TEST DE RACINE UNITE ET ANALYSE DES RUPTURES Tendance stochastique, Correction [non] paramétrique et Stratégies de détection

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1 Société congolaise d économétrie Mai 2014 Papier SCE 3 Jean Paul K. Tsasa Vangu Chercheur au Lareq Web: Mail: jeanpaultsasa@lareq.com TEST DE RACINE UNITE ET ANALYSE DES RUPTURES Tendance stochastique, Correction [non] paramétrique et Stratégies de détection Résumé Dans ce papier nous nous proposons tout d abord, de présenter analytiquement le test de racine unité tel que suggéré par Dickey et Fuller (1979). Ensuite, nous procédons aux corrections paramétrique et non paramétrique de ce test, et discutons de leur efficacité en situation asymptotique et à distance finie. In fine, se référant à Stock et Watson (1996), nous analysons les résultats théoriques d après lesquels, la non prise en compte de la présence de ruptures dans la fonction de régression implique une inférence statistique et une prévision erronées. A l effet d illustrer chaque concept, nous nous sommes servi notamment des chroniques du taux de change, du taux directeur de la banque centrale du Congo et de l indice des prix à la consommation de l IRES [fréquence mensuelle] ; de l indice national des prix à la consommation de l INS [fréquence hebdomadaire] ; et enfin du PIB réel de la RDC [fréquence trimestrielle]. Mots clé : Tendance stochastique, racine unité, rupture Préambule Une lecture préalable de ce papier et des papiers précédents (cf. Papier SCE 1 ; Papier SCE 2) est recommandée afin de mieux comprendre ce que l on fera par la suite tout au long de cette série. En effet, dans les papiers qui suivront : Papier 1 : Initiation aux mathématiques des séries temporelles Papier 2 : Nous analyserons la dynamique des chroniques [fonction d autocovariance,

2 fonction d autocorrélation et fonction d autocorrélation partielle] ; nous fournirons la preuve du théorème de Donsker en recourant notamment à la notion de mouvement brownien standard [processus de Wiener] et enfin, nous dériverons la loi asymptotique du test de racine unité tel que suggéré par Dickey et Fuller en nous basant sur les corollaires du théorème de Donsker. Papier 3 : Nous présentons les fondamentaux des tests de racine unitaire et illustrons les corrections paramétriques et non paramétriques de test de racine unité DF. Papier 4 : Nous introduirons analytiquement et illustrerons sur machine, la stratégie de Campbell-Perron dans le processus de stationnarisation des séries temporelles, afin de corriger le biais causé par le choix automatique du paramètre de troncature par les logiciels tels que Eviews, stata ou autres. Papier 5 : Nous prouverons de façon parcimonieuse, deux théorèmes : [1] le théorème de décomposition de Wold, en nous basant sur le concept d espace de Hilbert ; [2] le théorème de représentation de Granger-Engle. Nous montrerons que toute étude sur la modélisation VAR et sur la cointégration repose implicitement sur ces deux théorèmes respectifs. Papier 6 : En considérant les résultats des papiers précédents, nous proposerons une introduction analytique, avec illustration sur logiciel aux : (i) (ii) (iii) (iv) modèles AR et MA à changement de régimes markoviens modèles VAR, VAR cointégré, VARMA et VEC modèles VAR structurels bayésiens modèles VAR structurel bayésien à changement de régimes markoviens, suivant la stratégie de Sims, Waggoner et Zha. Il sied de noter que l objectif de ces différentes présentations est de fournir un cadre d analyse techniquement prescriptif, et donc nous ne visons pas l exhaustivité au sens strict. In fine, nous vous serons reconnaissant pour toute suggestion, remarque ou critique pouvant contribuer à l amélioration du cadre d analyse en cause. Jean Paul K. Tsasa Vangu 82 Test de racine unité et Analyse des ruptures Jean Paul K. Tsasa

3 Test de racine unité et Analyse des ruptures 83 I. Introduction Dans une analyse économétrique, lorsque l hypothèse de stationnarité n est plus vérifiée, les procédures habituelles des tests d hypothèses, d inférence statistique et de prévision ne sont plus fiables. La violation de l hypothèse en cause peut résulter soit de l existence d une tendance (déterministe ou stochastique), soit de la présence d une rupture dans l évolution de la chronique d intérêt. Ainsi, dans la construction de tout modèle, il est important non seulement d évaluer l éventuelle violation de cette hypothèse, mais aussi et surtout de caractériser la vraie cause de ladite violation. Ainsi, dans la section deuxième, nous introduisons la notion de tendance et rappelons celle de marche aléatoire. Dans la section troisième, nous nous concentrons sur les problèmes causés par les tendances stochastiques dans le traitement des séries temporelles, et sur quelques stratégies permettant de les éviter. Dans la section quatrième, nous présentons la procédure de détection des tendances stochastiques. Et enfin, dans la section cinquième, nous abordons les problèmes que peut poser la rupture de tendance dans la fonction de régression. II. Tendances Les économistes définissent généralement une tendance comme une dynamique ou un mouvement de long terme persistant associé à une chronique 1. Ainsi, une chronique ayant une tendance, fluctue autour de celle ci. 1,000 Taux de change fin période USD/CDF (2001: :12) [En fréquence mensuelle] Jan 2002 Jan 2004 Jan 2006 Jan 2008 Jan 2010 Jan 2012 Graphique 1 La littérature distingue deux types de tendances : déterministe et stochastique. En effet, une chronique est affectée d une tendance déterministe lorsque cette dernière peut être 1 On parle de chronique, série chronologique, série temporelle ou variable de série temporelle.

4 mathématiquement exprimée, e.g. comme une fonction linéaire du temps. Ainsi, si augmente de à chaque période, par exemple chaque trimestre, alors la tendance déterministe s écrira où dans ce cas, est mesuré en trimestre. Toutefois, il sied de noter qu une tendance déterministe n est pas forcément linéaire. Elle peut être quadratique i.e. non linéaire, ou encore linéaire mais avec des points de ruptures i.e. avec deux pentes différentes sur deux périodes d observations. En parallèle, une tendance stochastique est aléatoire et temporellement variante. Dans le métier, depuis les travaux de Nelson et Plosser (1982), la plupart de modélisateurs estiment que les séries macroéconomiques admettent des tendances stochastiques plutôt que déterministes, étant donné qu il est difficile de concilier la prédictibilité ou la prévisibilité induite par une tendance déterministe avec la réalité traduite par les différentes chroniques, i.e. les effets de surprises, les chocs, etc. Par exemple, entre 2002 et 2009, on constate que le taux de change affiche une tendance haussière, alors qu entre 2009 et 2013 cette tendance semble se neutraliser. Par ailleurs, on ne peut prévoir de façon déterministe que la stabilité observée dans la dynamique taux de change entre 2009 et 2013 demeurera pareille jusqu en 2015 ou De même, en 2008, les modélisateurs ne pouvaient pas prédire de façon déterministe que le taux de change serait stable entre 2009 et Taux d'intérêt directeur de la Banque Centrale du Congo (2001: :12) [En fréquenc e mensuelle] Jan 2002 Jan 2004 Jan 2006 Jan 2008 Jan 2010 Jan 2012 Graphique 2 84 Test de racine unité et Analyse des ruptures Jean Paul K. Tsasa

5 Test de racine unité et Analyse des ruptures 85 Il en est de même pour le taux d intérêt directeur. Ainsi, la suite de notre analyse portera essentiellement sur la tendance stochastique, et plus spécifiquement sur sa modélisation comme un processus marche aléatoire. En effet, une chronique identiquement distribuée, i.e. : est une marche aléatoire si sa variation est indépendante et où est tel que : avec Le paramètre est la dérive de la marche aléatoire. Pour des chroniques qui croissent, le paramètre prend une valeur positive. Pour généraliser l analyse, considérons un processus tel que : Par récurrence, on obtient en : où est un bruit blanc Espérance mathématique : Variance : Autocovariance : Avec : En vertu de la relation (3), on établit :

6 Par l indépendance de : Ainsi, suivant les différentes valeurs prises par i.e. ; ; et on a que respectivement, la chronique stationnaire et non stationnaire. sera stationnaire, asymptotiquement stationnaire, non En effet, lorsque suit une marche aléatoire, telle qu exprimée dans (1), i.e. avec alors sa variance augmente et vaut et donc sa distribution varie temporellement. Puisque la variance d une variable suivant une marche aléatoire augmente sans limite (variance non bornée), il vient que ses autocorrélations théoriques, au niveau de l univers (population), ne sont pas définies, et ses autocorrélations empiriques tendent à être proches de l unité. III. Tendance stochastique et Estimateur des MCO En exécutant une estimation, lorsque une variable dépendante admet une tendance stochastique, alors l estimateur des MCO de son coefficient de régression et la statistique qui en résulte peuvent ne pas suivre une distribution normale (gaussienne), même en situation asymptotique. Généralement, l existence d une tendance dans pareil cas, cause trois problèmes en analyse des Séries temporelles : les paramètres autorégressifs sont biaisés vers zéro ; la statistique correspondant au coefficient d un régresseur admettant une racine unitaire, i.e. peut avoir une distribution non gaussienne ; la régression fallacieuse. Le meilleur moyen de traiter la tendance stochastique d une chronique est de la transformer en série stationnaire. Ainsi, lorsqu une chronique comporte une tendance stochastique alors généralement, sa différence n en aura pas. La transformation consiste donc à appliquer fois le filtre aux différences. Le nombre entier désigne l ordre d intégration. Ainsi obtient on la série stationnaire en différence : où est l opérateur de retard tel que Avec le développement de la technologie informatique, les logiciels économétriques disposent des outils permettant de tester la stationnarité et de préciser la méthode de stationnarisation à mettre en œuvre. Ces outils se fondent sur les méthodes développées par les économétriciens à la suite de travaux pionniers de Dickey et Fuller (1979, 1981). 86 Test de racine unité et Analyse des ruptures Jean Paul K. Tsasa

7 Test de racine unité et Analyse des ruptures 87 On distingue, notamment : Pour le cas où l hypothèse nulle est la stationnarité : le test de Kwiatkowski Phillips Schmidt Shin (1992), le test de Leybourne McCabe (1994), etc. Pour le cas où l hypothèse nulle est la non stationnarité : le test de Dickey Fuller (1979), le test augmenté de Dickey Fuller (1984), le test de Phillips Perron (1988), le test de Dickey Fuller Elliott Rothenberg Stock (1996) ou test DF-GLS, etc..2 Taux de c hange fin période USD/CDF (2001: :12) en différenc e première [En fréquenc e mensuelle] Jan 2002 Jan 2004 Jan 2006 Jan 2008 Jan 2010 Jan 2012 Graphique 3 Il y a également lieu de classifier ces différents tests par type de tendances considérées (linéaire ou non linéaire). IV. Détection et correction IV.1. Détection d une tendance stochastique On peut s intéresser à évaluer l hypothèse nulle d après laquelle, la dynamique de l indice national des prix des prix à la consommation de l Institut National de la Statistique comporterait une tendance stochastique, contre l hypothèse alternative de stationnarité.

8 -2.0 Evolution de l'indic e national des prix à la c onsommation de l'institut National de Statistique (2011: :04 ; en logarithme) [En fréquenc e hebdomadaire] Jan Apr Jul Oct Jan Apr Jul Oct Jan Apr Graphique 4 Généralement, la littérature économique distingue deux méthodes (informelle et formelle) pour détecter les tendances stochastiques dans les séries macroéconomiques. En effet, les méthodes informelles impliquent une analyse approfondie des graphiques des chroniques, corrélogrammes ou des paramètres des autocorrélations et des autocorrélations partielles. Par exemple, pour les grands échantillons, les coefficients d autocorrélation sont proche de l unité si la chronique admet une tendance stochastique. Ainsi, une analyse comparative de coefficients d autocorrélation e.g. faible, et d un graphique, e.g. suggérant que la chronique ne comporte pas une tendance stochastique, permet de suspecter que la chronique n admet pas une tendance stochastique. Cependant, si le doute persiste, il serait donc recommandé de recourir à des procédures statistiques formelles à l effet d évaluer l hypothèse nulle de la présence d une tendance stochastique dans la chronique, contre l hypothèse alternative de son absence (stationnarité). Le premier test formel de détection d une tendance stochastique a été proposé par Dickey et Fuller (1979). Bien que les travaux de simulation aient révélé que la puissance de ce test est très faible, dans la pratique, leur stratégie est toujours très utilisée. En effet, la procédure du test DF consiste à estimer par les moindres carrés ordinaires, trois modèles autorégressifs du premier ordre dont les erreurs sont de moyenne nulle et de variance 88 Test de racine unité et Analyse des ruptures Jean Paul K. Tsasa

9 Test de racine unité et Analyse des ruptures 89 Modèle 1a [sans dérive, ni trend] : Modèle 2a [avec dérive, sans trend] : Modèle 3a [avec dérive et trend] : Par la suite, la stratégie consiste à tester l hypothèse nulle de la présence d une tendance stochastique dans la chronique : contre l hypothèse alternative de son absence : Dès lors, tester l hypothèse nulle de la présence d une tendance stochastique dans la chronique revient simplement à évaluer si le coefficient d intérêt est tel que : Pour exécuter ce test, on calcule la statistique Cependant, comme nous l avons illustré précédemment, cette statistique ne suit plus sous l hypothèse nulle, une loi de Student usuelle, même asymptotiquement. Elle suit une distribution dont les valeurs ont été tabulées par Fuller (1976), cf. tableau 1. Tableau 1 Table des valeurs critiques du test de Dickey Fuller pour N 1% 5% 10% Modèle Modèle Modèle Pour la mise en vise en œuvre effective de la procédure de Dickey et Fuller (1979), les trois modèles précédemment mis en évidence doivent, après un réaménagement mathématique simple, être estimés suivant une stratégie séquentielle descendante en partant du modèle 3b.

10 Modèle 3b [avec dérive et trend] : Modèle 2b [avec dérive, sans trend] : Modèle 1b [sans dérive, ni trend] : Où Tableau 2 Table des valeurs critiques de la constante et de la tendance, test de Dickey Fuller N Modèle 2 Modèle 3 Modèle 3 Dérive Dérive Tendance 1% 5% 10% 1% 5% 10% 1% 5% 10% Ainsi, la statistique testant l hypothèse contre l alternative dans les modèles 1b, 2b et 3b, est appelé statistique de Dickey Fuller. Cette dernière est calculée à partir des écarts-types homoscédastiques, non robustes à l hétéroscédasticité. En effet, théoriquement il est établi que les écarts-types non robustes à l hétéroscédasticité produisent une statistique qui est robuste à l hétéroscédasticité. Malgré sa popularité et surtout sa simplicité d usage, il sied de noter que le test de Dickey Fuller (1979) comporte quelques faiblesses. Tout d abord, le modèle autorégressif d ordre 1 ne permet pas de décrire toutes les autocorrélations sérielles de Il vient donc qu un processus autorégressif d ordre supérieur peut s avérer plus approprié. Par ailleurs, la procédure de Dickey Fuller (1979) fixe a priori, que le processus est un bruit blanc. Cette hypothèse écarte ainsi la possibilité de modéliser les erreurs pouvant être générées par des processus plus complexes, tels que par moyenne mobile ou autorégressif moyenne mobile Et surtout qu en réalité, les erreurs peuvent être autocorrélées et hétéroscédastiques. A l effet de combler ces failles, on peut notamment recourir soit à une correction paramétrique, e.g. avec le test de Dickey Fuller augmenté (1981), soit à une correction non paramétrique ou semi paramétrique, e.g. avec le test de Phillips Perron (1988). IV.2. Correction paramétrique L extension du test de Dickey Fuller simple au cas où l erreur suit un processus a été suggérée par Dickey et Fuller (1981), puis au cas où l erreur est un par Saïd et Dickey (1984, 1985). Toutefois, dans le fond, la stratégie proposée par Dickey et Fuller (1981) reste généralement identique à celle du test de Dickey Fuller (1979) et aussi, à celle d autres 90 Test de racine unité et Analyse des ruptures Jean Paul K. Tsasa

11 Test de racine unité et Analyse des ruptures 91 tests comme celui de Phillips Perron (1989), i.e. on exécute la même procédure séquentielle descendante partant du modèle 3. Et par ailleurs, les statistiques de test pour Dickey Fuller (1979) et Dickey Fuller (1981) sont également les mêmes. Cependant, il sied de noter que l application du test Dickey et Fuller (1981), appelé aussi test ADF, nécessite au préalable le choix du paramètre de troncature à introduire à l effet de blanchir les résidus et d appliquer par la suite, le test DF. Nous reviendrons sur ce point dans le prochain papier. Considérons un processus marche aléatoire avec erreurs autocorrélées tel que : avec : où est un bruit blanc faible. Ainsi, on a que : où est un opérateur de retard. Après manipulation mathématique simple, on trouve : Il ressort que, contrairement au modèle autorégressif d ordre 1 avec erreurs autocorrélées d ordre tel qu exprimé dans le modèle suit un processus autorégressif d ordre p, avec un terme d erreur qui est bruit blanc faible. Ainsi, en passant de à le processus suivi par la chronique a été blanchi. Présentons à présent, la forme générale du test ADF. Pour ce faire, considérons tout d abord, un processus autorégressif d ordre 2 tel que : où est un bruit blanc faible. Après réaménagement, on a que : Pour un processus autorégressif d ordre 3, il suit que :

12 et donc :... Par conséquent, pour un processus autorégressif d ordre : ainsi : tel que par identification des coefficients, en référence à la relation on a que : d où : Par identification, on a que : dès lors, la relation peut s écrire comme suit : Comme pour le cas du test DF, évaluer l hypothèse nulle de présence d une tendance stochastique contre l hypothèse alternative de stationnarité dans le cas d un test ADF, consistera à tester la nullité du paramètre associé à En comparant il y a lieu de voir qu il 92 Test de racine unité et Analyse des ruptures Jean Paul K. Tsasa

13 Test de racine unité et Analyse des ruptures 93 s agit de l ajout des variables en différence qui a permis de blanchir le résidu, ce qui autorise naturellement l exécution du test DF non sur mais plutôt sur C est l essence du test ADF. Par ailleurs, il sied de rappeler que dans ce cadre, un bon choix du paramètre de troncature s avèrerait très important à l effet d assurer l efficacité du test ADF. Pour la mise en vise en œuvre effective de la procédure de Dickey et Fuller (1981), les trois modèles ci-après doivent être estimés suivant une stratégie séquentielle descendante partant du modèle 3c. Modèle 3c [avec dérive et trend] : Modèle 2c [avec dérive, sans trend] : Modèle 1c [sans dérive, ni trend] : avec H0 : et H1 : Et l exécution du calcul de la statistique DF aux modèles {3c, 2c, 1c} permet d obtenir la statistique de Dickey-Fuller augmentée (ADF). IV.3. Correction non paramétrique En parallèle, plutôt que de procéder à une correction paramétrique du test DF comme dans Dickey et Fuller (1981), i.e. en prenant en compte l éventuelle autocorrélation des erreurs, Phillips et Perron (1989) suggèrent plutôt une correction non paramétrique au test DF afin de résoudre le problème de l hétéroscédasticité des erreurs, sans avoir à ajouter des variables endogènes en différences retardées comme dans le test ADF. Considérons un processus tel que : avec Après réaménagement, il vient que : où est un bruit blanc faible.

14 De ce fait, il suit que si le terme d erreur est un processus et non plus un processus comme précédemment, alors le processus ne serait plus un bruit blanc. Dès lors, on peut réécrire la relation (10b) comme suit, afin de calculer la statistique de Phillips-Perron. En effet, la statistique de test proposée par Phillips et Perron (1989), est une statistique corrigée de la présence d autocorrélation par la prise en compte d une estimation de la variance de long terme du terme d erreur, robuste à la présence d autocorrélation et d hétéroscédasticité, et calculée à partir de sa densité spectrale, à la fréquence zéro. La procédure du test de Phillips-Perron est basée sur l estimation de trois modèles autorégressifs suivant, comme dans le cas du test DF : Modèle 3d [avec dérive et trend] : Modèle 2d [avec dérive, sans trend] : Modèle 1d [sans dérive, ni trend] : Cependant, la stratégie de Phillips et Perron (1988) consiste à adjoindre à la statistique du coefficient autorégressif, un facteur de correction afin d éliminer le paramètre de nuisance associé à l existence de corrélations dans la composante stochastique du processus générateur des données paramètre qui exercerait naturellement un effet perturbateur sur les résultats en cas d application du test DF. Ainsi, au regard du modèle (10c), on a l expression suivante pour la statistique : où : mesure la variance des résidus ; est un estimateur convergent tel que : et enfin : 94 Test de racine unité et Analyse des ruptures Jean Paul K. Tsasa

15 Test de racine unité et Analyse des ruptures 95 En se servant du théorème de Donsker et de ses corollaires, mis en évidence dans le papier précédent, la loi de est telle que : où on a que : est un mouvement brownien sur [0, 1]. Pour le terme de correction non paramétrique, d où : avec : Dès lors, on peut facilement montrer que la loi asymptotique de la statistique correction non paramétrique associée à est telle que : pour la Ainsi, pour i.e. lorsque le terme d erreur est un bruit blanc, on retrouve la statistique habituelle, évaluée à l aide de la table de Fuller (1976). Par ailleurs, il convient de noter que par la suite, plusieurs travaux recourant à des simulations ont montré que les tests ADF et PP étaient peu puissants. Ainsi, des tentatives d amélioration des résultats établis pour les deux tests, ont été proposées au passage du temps. Tableau 3 Principales limites des tests ADF et PP Test de racine unité Faiblesse majeure Test alternative Dickey-Fuller [1981, ADF] Le test ADF a généralement une meilleure performance à distance finie Elliot-Rothenberg-Stock [1996, DF-GLS] Phillips -Perron [1988, PP] Le test PP accuse un problème de niveau important lorsque le terme d erreur comporte une composante MA avec une racine importante Perron et Ng [1996] Perron [2001]

16 V. Tests de détection Rupture V.1. Rupture La lecture du graphique ci-dessous de l évolution du PIB de la RDC de 1959 à 2013 révèle que l allure du PIB avait distinctement changé entre 1989 et 2013, avec 2001 comme point critique. Une étude plus approfondie peut s atteler à l évaluation de la contribution de différents facteurs concurrents et arguments à la survenance de cette rupture ou de ce changement, e.g. changements de politiques ou de structures économiques, chocs de sécurité, choc, etc PIB réel de la RDC en logarithme (1959: :04) [En fréquence trimestrielle] Q1 1970Q1 1980Q1 1990Q1 2000Q1 2010Q1 Graphique 5 En effet, les ruptures peuvent être, soit le fait d un changement discret des paramètres de la fonction de régression théorique, soit le fait d une évolution graduelle de ces paramètres sur une longue période de temps. Par exemple, le changement du type de régime de change [passage de régime de change fixe au régime de change flottant] dans le cadre d un programme économique structurel peut être une source de ruptures discrètes. Puisque toute estimation économétrique n intégrant pas une chronique comportant une rupture, conduit presque sûrement à une inférence statistique et une prévision erronées, ainsi, en cas de doute, il serait naturellement plus prudent pour le modélisateur de procéder préalablement à des testes de détection des ruptures, avant toute analyse de régression. 96 Test de racine unité et Analyse des ruptures Jean Paul K. Tsasa

17 Test de racine unité et Analyse des ruptures 97 La littérature distingue plusieurs stratégies permettant de détecter les ruptures que comporte une fonction de régression sur une chronique au passage du temps, dont notamment : (i) une stratégie basée sur l utilisation de la statistique à l effet de tester les variations temporelles des paramètres de la régression ; (ii) une stratégie consistant à détecter les ruptures potentielles du point de vue de la prévision. V.2. Tests de détection d une rupture Dans certains cas, par exemple cf. graphique 5, il est facile de détecter un point de rupture à une date connue. Ainsi, l identification de la date de rupture permet de tester l hypothèse nulle de l absence d une rupture à l aide d une régression comportant une variable binaire croisée, i.e. le terme d interaction. Pour illustration, considérons un modèle à retards échelonnés d ordre comportant une constante et les valeurs retardées d ordre un de et de Soit la date de rupture supposée et la variable binaire telle que si et si Ainsi, on a : avec comme hypothèse nulle, l absence d une rupture : moins un parmi tous les paramètres est non nul. contre l alternative qu au Dès lors, en l absence de rupture, la fonction de régression théorique est invariante sur les deux périodes et le terme correspondant à la variable binaire de rupture n entre pas dans la relation (12). Et par ailleurs, sous l hypothèse alternative, la fonction de régression théorique est différente avant et après la date de rupture Donc, au moins un paramètre parmi les doit être non nul. Cette procédure de test à une date connue a été proposée par Chow (1960). Par ailleurs, l extension de la stratégie de Chow à un modèle à retards échelonnés plus général, i.e. d ordre consiste à construire des variables binaires croisées pour tous les régresseurs et à tester l hypothèse nulle que tous les paramètres associés aux termes impliquant sont égaux à zéro. Dans d autres cas, par exemple, si l on considère l évolution de l indice des prix à la consommation en fréquence mensuelle entre 1961 et 2013, cf. graphique 6, il semble qu il devient difficile de détecter la date de rupture. Dans des situations pareilles, on peut recourir à la stratégie de Quandt (1960) : (i) identifier une zone, i.e. deux dates et ; (ii) calculer la statistique pour toutes les valeurs possibles entre et ; (iii) retenir la plus grande valeur de la statistique Ainsi obtient-on la statistique du rapport de vraisemblance de Quandt ( ), appelé aussi statistique de :

18 La distribution statistique n étant pas identique à celle de la statistique individuelle, ainsi, ses valeurs critiques doivent être dérivée à partir d une distribution spécifique. Toutefois, comme c est le cas avec la distribution de la statistique la distribution de la statistique dépend d une part, du nombre de contraintes à tester, i.e. du nombre de paramètres sujets à des ruptures, y compris la constante et d autre part, de et i.e. des limites et exprimées comme une fraction de la taille de l échantillon. 24 Evolution de l'indice des prix à la consommation de l'institut de Recherche en Sciences économiques et sociales (19611: :12 ; en logarithme) [En fréquenc e mensuelle] Jan 1970 Jan 1980 Jan 1990 Jan 2000 Jan 2010 Graphique 6 Dans la pratique, à l effet de calculer la statistique pour des points de rupture couvrant 70% de la partie centrale de l échantillon, i.e. une troncature de 15%, on suppose généralement que et S il y a présence d une rupture discrète à une date donnée et à l intérieur de l intervalle du test, il suit qu asymptotiquement, la statistique conduira au rejet de l hypothèse nulle de stabilité ave une forte probabilité. Par ailleurs, la date à laquelle la statistique atteint sa valeur maximale, est une estimation de la date de rupture Etant donné que : on peut conclure que est fiable. 98 Test de racine unité et Analyse des ruptures Jean Paul K. Tsasa

19 Test de racine unité et Analyse des ruptures 99 Tableau 4 Valeur critique de la statistique LR-Quandt Nombre de contraintes ( ) % % % Nombre de contraintes ( ) % % % Nombre de contraintes ( ) % % % Nombre de contraintes ( ) % % % Il sied aussi de noter que la statistique permet de détecter des formes d instabilité autres qu une simple rupture discrète. En effet, elle rejette l hypothèse nulle avec forte probabilité lorsqu il y a de multiples ruptures discrètes ou quand une rupture survient sous la forme d une évolution lente de la fonction de régression. Ainsi, en cas de rejet de l hypothèse nulle, il peut y avoir soit présence d une rupture discrète, soit l existence de multiples ruptures discrètes, ou encore une rupture survenant sous la forme d une évolution lente de la fonction de régression. In fine, dans le papier qui suivra, notre attention se focalisera essentiellement sur l illustration de la stratégie de Campbell-Perron (1991) dans l exécution des tests de racine unitaire. Mai 2014 Québec, Montréal Bibliographie sommaire BOX George E.P. et Gwilym M. JENKINS, 1970, Time Series Analysis: Forecasting and Control, San Francisco: Holden Day, 575p. BOX George E.P., Gwilym M. JENKINS et Greogory C. REINSEL, 2008, Time Series Analysis: Forecasting and Control, Wiley, 4 edition, New Jersey, 784p. CAMPBELL John Y. et Pierre PERRON, 1991, "Pitfalls and Opportunities: What Macroeconomists Should Know About Unit Roots", eds. O.J. Blanchard and S. Fischer, Cambridge: MIT Pres, 6 (100):

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21 Test de racine unité et Analyse des ruptures 101 PERRON Pierre et Serena NG, 1998, "An Autoregressive Spectral Density Estimator at Frequency Zero for Nonstationarity Tests", Econometric Theory, 14 (5): PERRON Pierre, 1996, "The Adequacy of Asymptotic Approximations in the Near-integrated Autoregressive Model with Dependent Errors", Journal of Econometrics, 70 (2): PHILLIPS Peter C.B. et Pierre PERRON, 1988, Testing for a Unit Root in a Time Series Regression, Biometrika, 75 (2), PHILLIPS Peter C.B., 1986, "Understanding Spurious Regressions in Econometrics", Journal of Econometrics, 33, PHILLIPS Peter C.B., 1987, "Time Series Regression with a Unit Root", Econometrica, 55, QUANDT Richard, 1960, tests of the Hypothesis that a Linear Regression Obeys Two Separate Regimes, Journal of the American Statistical Association, 55, SAID Said E. et David A. DICKEY 1984, Testing for Unit Roots in Autoregressive Moving Average Models of Unknown Order, Biometrika, 71 (3), SIMS Christopher A., James H. STOCK et Mark W. WATSON, 1990, "Inference in Linear Time Series Models with Some Unit Roots," Econometrica, 58 (1): STOCK James H. et Mark W. WATSON, 1988, "Variable Trends in Economic Time Series", Journal of Economic Perspectives, 2 (3): STOCK James H. et Mark W. WATSON, 1996, Evidence on Structural Instability in Macroeconomic Time Series Relations, Journal of Business and Economic Statistics, 14 (3): STOCK James H. et Mark W. WATSON, 2010, Introduction to Econometrics, 3è édition, Addison-Wesley, 840p. STOCK James H., 1990, Unit roots in real GNP: Do we know and do we care?: A comment, Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy, 32 (1): STOCK James H., 1994, Unit Roots and Trend Breaks in Econometrics, in Handbook of Econometrics, 4, ed. By R.F. Engle and McFadden, New York: North Holland, STOCK James H., 2004, "Structural Stability and Models of the Business Cycle", De Economist, Springer, 152 (2): TOMBOLA Cédrick, 2012, «Choix du Paramètre de Troncature dans la Procédure des Tests de Racine Unitaire», One Pager Laréq (mai), 2 (5): WHITE Halbert, 1981, Consequences and Detection of Misspecified Nonlinear Regression Models, Journal of the American Statistical Association, 76 (374): WOOLDRIDGE Jeffrey M., 2008, Introductory Econometrics. A Modern Approach, 4è édition, Cengage Learning, Mason, 888p.

22 Annexes BASE DES DONNEES Tableau A1a : Taux de change fin période USD/CDF et Taux d intérêt directeur de la Banque Centrale du Congo BCC ( ) En fréquence mensuelle Variables Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Year CHANGE DIRECTEUR CHANGE DIRECTEUR CHANGE DIRECTEUR CHANGE DIRECTEUR CHANGE DIRECTEUR CHANGE DIRECTEUR CHANGE DIRECTEUR CHANGE DIRECTEUR CHANGE DIRECTEUR CHANGE DIRECTEUR Source : Bulletin d'informations statistiques & Condensé d'informations Statistiques de la Banque Centrale du Congo ( ) 102 Test de racine unité et Analyse des ruptures Jean Paul K. Tsasa

23 Test de racine unité et Analyse des ruptures 103 Tableau A1b : Taux de change fin période USD/CDF et Taux d intérêt directeur de la Banque Centrale du Congo BCC ( ) En fréquence mensuelle [SUITE 1] Variables Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Year CHANGE DIRECTEUR CHANGE DIRECTEUR CHANGE DIRECTEUR Source : Bulletin d'informations statistiques & Condensé d'informations Statistiques de la Banque Centrale du Congo ( )

24 Tableau A2a : Evolution de l indice nationale des prix à la consommation (2001: :04) En fréquence hebdomadaire obs IPC INFLATION 12/31/ dimanche 1 juillet /14/ /21/ /28/ lundi 2 avril vendredi 2 novembre /18/ /25/ samedi 3 mars mercredi 3 octobre /17/ /24/ /31/ mercredi 4 juillet /14/ /21/ /28/ samedi 5 mai mercredi 5 décembre /19/ /26/ lundi 6 février jeudi 6 septembre /16/ /23/ /30/ samedi 7 juillet /14/ /21/ /28/ dimanche 8 avril jeudi 8 novembre /18/ /25/ lundi 9 janvier jeudi 9 août /15/ /22/ /29/ Source : Institut National de la Statistique 104 Test de racine unité et Analyse des ruptures Jean Paul K. Tsasa

25 Test de racine unité et Analyse des ruptures 105 Tableau A2b : Evolution de l indice nationale des prix à la consommation (2001: :04) En fréquence hebdomadaire [SUITE 1] obs IPC INFLATION dimanche 10 juin /13/ /20/ /27/ dimanche 11 mars jeudi 11 octobre /17/ /24/ jeudi 12 janvier dimanche 12 août /15/ /22/ /29/ mercredi 1 mai dimanche 1 décembre /19/ /26/ samedi 2 février lundi 2 septembre /16/ /23/ dimanche 3 février mardi 3 septembre /16/ /23/ /30/ mardi 4 juin /13/ /20/ /27/ vendredi 5 avril mardi 5 novembre /18/ /25/ dimanche 6 janvier mardi 6 août /15/ /22/ /29/ Source : Institut National de la Statistique

26 Tableau A2c : Evolution de l indice nationale des prix à la consommation (2001: :04) En fréquence hebdomadaire [SUITE 2] obs IPC INFLATION vendredi 7 juin /13/ /20/ /27/ vendredi 8 mars mardi 8 octobre /17/ /24/ /31/ mardi 9 juillet /14/ /21/ /28/ vendredi 10 mai mardi 10 décembre /19/ /26/ lundi 11 février mercredi 11 septembre /16/ /23/ /30/ vendredi 12 juillet /14/ /21/ /28/ mardi 1 avril samedi 1 novembre /18/ /25/ jeudi 2 janvier samedi 2 août /15/ /22/ vendredi 3 janvier dimanche 3 août /15/ /22/ /29/ dimanche 4 mai jeudi 4 décembre /19/ Source : Institut National de la Statistique 106 Test de racine unité et Analyse des ruptures Jean Paul K. Tsasa

27 Test de racine unité et Analyse des ruptures 107 Tableau A3a : Evolution de l indice des prix à la consommation (1961: :12) En fréquence mensuelle DATE IPC_IRES DATE IPC_IRES DATE IPC_IRES DATE IPC_IRES 1961M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M Source : Institut de recherche en sciences économiques et sociales

28 Tableau A3b : Evolution de l indice des prix à la consommation (1961: :12) En fréquence mensuelle [SUITE 1] DATE IPC_IRES DATE IPC_IRES DATE IPC_IRES DATE IPC_IRES 1973M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M Source : Institut de recherche en sciences économiques et sociales 108 Test de racine unité et Analyse des ruptures Jean Paul K. Tsasa

29 Test de racine unité et Analyse des ruptures 109 Tableau A3c Evolution de l indice des prix à la consommation (1961: :12) En fréquence mensuelle [SUITE 2] DATE IPC_IRES DATE IPC_IRES DATE IPC_IRES DATE IPC_IRES 1985M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M Source : Institut de recherche en sciences économiques et sociales