M sur P. On a d(a, P = AK Théorème Si A(x A, y A, z A et si le plan P a pour équation ax + by + z + d = 0, alors d(a, P = ax A + by A + z A + d a2 + b ( ab Démonstration. D après le le théorème 18.3, P admet pour veteur normal u. Si on appelle K le projeté orthogonal de A sur le plan P, on a AK et u olinéaires. On en déduit, d après 1.1 AK u = AK u ave ( xk x A AK y K y A z K z A 64

4 3. TRIANGLE LEÇON 18. PRODUIT SCALAIRE AK u = a(x K x A + b(y K y A + (z K z A = ax K + by K + z K ax A y A z A = d ax A y A z A ar le point K appartient au plan P = ax A + by A + z A + d Comme d(a, P = AK = AK et omme u = a 2 + b 2 + 2, la onlusion se fait aisément en traduisant AK u = ax A + by A + z A + d par AK a 2 + b = ax A + by A + z A + d 3 triangle 3.1 alul d angle D après 1, on peut aluler un angle ave la formule os( u, v = 3.2 relations dans le triangle u v u v Théorème 18.5 (théorème de la médiane. Si I est le milieu de [AB], on a pour tout point M M MA 2 + MB 2 = 2MI 2 + AB2 2 A I B Démonstration. MA 2 + MB 2 = MA 2 + MB 2 = ( MI + IA 2 + ( MI + IB 2 = MI MI IA + IA 2 + MI MI IB + IB 2 = 2 MI2 + 2MI ( IA + IB + IA 2 + IB 2 = 2MI 2 + AB2 2 ar IA + IB = 0 et IA = IB = AB 2 Théorème 18.6 (théorème de Al-Kashi. ( théorème de pour la onfiguration suivante : C a 2 = b b os(â b Ĉ a A Â ˆB B 65

5 4. ENSEMBLES DE POINTS DANS L ESPACE LEÇON 18. PRODUIT SCALAIRE Démonstration. a 2 = BC 2 = BC 2 = ( BA + AC 2 = ( AC AB 2 = AC 2 + AB 2 2 AB AC = AC 2 + AB 2 2 AB AC os( AB, AC = b b os(â on peut aussi utiliser diretement le théorème ensembles de points dans l espae 4.1 plan médiateur,sphère Soient deux points A et B distints de l espae définition. L ensemble des points M tels que MA = MB est le plan médiateur de [AB] Théorème Le plan médiateur de [AB] ontient le point I, milieu de [AB] et est orthogonal à AB. Démonstration. M est un point du plan médiateur de [AB MA = MB MA 2 = MB 2 MA 2 = MB 2 MA 2 ( MB 2 ( = 0 MA MB MA + MB = 0 BA 2MI = 0 BA MI = 0 M appartient au plan passant par I et orthogonal à BA Théorème L ensemble des points M tels que MA MB = 0 est la sphère de diamètre [AB]. Démonstration. Si on appelle I le milieu de [AB] MA ( ( ( ( MB = 0 MI + IA MI + IB = 0 MI + IA MI IA = 0 MI 2 IA 2 = 0 MI 2 = IA 2 MI = IA M appartient au erle de entre I et de rayon IA M appartient au erle de diamètre [AB] 4.2 équation La sphère de entre A(x A ; y A ; z A et de rayon r a pour équation 4.3 demi-espaes (x x A 2 + (y y A 2 + (z z A 2 = r 2 L ensemble des points M(x, y, z qui vérifient ax + by + z + d 0 est un demi-espae dont la frontière est le plan d équation ax + by + z + d = 0. L autre demi-espae est défini par ax + by + z + d 0. 5 adaptation au plan On se plae dans un plan muni d un repère orthonormal 5.1 distane d un point à une droite dans le plan La distane du point A à la droite D d équation artésienne ax + by + = 0 est égale à d(a, D = ax A + by A + a2 + b

6 6. ORTHOGONALITÉ DANS L ESPACE LEÇON 18. PRODUIT SCALAIRE 5.2 ensemble de points dans le plan L ensemble des points M tels que MA = MB est la médiatrie de [AB] L ensemble des points M tels que MA MB = 0 est le erle de diamètre [AB]. Le erle de entre A(x A ; y A et de rayon r a pour équation (x x A 2 + (y y A 2 = r 2 6 orthogonalité dans l espae 6.1 ave des oordonnées montrer l orthogonalité de deux droites il suffit de donner un veteur direteur de haque droite et de montrer que leur produit salaire est nul. montrer l orthogonalité d une droite et d un plan il suffit de donner un veteur direteur de la droite, un veteur normal au plan et de montrer que leur produit salaire est nul. montrer que deux plans sont perpendiulaires il suffit de donner un veteur normal pour haun des plans et de montrer que leur produit salaire est nul. 6.2 sans oordonnées montrer l orthogonalité de deux droites On peut montrer que deux droites D 1 et D 2 sont orthogonales en montrant que D 1 est inluse dans un plan P 1 orthogonal à D 2. Un as lassique : si les points E et F appartiennent au plan médiateur de [AB], la droite (EF est inluse dans le plan médiateur de [AB], elle est don orthogonale à (AB Un autre as lassique est donné par le point qui suit. montrer l orthogonalité d une droite et d un plan On peut montrer qu une droite D 1 et un plan P sont orthogonaux en montrant que le plan P ontient deux droites non paralléles D 2 et D 3 qui sont haune orthogonale à D 1 montrer que deux plans sont perpendiulaires Si la droite D 1 est orthogonale à P 1, si la droite D 2 est orthogonale à P 2 et si les droites P 1 et P 2 sont orthogonales, alors les plans P 1 et P 2 sont perpendiulaires. 67