Exercices sur les filtres

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1 Exercices sur les filtres S. Benlhajlahsen I. Filtre ADSL On modélise un filtre ADSL (voir figure ) par un filtre C dont la sortie est prise aux bornes de C. Pour les applications numériques, on prendra =. 3 Ω et C =. F. Ce filtre est "chargé" par un téléphone modélisé par une résistance c en parallèle aux bornes de C. 6. Déterminer la nouvelle fonction de transfert. En déduire la nouvelle pulsation de coupure. Ecrire une condition sur, C et c pour que le téléphone ne modifie pas la pulsation de coupure de plus de % en valeur relative. Figure filtre ADSL. Déterminer rapidement le comportement asymptotique de ce filtre pour et +.. Déterminer la fonction de transfert en tension H de ce filtre. 3. Tracer l allure du diagramme de Bode en prenant log() pour grandeur en abscisse. Quel est l intervalle de pulsation correspondant à la bande passante à - 3 db? On notera, dans toute la suite, c la pulsation de coupure. On suppose que la tension d entrée est de la forme : e(t) = e cos ( t) + e cos ( t) 4. Ecrire, formellement, l expression de la tension de sortie s(t) de ce filtre.. Donner une approximation de cette expression dans le cas où c et c. Quelle composante est filtrée? Est-elle "intégrée" ou "dérivée"? II. Obstacle pratique à la réalisation d un filtre très sélectif On considère le quadripôle de la figure. u e C Figure. Prévoir rapidement son comportement. Exprimer la fonction de transfert H, le facteur de qualité du filtre Q, la pulsation propre de l oscillateur et le gain maximal G max.. On souhaite visualiser simultanément à l oscilloscope numérique u s et l intensité i dans le quadripôle. Comment doit-on s y prendre? On désire obtenir un facteur de qualité le plus grand possible, sachant que, théoriquement, il n y a pas de limite à la valeur de Q. On prend L = 4. mh, C =. µf et = MΩ. 3. Calculer Q et commenter.. le charge doit être pris au sens de l équivalent anglais "load", c est-à-dire ce que le système doit porter ou supporter. L u s

2 III. Filtre L d ordre IV. Filtre de Wien On considère le montage de la figure. On posera = L. On considère le montage de la figure 6.. Déterminer la fonction de transfert de ce filtre.. Justifier l allure du diagramme de Bode tracé en figures 3 et 4. On s intéressera notamment aux comportements à basses fréquences, hautes fréquences et pour =. u e C C u s GdB filtrel log(/ ) Figure 3 Figure 6. Justifier que le filtre soit passe-bande en étudiant son comportement asymptotique.. Montrer que la fonction de transfert est de la forme : H(j) = 3 + j ( ) 3. Tracer le diagramme de bode pour le gain. 4. On peut comparer l expression de la fonction de transfert avec celle standard pour un filtre passe-bande d ordre : phase.7.78 filtrel log(/ ) A + jq ( ) Déterminer les valeurs de A et de Q en donnant leur signification. Ce filtre est alimenté par un signal e(t) périodique de fréquence f et de valeur moyenne nulle dont la décomposition en série de fourier s écrit : Figure 4 e(t) = + n= c n cos ( n t + α n ) avec n = n, la pulsation de la n-ième harmonique, = πf la pulsation du fondamental. u e L u s. Comment s écrit, formellement, la tension de sortie s(t)? 6. A quelle condition pourra-t-on isoler l harmonique de rang n? Figure 7. On prend le cas d un signal triangulaire pour lequel :

3 e(t) = 8e [ m π cos ( t) + cos (3 t) + 9 ] cos ( t) +... V. Bobines et résistances Pour les deux montages des figures 7 et 8, déterminer les fonctions de transfert et prévoir qualitativement leur comportement asymptotique. On se place dans le cas où e m =. V, = et on a représenté ci-dessous le signal de sortie pour différentes valeurs de Q. Commenter. u e r L u s..... e(t) s(t) pour Q =.33 Figure temps u e L u s... e(t) s(t) pour Q =. r... Figure 8... temps VI. Lecture de diagramme..... e(t) s(t) pour Q =. On donne le diagramme de bode d un filtre en tension en figure 9 et. On prend E =. V.. Que devient le signal sinusoïdal e(t) = E cos( t) avec = rad s?.... temps. même question avec un signal de pulsation = 8. 3 rad s. 3. même question avec un signal de pulsation 3 =. rad s. 3

4 G db log () O x () () (3) X O ' ϕ Figure 9 log () VII. Figure A propos de sismologie Le principe d un sismomètre est schématisé sur la figure. Un ressort () de masse négligeable, dont la réponse en élongation, linéaire, est caractérisée par une raideur k, est suspendu à un boîtier rigide. Un solide (), de masse m, est accroché à l autre extrémité de ce ressort. Figure sismographe Une partie de ce solide est solidaire d un amortisseur (3) exerçant sur () la force de frottement fluide f = h v, où h est une constante, v = dx dt u x la vitesse de translation de () par rapport au boîtier et u x le vecteur unitaire porté par l axe Ox, vertical, orienté vers le haut, et fixe par rapport au boîtier. L origine O de cet axe correspond au point d attache de () dans sa position d équilibre lorsque le boîtier est immobile sur le sol, ce dernier formant un repère galiléen. On définit aussi un axe O X vertical et fixe dans un référentiel galiléen (celui du sol par exemple). On étudie la variable x(t) lorsque le boîtier reçoit une onde sismique, supposée verticale et produisant un mouvement de boîtier repéré par X(t) : l onde sismique est ainsi caractérisée par X(t) et la réponse du sismomètre est caractérisée par x(t).. Justifier soigneusement l établissement de l équation différentielle liant les variables x(t) et X(t) : d x dt + τ dx dt + x = d X dt où = k est la pulsation propre du sismomètre et, par définition, τ = m la h m constante de temps relative à l amortissement.. On considère une onde sismique sinusoïdale et de pulsation. En régime forcé, la fonction x(t) est sinusoïdale elle aussi, et de même pulsation. Établir l expression de la fonction de transfert mécanique H (j) = x X où g est la grandeur complexe (en exp (jt)) associée au signal sinusoïdal g(t) 4

5 et j =. On suppose désormais que τ = ; montrer que la fonction de transfert mécanique peut s écrire : H (j) = + j 3. Tracer l allure des diagrammes de Bode, en amplitude et en phase, de cette fonction de transfert : d une part log ( H (ju) ), d autre part ϕ = arg (H) en fonction du logarithme décimal de la fréquence réduite u = ; préciser les équations des asymptotes. Quel type d opérateur électronique possède une réponse fréquentielle semblable? Quel est son comportement suivant les deux cas : et? 4. La pulsation propre du sismomètre étant = rad s, cet appareil détecte une onde sismique sous la forme de la fonction périodique x(t) reproduite en figure ; l amplitude est en unité arbitraire. L application d un algorithme de transformée de Fourier à x(t) fournit les spectres de pulsations significatives, en amplitude et en phase, tracés en figures 3 et 4. À partir de cette figure, exprimer le développement en série de Fourier de x(t), sous forme d une somme finie de cosinus : Le résultat sera présenté en complétant le tableau. Pensez-vous que ce résultat puisse représenter une onde sismique réelle? Figure 3 Amplitude (unité arbitraire) du signal représenté à la figure Figure 4 Phase du signal représenté à la figure x(t) = c + n c n cos (n t + α n ) 6. Tracer l allure de X(t) sur une période. 7. Comment devrait-on modifier les caractéristiques du sismomètre afin que l enregistrement de x(t) permette de déduire directement X(t)? 8. En considérant ce que serait l allure du diagramme de Bode en amplitude de la fonction de transfert pour τ >, expliquer pourquoi ce choix ( τ > ) doit être évité. Figure Signal associé à une onde sismique. En utilisant la fonction de transfert H (j), déduire le développement en série de Fourier de l excitation sous la forme : X(t) = c + n c n cos (n t + α n) VIII. Etude d un watt-mètre électronique On se propose d étudier le fonctionnement d un wattmètre électronique comprenant : un capteur de tension ; un capteur de courant ; un multiplieur ; un filtre passe-bas.

6 ( ) n c n α n H arg H ( 4 π ) 7 arctan 3 7 3π π 3 c n α n 4 7 arctan ( 7 ) 3 π 3π + π Table partiel ; à compléter sur votre copie, pour les autres valeurs de n A. Puissance active On considère un dipôle d impédance complexe Z = + jx alimenté par une tension sinusoïdale v(t) = v m cos (t) (voir figure ). v t i t Capteur de tension v a t Capteur de courant v b t v t Multiplieur Figure 6 Moyenneur v t i t v t Figure Z Le capteur de tension fournit une tension image de v(t) : v a (t) = k a v(t). Le capteur de courant fournit une tension image de i(t) : v b (t) = k b i(t). Le multiplieur est un circuit électronique qui produit la tension v = K v a (t) v b (t). Le moyenneur (étudié à la question 3) permet d obtenir une tension "lissée", telle que : v = v. On exprime le courant i(t) de la façon suivante : i(t) = i m cos (t ϕ).. Donner les expressions de l amplitude i m de l intensité et du déphasage ϕ en fonction de v m, et X. Quel est le signe de ϕ lorsque le dipôle est inductif?. Calculer la valeur moyenne de la puissance instantanée reçue par le dipôle, en fonction de v m, i m et ϕ. 3. On prend = Ω, X = Ω et une amplitude de v m = 3 volts, calculer les valeurs numériques de i m, ϕ et P. B. Principe du wattmètre électronique Pour mesurer la puissance moyenne P absorbée par la charge, on utilise un wattmètre réalisé selon le schéma fonctionnel de la figure 6.. Établir l expression de la valeur moyenne v de v (t) et montrer que v est proportionnelle à P : v = k W P. Explicitez la constante k W.. On a mesuré une tension v =, V à la sortie du wattmètre. Sachant que k a =,, k b = mv A et K = V, en déduire la valeur de la puissance moyenne P mesurée par le wattmètre. C. Étude du moyenneur (filtre passe-bas) Pour obtenir la valeur moyenne du signal v (t), on utilise un filtre passe-bas. Le filtre passe-bas est réalisé à l aide d un amplificateur opérationnel que l on supposera idéal. Le schéma correspond à une structure dite "de auch" (voir figure 7). La fonction de transfert de ce filtre vérifie : V V = + 3jC C C 6

7 v t C A B Figure 7 C - + v t. On cherche à mettre H sous la forme canonique : H + jm Déterminer H. Donner deux relations entre, m et les éléments du circuit.. On souhaite obtenir une fréquence propre f = = Hz et un coefficient d amortissement m =. On choisit = 47 kω. π Calculer les valeurs des capacités C et C. 3. Pour les valeurs numériques précédentes, tracer le diagramme de Bode asymptotique (gain et phase) ainsi que l allure de la courbe réelle. 4. On applique à l entrée du filtre passe-bas le signal de sortie du multiplieur v (t). À l entrée du wattmètre, on a pour la tension et l intensité : v(t) = v m cos (t) et i(t) = i m cos (t ϕ) avec v m = 3 V, = π rad s, i m = A et ϕ = rad. Montrer que la tension de sortie du filtre passe-bas est l opposée, en régime forcé, de la valeur moyenne de v (t) à laquelle se superpose une composante alternative. Déterminer l amplitude a m de cette composante alternative et calculer sa valeur numérique. IX. Extraits d oraux Centrale-Supélec 6 Obtention d un courant continu On souhaite alimenter une résistance de. Ω de telle sorte que le courant qui la traverse ait une valeur moyenne de. A. Pour l alimenter, on ne dispose que d un générateur de signal carré, de fréquence khz, de valeur moyenne E et d amplitude E = V. L objectif est de déterminer le filtre linéaire à interposer entre le générateur et la résistance de manière à alimenter correctement la résistance. On précise que si le courant délivré à la résistance n est pas continu, on souhaite que l écart à la valeur moyenne ("l ondulation en courant") ne dépasse pas. A. Déterminer la nature ainsi que les caractéristiques du filtre à utiliser.on proposera successivement : un filtre d ordre et un filtre d ordre. Proposer, dans les deux cas, un montage électrique et des valeurs numériques des composants accessibles en TP. Annexe : Décomposition en série de Fourier d un signal carré : x carre (t) = 4E π x carre (t) T p= p= T sin (p + ) t p + Figure 8 t 7

8 éponses I. Pour, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert. Pour, il se comporte comme un interrupteur fermé. On en déduit que ce filtre sera passebas.. On trouve rapidement : + jc 3. Le diagramme de Bode pour le gain ressemble à ceci : GdB filtre ADSL log() et pour la phase : ϕ filtre ADSL log() On montre rapidement que la pulsation de coupure vaut c =. La bande passante C correspond alors à l intervalle [; c ]. 4. Ce filtre est linéaire donc "la réponse à une somme correspond à la somme des réponses". Ainsi, la sortie s écrit : s(t) = H ( ) e cos ( t + arg (H ( ))) + H ( ) e cos ( t + arg (H ( ))). Dans ce cas, H ( ) et H ( ). La deuxième composante est filtrée. Pour cette composante, c = C, puis H jc ce qui, d un point de vue temporel, correspond à une dérivation du signal e (t) 6. La nouvelle fonction de transfert s écrit : H = = = + c +j cc c +j cc c + c + j c C c + c j cc + c On retrouve une forme semblable à la précédente. Cependant, le gain statique (qui est le gain maximal) passe de à c + c et la pulsation de coupure passe de c = C à c = + c c C Si on souhaite que la modification de la pulsation de coupure n excède pas %, alors il faut que : c c. c cela donne directement un critère sur c. II. Une analyse rapide des comportements à basses et hautes fréquences montre que le filtre est passe-bande. En régime sinusoïdal forcé, la fonction de transfert s écrit : + jc + jl Si on la compare à la forme canonique d un passe-bande d ordre, on obtient G max =, res = = LC et Q = L. C 8

9 . on doit mesurer u s et la tension aux bornes de la résistance. La présence des masses électriques imposent l utilisation d une sonde de tension ou d un transformateur d isolement. 3. Q =. Cela correspond à un filtre très sélectif. La bande passante en pulsation de celui-ci est = /Q = /. III GdB 3 filtrebode. La fonction de transfert de ce filtre peut s écrire : jl + jl = j + j Le gain du filtre est alors et G = L + L = / + / ϕ = π ( ) L arctan. Aux hautes fréquences,, H puis G db = et ϕ =. Aux basses fréquences,,, H j puis G db = log ( ) et ϕ + π. IV. Le gain tend vers lorsque et. Celui-ci est maximal pour =.. Le diagramme de Bode pour le gain est représenté ci-dessous. On verifiera bien que la pente des droites asymptotiques est en ± db/décade. 3. C est un filtre de facteur de qualité Q = /3 de gain maximal A = G max = /3 soit G db,max 9,4 db. Les fréquences de 3+ coupures sont = et = pour lesquels G db = G db,max 3 db. Cela correspond bien à une bande passante : = = Q 3 4 log(/ ) V cas de la figure 7. La fonction de transfert en SF s écrit : jrl r + j(r + )L Pour les comportements asymptotiques, on se base sur le pont diviseur de courant : le courant passe préférentiellement par la branche qui présente la plus faible impédance électrique.. aux basses fréquences (L r ou ), on peut négliger la résistance r et jl puis lim Ce résultat revient à considérer la bobine équivalente à un fil.. aux hautes fréquences (L r ou ), on peut négliger la bobine et puis lim r r + r r + Ce résultat revient à considérer la bobine équivalente à un interrupteur ouvert. Le diagramme de Bode suivant a été tracé pour r = = Ω et L = H. 9

10 G db log () ϕ 9 4 log () cas de la figure 8 La fonction de transfert en SF s écrit : r + jl r + + jl Pour les comportements asymptotiques, on se base sur le pont diviseur de tension : la tension est maximale (dans son amplitude) sur l impédance électrique la plus élevée.. aux basses fréquences (L r ou ), on peut négliger la résistance r et puis lim r r + r r + Ce résultat revient à considérer la bobine équivalente à un fil.. aux hautes fréquences (L r ou ), on peut négliger la bobine et puis lim Ce résultat revient à considérer la bobine équivalente à un interrupteur ouvert. Le diagramme de Bode suivant a été tracé pour r = = Ω et L = H. G db log () ϕ 9 4 log () Ce dernier filtre est passe-haut mais élimine mal les basses fréquences. VI. G db ( ). db, G( ). et ϕ( ) donc le signal en sortie est : s(t) = G( ) E cos ( t + ϕ( )) E cos ( t). G db ( ) db, G( ).9 et ϕ( ) 8.4 rad donc le signal en sortie est : s(t) = G( ) E cos ( t + ϕ( )).9 E cos ( t.4) 3. G db ( 3 ) 49 db, G( 3 ) et ϕ( 3 ) 63 =.8 rad donc le signal en sortie est : s(t) = G( 3 ) E cos ( 3 t + ϕ( 3 )).34 E cos ( 3 t.8)

11 VII. Ici, il est nécéssaire de se placer dans le référentiel qui est galiléen alors que est non galiéen. De plus, a (M/) = a (M/ ) + a (O/ ) = ( ẍ + Ẍ) u X.. En se plaçant en régime sinusoïdal et en notation complexe, l équation du mouvement devient : x ( Cela donne : + j τ H = + ) + j τ = + X La condition τ = donne très vite la forme voulue. 3. Le diagramme de Bode en gain est donné ci-dessous. Cela donne en notation réelle : X n = c n cos (n t + α n) c n = H (n ) cos (n t + α n ϕ (n )) avec =. Pour la décomposition du signal X(t), on = et et ) α n = α n arg ( ( )) H n c 6,4, c,48, c 3,7 et c,. peut remplir le tableau avec c pour n {,,3,}, c c n = n H (n 6. Le signal est quasi-sinusoidal de pulsation = /. VIII A. Puissance active La valeur moyenne de la puissance reçue vérifie : GdB 3 3 sismographe 4 log(/ ) C est un filtrage de type-passe haut. 4. Seules les harmoniques de rang,, 3 et sont présentes dans la décomposition du signal x(t).. Chaque harmonique x n du signal x(t) vérifie : x n = c n cos (n t + α n ) Chaque harmonique X n du signal X(t) vérifie X n = en notation complexe. x n H (n ) P = V mi m cos (ϕ) B. Principe du wattmètre électronique. k w = Kk a k b.. P = 3,7 kw. C. Etude du moyenneur. m = 3 C C et = C C.. C = 3 nf et C =,4 nf. 4. L amplitude de la composante alternative a la valeur a m 3, V. IX Il s agit d un sujet relativement simple mais très ouvert, on pourra aider le candidat en lui posant quelques questions : représenter le chronogramme du signal d entrée, écrire la décomposition en série de Fourier du signal d entrée, faire le schéma du montage à réaliser, le filtre à utiliser doit-il être actif ou passif?

12 E E e(t) signal d entrée : t T T Chronogramme E k 3... Spectre H = I E = le filtre est un filtre passif L ondulation du signal de sortie est essentiellement due au fondamental et elle ne doit pas dépasser I ond =. A. On doit donc avoir : e(t) e(t) = E + E π Figure 9 p= Montage à réaliser : Filtre Figure p + sin (p + ) t i(t) s(t) Nature du filtre : Sachant que le signal d entrée comprend une composante continue ( ) E et une partie variable, on sait que le filtre à utiliser doit être un filtre passe-bas de pulsation de coupure c très inférieure à la pulsation du fondamental : toutes les pulsations composant le signal d entrée sont alors en dehors de la bande passante du filtre. Composante continue G db Spectre du signal d entrée I (j ) = S (j ) = H (j ) E (j ) = E H (j ) π I ond Choix du filtre : Filtre passe-bas du premier ordre : H (j) =, on doit donc avoir : +j c c et H (j ) = + ( ) c πi ond E =.78 c.78 f c 79 Hz Filtre passe-bas du second ordre : H (j) = + j + ( j Q On choisit Q = de façon à éviter la résonance et à avoir une atténuation à 4 db decade le plus rapidement possible après la bande passante. Notons que l on a alors c =. On doit donc avoir : c ) c Bande passante du filtre Figure log H (j ) = = ( ( ) ) ( ) c + Q c + ( ) 4 c En notant H l amplification à bassefréquence, on doit avoir la relation : I = S = H E D où : πi ond E =.78

13 c.886 f c 886 Hz Proposition de montage Filtre C série : f c = 79 Hz. π C En prenant par exemple = kω et C = nf, on obtient f c = 64 Hz. Filtre LC série : f c = π LC 886 Hz. En prenant L = 36 mh et C = µf, on obtient f c 84 Hz. Et, sachant que Q = = L, on obtient 7 Ω. C 3

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