N D'odre: 98 ISAL 0001 Année 1998 THESE. présentée DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON. pour obtenir LE GRADE DE DOCTEUR

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1 N D'odre: 98 ISAL 0001 Année 1998 THESE présentée DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON pour obtenir LE GRADE DE DOCTEUR FORMATION DOCTORALE: Dispositifs de l'electronique Intégrée ECOLE DOCTORALE: Electronique, Electrotechnique, Automatique par Philippe LAUTIER Ingénieur de l'institut National des Sciences Appliquées de Lyon Modélisation des convertisseurs à découpage pour la conception et la commande: Application à l'onduleur Soutenue le 9 Janvier 1998 devant la commission d'examen Jury MM. Joseph BERETTA Industriel Examinateur Jean-Pierre CHANTE Professeur Examinateur Bernard De FORNEL Professeur Rapporteur François FOREST Professeur Examinateur Daniel MEDAULE Industriel Examinateur Hervé MOREL Chargé de recherches Examinateur Robert PERET Professeur Rapporteur Jean-Marie RETIF Maître de Conférences Directeur Cette thèse à été préparée au laboratoire CEGELY de l'insa de LYON

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3 Janvier 1998 Institut National des Sciences Appliquées de Lyon Directeur : J. Rochat Professeurs S. AUDISIO PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE J.C. BABOUX GEMPPM* B. BALLAND PHYSIQUE DE LA MATIERE D. BARBIER PHYSIQUE DE LA MATIERE G. BAYADA MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE C. BERGER (Mlle) PHYSIQUE DE LA MATIERE M. BETEMPS AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE J.M. BLANCHARD LAEPSI** C. BOISSON VIBRATIONS ACOUSTIQUES M. BOIVIN MECANIQUE DES SOLIDES H. BOTTA EQUIPE DEVELOPPEMENT URBAIN G. BOULAYE INFORMATIQUE J. BRAU CENTRE DE THERMIQUE M. BRISSAUD GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE M. BRUNET MECANIQUE DES SOLIDES J.C. BUREAU THERMODYNAMIQUE APPLIQUEE J.Y. CAVAILLE GEMPPM* J.P. CHANTE COMPOSANTS DE PUISSANCE ET APPLICATIONS B. CHOCAT UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL B. CLAUDEL LAEPSI** M. COUSIN UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL M. DIOT THERMODYNAMIQUE APPLIQUEE A. DOUTHEAU CHIMIE ORGANIQUE R. DUFOUR MECANIQUE DES STRUCTURES J.C. DUPUY PHYSIQUE DE LA MATIERE H. EMPTOZ RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISION C. ESNOUF GEMPPM* L. EYRAUD (Prof. Émérite) GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE G. FANTOZZI GEMPPM* M. FAYET MECANIQUE DES SOLIDES J. FAVREL GROUPE DE RECHERCHE EN PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS G. FERRARIS-BESSO MECANIQUE DES STRUCTURES Y. FETIVEAU GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE L. FLAMAND MECANIQUE DES CONTACTS P. FLEISCHMANN GEMPPM* A. FLORY INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATION R. FOUGERES GEMPPM* F. FOUQUET GEMPPM* L. FRECON INFORMATIQUE R. GAUTHIER PHYSIQUE DE LA MATIERE M. GERY CENTRE DE THERMIQUE G. GIMENEZ CREATIS*** P. GOBIN (Prof. émérite) GEMPPM* P. GONNARD GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE M. GONTRAND COMPOSANTS DE PUISSANCE ET APPLICATIONS R. GOUTTE (Prof. Émérite) CREATIS*** G. GRANGE GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE G. GUENIN GEMPPM* M. GUICHARDANT BIOCHIMIE ET PARMACOLOGIE G. GUILLOT PHYSIQUE DE LA MATIERE A. GUINET GROUPE DE RECHERCHE EN PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS J.L. GUYADER VIBRATIONS ACOUSTIQUES J.P. GUYOMAR GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE J.M. JOLION RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISION J.F. JULLIEN UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL A. JUTARD AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE R. KASTNER UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL H. KLEIMANN GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE J. KOULOUMDJIAN INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATION M. LAGARDE BIOCHIMIE ET PARMACOLOGIE M. LALANNE MECANIQUE DES STRUCTURES A. LALLEMAND CENTRE DE THERMIQUE M. LALLEMAND (Mme) CENTRE DE THERMIQUE P. LAREAL UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL A. LAUGIER PHYSIQUE DE LA MATIERE Ch. LAUGIER BIOCHIMIE ET PARMACOLOGIE P. LEJEUNE GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES

4 A. LUBRECHT MECANIQUE DES CONTACTS Y. MARTINEZ INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATION H. MAZILLE PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE P. MERLE GEMPPM* J. MERLIN GEMPPM* J.P. MILLET PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE M. MIRAMOND UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL N. MONGEREAU (Prof. Émérite) UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL R. MOREL MECANIQUE DES FLUIDES P. MOSZKOWICZ LAEPSI** P. NARDON BIOLOGIE APPLIQUEE A. NAVARRO LAEPSI** A. NOURI (Mme) MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE M. OTTERBEIN LAEPSI** J.P. PASCAULT MATERIAUX MACROMOLECULAIRES G. PAVIC VIBRATIONS ACOUSTIQUES J. PERA UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL G. PERRACHON THERMODYNAMIQUE APPLIQUEE J. PEREZ (Prof. Émérite) GEMPPM* P. PINARD PHYSIQUE DE LA MATIERE J.M. PINON INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATION D. PLAY CONCEPTION ET ANALYSE DES SYSTEMES MECANIQUES J. POUSIN MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE P. PREVOT GROUPE DE RECHERCHE EN APPRENTISSAGE, COOPERATION ET INTERFACES MULTIMODALES R. PROST CREATIS*** M. RAYNAUD CENTRE DE THERMIQUE J.M. REYNOUARD UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL E. RIEUTORD (Porf. Émérite) MECANIQUE DES FLUIDES J. ROBERT-BAUDOUY (Mme) GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES D. ROUBY GEMPPM* P. RUBEL INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATION C. RUMELHART MECANIQUE DES SOLIDES J.F. SACADURA CENTRE DE THERMIQUE H. SAUTEREAU MATERIAUX MACROMOLECULAIRES S. SCARVARDA AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE D. THOMASSET AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE M. TROCCAZ GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE R. UNTERREINER CREATIS*** J. VERON LAEPSI** G. VIGIER GEMPPM* A. VINCENT GEMPPM* P. VUILLERMOZ PHYSIQUE DE LA MATIERE Directeurs de recherche C.N.R.S. Y. BERTHIER MECANIQUE DES CONTACTS P. CLAUDY THERMODYNAMIQUE APPLIQUEE N. COTTE-PATTAT (Mme) GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES P. FRANCIOSI GEMPMM J.F. GERARD MATERIAUX MACROMOLECULAIRES M.A. MANDRAND (Mme) GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES J.F. QUINSON GEMPMM A. ROCHE MATERIAUX MACROMOLECULAIRES Directeurs de recherche I.N.R.A. G. BONNOT BIOLOGIE APPLIQUEE G. FEBVAY BIOLOGIE APPLIQUEE S. GRENIER BIOLOGIE APPLIQUEE Y. MENEZO BIOLOGIE APPLIQUEE Directeurs de recherche I.N.S.E.R.M. A.F. PRINGENT (Mme) BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE I. MAGNIN (Mme) CREATIS*** GEMPMM* : Groupe d'etude metallurgie physique et physique des matériaux LAEPSI** : Laboratoire d'analyse environnementale des procédés et systèmes industriels CREATIS*** : Centre de recherche et d'applications en traitement de l'image et du signal

5 INSA de Lyon Département des études doctorales ECOLES DOCTORALES ¾ MATERIAUX DE LYON INSAL ECL -UCB. Lyon1 Univ. De Chambéry ENS Responsable : Professeur A. HOAREAU, UCBL (Tél. : ) Formations doctorales associées : ƒ Génie des Matériaux (Pr. R. FOUGERES, Tél : ) ƒ Matière condensée surfaces et interfaces (Pr. G. GUILLOT, Tél : ) ƒ Matériaux polymères et composites (Pr. H. SAUTEREAU, Tél : ) ¾ MECANIQUE, ENERGETIQUE, GENIE CIVIL, ACOUSTIQUE (MEGA) Responsable : Professeur J. BATAILLE, ECL (Tél : ) Formations doctorales associées : ƒ Acoustique (Pr. J.L. GUYADER, Tél : ) ƒ Génie Civil : Sols, matériaux, structures, physique du bâtiment (Pr. P. LAREAL, Tél : ) ƒ Mécanique (Pr. G. DALMAZ, Tél : ) ƒ Thermique et Energétique (Pr. M. LALLEMAND, Tél : ) ¾ ELECTRONIQUE, ELECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE (EEA) INSAL - ECL UCB. Lyon1 Univ. de Saint-Etienne Responsable : Professeur G. GIMENEZ, INSAL (Tél : ) Formations doctorales associées : ƒ Acoustique (Pr. J.L. GUYADER, Tél : ) ƒ Automatique Industrielle (Pr. SCAVARDA, Tél : ) ƒ Dispositifs de l électronique intégrée (Pr. P. PINARD, Tél : ) ƒ Génie biologique et médical (Pr. I MAGNIN, Tél : ) ƒ Génie électrique (Pr. J.P. CHANTE, Tél : ) ƒ Signal, Image, Parole (Pr. G. GIMENEZ, Tél : ) ¾ ECOLE DOCTORALE INTERDISCIPLINAIRE SCIENCES-SANTE (EDISS) INSAL UCB Lyon1 Univ. de Saint-Etienne Univ. Aix-Marseille2 Responsable : Professeur A. COZZONE, CNRS-Lyon (Tél ) Formations doctorales associées : ƒ Biochimie (Pr. M. LAGARDE, Tél : ) ƒ Génie biologique et médical (Pr. I. MAGNIN, Tél : )

6 INSA de LYON Département des Etudes Doctorales AUTRES FORMATIONS DOCTORALES ¾ ANALYSE ET MODELISATION DES SYSTEMES BIOLOGIQUE Responsable : Professeur S. GRENIER, INSAL Tél : ¾ CHIMIE INORGANIQUE Responsable : Professeur P. GONNARD, INSAL Tél : ¾ CONCEPTION EN BATIMENT ET TECHNIQUE URBAINES Responsable : Professeur M. MIRAMOND, INSAL Tél : ¾ DEA INFORMATIQUE DE LYON Responsable : Professeur J.M. JOLION, INSAL Tél : ¾ PRODUCTIQUE : ORGANISATION ECONOMIQUE ET GENIE INFORMATIQUE POUR L ENTREPRISE Responsable : Professeur J. FAVREL, INSAL Tél : ¾ SCIENCES ET TECHNIQUES DU DECHET Responsable : Professeur P. MOSZKOWICZ, INSAL Tél :

7 Je mesure le mal qu'on fait mes ancêtres parce que je suis eux. C'est un équilibre délicat à l'extrême. Je sais que peu d'entre vous, qui lisez ces lignes, avez jamais songé de cette manière à vos ancêtres. Sans doute ne vous est-il pas venu à l'idée qu'ils étaient faits pour survivre et que cette survie ellemême exigeait quelquefois des décisions brutales, marquées par cette sorte de sauvagerie absurde que l'humanité civilisée s'est toujours efforcée à grand-peine de faire disparaître. Mais quel prix êtes-vous prêts à payer pour cette disparition? Acceptez-vous l'idée de votre propre extinction? Les mémoires volées Extrait de "L'Empereur-Dieu de Dune" Frank Herbert A mes Parents. A Denise.

8 AVANT-PROPOS Cette étude, menée au Centre de Génie Electrique de Lyon, résulte d'une coopération entre notre laboratoire et la société Peugeot SA. A ce titre, je souhaite remercier PSA et tout particulièrement nos interlocuteurs M. BERETTA, M lle DEROU et M. DELHOM pour la qualité des relations que nous avons eu et la confiance qu'ils nous ont accordée. J'espère sincèrement que nous avons répondu à vos attentes et que cette petite pierre contribuera à créer une base solide à votre édifice. Un grand merci à M. NICOLAS, directeur du CEGELY, et M. CHANTE, responsable du site INSA du laboratoire, pour m'avoir accueilli (et supporté!) durant ces trois années (et des poussières!). J'exprime toute ma reconnaissance à M. De FORNEL, Professeur à l'institut National Polytechnique de Toulouse, et M. PERRET, Professeur à l'institut National Polytechnique de Grenoble, pour m'avoir fait l'honneur d'être rapporteur de cette thèse et à M. FOREST, Professeur au LESIR à Cachan pour avoir accepté d'en présider le jury. Je tiens aussi à remercier M. MEDAULE de la société Mitsubishi Electric pour avoir accepté de participer à mon jury de thèse ainsi que pour sa sympathie. Un banc pour toi Jean-Marie. Au delà de la direction de mon travail où tu as su me laisser m'exprimer, nous sommes devenus amis et avons passé de très bons moments ensemble. Un triple "Hip Hip Hip..." pour Hervé et Bruno, pour leur soutien technique quotidien et leur amitié. Une mention spéciale à Marie-Laure, Sylvie (ma co-burette!), Nicole et Denise, bref, la gent féminine du laboratoire. Je suis sûr que vous vous souviendrez de mon passage, j'espère que ce sera avec un sourire... Citer ici toutes les personnes qui ont, de près ou de loin, professionnellement ou non, participé à ces quelques années de travail serait trop long et je risquerais d oublier certains. Je vous adresse cependant une pensée amicale, certain que vous vous reconnaîtrez. Mon dernier hommage sera pour la société ARCEL, et tout particulièrement pour M. PARIS et M. LECOQ, sans qui la partie pratique de ce travail n aurait pu être menée à bien, et plus encore...

9 MODELISATION DES CONVERTISSEURS A DECOUPAGE POUR LA CONCEPTION ET LA COMMANDE: APPLICATION A L'ONDULEUR. Le travail présenté ici s'inscrit dans une action de recherche sur la traction électrique menée au Centre de Génie Electrique de Lyon (CEGELY). Ce projet fait partie d'une coopération entre le Département de Recherche sur les Véhicules Electriques de la société Peugeot S.A. et le CEGELY. Le projet initial concernait la commande des machines pour la traction électrique sur véhicules personnels. Devant le manque de modèles de convertisseurs de puissance adaptés à la commande, il s'est peu à peu dirigé vers la recherche de modèles susceptibles de répondre aux contraintes de l'automatique. L'aspect industriel de ce projet nous a mené à consacrer une large partie de notre travail à la validation des résultats théoriques et à la recherche de méthodes simples et rapides à mettre en œuvre. Les résultats pratiques ne sont qu'une application ponctuelle de la théorie servant à la validation. L'évolution rapide des composants de l'électronique de puissance les rendra rapidement obsolètes. Par contre, les méthodes présentées pourront continuer à être utilisées. L'avènement de l'électronique de puissance et l'amélioration des performances de composants à commutation forcée (Transistors MOS, IGBTs,...) ce cette décennie ont accru les champs d'utilisation des machines électriques. Les premières applications en vitesse variable exploitaient les machines à courant continu, plus simples à commander que celles à courant alternatif. Mais ce type de moteur souffre d'une faible durée de vie due à ses balais de collecteur et d'une puissance massique limitée. La baisse des prix des composants de puissance à semiconducteur ont rendu plus rentable l'ensemble onduleur / machine à courant alternatif. La machine asynchrone a tout d'abord été choisie pour son très faible coût de fabrication, lié à la nature de son rotor: une simple cage. Mais sa commande est complexe et son rotor inaccessible prive le système de contrôle d'un degré de liberté très intéressant: le flux rotorique. Ainsi, nous voyons maintenant apparaître de nombreuses applications basées sur les machines synchrones à rotor bobiné ou à aimant permanent. Ce choix a été motivé par la puissance

10 massique importante de ce type de machine et ses performances dynamiques bien meilleures que les machines asynchrones. Notons aussi que, dans le cas des machines synchrones à rotor bobiné, l'accès au flux rotorique permet de disposer d'une grandeur de contrôle supplémentaire et d'envisager le contrôle de deux grandeurs (le couple et le rendement par exemple) au lieu d'une seule dans le cas des machines asynchrones. Le surcoût peut alors être justifié par la qualité des résultats envisageables. Les problèmes de pollution et de nuisances sonores dans les grandes agglomérations ont amené les pouvoirs publics et les constructeurs automobiles à se tourner vers le véhicule électrique personnel. Tout d'abord à courant continu, puis asynchrone, et bientôt synchrone, la "voiture électrique" fait peu à peu son entrée sur le marché grand public. Mais, ce véhicule au concept révolutionnaire souffre de sa faible autonomie et est généralement boudé par le public. Pour palier ce problème, en attendant de nouveaux moyens de stockage de l'énergie électrique (la pile à combustible semble prometteuse), les constructeurs automobiles se dirigent vers le véhicule mixte. Ici, le moteur électrique est relayé (structure parallèle) ou alimenté (structure série) par un moteur thermique. Notons que la société TOYOTA a annoncé la commercialisation de leur premier véhicule mixte pour la fin d'année Dans ce véhicule, le moteur thermique prendra le relais du moteur électrique au delà d'une certaine vitesse. Que le véhicule soit "tout électrique" ou non, avec une machine à courant continu, synchrone ou asynchrone, le moteur de traction doit fournir un couple le plus constant possible sur une large plage de vitesse. L'asservissement de cette dernière est assurée par le chauffeur. Les principaux constructeurs automobiles Européens se sont rencontrés pour mettre sur pied un cahier des charges précisant un certain nombre de contraintes pour les chaînes de tractions électriques. Par exemple, le projet EUROPED, précise les principales grandeurs pour les chaînes de traction asynchrone: puissance permanente et transitoire, encombrement, couple,... etc.) Ainsi, l'oscillation de couple, selon cette spécification, ne doit pas dépasser ±2%. Les techniques de contrôle avancées qui ont vu le jour ces dernières années (commande vectorielle, contrôle direct de couple,...etc.) permettent de répondre à ces contraintes de plus en plus sévères sur le couple. Cependant, des problèmes persistent aux faibles vitesses, principalement dus à la nature des machines et aux convertisseurs utilisés. 10

11 Si l'algorithmie a fait d'énormes progrès dans ce domaine, nous constatons que les automaticiens considèrent toujours le convertisseur de puissance (principalement l'onduleur) comme un actionneur idéal. Ceci est principalement dû à l'absence de modèles compatibles avec les temps de simulation nécessaires à la mise au point de boucles de commande et pouvant être exploités simplement dans un environnement temps réel. En effet, de nombreux travaux sont menés dans le domaine de la modélisation des composants à semiconducteur, mais les modèles développés, bien que relativement précis, ne sont d'aucune utilité pour les automaticiens pour des raisons de complexité et donc de temps de calcul. Par contre, la notion de schéma électrique "moyen" équivalent, qui permet de ne représenter que les grandeurs variant lentement devant la fréquence de commutation du convertisseur, peut permettre de combler cette lacune. Notons toutefois, que leur champ d'application sort largement du contexte de l'automatique et peut être utilisé pour la conception des convertisseurs. C'est ce type de modélisation que nous proposons de présenter ici et d'appliquer à l'automatique. Ainsi, nous souhaitons obtenir un modèle nécessitant un temps de calcul compatible avec les contraintes de l'automatique et permettant d'observer (et, éventuellement, de corriger) les altérations des signaux électriques engendrées par le convertisseur. Notons aussi, que pour être facilement exploitable, les paramètres de notre modèle devront être aisément identifiables. Le complément indispensable au modèle est l'outil de simulation. Même si le modèle se doit d'être indépendant du logiciel qui servira à l'exploiter, la formulation utilisée est intimement liée à ce dernier. En effet, les méthodes numériques utilisées pour obtenir les résultats de simulation conditionnent la nature du modèle, et donc, lui donnent (ou lui enlèvent) un certain nombre de propriétés. Dans le domaine de l'électronique en général et de l'électronique de puissance en particulier, les logiciels de simulation foisonnent et sont basés sur différents formalismes et méthodes de calcul. Dans le premier chapitre, nous ferons un point sur les principaux formalismes et les principales méthodes de calcul en résultant. Nous nous attacherons à mettre en relief les propriétés découlant de chacun d'entre eux. Nous verrons ainsi l'avantage indéniable des graphes de liens pour la simulation et de la méthode de mise en équation associée. Nous conclurons en présentant le logiciel PACTE, outil de simulation par graphes de liens développé au CEGELY. 11

12 Le second chapitre sera consacré à un bilan sur les différents niveaux de modélisation utilisés en électronique de puissance. Nous verrons pourquoi les modèles comportementaux ne sont pas exploitables en automatique et introduirons la notion de "modèle moyen". Nous présenterons un algorithme de construction de tels modèles et traiterons le cas du hacheur abaisseur de tension à titre d'exemple. Ainsi, les deux premiers chapitres, nous permettront de choisir le formalisme et le type de modèle que nous envisageons d'utiliser. Mais la validation d'un modèle passe systématiquement par une phase de confrontation des résultats de simulation avec des mesures correspondantes dans un cas réel. Pour cela, nous avons mis en place un banc de test de convertisseur à l'échelle de la traction électrique pour véhicules personnels, soit 30KVA. Notre troisième chapitre sera dédié à la présentation de cette installation et du système de commande "temps réel" l'accompagnant. Le quatrième chapitre sera consacré aux modèles choisis pour représenter les différents éléments constituant le banc de test en simulation et à l'identification de leurs paramètres. C'est une phase clef qui conditionnera la qualité des résultats et permettra de comparer les résultats fournis par notre modèle d'onduleur aux essais sur le banc. Nous nous attacherons à y présenter des méthodes générales de mesure et d'identification, et appliquerons ces dernières au cas nous concernant. Nous refermerons ce chapitre en traitant le problème de l'identification des paramètres des modèles présentés dans le second chapitre et donnerons les résultats obtenus pour le modèle moyen de l'onduleur. Enfin, nous présenterons les résultats de nos investigations dans le cinquième et dernier chapitre. Nous établirons le modèle moyen de l'onduleur et définirons ses limites de validité par comparaison avec l'expérience. Puis, dans un objectif de simplification, nous mettrons en relief l'importance relative de chaque paramètre en fonction des conditions d'essais. Nous terminerons en donnant un exemple d'exploitation de notre modèle en automatique pour l'amélioration de la qualité du contrôle de couple, démontrant ainsi l'intérêt de tels modèles pour les automaticiens. 12

13 SOMMAIRE CHAPITRE PREMIER LA SIMULATION EN GENIE ELECTRIQUE Les formalismes de modélisation utilisés en Génie Electrique Généralités sur la modélisation des systèmes Les Méthodes classiques d assemblage Les Graphes de Liens et l Analyse de Causalité Les composants élémentaires La causalité Analyse de la causalité Exemples d'application PACTE Conclusion...46 CHAPITRE SECOND NIVEAUX DE REPRESENTATION ET OBJECTIFS DE SIMULATION Les modèles de commutation Les modèles de comportement Les modèles simplifiés Conclusion Les modèles moyens Les différentes approches Un algorithme de construction de modèle moyen Application au hacheur abaisseur de tension non-idéal Conclusion...73 CHAPITRE TROISIEME UN BANC DE TEST DE PUISSANCE Cahier des charges La source de tension La charge L'onduleur L'unité de commande Un circuit de génération d'impulsions Le contexte de la commande des machines électriques L'unité de commande algorithmique Conclusion...93 CHAPITRE QUATRIEME MODELISATION, MESURES ET IDENTIFICATION DES ELEMENTS DU BANC D'ESSAIS Les Méthodes d'optimisation Généralités Expression pratique de la fonction coût Expression des contraintes Classification des méthodes d'optimisation...98

14 SOMMAIRE Les méthodes de descente Programmation linéaire, la méthode du symplexe Les méthodes stochastiques Le Condensateur Méthodologie Application à l'onduleur La charge L'IGBT Caractéristiques statiques Problématique de l'obtention des caractéristiques dynamiques Identification La Diode Caractéristique statique Caractéristiques dynamiques Identification Identification des paramètres des modèles moyens Considérations sur les retards virtuels Mesure des retards virtuels Conclusion CHAPITRE CINQUIEME UN MODELE MOYEN D'ONDULEUR Etablissement du modèle de l'onduleur Modèle moyen d'un bras d'onduleur Modélisation de la commande du bras La chaîne de commande en simulation Comparaisons entre simulation et expériences Au régime nominal Aux autres régimes Sensibilité du modèle d'onduleur à ses différents paramètres Exploitation des modèles moyens en automatique Conclusion CONCLUSION BIBLIOGRAPHIE ANNEXES DOCUMENTATION DE L'INTERFACE DE GENERATION D'IMPULSIONS

15 CHAPITRE PREMIER FORMALISMES POUR LA SIMULATION EN GENIE ELECTRIQUE De nos jours, la modélisation et la simulation sont devenues un enjeu scientifique et technologique. L outil de conception informatisé devient peu à peu indispensable dans l industrie. En effet, ces outils de prédiction et d analyse de comportement d un système, permettent de réduire les coûts et les délais d étude d un nouveau produit en reportant la phase de prototypage le plus loin possible (le "time-to-market" en anglais). Des modèles de plus en plus fiables sont mis au point chaque jour. Mais fiabilisation rime le plus souvent avec complexification. Nous arrivons parfois ainsi à des modèles, certes d une bonne précision, mais qui sont une abstraction du système réel qu ils représentent, et l identification des paramètres du modèle ou la recherche de causes de dysfonctionnement représente un investissement temporel et financier non négligeable. Il est préférable d'avoir des paramètres physiques pour les modèles et des outils de simulation donnant des indications claires à l'utilisateur en cas d'échec de la simulation, plutôt que des messages d'erreur du type "Jacobien singulier"! L évolution des outils de calcul numériques nous permet d envisager très sérieusement la modélisation d un système complet, comme, par exemple, un véhicule électrique. La grande variété des domaines physiques et des spécialités mis en jeux dans un tel projet implique un travail d équipe parfaitement préparé. Le choix du formalisme adopté pour la modélisation est la clef de voûte d un tel édifice. Il faut certes adapter le niveau de représentation de chaque modèle aux objectifs de l utilisateur mais il faut avant tout prévoir l interconnexion de tous ces modèles entre eux de manière à disposer, à terme, d un "macro-modèle" représentant le véhicule dans sa totalité. D autre part, l outil numérique utilisé pour la simulation a pour rôle principal de résoudre un système d équations différentielles. Il est donc principalement architecturé autour d un intégrateur numérique. Comme tout système numérique de résolution d équations, se pose souvent des problèmes de convergence. Plus grave, le système peut fournir une réponse réaliste et reproductible, mais non conforme à la "réalité".

16 CHAPITRE PREMIER Par une brève présentation des différentes approches utilisées dans le domaine du Génie Electrique et plus particulièrement en Electronique de Puissance, nous montrerons dans un premier chapitre que certains formalismes permettent de limiter le risque de divergence ou de fausse réponse. Nous aborderons les réseaux de Kirchhoff, les schémas blocs, les graphes de liens (ou bond graphs) et enfin, les réseaux de Pétri. Nous verrons que le formalisme par réseaux de Kirchhoff, bien que d utilisation aisée en électronique (car classique), peut poser des problèmes de convergence des algorithmes de résolution et est mal adapté à un contexte multi-domaine. L approche basée sur une représentation énergétique des phénomènes physiques, les graphes de liens, semble très prometteuse. Outre son aspect explicitement multi-domaine, ce formalisme présente des avantages indéniables pour la résolution numérique des équations du système et pour l assistance à l utilisateur. Nous nous attarderons plus particulièrement sur cette méthode d assemblage. Enfin, nous présenterons un outil de simulation en électronique de puissance basé sur le formalisme des graphes de liens : le logiciel PACTE, développé au CEGELY. 16

17 Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique 1.1. LES FORMALISMES DE MODELISATION UTILISES EN GENIE ELECTRIQUE Avant d aborder le corps de ce premier chapitre, il est nécessaire de présenter brièvement un certain nombre de définitions, théorèmes et notions concernant la modélisation des systèmes [Morel-97] Généralités sur la modélisation des systèmes Nous nous attacherons ici à résumer les principales définitions et résultats majeurs concernant la notion de système et plus particulièrement les systèmes fortement non linéaires très présents en électronique de puissance Notion de modèle et de système Un modèle est une représentation formelle et abstraite de l analyse que l on sait faire d un phénomène physique. Un système est une association de composants (de modèles). C est, par exemple un circuit électrique, un circuit hydraulique ou un véhicule électrique au complet. Au niveau d un système, on peut définir des variables d entrée et des variables de sortie. C est typiquement ce que représente un schéma bloc (block diagram). Connaissant les entrées du système à un instant donné, le modèle du système permet de calculer l évolution future de l état de celui-ci. A chaque instant, l état du système résume le passé de celui-ci. C est la connaissance minimale nécessaire pour déterminer son évolution, connaissant l évolution des variables d entrée. L état du système est décrit par ses variables d état. Remarques : Un système est autonome s il n a pas de variables d entrée ni de dépendance explicite du temps. C est le seul type de système qui puisse être simulé. Un système est déterministe si, pour des conditions initiales données, il possède une solution unique. Tous les systèmes physiques (sauf peut-être les systèmes quantiques) sont déterministes. Un modèle non déterministe résulte donc d une erreur de modélisation. 17

18 CHAPITRE PREMIER Equations différentielles et modèles à variables d état Tous les systèmes d équations différentielles n ont pas les mêmes propriétés d existence et d unicité de la solution. Il en résulte des comportements très différents face aux techniques d intégration numérique. EQUATION DIFFERENTIELLE ET ALGEBRIQUE (EDA) C est un système d équations qui a la forme suivante : G dz, z, t = 0 Eq. 1-1 dt où z est le vecteur des variables d état et t le temps Remarque : une EDA s appelle an anglais "Differential and Algebraic Equation" (DAE). Un cas particulier d une EDA est la forme dx = g( x, a) dt Eq = L( x, a) Eq. 1-3 où x est le vecteur constitué d une partie des éléments de z, x est appelé vecteur d état du système, a est le vecteur constitué des autres éléments de z, c est le vecteur des variables algébriques. Le théorème des fonctions implicites permet d affirmer que si la fonction L, L ( x, a) L( x, a) est continûment dérivable autour du point (x,a) et que L a ( x, a) 0, alors il existe une fonction h qui permet de calculer la variable a, à partir de x: a = h( x). Nous pouvons alors réécrire le système (1-2, 1-3) comme suit : EQUATION DIFFERENTIELLE ORDINAIRE (EDO) OU PROBLEME DE CAUCHY dx = f ( x, t) dt Eq. 1-4 x( t = 0) = x0 Eq. 1-5 Remarque : une EDO s appelle an anglais "Ordinary Differential Equation" (ODE). Notons que la transformation n est pas toujours possible, car la dérivée peut s annuler. Le théorème de Cauchy - Lipschitz stipule que si la fonction f est lipschitsienne (continûment dérivable) au voisinage de x 0, alors le problème de Cauchy admet une solution unique au voisinage de t=0, t>0. Un problème de Cauchy qui satisfait cette condition est dit régulier. Et donc, un système physique dont le modèle est un problème de Cauchy régulier est déterministe. 18

19 Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique L initialisation d un problème de Cauchy est simple. Il suffit de donner la valeur initiale de x : x 0. Si le système est linéaire, il existe une solution unique, quelle que soit la valeur de x 0. Sinon la fonction f peut avoir un domaine de définition plus restreint et toutes les valeurs initiales ne sont pas forcément valides. Une solution au problème de Cauchy est donc complètement décrite par la valeur initiale du vecteur d état x : x 0. Cela signifie qu à l instant t, le vecteur x(t) décrit complètement le système : il s agit du vecteur d état Définitions générales d un modèle à variables d état Nous allons donner ici quelques définitions et propriétés concernant les modèles à variables d état qui nous seront utiles par la suite. ❶ Modèle à variables d état C est un système d équations de la forme suivante : dx = f ( x, u, t) Eq. 1-6 dt y = h( x, u, t) Eq. 1-7 où x est le vecteur d état, u est le vecteur des variables d entrée, y est le vecteur des variables de sortie et t est le temps. L équation 1-6 est l équation d état et 1-7 est la relation de sortie (ou règle de causalité). Pour éviter tout problème de régularité des solutions, il est nécessaire de supposer que les fonctions f et h sont continûment dérivables par rapport à x et u. ❷ Modèle à variables d état contraint C est un système d équations de la forme : dx = f ( x, a, u, t) Eq. 1-8 dt 0 = L( x, a, u, t) Eq. 1-9 y = h( x, a, u, t) Eq où x est le vecteur d état, a est le vecteur des variables algébriques, u est le vecteur des variables d entrée, y est le vecteur des variables de sortie et t est le temps. L équation 1-8 est l équation d état, l équation 1-9 est l équation algébrique et 1-10 est la relation de sortie. Pour éviter tout problème de régularité, il est ici nécessaire de supposer que les fonctions f et h sont continûment dérivables par rapport à x, a et u. ❸ Modèle dégénéré à variables d état C est un système d équations de la forme : m dz, z, u, y, t = 0 Eq dt 19

20 CHAPITRE PREMIER où z est le vecteur des variables du système, u est le vecteur des variables d entrée, y est le vecteur des variables de sortie et t est le temps. Souvent, un modèle dégénéré à variables d état peut se présenter comme un modèle à variables d état contraint. L avantage de la forme ❷ est que les variables d état sont clairement identifiées. Dans la forme ❸ on ne sait pas quelles composantes du vecteur z ont le droit d être initialisées. Le théorème de Cauchy - Lipschitz montre que si u est une fonction continue du temps, un modèle à variables d état (non dégénéré) a un comportement unique, c'est-à-dire une solution unique pour des conditions initiales données. Malheureusement, cela n est pas le cas d un modèle à variables d états dégénéré. Pourtant, la plupart des simulateurs modernes permettent de définir des modèles à variables d état dégénérés à l aide d un langage permettant la description directe des équations représentatives sous l une des formes ❶, ❷ ou ❸. Par exemple SABER utilise le langage MAST, ELDO utilise HDL-A, SMASH utilise ABCD et PACTE utilise M++. Mais, si nous ne pouvons réécrire un tel modèle dégénéré sous la forme ❶, il est probable de rencontrer des problèmes de simulation Conclusion Une EDA ne correspond pas forcément à un système déterministe. Son traitement numérique est très complexe et peut poser énormément de problèmes et le risque est très grand d obtenir des résultats de simulation très différents de l expérience. Par contre, une EDO ne pose pas de problème formel. Au pire son comportement est très complexe ou raide. Il faudra alors faire appel à des méthodes d intégration très stables. Un système physique étant déterministe, il est forcément représentable par une EDO. Le problème réside donc dans la modélisation d un phénomène par une EDO, et la question qui est posée est la suivante : "existe-t il un ou des formalismes de modélisation menant systématiquement à une EDO ou au moins détectant que le système à simuler n est pas une EDO?" Les Méthodes classiques d assemblage Les méthodes d assemblage de modèles permettent de représenter plus ou moins aisément un système. Outre leur souplesse d utilisation, leur représentation plus ou moins directe de ce que 20

21 Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique nous avons l habitude de voir, ces méthodes conditionnent directement les règles d établissement du système d équations correspondant au schéma à simuler Les Réseaux de Kirchhoff et la méthode nodale Un réseau de Kirchhoff est une représentation graphique de la connexion des composants d un circuit électrique ou d un système en général. Cette représentation matérialise très bien le câblage des circuits électriques. Les composants sont connectés à des noeuds par des branches. Ces réseaux sont évidemment très prisés par l électronicien et ont été étendus à d'autres domaines physiques (acoustique, thermique, mécanique). Néanmoins, ils sont nettement moins bien adaptés à ces autres domaines et il devient alors fastidieux de représenter un système multi-domaine. R E L 4 Rg 5 G 0 1 D 2 3 M Figure 1-1 : Un circuit hacheur représenté par un réseau de Kirchhoff Nombre de logiciels dits "type Spice" (Spice, Saber, Eldo, Smash...) utilise les réseaux de Kirchhoff. La méthode de déduction des équations du circuit utilisée est généralement la méthode nodale modifiée [Ho-75], extension de la méthode nodale [Chua-75]. La méthode nodale consiste à décrire le circuit à partir de ses noeuds. A chaque noeud est associée une variable qui définit le potentiel électrique à ce noeud. L idée principale de la méthode est de considérer le système d équations implicites correspondant aux équations des noeuds (sans considérer le noeud de référence, généralement numéroté 0). Les équations de noeud traduisent que, en chaque noeud du circuit, la somme des courants est nulle. Le modèle de chaque composant du circuit doit donc exprimer le courant dans chaque branche de celui-ci en fonction des potentiels aux noeuds. En conséquence un modèle de 21

22 CHAPITRE PREMIER composant dans la méthode nodale modifiée est un modèle dégénéré à variable d état. Un modèle de composant à deux noeuds a donc la forme suivante : dv1 dv2 i = f N v1, v2,, Eq dt dt où i est le courant dans le composant et v1, v2 sont les potentiels des noeuds de connexion. Par exemple, le modèle d une résistance sera : v2 v1 R i = R et celui d un condensateur sera : C i C dv 2 dv1 = dt dt Eq Eq En revanche, il est clair que dans cette approche, une inductance ou une source de tension ne sont pas directement représentables. C est là qu intervient la différence entre la méthode nodale et la méthode nodale modifiée. Dans cette dernière, on utilise la notion de variable supplémentaire qui permet d utiliser comme variable du système d équations, les variables z, lesquelles ne correspondent pas à un potentiel à un noeud du circuit. Pour que le système d équations reste régulier, il est nécessaire d ajouter une nouvelle équation à résoudre simultanément avec les équations des noeuds du circuit. Dans le cas d une inductance, la variable supplémentaire est le courant qui la traverse, et l équation supplémentaire correspond au modèle d état du composant : v v L dv L = * 2 1 dt Eq i = v * Pour une source de tension, nous aurons : V 2 V1 = E( t) V Eq i = V * Le système d équations associé à un circuit a donc la forme générale suivante : F dz, z, t = 0 Eq dt ou z est constitué des potentiels aux noeuds du circuit, suivi des variables supplémentaires dues aux sources de tension et inductances. Il s agit d une EDA. Commentaire : La méthode nodale modifiée n est pas causale : il n est pas précisé de variable d entrée ou de sortie. Par exemple, dans l approche nodale, il est impossible de savoir si le courant de base d un transistor bipolaire à jonction est une cause du fonctionnement ou bien une conséquence. 22

23 Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique Les Schémas Blocs Cette méthode a pour avantage de représenter graphiquement la hiérarchie d un système en montrant les variables d entrée et de sortie. Ce type de représentation est particulièrement bien adapté à l étude de l Automatique dans la mesure où figurent clairement les boucles de (contre-)réaction. Chaque bloc est un modèle à variable d état (voire dégénéré). B1 B2 B3 Figure 1-2 : Un schéma bloc D autre part, chaque flèche entre deux blocs unifie une variable d entrée et une variable de sortie. Aussi un schéma bloc décrit une liste de relations entre les variables d entrée et les variables de sortie de chaque bloc, en plus des modèles des blocs. Finalement, les équations du schéma bloc correspondent à une EDA de la forme : dxs = f s ( xs, as, t) dt Eq as = h ( xs, as, t) Eq où x s est le vecteur d état du système (l ensemble des vecteurs d état des blocs), a s est l ensemble des variables d entrée des blocs, fusionné avec l ensemble des variables de sorties des blocs, f s et h s rassemblent les fonctions f et h de tous les blocs. Le système sera déterministe s il n y a pas de boucle, ou si toutes les boucles sont causales. C'est-à-dire, si le long de ces boucles l effet n est observable qu après l application des causes. Les schémas blocs sont utilisés dans les logiciels commerciaux destinés à l automatique : Matlab/Simulink, MatrixX, Tutsim, Acsl Les Graphes de Liens La théorie des Graphes de Liens (Bond Graph) [Karnopp-90] a été introduite en 1961 par H. Painter. Elle a été établie surtout par des mécaniciens et des automaticiens. L utilisation de cette théorie dans le domaine de l électronique (de puissance) date de 1987 (Asher). On peut considérer que les graphes de liens unifient la représentation par schémas blocs et les réseaux de Kirchhoff. En effet, un graphe de liens est une représentation graphique de type 23

24 CHAPITRE PREMIER réseau où les connexions entre les composants sont explicites. Mais dans un graphe de liens, la notion de causalité exprime clairement les variables d entrée et de sortie. Le paragraphe sera consacré à la présentation des principes de base des graphes de liens et de l analyse de causalité. Nous nous limiterons ici à une présentation des notions générales et nous résumerons les principales propriétés d un système décrit par un graphe de liens. Notions générales : Les graphes de liens sont basés sur une expression énergétique de la dynamique des systèmes. Un système est divisé en sous-sytèmes, et le graphe de liens indique comment l énergie est échangée entre ces sous-sytèmes. Le modèle d un sous-système indique comment l énergie est stockée, modifiée ou dégradée à l intérieur du bloc. Le Premier Principe impose la continuité temporelle de l énergie. Le premier principe de la thermodynamique exprime la conservation de l énergie. Ainsi le stockage d'énergie indique l'effet mémoire. Comme on peut toujours décomposer les systèmes physiques utilisés par les ingénieurs en micro-systèmes qui vérifient eux aussi le Premier Principe, nous pouvons légitimement supposer la conservation spatiale de l énergie. Une variation d énergie à un endroit du système doit correspondre à un flux de puissance venant d un autre endroit du système (excepté pour les sources d énergie). Mais, si nous n avions que la continuité temporelle, il serait possible que l énergie "disparaisse" dans un composant A du système (défini par une position spatiale) pour "réapparaître" dans un autre composant B du système (défini par une autre position spatiale). L'hypothèse de continuité spatiale de l'énergie impose que ce cas de figure ne soit pas possible : il doit exister un flux d'énergie, un transfert d'énergie, caractérisé par une puissance qui s'écoule de A vers B. En fait, tous les systèmes réels étudiés dans les sciences de l'ingénieur et le génie électrique en particulier, sont constitués d'un continuum de micro-systèmes qui vérifient eux-mêmes les lois physiques fondamentales et particulièrement le Premier Principe. Ainsi, l'hypothèse de continuité spatiale est aisément satisfaite dans les sciences de l'ingénieur. Comme tout système est un continuum de micro-systèmes, il y a aussi continuité spatiale de l'énergie. Les variations d'énergie résultent d'un transfert d'énergie. Nous venons d'exprimer que nécessairement une variation d'énergie dans un composant du système s'expliquait par un flux d'énergie. Mais, toujours pour les sciences de l'ingénieur, nous pouvons considérer qu'un flux d'énergie correspond à un flux de particules : la décomposition 24

25 Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique en micro-systèmes identifie toujours la notion de particule fictive ou réelle. Dans le domaine électrique, l'électron est manifestement la particule qui contribue au transfert d'énergie. Dans le domaine thermique, il est classique dans les représentations cristallines d'utiliser la notion de phonon. Un transfert d'énergie résulte d'un flux de particules (réelles ou fictives). Alors le Second Principe de la thermodynamique, et en particulier la relation d'onsager, affirme que le flux d'énergie s'exprime comme le produit d'une variable de flux par une variable d'effort. La variable de flux, notée f, est le flux de particules, c'est-à-dire le nombre de particules par unité de temps. La variable d'effort, notée e, est une variable intensive, c'est-àdire dépendante de la quantité de matière ou de particules. Le Second Principe impose qu'un transfert d'énergie est proportionnel au flux de particules. Le coefficient de proportionnalité est une variable intensive appelée "effort". Représentation graphique : Considérons deux composants A et B d'un système physique. Une énergie qui transite de A vers B est représentée par un lien (demi-flèche) dirigé dans le sens d'écoulement de l'énergie. Par convention, la puissance est positive si l'écoulement d'énergie suit la flèche. Ce lien est connecté entre deux ports. Un port de sortie du composant A et un port d'entrée du composant B. A chaque port sont associées deux variables (flux et effort). Le lien impose que les variables correspondantes de chaque port connecté soient identiques. On dit qu'il y a identification des variables de ports de même type. Ports A B lien Figure 1-3 : Représentation graphique d'un lien par une demi-flèche. Remarque : L'identification des variables des ports connectés impose que la causalité soit respectée. En d'autres termes, les deux composants ne peuvent pas imposer tous les deux le flux ou l'effort. Par convention, et pour des commodités graphiques, on surchargera le lien reliant deux composants d'une barre verticale du côté du composant imposant le flux. 25

26 CHAPITRE PREMIER Soit, si A impose le flux, B doit imposer l'effort (et réciproquement). Le schéma précédent aura alors l'allure suivante : Barre de causalité A B Figure 1-4 : Représentation graphique de la causalité. A impose le flux. Propriétés d un système décrit par un graphe de liens : L'outil de simulation a pour rôle la mise en équation et la résolution du système. L'analyse de la causalité est une méthode formelle qui permet de vérifier si le système d'équations d'un graphe de liens peut se mettre sous la forme d'une EDO (système déterministe). Dans ce cas, le système est dit causal. Si l'objectif est effectivement la mise en équation du système, il est nécessaire d'écrire des tables de variables et des listes d'équations. Toutefois, si l'objectif est uniquement de vérifier si le système est causal, nous pouvons nous contenter d'une analyse graphique qui est beaucoup plus rapide à mettre en œuvre. Si le système est causal, l'analyse de causalité permettra de le mettre sous la forme d'une EDO. Dans le cas contraire, nous aboutirons à une EDA. Nous montrerons plus loin que, si le système n'est pas causal, l'analyse de causalité fournira explicitement les raisons entraînant la (ou les) faute(s) de causalité. Ceci est d'un immense intérêt pour l'utilisateur de l'outil de simulation. D'autre part, il existe de nombreuses règles graphiques qui permettent de simplifier et réduire un graphe de lien. Le nombre d'équations à résoudre est donc réduit, ce qui ne peut avoir que des effets bénéfiques sur le temps de simulation Les Réseaux de Pétri Les réseaux de Pétri sont dédiés à la description des systèmes séquentiels. Les états stables sont appelés place et les conditions de passage d'une place à l'autre sont nommées transitions. Ils sont très utilisés en conception logique pour décrire les machines d'états régissant le fonctionnement du système. Nous pouvons utiliser les réseaux de Pétri en électronique (de puissance) pour décrire les différents états d'un composant. Prenons par exemple un interrupteur idéal commandable par un signal g. Si l'interrupteur est commandé (g), il est fermé et impose une tension nulle à ses 26

27 Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique bornes. S'il n'est pas commandé ( g ), il est ouvert et impose donc un courant nul dans la branche dans laquelle il est inséré. Les réseaux de Pétri nous permettent de représenter très simplement un tel fonctionnement : Fermé u = 0 g g i = 0 Ouvert Figure 1-5 : Description d'un interrupteur idéal par réseau de Pétri. Comme nous le verrons par la suite, l'association des réseaux de Pétri et des graphes de liens apporte une solution élégante pour la représentation des phénomènes à plusieurs états, comme, par exemple, les dispositifs à semiconducteur utilisés en électronique (de puissance) LES GRAPHES DE LIENS ET L ANALYSE DE CAUSALITE Nous avons vu dans le paragraphe précédent les principales notions justifiant la représentation des systèmes physiques (dans les sciences de l'ingénieur) par des graphes de liens. Ces derniers résultent de la représentation énergétique de ces systèmes et représentent les transferts d'énergie entre deux sous-sytèmes. Deux variables sont nécessaires à l'expression du flux d'énergie : un flux (noté f) et un effort (noté e). Cette représentation est naturellement multidomaine. La table suivante propose les variables de flux et d'effort dans les domaines physiques courants. domaine physique variable de flux variable d effort Electrique le courant, i la tension, u Thermique le flux d'entropie, F s la température, T Hydraulique le débit volumique ρ v la pression, p Mécanique de translation la vitesse, v la force, f Mécanique de rotation la vitesse angulaire, ω le couple, Γ Magnétique la dérivée du flux, λ la force magnétomotrice, M Table 1-1 : Variables de flux et d'effort des principaux domaines physiques. 27

28 CHAPITRE PREMIER Les composants élémentaires Les composants élémentaires des graphes de liens peuvent être classés en fonction de leur comportement par rapport aux deux Principes de la Thermodynamique et au principe de continuité spatiale de l'énergie. Premier Principe: le composant peut être énergétique s'il stocke de l'énergie (élément mémoire). Second Principe: le composant peut être entropique s'il produit de la chaleur (non réversible). Continuité spatiale de l'énergie: le composant peut être un créateur s'il produit ou supprime de l énergie. Evidemment, un composant créateur est une absurdité physique et n'existe pas, puisqu'un tel composant est en contradiction avec le second principe. C'est seulement un moyen commode de simplifier la représentation d'un système (pour les sources en particulier). type d'élément Symboles d'élément propriété énergétique propriété entropique propriété créateur stockage C, I oui non non irréversible R, RS non oui non source Sf, Se non non oui contrainte 0,1,TF,GY non non non Table 1-2 : Classification des composants élémentaires des graphes de liens. Une classification plus complète peut être trouvée dans [Breedveld-85]. La signification des symboles est donnée dans la Table 1-4. Un composant élémentaire ne satisfait au plus qu'une seule de ces propriétés à la fois: énergétique, entropique ou créateur. Les composants élémentaires peuvent être classés aussi par le nombre de leurs ports. La Table 1-4 donne la liste des composants élémentaires ordonnés par ordre croissant du nombre de ports. Les premiers éléments à considérer sont les éléments à un port. Les éléments énergétiques C et I, sont les seuls à avoir un effet mémoire. On notera que le modèle de l inductance électrique est celui de l inertie. Les sources d'énergie Sf et Se, sont les éléments créateurs. 28

29 Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique L'élément R est entropique : il produit de la chaleur et introduit une irréversibilité. Puisque l'élément R n'explicite pas la production de chaleur, cela sous-entend qu'il se comporte comme une source de température. C'est pourquoi l'élément R est souvent qualifié d'élément entropique isotherme. Les éléments suivants sont des éléments à deux ports. L'élément RS est entropique : c'est l'élément de transformation d'une énergie en chaleur. Contrairement à l'élément R, l'élément RS montre explicitement la production de chaleur par son port thermique. Les autres éléments sont ni énergétiques, ni entropiques, ni créateurs. Les éléments TF et GY sont les éléments de transformation de l'énergie. Ils sont particulièrement utiles dans la description des systèmes multi-domaine. Enfin, les jonctions permettent de réaliser des assemblages. Dans le domaine électrique, la jonction 1 correspond à la loi des mailles et la jonction 0 correspond à la loi des noeuds. Par défaut, les jonctions ont une convention "récepteur" (liens entrants). Mais la combinaison des orientations des liens permet de tenir compte du signe des variables dans les assemblages. Par exemple, la Table 1-3 montrent les trois combinaisons de signes possibles pour une jonction 1 à trois ports. Les jonctions standard sont des éléments à trois ports. Evidemment les notions de jonction 1 et 0 s'étendent sans difficulté aux cas d'un nombre quelconque de ports. En particulier, les jonctions 0 et 1 à 2 ports permettent d'inverser respectivement les variables flux et effort. De même les jonctions 0 et 1 à un port imposent respectivement un flux et un effort nul (circuit ouvert et court-circuit). Equation implicite e 1 +e 2 +e 3 =0 e 1 +e 2 -e 3 =0 e 1 -e 2 -e 3 =0 Représentation Graphique Table 1-3 : différentes combinaisons d'orientation des liens d'une jonction 1 à trois ports. 29

30 CHAPITRE PREMIER Nom, symbole Modèle à V.E. Variables Variables représentation graphique d'entrée de sortie capacité, dx f e = f, e = e( x ) C dt C inductance, dx e f = e, f = f ( x ) I dt I résistance, e = R. f f e R (mode 1) R f = e / R e f R (mode 2) source d effort, Se source de flux, Sf transformateur, TF (m est le rapport de transformation) gyrateur, GY (m est le rapport de transformation) jonction 1, 1 (exemple d une jonction à 3 ports) e f = e( t ) f e = f ( t ) e f e = m e f = m f.,. e 2, f 1 e 1, f 2 TF (mode 1) e = m e f = m f.,. e 1, f 2 e 2, f 1 TF (mode 2) e = m f e = m f.,. f 1, f 2 e 1, e 2 GY (mode 1) f = m e f = m e.,. e 1, e 2 f 1, f 2 GY (mode 2) f 2=f 3=f 1, e 1=-(e 2+e 3) f 1, e 2, e 3 f 2, f 3, e f 1=f 3=f 2, e 2=-(e 1+e 3) f 2, e 1, e 3 f 1, f 3, e f 1=f 2=f 3, e 3=-(e 1+e 2) f 3, e 1, e 2 f 1, f 2, e Se Sf 3 3 (mode 1) (mode 2) jonction 0, 0 (exemple d une jonction à 3 ports) e 2 =e 3 =e 1, f 1 =-(f 2 +f 3 ) e 1, f 2, f 3 e 2, e 3, f e 1=e 3=e 2, f 2=-(f 1+f 3) e 2, f 1, f 3 e 1, e 3, f e 2=e 3=e 1, f 3=-(f 1+f 2) e 3, f 1, f 2 e 1, e 2, f (mode 3) (mode 1) (mode 2) (mode 3) Table 1-4 : Composants élémentaires des graphes de liens 30

31 La causalité Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique Comme nous l'avons vu, la causalité est inhérente aux graphes de liens. Chaque modèle de composant doit donc exprimer clairement sa causalité. Pour pouvoir exprimer (automatiquement) le système à simuler sous la forme d'une EDO, ce système doit être causal. C'est-à-dire que les différents composants seront connectés en respectant ces règles de causalité Règles de causalité d'un composant Le modèle à variables d état d un composant rassemble les équations d état et les équations de sorties (les règles de causalité). Les variables d entrée et de sortie sont les variables de chaque port du composant. Chaque règle de sortie précise donc, soit la valeur de la variable de flux, soit celle d effort d'un port. Il y a autant de règles de causalité que de ports. Souvent, il existe plusieurs modèles à variables d'état représentatifs d'un même composant. Ceux-ci peuvent différer seulement par leur règle de causalité. Par exemple, si la règle de causalité peut s'écrire sous la forme d'une relation linéaire entre des variables de port, il existera plusieurs formulations explicites de cette relation. Définition: Des modes sont des modèles à variables d'état équivalents qui se différentient seulement par la formulation d'une de leurs règles de causalité. Par exemple, dans le cas de la résistance, nous avons une relation linéaire classique: 0 = u R. i Eq que l'on peut représenter sous la forme explicite (Modèle à variables d'état) ou u = R. i Eq i = u R Eq L'équation 1-21 représente le mode 1 et l'équation 1-22 représente le mode 2. Pour les jonctions, il apparaît une égalité entre toutes les variables du même type (flux pour la jonction 1 et effort pour la jonction 0). Ces règles de causalité un peu particulières sont appelées des règles de fusion (Elles correspondent à un grand nombre de modes différents) Interprétation de la notion de causalité On considère l hypothèse naturelle : Postulat: tout système physique est déterministe. 31

32 CHAPITRE PREMIER De plus nous considérons que tout composant est représentable par un modèle à variables d'état (non dégénéré). Aussi, si nous connaissons les variables d'entrée de ce composant (ce qui revient à définir les variables d'entrée comme des sources adéquates), le théorème de Cauchy - Lipschitz montre que l'évolution de ce composant ne dépend que de son état initial. Une règle de causalité peut être interprétée comme une règle de cause à effet. L hypothèse cidessus implique qu un comportement a nécessairement une cause. Evidemment, une cause doit précéder son effet. Aussi dans un modèle à variable d état : dx = f( x, u, t) Eq dt y = h( x, u, t) Eq nous pouvons interpréter u comme la cause et y comme la conséquence. Les équations d état traduisent un délai entre l application des causes et l observation des effets. Quand il n y a pas de variable d état, les relations de cause à effet sont instantanées. Si l'on applique un petit échelon en entrée, la réponse du système sera proche de celle du système linéarisé. Or, compte tenu de la forme explicite de l'équation 1-23, la fonction de transfert du système linéarisé sera causale (degré du numérateur inférieur à celui du dénominateur) et donc la sortie sera en retard par rapport à l'entrée. Il en sera de même pour une petite perturbation du système non linéaire. En isolant un composant dans un système, le reste du système représente le monde extérieur au composant. Les variables d entrée du modèle du composant expriment l action de l environnement extérieur sur ce composant. Les variables de sortie traduisent les réactions du composant sur son environnement extérieur Graphe de liens d'un circuit électrique Il existe des algorithmes pour obtenir un graphe de liens à partir d'un réseau de Kirchhoff, décrit par une liste de connexions (netlist) [Karnopp-90]. H. Morel et B. Allard proposent un algorithme amélioré permettant de simplifier des circuits très complexes [Morel-97]. Nous présenterons ici succinctement cet algorithme et donnerons un exemple d'application à caractère didactique. 32

33 Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique Construction d'un graphe de liens à partir d'un réseau de Kirchhoff [Morel-97] (i) Transformer tous les noeuds du circuit en jonction 0. (ii) Pour chaque port de chaque composant insérer une jonction 1 entre les deux noeuds de la branche correspondante, en respectant les conventions. (iii) Eliminer une jonction 0 interne et tous ses liens. (iv) Simplifier le graphe de liens restant: a) en éliminant les jonctions à deux ports, b) en fusionnant les jonctions de même nature liées, c) en supprimant les boucles entre jonctions 1 et 0, d) en réduisant les boucles de jonctions , e) éventuellement en inversant les liens d'une jonction interne. Remarques : Il y a deux cas à considérer pour le respect des conventions de port : la convention "générateur" (Figure 1-6) et la convention "récepteur" (Figure 1-7). E n1 n2 i v Se:E 0:n1 1 0:n2 Figure 1-6 : Insertion d'un élément avec un port générateur n1 0:n1 C i v C:C 1 n2 0:n2 Figure 1-7 : Insertion d'un élément avec un port récepteur Pour un composant multi-ports, il est nécessaire d'insérer une jonction 1 par branche. Il faut surtout veiller à respecter la correspondance entre les variables de ports dans le graphe de liens et les variables d'entrée et de sortie dans le modèle à variables d'état représentatif du composant. Par exemple, dans le cas du transistor bipolaire les variables classiques sont i B, v BE, i C et v CE. D'autres choix de variables conduiraient à un autre graphe de liens. 33

34 CHAPITRE PREMIER collecteur i C 0:base 0:collecteur base i B v CE 1 i B v BE i C v CE 1 v BE émetteur 0:émetteur Figure 1-8 : Insertion d'un élément récepteur à plusieurs ports. Enfin, prenons le cas d'un composant à deux ports, dont l'un est récepteur et l'autre est générateur: un transformateur. p + v 1 p - i 1 i 2 s+ v 2 s - 0: 0: Figure 1-9 : Insertion d'un élément ayant un port récepteur et un autre générateur. Exemple : circuit résonnant RLC série Soit le schéma suivant: 1 0: p + p - i 1 v 1 TF i 2 v 2 0: 1 s+ s - E R 0 L C Figure 1-10 : Circuit R-L-C En appliquant les clauses (i) et (ii) nous obtenons, le graphe de liens primaire du circuit. R:R I:L 0:1 1 0:2 1 0:3 Se:E 1 1 0:0 Figure 1-11 : graphe de liens primaire 34 C:C

35 Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique La clause (iii) nous permet d'éliminer une jonction 0 interne et tous ses liens. Définition: Une jonction interne est une jonction liée uniquement à d'autres jonctions. Règle pratique : On a toujours intérêt à simplifier la jonction 0 interne qui a le plus grand nombre de ports. Ce qui nous amène au graphe de liens suivant : R:R I:L 0:1 1 0:2 1 0:3 Se:E 1 1 C:C Figure 1-12 : graphe de liens après utilisation de la clause (iii) Enfin, nous pouvons simplifier le graphe de liens restant. Elimination des jonctions à deux ports (les 2 ports doivent être orientés dans le même sens) : R:R I:L 1 1 Se:E 1 1 C:C Figure 1-13 : graphe de liens après élimination de jonctions à deux ports Fusion des jonctions liées, de même nature. Nous arrivons au graphe de liens final : R:R Se:E 1 I:L C:C Figure 1-14 : Graphe de liens final du circuit RLC après simplifications. L'annexe 1 présente les simplifications qui n'ont pas été utilisées dans cet exemple. Une fois le graphe de liens construit et simplifié, le simulateur doit mettre en équation le système de manière à pouvoir simuler son fonctionnement. C'est le rôle de l'analyse de causalité. 35

36 CHAPITRE PREMIER Analyse de la causalité Analyse de Causalité Standard Comme nous l'avons présenté précédemment, les règles de causalité peuvent être représentées par le trait causal. e A B A B f trait causal Figure 1-15 : Equivalence entre un trait causal et un schéma bloc. La causalité est indépendante du sens de transfert de l énergie, et indique quel composant fixe la valeur de la variable flux, et corollairement quel composant fixe la valeur de la variable d effort. Ainsi dans la Figure 1-15, c est le composant B qui fixe la valeur du flux (le flux est une variable de sortie de B), et c'est le composant A qui fixe la valeur de l'effort (l'effort est une variable de sortie de A). Evidemment, cela exige une certaine compatibilité entre les éléments A et B. L'analyse de causalité standard que nous allons présenter brièvement est décrite en détail dans [Karnopp-90]. Analyse de Causalité Standard : (i) fixer la causalité des sources, propager la causalité à travers les éléments de contraintes (0, 1, GY, TF). (ii) fixer la causalité des éléments C et I (causalité intégrale), propager la causalité à travers les éléments de contraintes (0, 1, GY, TF). (iii) fixer arbitrairement la causalité des éléments R non encore assignés. Propager la causalité signifie "appliquer les règles de propagation". La Figure 1-16 montre l'utilisation de l'analyse de causalité standard dans le cas du graphe de liens de la Figure

37 Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique R R R R E Se 1 C C E Se 1 C C L L a Figure 1-16 : Analyse de causalité du circuit RLC. a) après l'étape (i). b) après l'étape (ii). Toutefois, l'algorithme standard ne peut pas s'appliquer aux graphes de liens comportant des composants non standard. En effet, par exemple, nous ne pouvons pas considérer simplement qu'une diode a en général la causalité d'une capacité. Soit le modèle de diode suivant. dqd = i id( QD) dt Eq = 1 Eq v g ( Q D ) Dans ces équations, i et v sont le courant et la tension aux bornes de la diode. Q D est la charge stockée dans la diode. C'est la variable d'état de ce modèle. Bien que cela ne soit pas un modèle standard de capacité, à cause de la fonction i D (Q D ), la règle de causalité de ce modèle est bien celle d'une capacité. Nous pourrions donc considérer la diode comme une capacité, pour appliquer l'analyse de causalité standard. Mais, par exemple, le modèle complet de la jonction PN utilisé dans SPICE peut s'écrire: dqd = i id( QD) Eq dt v = g 2 Q, i Eq ( D ) Cette fois la prise en compte des résistances série, a introduit une dépendance dans la règle de causalité par rapport au courant i. On ne peut donc pas calculer la tension aux bornes de la diode, avant de connaître le courant dans celle-ci. Dans ce cas, l'algorithme standard ne peut pas s'appliquer. Il faut alors utiliser un autre algorithme appelé l'analyse de causalité algébrique [Allard-96]. L L b Analyse de Causalité Algébrique En électronique les modèles de composants sont souvent décrits en utilisant des langages de description du type HDL (MAST, HDL-A, ABCD, M++...) ou bien ils sont directement écrits avec un langage de programmation (C ou Fortran) pour les simulateurs de type SPICE. Dans tous ces cas, le modèle peut clairement s'identifier à un modèle à variables d'état 37

38 CHAPITRE PREMIER (éventuellement dégénéré). Nous venons de montrer que dans ce cas, l'analyse de causalité standard ne peut pas s'appliquer et qu'il faut utiliser l'analyse de Causalité Algébrique (ACA). Nous allons décrire brièvement cet algorithme. Si l'on souhaite obtenir explicitement les équations du système, l algorithme nécessite l utilisation de la table des variables de port du graphe de liens. Cette table est notée P. Définition : La table des variables de port est la liste des variables de port indépendantes pour tous les ports de tous les composants. Plusieurs considérations sont à prendre en compte pour construire cette table. Rappelons tout d abord que par essence, pour chaque port correspondant à un transfert d'énergie, nous devons avoir une variable d entrée et une variable de sortie. En effet, le modèle d un composant ne peut pas imposer à la fois la valeur des deux variables flux et effort d'un même port. Création de la table des variables de port P : (i) faire la liste de toutes les variables de port de tous les composants du système. (ii) fusionner les variables d'un même lien (les variables de flux entre elles et les variables d'effort entre elles). (iii) appliquer les règles de fusion: fusionner les variables de flux de chaque jonction 1. fusionner les variables d'effort de chaque jonction 0. Nous considérons le graphe de liens décrit à la Figure La table P correspondante est donnée ci-dessous. Les variables d état du système sont les variables d'état des composants dont le modèle a des variables d'état: la capacité et l inductance. Se :E 1 R:R m I:L C:C Eq : Graphe de liens du circuit RLC table P nom des variables de port des composants table X nom des variables d'état des composants p 0 E.i, R.i, C.i, L.i, m.f 1, m.f 2, m.f 3, m.f 4 x 1 L.i flux dans l inductance L p 1 E.v, m.e 1 x 2 C.v, charge de la capacité C p 2 R.v, m.e 2 p 3 C.v, m.e 3 p 4 L.v, m.e 4 Table 1-5 : Table des variables de ports et table des variable d'état du circuit RLC. 38

39 Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique Avant d'aller plus avant dans la description de cet algorithme il nous faut préciser le vocabulaire utilisé. Définitions : Une variable de port connue est une variable qui peut être calculée explicitement à partir de la valeur des variables d état en utilisant une règle de causalité d'un des composants du graphe de liens. Dans la pratique, cela correspond à l'ajout adéquat d'une barre de causalité sur la représentation graphique du graphe de liens. Une règle de causalité applicable est une règle de causalité dont les variables d'entrée sont connues au moment où la règle de causalité est considérée. Dans ce cas, un signe adéquat est inscrit sur la représentation graphique du graphe de liens. Cela permet de savoir que cette règle de causalité a été utilisée et que la variable de sortie de la règle est alors connue. Une séquence de composants est une liste arbitraire des composants du graphe de liens. La séquence ACA des règles de causalité est la liste des règles de causalité dans l'ordre où les règles sont déclarées applicables. Notations graphiques: A A La demi-barre sur le lien du côté du composant A, signifie que la variable de flux du lien est connue. De plus, c'est la règle du composant A qui est utilisée pour calculer cette variable de flux. La double demi-barre sur le lien du côté du composant A signifie que la variable d'effort du lien est connue. De plus, c'est la règle de causalité du modèle du composant B qui est utilisée pour calculer cette variable d'effort. Evidemment, nous avons des notations similaires lorsque la demi-barre ou la double demi-barre est notée sur le port du composant B. Enfin, les deux notations peuvent se superposer : A Cela veut donc dire que les variables de flux et d'effort du lien sont connues. C'est le modèle du composant A qui permet de calculer la variable de flux et c'est le modèle du composant B qui permet de calculer la variable d'effort. L'algorithme d'analyse de causalité algébrique s'applique pour une séquence de composants donnée. B B B 39

40 CHAPITRE PREMIER Analyse de Causalité Algébrique: Début Elément de la séquence de composant suivant Règle de causalité suivante non Règle de causalité applicable oui non Règle de fusion utilisable pour l'élément Utiliser la règle (voir 1) oui non 1) Prendre en compte la règle au niveau graphique Variable de sortie de la règle de causalité déjà connue oui La variable de sortie de la règle considérée devient connue Les symboles graphiques de représentation de la règle de causalité doivent être indiqués pour cette règle non Dernière règle de causalité oui non Dernier composant oui oui GRAPHE DE LIENS CAUSAL Toute les variables de port sont connues non CAUSALITE INDETERMINEE FAUTE DE CAUSALITÉ Figure 1-17 : Algorithme d'analyse de la Causalité Algébrique. 40

41 Propriétés : Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique Pour chaque séquence de composants, il correspond une unique séquence ACA. En effet, par construction, la séquence ACA est déterminée à partir de l'ordre des composants dans la séquence de composants. Si le système est causal pour une séquence de composants, il est causal pour toutes les autres séquences de composants. Si le système est causal, la séquence ACA et les équations d'état définissent une EDO du système. Si le système n'est pas causal, la séquence ACA, les équations d'état, les équations implicites correspondant aux règles de causalité provoquant des fautes de causalité et les équations implicites correspondant aux règles de causalité non utilisée forment une EDA du système. D'autre part, l'algorithme identifie clairement quels composants ont créé une faute de causalité. L'utilisateur a donc a sa disposition des informations précieuses qui lui feront gagner du temps lors de la simulation d'un système complexe. La table suivante présente graphiquement les causalités des composants de la Table 1-4 pour l'analyse la causalité standard et l'analyse de causalité algébrique. 41

42 CHAPITRE PREMIER Nom, symbole capacité, C e=f(x) inertie, I f=f(x) ACA avant affectation ACA après affectation causalité standard avant affectation C C C C I I I I résistance, R e = R f R R R R f = e/r source d'effort, Se, e=f(t) source de flux, Sf, f=f(t) R R R R Se Se Se Se Sf Sf Sf Sf causalité standard après affectation transformateur, TF, f 2 = m f 1 TF TF TF TF e 1 = m e 2 TF TF f 1 = f 2/m TF TF TF TF e 2 = e 1/m TF TF gyrateur, GY e 2 = m f 1 GY GY GY GY e 1= m f 2 GY GY f 1 = e 2/m GY GY GY GY f 2 = e 1/m GY GY jonction, 1 f 3=f 2=f e 3=e 2+e jonction, 0 e 3=e 2=e f 3=f 2+f Table 1-6 : Représentation graphique de la causalité pour les éléments standard, pour la méthode ACA et la méthode standard. Dans le cas des jonctions 0 et 1, l'orientation des demi-flèches n'influe pas sur la causalité des jonctions. C'est pourquoi elles ne sont pas indiquées sur les figures relatives aux jonctions. 42

43 Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique Exemples d'application La faute de causalité ne signifie pas systématiquement que le système n'est pas simulable. Elle correspond, dans la pratique, à une contrainte algébrique. L'analyse des systèmes non causaux [Morel-97] permet de "corriger" un certain nombre de fautes de causalité de manière à pouvoir simuler le système. Nous ne préciserons pas le détail de l'analyse des systèmes non causaux. Nous donnerons simplement quelques exemples illustrant clairement l'intérêt de l'analyse de causalité et de la correction des fautes de causalité. Tout d'abord, comparons le comportement d'un simulateur d'électronique de puissance basé sur la méthode nodale modifiée avec un autre simulateur basé, lui, sur les graphes de liens et l'analyse de causalité algébrique : circuit Méthode nodale (modifiée) Analyse de causalité algébrique SABER PACTE Analyses DC et Transitoire pas Faute de causalité sur L1 ou L2. I L1 C L2 R de problème. L'analyse DC avec initialisation des courants dans L1 et L2 est fausse, il n'y a pas La simulation se fait avec L1 ou L2 en causalité dérivée : un seul courant initial peut être spécifié. 2 équations d'état. circuit 1 d'avertissement. 6 équations simultanées C I G Analyse DC et Transitoire sans problème. Pour certain SPICE, le courant dans C est Faute de causalité sur C. La simulation peut se faire avec C en causalité dérivée. complètement faux. La tension aux bornes de C ne circuit 2 Si la tension est initialisée dans C une erreur "Singular Jacobian peut pas être initialisée. 0 équation d'état. Matrix" est obtenue dans l'analyse DC Table 1-7 : Exemples simples de circuits non causaux. Comme nous pouvons le constater, dans le cas du circuit 1, la méthode nodale ne fournit aucun avertissement à l'utilisateur. Le résultat est simplement non conforme à la réalité. Alors que l'aca permet de spécifier la cause de l'erreur et de proposer une solution à l'utilisateur. 43

44 CHAPITRE PREMIER Pour le circuit 2, outre un risque de résultat erroné, le message d'erreur proposé est, pour le moins, obscur. L'ACA ici aussi propose une solution pour pouvoir simuler le circuit. L'utilisateur peut donc obtenir un résultat, sachant tout de même que le circuit présente un problème. En résumé, les causalités indéterminées correspondent davantage à une difficulté de mise en équation (résoudre formellement un système d'équations linéaires) qu'à un problème physique. En revanche, les fautes de causalité correspondent à des problèmes physiques. Il s'agit très souvent d'une modélisation physique incomplète, comme la non prise en compte de certains éléments parasites. Toutefois dans certains cas, la dynamique associée à ces éléments parasites peut être jugée peu importante. Auquel cas, il est intéressant de pouvoir simuler de tels systèmes. La première solution est de résoudre le système d'équations algébriques et différentielles par d'autres méthodes numériques. Dans l'approche classique des graphes de liens, on a souvent recours à un autre artifice, la causalité dérivée, c'est-à-dire imposer des contraintes entre certaines variables d'état. Pour illustrer notre discours, prenons comme dernier exemple le circuit hacheur de tension suivant : L D E R Rg G M Figure 1-18 : Un hacheur de tension. Ce circuit est bien connu des électroniciens de puissance, cependant, l'analyse de causalité algébrique détecte une erreur de causalité dans la branche de la diode. Cette erreur est, en fait, due à une modélisation incomplète. En effet, nous n'avons pas pris en compte l'inductance de câblage de la diode représentée sur la figure suivante : 44

45 Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique L D E R Ld Rg G M Figure 1-19 : Circuit hacheur avec une inductance de câblage. Cependant, l'utilisateur peut désirer effectuer tout de même la simulation pour, par exemple estimer l'effet de cette inductance, ou, plus simplement parce qu'il ne s'intéresse pas au détail de la commutation. La correction des fautes de causalité est donc particulièrement importante. Un message d'avertissement sera cependant fort utile. Comparons les résultats des deux simulations (Logiciel Pacte, version 0.98). sans inductance de câblage avec inductance de câblage sans inductance de câblage avec inductance de câblage Figure 1-20 : Simulation du circuit hacheur avec et sans inductance de câblage. En haut : courants dans la diode. En bas : tensions aux bornes de la diode 45

46 CHAPITRE PREMIER La simulation de l'eda correspondant au schéma sans inductance de câblage peut être effectuée mais conduit à une commutation sans surtension aux bornes de la diode, alors que l'expérience prouve le contraire. L'introduction de l'inductance de câblage pour annuler l'erreur de causalité nous permet de nous rapprocher de l'expérience PACTE. Le CEGELY, et plus particulièrement H. Morel et B. Allard développent depuis plusieurs années un logiciel dédié à la simulation en électronique de puissance : PACTE [Allard-93]. Cet outil est basé sur une représentation par graphes de liens (il est donc naturellement multidomaine) et intègre l'analyse de Causalité Algébrique et un certain nombre de correction de causalités. Il permet cependant de saisir un schéma électrique décrit par un réseau de Kirchhoff. Ce schéma est alors automatiquement converti en graphe de liens avant d'être mis en équation. Une de ses particularités est d'utiliser les réseaux de Pétri pour décrire des modèles à plusieurs états et effectuer un changement d'état en cours de simulation. C'est particulièrement utile en électronique de puissance où la majorité des éléments de commutation changent de causalité en fonction d'événement extérieurs : seuils de courant ou de tension, commande des transistors, etc... Ce logiciel dispose de son propre langage de programmation pour la saisie des modèles complexes : M++. Sa syntaxe est basée sur le C++. Il est, évidemment, dédié à la formulation par graphes de liens. Il permet aussi de décrire les modèles à plusieurs états, comme l'on décrirait un réseau de Pétri : à chaque étape sont associés un modèle et des conditions de passage vers une autre étape (autre modèle). Les différentes applications réalisées ont montré que le champ d'utilisation de PACTE dépasse largement le domaine de l'électronique de puissance CONCLUSION Par un bref résumé des principales notions concernant la modélisation des systèmes et notamment le formalisme d'état, nous avons montré que tout système déterministe peut se mettre sous la forme d'une Equation Différentielle Ordinaire. Ce système d'équations a la particularité d'être complètement décrit par ses valeurs initiales et de posséder une solution unique. 46

47 Formalismes pour la Simulation en Génie Electrique Nous avons ensuite comparé différentes méthodes d'assemblage utilisées dans le domaine du Génie Electrique pour décrire les systèmes à simuler. Pour deux d'entre elles, les réseaux de Kirchhoff et les graphes de liens, nous avons analysé leur aptitude à fournir un jeu d'equations Différentielles Ordinaires, assurant ainsi une bonne fiabilité du résultat de sa simulation numérique. D'autres formalismes existent. Citons par exemple les éléments finis (équations aux dérivées partielles). Ce type de méthode est encore très peu utilisé pour la simulation de systèmes complet pour des raisons de temps de calcul. Dans un contexte "système", ils sont généralement utilisés pour vérifier un point particulier parfaitement ciblé. C'est pourquoi nous les avons écartés de nos propos. Le formalisme des graphes de liens, très utilisé par les mécaniciens et les automaticiens, est de plus en plus utilisé dans d'autres spécialités dont l'électronique de puissance. Nous avons présenté les principales notions de cette théorie qui repose sur une représentation énergétique des phénomènes physiques et sur une expression claire de la liaison entre les causes et les effets (les variables d'entrée et de sortie) : la causalité. Un algorithme d'analyse de causalité a ensuite été introduit : l'analyse de Causalité Algébrique. Si le système est causal, il sera représenté par une Equation Différentielle Ordinaire, garantissant ainsi l'unicité de la solution. Nous avons enfin montré par quelques exemples concrets l'intérêt d'un tel outil pour les concepteurs. Les fautes de causalité résultent le plus fréquemment d'un niveau de modélisation insuffisant ou de l'oubli d'un élément parasite important. L'annonce claire des raisons d'une faute de causalité permet à l'utilisateur de gagner un temps précieux et d'éviter certaines erreurs "fatales". Enfin, nous avons succinctement présenté un logiciel de simulation reposant sur le formalisme par graphes de liens et l'analyse de Causalité Algébrique : PACTE. Cet outil a la particularité d'utiliser les réseaux de Pétri pour générer les changements de modèles en cours de simulation, lorsque cela est nécessaire. Le formalisme des graphe de liens, même s'il peut être transparent pour l'utilisateur lors de la saisie des schémas électroniques (ce qui n'est plus vrai dans un contexte multi-domaine) implique le respect de certaines règles très strictes lors de l'écriture des modèles. Ceci oblige l'utilisateur à se poser un certain nombre de questions qu'il n'avait pas forcément l'habitude de se poser. Il détecte ainsi plus rapidement les points durs de la modélisation et aboutit généralement à un modèle plus "physique". Dans la suite de notre présentation, nous nous attacherons principalement à préciser clairement la causalité de chaque modèle, même si souvent, la représentation par graphes de liens des 47

48 CHAPITRE PREMIER schémas utilisés est occultée au bénéfice des réseaux de Kirchhoff plus "parlants" pour le néophyte. La qualité de la simulation des phénomènes physiques est généralement liée à la complexité des modèles, et donc, au "coût" de simulation. Même si les systèmes informatiques évoluent très rapidement en terme de nombre d'opérations par seconde et de capacité mémoire, le concepteur doit tout de même adapter le niveau de modélisation à ses objectifs. Dans le chapitre suivant, nous étudierons les différents niveaux de modélisation des composants de puissance que nous avons utilisés et dégagerons des lignes directrices quant au choix des modèles en fonction des objectifs annoncés. 48

49 CHAPITRE SECOND NIVEAUX DE REPRESENTATION ET OBJECTIFS DE SIMULATION Nous avons vu précédemment que le choix de la méthode d'assemblage des différents composants du système avait des répercussions non négligeables sur la formulation de ses équations et sur leur résolution. Le graphe de liens et l'analyse de causalité algébrique permettent de représenter le système causal à simuler par un jeu d'équations différentielles ordinaires, garantissant ainsi l'unicité de la solution. Nous allons nous intéresser maintenant aux composants eux-mêmes et à leurs niveaux de modélisation. En effet, de manière générale, la complexité d'un modèle (le nombre d'équations à résoudre) croit avec la finesse de la représentation qu'il procure. Le coût de calcul sera donc directement lié à la finesse avec laquelle le phénomène physique sera représenté et aux performances de la méthode de résolution utilisée. Par exemple: Le coût d'une résolution par la méthode de Newton est grossièrement de l'ordre du carré du nombre d'équations implicites du système (n). D'autre part, la nature même du système à simuler influe sur le coût de simulation. Le pas de temps de la méthode d'intégration utilisée pour résoudre les équations du système est de l'ordre de la plus petite constante de temps et l'horizon temporel de la simulation est souvent de l'ordre de la plus grande constante de temps. Ainsi, nous pouvons définir une grandeur R, appelée raideur, qui est de l'ordre de grandeur du rapport entre la plus grande constante de temps du système et la plus petite. Plus R sera grand, plus le système sera dit "raide". [Crouzeix-84]. Le coût de la simulation (le nombre de pas de temps) est de l'ordre de R, la raideur du système. Finalement, en introduisant un coefficient τ 0 lié au simulateur (méthode d'intégration) et, surtout, au calculateur, nous pouvons définir le temps de simulation, Ts = τ 0.R.n². A cela, il faudrait ajouter un facteur prenant en compte le volume de stockage nécessaire et les temps d'accès correspondants (mémoire vive et/ou disque dur).

50 CHAPITRE SECOND Prenons quelques exemples concernant la raideur : 1ms Pour un amplificateur HF, R = 01µ s = En électronique de puissance, la simulation d'un convertisseur avec prise en compte de la dynamique des composants à semiconducteur correspond ms à : R = 20 01ns = Toujours en électronique de puissance, si l'on ajoute la prise en compte s des couplages thermiques, R = 20 01ns = C'est inabordable!. s Enfin, si l'on ne simule que la phase de commutation, R = 1 µ 01ns = En résumé, si la complexité du modèle ne dépend que de la finesse de la représentation associée, la raideur, quand à elle, dépend des objectifs de la simulation. Il convient donc, lorsque c'est possible, de choisir des modèles adaptés à ses objectifs. De nos jours, il est encore utopique (et certainement inutile) de vouloir simuler un cycle de roulage d'un véhicule électrique (plusieurs kilomètres) en prenant en compte chaque commutation des composants à semiconducteur. Dans ce chapitre, nous allons présenter différents niveaux de représentation des éléments de commutation en électronique de puissance (le transistor et la diode) en allant du plus précis (donc du plus coûteux) vers le plus rapide. Nous nous attacherons en particulier à définir les conditions d'utilisation de ces représentations et ainsi les objectifs qu'il est possible d'atteindre. 50

51 Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation 2.1. LES MODELES DE COMMUTATION Les modèles de comportement Ce type de modèle repose sur la physique des composants à semiconducteur. Ils ont pour objectif de représenter le mouvement des électrons et des trous dans un semiconducteur. Ce mouvement est très complexe et peut même être considéré comme chaotique (mouvement brownien). Une première simplification consiste à représenter de façon statistique le mouvement des particules (alors que les équations de la mécanique classique sont parfaitement déterministes). La fonction de distribution décrit le nombre de particules dans une position donnée et ayant un vecteur "vitesse" donné [Akhiezer]. La deuxième simplification consiste à ne s'intéresser qu'aux grandeurs hydrodynamiques (macroscopiques), la concentration des porteurs, la vitesse moyenne (ou la densité de courant) et éventuellement l'énergie moyenne (voire la température des porteurs). Les modèles hydrodynamiques correspondent à un système d'équations aux dérivées partielles qui décrivent ces grandeurs [Akhiezer]. Lorsque l'on élimine les cas où l'énergie des porteurs est importante (avalanche, MOS à canal sub-micronique, injection des porteurs dans les isolants), nous pouvons nous contenter d'utiliser le modèle très classique dit de "dérive diffusion" [Sze]. Ce modèle peut s'obtenir comme cas limite du modèle hydrodynamique lorsque l'on néglige l'accélération des porteurs et que l'on suppose que la température des porteurs est égale à la température du cristal. Enfin, nous pouvons utiliser une technique mathématique appelée "approximation interne" pour développer un modèle analytique d'un composant. Cette méthode a été appliquée avec succès à la modélisation de la zone de plasma dans la diode de puissance [Morel-94]. Ces différents modèles sont généralement utilisés dans les simulateurs dédiés à la conception de composants à semiconducteur. Les plus simples (modèles à variables d'état), sont utilisés pour la simulation de quelques commutations dans un circuit. Les temps de simulation vont de quelques heures à plusieurs jours. Nous ne rentrerons pas dans le détail de tels modèles que nous considérerons simplement comme des références de simulation dans la suite de notre discours. Ils sont, pour certains, déjà implantés dans le simulateur PACTE. Nous citerons simplement les modèles que nous envisageons d'utiliser, à savoir : 51

52 CHAPITRE SECOND Pour la Diode de puissance : Le modèle "Diode PIN" développé au CEGELY [Morel-94]. Pour l'igbt : Un des modèles développés par A. Hefner [Hefner-93], [Hefner-94]. Les modèles de comportement représentent de manière assez précise le comportement du composant à semiconducteur soumis à des contraintes extérieures. Si l'on souhaite utiliser ce type de modèle pour simuler tout ou partie d'un convertisseur, il convient de s'assurer que ces contraintes extérieures (conditions tension / courant et, pour les composants commandables, circuit de commande) sont correctement représentées. En effet, comme l'exemple du circuit hacheur le montre (cf ), si, par exemple, les inductances de câblage sont mal modélisées, le résultat de la simulation sera erroné, même avec de très bons modèles des composants à semiconducteur. L'utilisation de tels modèles demande donc un volume de travail très important. Outre l'identification des paramètres de ces modèles qui est particulièrement complexe, ils nécessitent une très bonne connaissance de l'environnement immédiat des composants. Généralement, nous préférerons donc les utiliser dans des simulations très partielles où les contraintes extérieures sont parfaitement identifiées. Ces modèles sont en fait assez récents (moins de 10 ans). Des modèles plus simples sont utilisés depuis bien plus longtemps pour simuler des systèmes complets. Ils sont souvent appelés "schémas électrique équivalents" Les modèles simplifiés C'est l'approche la plus classique. Elle repose sur l'exploitation des caractéristiques statiques. Le schéma électrique équivalent de la jonction PN est le plus utilisé (presque tous les simulateurs le proposent). i 1. Qe C j i pe Qp. 2 i D C d v D Figure 2-1 : Schéma électrique équivalent de la jonction PN. Cj est la capacité de jonction, Cd est celle de diffusion et Id est le courant direct. 52

53 Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation De la même manière, nous trouvons des schémas électriques équivalents pour les transistors (Gummel-Poon par exemple). Si ce type de modèle (communément appelé "modèle de type Spice") est très utilisé en microélectronique, il est mal adapté à la simulation en régimes fortement transitoires, comme c'est toujours le cas en électronique de puissance. Nous y préférerons des modèles plus élémentaires à deux états. Pour la simulation de systèmes complets, le modèle le plus exploité en électronique de puissance est le modèle "bi-statique". Le composant à semiconducteur sera modélisé par deux états statiques comme le montrent les figures suivantes. passant i < i seuil v > vseuil i v bloqué Figure 2-2 : Modèle bi-statique de la diode. Dans la mesure où nous ne nous intéressons qu'aux états statiques, nous pouvons considérer que les transistors (Mosfet ou IGBT) fonctionnent uniquement dans la région linéaire de leurs caractéristiques. Nous pouvons donc utiliser le même type de modèle que pour la diode, avec une condition supplémentaire imposée par la commande. passant i g < Vth ou I<Iseuil g > Vth et I>Iseuil g v bloqué Figure 2-3 : Modèle bi-statique d'un interrupteur commandable. Comme nous le verrons par la suite, les phases statiques peuvent être correctement représentées avec des modèles relativement simples. A l'évidence, la phase de commutation 53

54 CHAPITRE SECOND n'est pas prise en compte par ce type de modèle. Elle est instantanée à partir du moment où une transition devient vraie. Par conséquent, la modélisation des éléments parasites du convertisseur, particulièrement les inductances de câblage, est inutile. Au pire, elles créeraient une erreur de causalité. Les trois niveaux de représentation les plus couramment rencontrés dans la littérature sont : le modèle d'interrupteur idéal, le modèle à résistance bi-linéaire et le modèle prenant en compte la caractéristique statique "réelle". Le tableau suivant résume les différents paramètres de chaque modèle pour la diode. Etat Transition Bloqué Passant Iseuil Vseuil Idéal I = 0 A V = 0 V 0 A 0 V Résistance bi-linéaire I = V/Roff V = Ron.I I 0 V 0 Caractéristique statique I = I fuite # 0 A V = f(ion) 0 A 0 V Table 2-1 : Différents modèles bi-statiques de diodes. Ces différents modèles correspondent aux caractéristiques statiques suivantes : I I I a b c I0 V V0 V V Figure 2-4 : Différents modèles de caractéristiques statiques de diodes. Nous pouvons dresser le même type de tableau pour les interrupteurs commandables : Table 2-2 : Différents modèles bi-statiques d'interrupteurs commandables. Les paramètres de ces modèles sont facilement identifiables: seul un relevé de caractéristiques statiques est nécessaire. Etat La simulation des convertisseurs de puissance à l'aide des modèles simplifiés permet une validation globale de l'ensemble dans des conditions proches de la réalité. Ils permettent 54 Transition Bloqué Passant I seuil V th Idéal I = 0 A V = 0 V 0 A 0 V Résistance binaire I = V/Roff V = Ron.I I 0 V 0 Caractéristique statique I = I fuite # 0 A V = f(ion) 0 A V 0

55 Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation d'observer les contraintes électriques liées aux grandes constantes de temps (généralement la charge). Les contraintes électriques sur les composants à semiconducteur, liées aux phases de commutation ne sont pas correctement représentées, mais les harmoniques dus aux commutations sont toutefois présents et permettent d'observer leurs effets éventuels sur la charge. Du point de vue numérique, le modèle à résistance bi-linéaire à l'avantage de ne pas introduire de non-linéarités (par segments temporels). En effet, un circuit ne comprenant que des éléments linéaires et des interrupteurs de ce type, reste linéaire entre les phases de changement d'état. Leur principal inconvénient est d'introduire des contraintes numériques dans le système au moment de la commutation. Les deux autres modèles, que l'on qualifie de "modèles à topologie variable" utilisent clairement la fonction première de l'interrupteur. Les systèmes d'équations ainsi obtenus restent simples. Par contre, l'inconvénient majeur de cette approche est la complexité de la mise en équation : la matrice d'état peut changer de structure et de dimension au rythme des changements d'états des composants. Un simulateur ad hoc s'impose. Si le coût de simulation est réduit par la simplification du modèle (nombre d'équations implicites), la raideur reste quasiment inchangée. En effet, la commutation instantanée des interrupteurs force le pas d'intégration à être réduit. Nous pouvons généralement espérer une réduction de la durée de la simulation par un facteur 10 à Conclusion Si les modèles comportementaux sont séduisants par la qualité de la simulation qu'ils permettent d'obtenir, ils nécessitent un travail d'identification colossal et un temps de simulation encore prohibitif. Ils sont généralement utilisés pour observer des phénomènes se situant à l'échelle de temps de quelques commutations. Ils peuvent, par exemple permettre d'observer les contraintes maximales (courant, tension) sur les interrupteurs dans le pire cas. Les modèles simplifiés nécessitent encore un temps de simulation important. Par contre, la connaissance "intime" du système n'est plus nécessaire. Un relevé des caractéristiques statiques est suffisant. Les résultats obtenus sont suffisamment proches de la réalité pour permettre la validation du fonctionnement global du convertisseur. La qualification des algorithmes de modulation de largeur d'impulsion est aussi envisageable : allures des grandeurs électriques dans la charge et aspect spectral de la modulation. 55

56 CHAPITRE SECOND Cependant, pour des raisons de temps de simulation, l'observation de phénomènes nécessitant un temps supérieur à quelques fois la plus grande constante de temps (boucles de régulation par exemple) n'est pas envisageable. L'automaticien a besoin d'un modèle de convertisseur plus rapide à simuler. Les seules informations qui lui sont nécessaires se situent aux "basses fréquences" du système. Bon nombre d'automaticiens représentent encore ces convertisseurs comme un gain (variable ou non). Un modèle, rapide à simuler, et représentant le plus fidèlement possible les grandeurs "lentes" du convertisseur, leur serait très utile. Ce type de modèle est appelé "Modèle Moyen" LES MODELES MOYENS Comme nous l'avons vu, le nombre d'équations du système et les constantes de temps étendues (de la nanoseconde à plusieurs millisecondes) des circuits en électronique de puissance, impliquent des coûts de simulation importants. Ces problèmes sont la conséquence de la fonction interrupteur qui introduit de fortes non-linéarités. Toutefois, l'objectif de ces convertisseurs de puissance est la réalisation de la fonction "conversion d'énergie". Les systèmes qui décrivent cette fonction de conversion d'énergie en éliminant la fonction interrupteur, sont appelés modèles moyen Les différentes approches Les modèles moyens sont utilisés dans la littérature scientifique depuis une vingtaine d'années [Middlebrook-76]. Il existe principalement deux types d'approches [Kassakian-91]. Ces deux approches supposent que la période d'un cycle de commutation est faible par rapport aux contantes de temps du système. C'est évidemment une condition nécessaire au bon fonctionnement du convertisseur, mais son expression mathématique est bien moins simple. La première approche est celle du "circuit moyen équivalent" (ou circuit averaging). C'est la plus ancienne. Elle consiste à remplacer une partie du circuit par un circuit moyen. Prenons le circuit hacheur abaisseur de tension (buck) comme exemple : T E ggcommande drive L D C R Figure 2-5 : Circuit hacheur abaisseur de tension 56

57 Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation Dans l'approche graphe de liens, la fonction conversion d'énergie est simplement réalisée par l'élément TF ou MTF. Une représentation intuitive de la fonction "conversion d'énergie" sous la forme d'un graphe de liens fait apparaître un transformateur de tension modulé: Se:E 1 7 (i1, u1) MTF:Tr (i7, u7) ρ 1:l2 8 I:L 9 R:R 10 0:n2 11 C:C Figure 2-6 : Graphe de liens qui explicite la fonction conversion. (i1,u1) sont respectivement le courant et la tension de la source E, i7 est le courant dans l'inductance et u7 est la différence de potentiel entre la cathode et l'anode de la diode. Sous forme d'un circuit équivalent cela donne: E D L C R ρ Figure 2-7 : Schéma électrique équivalent représentant la fonction "transformation d'énergie". Notons que bien souvent la partie gauche du schéma est oubliée. Dans ce cas, la transformation d'énergie se résume à une fonction "amplification". Le gain sera ici inférieur à 1. L ρε D C R Figure 2-8 : Schéma électrique équivalent représentant la fonction "amplification". La Figure 2-9 montre la simulation de ces modèles moyens comparée au circuit Figure 2-5. La comparaison montre clairement qu'en moyenne les résultats sont très proches. Pourtant, les coûts de simulation sont très différents. Le coût de calcul est réduit de façon spectaculaire: par 100 ou 1000 de façon courante. 57

58 CHAPITRE SECOND Courant dans l'inductance Hacheur idéal Modèle moyen Hacheur idéal Tension aux bornes du condensateur Modèle moyen Figure 2-9 : Simulation d'un circuit hacheur idéal et du schéma électrique équivalent à la fonction "transformation d'énergie" D'un point de vue pratique, ce type de simplification se justifie par le calcul de la valeur moyenne d'une variable de sortie. Notons que ce type de modèle moyen permet de ne remplacer par un circuit électrique équivalent que la partie du système ayant des constantes de temps "faibles". Le problème de cette approche est de définir correctement la partie du circuit et la ou les variables de sortie à "moyenner", en fonction de la structure du convertisseur. Pour contourner ces difficultés, des auteurs ont proposé plus récemment une technique de modèle à moyenne d'état (State Space Averaging) [Krein-90], [Sanders-91], [Tymerski-94]. Cette fois la méthode s'applique à une représentation explicite des équations du système, une EDO. Cette EDO permet de fournir une nouvelle EDO par moyenne sur un cycle de l'équation précédente. L'avantage de cette approche est une base mathématique plus solide. Toutefois la moyenne ne distingue pas les variables d'état rapides des variables d'état lentes : il existe donc un modèle moyen pour chaque valeur de chaque composant du système. Un autre inconvénient de cette approche est qu'elle nécessite les équations du système sous la forme d'une EDO. Or, nous avons vu dans le premier chapitre que cela n'était pas très simple, et pas toujours possible. Nous avons vu aussi que l'analyse de causalité permet de construire une EDO représentative du convertisseur. On pourrait donc utiliser l'analyse de causalité pour appliquer les techniques de 58

59 Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation moyenne d'état. En fait à l'heure actuelle, la technique de moyenne d'état est surtout utilisée dans des travaux de recherche où les équations du circuit sont obtenues à la main. Lehman et Bass [Lehman-95] ont montré que de tels modèles pouvaient donner des réponses erronées dans les systèmes bouclés, si la période de commutation est trop proche des constantes de temps du système. Ils proposent une méthode de calcul des modèles moyens, basée sur les moyennes d'état, prenant en compte la fréquence de découpage. Ce modèle moyen restitue correctement les variations dues à la valeur de la fréquence de découpage devant les constantes de temps de la charge et de l'alimentation (dans le cas du hacheur élévateur de tension avec boucle de régulation). Ici aussi, chaque modèle est dédié à un circuit donné. Cependant ces méthodes de déduction de modèles moyens sont mal adaptées aux convertisseurs de structure complexe ou à résonance. Notons qu'une méthode basée sur la technique des "données échantillonnées" (sampled-data techniques) [Eng-96] mène au calcul des modèles moyens mais est limitée aux petits signaux. Nous allons présenter un algorithme, basé sur l'analyse de causalité, qui permet d'obtenir de façon systématique un modèle de type circuit moyen équivalent, indépendamment de la nature du convertisseur Un algorithme de construction de modèle moyen Cet algorithme est basé sur l'analyse de causalité des graphes de liens commutés. Dans le cas du circuit hacheur de la Figure 2-5, les différents états sont représentés dans la machine d'état de ce convertisseur (Figure 2-10). roue-libre T:passant charge D:bloqué i<0 T:bloqué D:passant vide T:bloqué D:bloqué Figure 2-10 : réseau de Petri du circuit de la Figure 2-5. Un convertisseur de puissance travaille toujours avec une même séquence d'états des interrupteurs, un mode de fonctionnement. Par exemple dans le mode de conduction continue, la séquence est S={charge, roue-libre}, mais dans le mode de conduction discontinue la séquence est S={charge, roue-libre, vide}. 59

60 CHAPITRE SECOND L'algorithme de construction de modèles moyens s'applique à une séquence donnée, que nous noterons S. Le convertisseur est généralement piloté par des séquences MLI. Mais, pour que l'algorithme s'applique simplement, la commande des interrupteurs doit être représentée par des sources de tension, que nous appellerons les sources de pilotage. Dans le modèle moyen obtenu, ces sources seront remplacées par des signaux donnant les temps de conduction et la période du cycle, T. On note ρ i le rapport cyclique de l'état numéro i dans la séquence S. L'instant de fin de l'état i dans la séquence S est donc: i ti = t0 + T. ρi pour 1 i N, j= 1 où t 0 est l'instant de début du cycle et N est le nombre d'états de la séquence S. L'algorithme s'applique à un graphe de liens, car il utilise l'analyse de causalité. Il faut donc utiliser un algorithme de traduction du réseau de Kirchhoff en graphe de liens. Se:E 1:l1 0:n1 Sw:T Se:g L'algorithme se compose de 6 étapes :l3 6 Sw:D 60 1:l2 8 I:L 9 R:R 10 0:n2 11 C:C Figure 2-11 : graphe de liens du circuit de la Figure 2-5. Etape A: déduction du bloc de commutation. Le bloc de commutation est la partie du graphe de liens qui comprend: (i) (ii) (iii) (iv) les composants qui changent d'état pendant la séquence S (les interrupteurs), les jonctions liées à un composant de la clause (i), les jonctions internes liées à au moins deux composants du bloc de commutation, les éléments à stockage d'énergie liés à une jonction du bloc de commutation. Rappel 1: une jonction interne est une jonction liée uniquement à d'autres jonctions Rappel 2: une jonction est un des éléments, 0, 1, TF, MTF, GY, MGY. Dans notre exemple, le bloc de commutation est:

61 Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation clause (i): T, D, clause (ii): l1,l3, clause (iii): nl. bloc de commutation Se:E 1:l1 0:n1 (i1, v1) (i2, v2) R:R 1:l2 0:n2 Sw:T 1:l3 I:L C:C Se:g Sw:D Figure 2-12 : Bloc de commutation obtenu à l'étape A. Etape B: Identifier les variables de port externes au bloc de commutation Les liens externes du bloc de commutation sont ceux qui franchissent la frontière du bloc. Certains d'entre ces liens relient des sources de pilotage. Les variables de port du bloc de commutation sont les variables des autres liens. Dans notre exemple, les variables de port sont donc i 1,v 1 et i 2,v 2. Etape C: Identifier les variables d'entrée et de sortie du bloc de commutation L'analyse de causalité algébrique est appliquée aux éléments qui n'appartiennent pas au bloc de commutation. Cette analyse de causalité fournit explicitement des variables d'entrée du bloc de commutation (le vecteur U). Ce sont les variables de port qui sont connues à la fin de l'analyse. Les autres variables de port sont les variables de sortie (le vecteur Y). Dans notre cas, l'analyse de causalité conduit aux résultats suivants: R:R Se:E 1:l1 0:n1 (i1, v1) (i2, v2) 1:l2 0:n2 Sw:T 1:l3 I:L C:C Se:g Sw:D Figure 2-13 : Analyse de causalité algébrique du nouveau graphe de liens. Soit, U=[v 1,i 2 ] et Y=[i 1,v 2 ]. 61

62 CHAPITRE SECOND Etape D: Simplification du graphe de liens Chaque lien externe du bloc de commutation est maintenant connecté à une source de flux si la variable de flux est une variable d'entrée et à une source d'effort si la variable d'effort est une variable d'entrée. Cela correspond à l'hypothèse sur la période qui doit être petite devant les constantes de temps du reste du système. Pour notre exemple, cela donne: Se:V1 1:l1 0:n1 (i1, v1) (i2, v2) 1:l2 Sf:I2 Sw:T 1:l3 Se:g Sw:D Figure 2-14 : Graphe de liens simplifié Le vecteur U a donc maintenant une valeur constante dans ce graphe de liens. Etape E: Expressions des variables de sortie du bloc de commutation L'analyse de causalité algébrique est appliquée à ce nouveau graphe de liens pour tous les états de la séquence S. Pour l'état numéro i de la séquence S, on obtient une séquence ACA (cf. Chapitre 1). Dans cette séquence, il est possible d'éliminer les autres variables de ports pour obtenir l'expression de y k dans l'état numéro i, sous la forme: ( ) i y = f U, X k k i où X i est le vecteur des variables d'état du bloc de commutation dans l'état numéro i de la séquence S. Cette fois, nous devons construire la séquence ACA dans chaque état du graphe de liens. Nous choisissons la séquence de composant: {V 1,G,I 2,T,D,l 1,l 2,l 3,n 1 }. La table des variables de port est donc: 62

63 Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation variable variables de port p 1 V 1.i, T.i D, p 2 V 1.v, p 3 G.i, T.i G p 4 G.u, T.v G p 5 I 2.i, p 6 I 2.v p 7 T.v D p 8 D.i p 9 D.v p 10 n 1.v Table 2-3 : Table des variables de ports du graphe de liens simplifié. Avec: V 1.i le courant fourni par V1 T.i, le courant drain du transistor V 1, v la tension V 1 G.i, le courant fourni par la commande T.ig, le courant grille du transistor G.u, la tension de commande T.v G, la tension grille du transistor I 2.i, le courant fourni par I 2 T.v D, la tension Drain-source du transistor D.i, le courant dans la diode D.v, la tension aux bornes de la diode n 1.v, le potentiel à la jonction n1 L'analyse ACA pour l'état "charge" conduit à: Se:V1 1:l1 0:n1 (i1, v1) (i2, v2) 1:l2 Sf:I2 Sw:T 1:l3 Se:g Sw:D Figure 2-15 : Analyse de causalité algébrique pour l'état "charge". Pour l'état "charge" T est passant et D est bloqué. Nous trouvons comme séquence ACA: composant expression V 1 p 2 = V 1 G p 4 = G(t) I 2 p 5 = I 2 T p 3 = 0 T p 7 = 0 D p 8 = 0 l 1 p 10 = p 1 -p 7 = V 1-0 = V 1 l 2 p 6 = - p 10 = -V 1 l 3 p 9 = - p 10 = -V 1 n 1 p 1 = p 5 - p 8 = I 2-0 = I 2 Table 2-4 : Séquence ACA pour l'état "charge". Nous obtenons les expressions de variables de sorties: y 1 =i 1 =p 1 =I 2 et y 2 =v 2 =p 10 =V 1 L'analyse ACA pour l'état "roue-libre" conduit à:

64 CHAPITRE SECOND Se:V1 1:l1 0:n1 (i1, v1) (i2, v2) 1:l2 Sf:I2 Sw:T 1:l3 Se:g Sw:D Figure 2-16 : Analyse de causalité algébrique pour l'état "roue-libre". Pour l'état "roue-libre" T est bloqué et D est passant. Nous trouvons comme séquence ACA: composant expression V 1 p 2 = V 1 G p 4 = G(t) I 2 p 5 = I 2 T p 3 = 0 T p 1 = 0 D p 9 = 0 l 3 p 10 = -p 9 = 0 n 1 p 8 = p 5 -p 1 = I 2-0 = I 2 l 1 p 7 = p 2 - p 10 = V 1-0 l 2 p 6 = - p 10 = 0 Table 2-5 : Séquence ACA pour l'état "roue-libre". Nous obtenons les expressions de variables de sorties: y 1 =i 1 =p 1 =0 et y 2 =v 2 =p 10 =0 Etape F: Calcul de la valeur moyenne des variables de sortie du bloc de commutation La valeur moyenne de la variable de sortie Y k est: Yk N t i 1 = fk i ( U Xi t ) dt T, ( ) Eq. 2-1 i= 1t i 1 Nous avons deux cas: 1 aucune des fonctions f k i ne dépend d'un vecteur d'état. Alors, l'intégration est immédiate, car le vecteur U est indépendant du temps. 2 certaines fonctions f k i dépendent d'un vecteur d'état. a) Alors, une solution analytique est peut-être possible. b) Une intégration numérique est envisageable. Il faudra alors tabuler la fonction ( ) Yk = f U 64

65 Y Y Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation Dans notre exemple, nous obtenons (cas 1): 1 ρt 1 T = I = i t dt i t dt I T ( ). + = 0 T ( ). ρ. ρt ρt 1 T = V = v t dt v t dt V T ( ). + = 0 T ( ). ρ. ρt Eq. 2-2 Eq. 2-3 Nous retrouvons ainsi les équations du transformateur idéal que nous avons utilisé dans le graphe de liens de la Figure 2-6. Ces résultats sont classiques et largement discutés dans la littérature [Tang-93]. Cet algorithme permet de calculer automatiquement le modèle moyen d'un convertisseur respectant la clause de fréquence. Le modèle moyen obtenu ne comprend que les éléments de commutation et les composants qui s'y rapportent. Il est donc indépendant des valeurs de la charge ou de la source d'énergie. Dans l'exemple que nous venons de traiter, les équations du modèle moyen sont très simples, car les composants actifs étaient considérés comme parfaits. La fréquence de découpage n'est pas prise en compte. Par conséquent, il est clair que le modèle ainsi obtenu correspond à un convertisseur commutant à une fréquence infinie. Reprenons cet exemple avec une modélisation plus fine des composants Application au hacheur abaisseur de tension non-idéal Nous allons rapidement traiter ici un cas plus "réel" de calcul de modèle moyen. Nous montrerons, entre autres, que les pertes "moyennes" sont aussi correctement restituées par ce type de modèle. Nous ne donnerons que les étapes clefs de la construction du modèle et les principaux résultats. E ld M rg G D L C R E = 48V l d = 10nH M = IRF250 D = BYT08P200 R = 2.5Ω L = 300 µh C = 10 µf Figure 2-17 : Le hacheur abaisseur de tension non-idéal. Comme précédemment, la source de tension G représente une source MLI. Le transistor MOS de puissance est représenté par le classique modèle Spice et le modèle de la diode PIN est le 65

66 CHAPITRE SECOND modèle analytique développé au laboratoire [Morel-94]. Notons que l'inductance parasite L d a été incluse au circuit. Ces modèles présentent une bonne cohérence avec les données expérimentales comme présenté dans [Morel-95]. Le graphe de liens équivalent au circuit proposé est le suivant : 1 (i1, u1) Se:E 1:l1 0:n1 R:rg 6 I:ld (i10, v10) 3 8 :M 4 1:l2 5 (i5, v5) Se:G 1:l3 9 :D 1:l4 11 I:L R:R :n2 14 C:C Figure 2-18 : Graphe de liens du hacheur abaisseur de tension non idéal. La simulation complète du circuit nous permet d'obtenir la séquence d'états S. M:on D:off charge [t1,t2] ouverture [t2,t3] M:on off D:off on M:off on D:on off [t0,t1] fermeture 66 [t3,t4] roue libre M:off D:on Figure 2-19 : Réseau de Pétri représentant la séquence d'états du convertisseur. Par rapport au réseau de Pétri du hacheur idéal, deux nouveaux états "Fermeture" et "Ouverture" sont apparus et correspondent aux phases de commutation des interrupteurs. Ces deux états sont transitoires, alors que les états "Charge" et "Roue Libre" sont statiques. Les durées respectives de chaque état sont notées entre crochets sur le schéma. Le temps t0 (ou t4) correspond au moment où la commande G passe à une valeur haute, forçant ainsi le transistor MOS à se fermer. Corollairement, le temps t2 correspond au moment où la commande G passe à une valeur basse, forçant ainsi le MOS à s'ouvrir. Les temps t1 et t3 définissent la fin des phases de commutation et dépendent des conditions électriques appliquées aux composants. L'algorithme précédemment présenté nous permet de construire le modèle moyen. Etape A: Construction du bloc de commutation.

67 Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation Le bloc de commutation comprend les composants {M, D, l d, l 1, l 2, l 3, n 1 }. Notons la présence de l'inductance de fuite dans le bloc de commutation. En effet, son état change durant la séquence S. Etape B: Identification des variables de port externes au bloc de commutation. Les variables (i 5,v 5 ) définissent le signal de commande fourni par la source idéale G. Donc, les variables de ports externes au bloc de commutation sont : (i 1, v 1 ) et (i 10, v 10 ). Etape C: Identification des variables d'entrée et de sortie du bloc de commutation. L'algorithme d'analyse de Causalité Algébrique (ACA) nous fournit cette réponse: Le vecteur d'entrée est U={v1,i10} et le vecteur de sortie est Y = {i1, v1}. Etape D: Simplification du graphe de liens. Les sources idéales V1 et I2 remplacent les éléments extérieurs au bloc de commutation. La jonction 1 a été insérée par respect des conventions de signe sur les sources (courant sortant). Nous arrivons donc au graphe de liens suivant: I:ld 2 Se:V1 1:l1 0:n1 R:rg 1 (i1, v1) 6 3 :M 4 1:l2 5 7 Se:G (i10, v10) 8 1:l3 9 :D 10 1:linv 11 Sf:I2 Figure 2-20 : Graphe de liens simplifié du hacheur. Etape E: Expression des variables de sortie du bloc de commutation. Les différentes listes de déduction de l'algorithme ACA nous fournissent la liste de déduction menant à l'expression du vecteur de sortie Y. Etat "Charge": i1 = I2 Eq. 2-4 v10 = V1 ld. v M. vds Eq. 2-5 Etat "Roue Libre": i 1 = 0 Eq. 2-6 v10 = D. v Eq. 2-7 Notation : 67

68 CHAPITRE SECOND La tension aux bornes d'un composant X est notée X.v et le courant le traversant est X.i. Pour calculer ces expressions, nous utilisons les caractéristiques statiques des composants à semiconducteur. Nous avons donc : ( ) ( ) D. v = vdon D. i Eq. 2-8 M. vds = vdson M. ids Eq. 2-9 où v Don et v DSon sont des fonctions non-linéaires. Lorsque les composants sont bloqués le courant de fuite peut être négligé. Dans ce cas, D. i = 0, et M. i DS = 0. Les fonctions v Don et v DSon peuvent être obtenues expérimentalement ou déduites à partir des modèles de composants utilisés. Dans la suite de cet exemple, nous considérerons que ces fonctions sont connues analytiquement ou à partir de tables. Les expressions précédentes sont alors simplifiées : Etat "Charge": i1 = I2 Eq v10 = V1 vdson( I2) Eq Etat "Roue Libre": i 1 = 0 Eq v10 = vdon( I2) Eq vdson I2 et vdon( I2 ) sont des expressions indépendantes du temps dans les Notons que ( ) expressions ci-dessus. Malheureusement, pour les états "Fermeture" et "Ouverture", les expressions de {i 1,v 10 } dépendent des variables d'état du système. Aussi, il n'est pas possible d'obtenir une solution analytique. A la fois le transistor et la diode sont conducteurs, nous avons donc : Etat "Fermeture" et Etat "Ouverture": v 10 = -D.v Eq i 1 = M.i D Eq Etape F: Calcul de la valeur moyenne des variables de sortie du bloc de commutation. Pendant (t 1,t 2 ) et (t 3,t 4 ) les expressions de i 1 et v 10 (Eq à Eq. 2-13) sont indépendantes du temps. Leur intégration ne pose donc aucun problème. Pendant (t 0,t 1 ) et (t 2,t 3 ) (pendant les phases transitoires), ces intégrales doivent être calculées numériquement (Eq et 2-15). Le calcul de l'intégrale Eq. 2-1 nécessite la valeur de D. v( t). dt et M id( ) et (t 2,t 3 ). Nous introduisons ici la notion de retard virtuel à la commutation.. t. dt pendant (t 0,t 1 ) 68

69 Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation Pour une forme d'onde s(t) passant d'une valeur constante s a à une valeur constante s b, nous définissons le retard virtuel δ par : b s( t). dt = sa. δ + sb. b a δ = sb. b a δ. sb sa Eq a ( ) ( ) ( ) Cela correspond à remplacer le signal s(t) par une marche d'escalier équivalente (retardée de δ par rapport au signal de commande). Par exemple dans le cas de la tension aux bornes de la diode durant sa phase de blocage, le retard virtuel à la commutation, noté δoff D. v est défini par (cf. Figure 2-21): t1 ( ) ( ) D. v( t) dt = v Don ( I2). δ off D. v + V 1 + v DSon ( I 2). t 1 t 0 δ off D. v Eq t0 signal de commande G vdon(i2) t0 t1 tension idéale équivalente tension aux bornes de la diode -V1+vDSon(I2) off δ D.v Le retard δoff D. v est tel que l'intégrale Figure 2-21 : Le retard virtuel à la commutation δ. t t 1 0 D. v( t) dt donne le même résultat si c'est le modèle fin qui est pris en compte entre t 0 et t 1, ou le modèle idéal entre t 0 +δoff D. v et t 1. 69

70 CHAPITRE SECOND De la même manière, nous définissons les retards virtuels à la commutation suivants: δon M.i D δoff M.i D pour le courant dans le MOS entre t 0 et t 1 (mise en conduction). pour le courant dans le MOS entre t 2 et t 3 (blocage) δoṇ D v pour la tension aux bornes de la diode entre t 2 et t 3 (mise en conduction). Finalement les variables du vecteur de sortie Y s'écrivent : I = I ρ + δ. T 1 2 t où ρ = t T M i D Eq off on est le rapport cyclique de la commande G, et δ = δ δ. D v ( DSon ( )) vdon ( I ) M. i M. i M. i D D D. D v V2 = V1 v I T +.. ρ δ. ρ δ Eq T off on où δ = δ δ. D. v D. v D. v Enfin, pour les pertes de la diode et du transistor, nous pouvons définir le même type de facteur correctif. Le principe est de reporter la totalité des pertes dynamiques sur les pertes statiques. Ce facteur correctif est moins "physique" que pour les grandeurs électriques. Il ne peut plus être qualifié de retard. C'est en fait, le temps supplémentaire que doit conduire le composant pour dissiper, en statique, les même pertes. off on M. p M. p PM = v DSon( I ) I ρ δ δ T Eq off on D. p D. p PD = vdon ( I ) I ρ δ δ T Eq Les équations 18 à 21 définissent le modèle moyen du hacheur abaisseur de tension non-idéal. Etant donné que les retards virtuels à la commutation ne dépendent que des conditions électriques (v 1,I 2 ), ils peuvent être obtenus par des simulations adéquates ou expérimentalement dans des conditions isothermiques. Remarques : L'inductance de câblage l d est prise en compte dans les retards virtuels. Elle n'est influente que dans les phases de commutation. L'effet de la fréquence de commutation est lui aussi pris en compte dans les équations du modèle moyen (période de commutation T). 70

71 Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation Si nous annulons tous les retards virtuels et les chutes de tension à l'état passant dans les dispositifs à semiconducteur, nous obtenons naturellement le modèle moyen idéal (Eq. 2-2 et Eq. 2-3). Les pertes dans les composants sont alors nulles. A l'aide du simulateur PACTE, nous avons effectué des simulations comparatives du circuit de la Figure 2-5 et de son modèle moyen non-idéal, pour deux fréquences de commutation différentes. Nous avons calculé une approximation analytique simple des chutes de tensions à l'état passant des composants à semiconducteur et des différents retards virtuels. Nous donnons sur les figures suivantes quelques résultats obtenus. A) Retard virtuel δd.v I2=2A I2=5A I2=8A B) Retard virtuel δd.p I2=2A I2=5A I2=8A Figure 2-22 : Evolution des retards virtuels relatifs à la diode, en fonction de I 2 et V 1. En haut: retard relatif à la tension. En bas: retards relatifs aux pertes. 71

72 CHAPITRE SECOND A) Courant dans l'inductance L 2MHz Modèle moyen non-idéal Courant dans l'indcutance L Modèle moyen non-idéal / 2MHz Modèle moyen idéal 100kHz Modèle non-idéal Modèle moyen non-idéal / 100kHz Modèle moyen avec caractéristique statique B) Tension aux bornes du condensateur C 2MHz Tension aux bornes du condensateur C Modèle moyen non-idéal / 2MHz Modèle non-idéal Modèle moyen non-idéal 100kHz Modèle moyen idéal Modèle moyen non-idéal / 100kHz Modèle moyen avec caractéristique statique Figure 2-23 : A gauche: Comparaison entre les deux types de modèles pour deux fréquences. A droite: Comparaison entre différents modèles moyen. Sur une station de travail Sparc20, la simulation du modèle non-idéal dure environ 46 minutes alors que la simulation du modèle moyen dans les mêmes conditions ne dure que 0.13s! Les résultats fournis par le modèle moyen non-idéal sont très proches du modèle non-idéal, sauf pour l'ondulation du courant dans l'inductance (Figure 2-23) à 100kHz où l'information haute fréquence est perdue. Cependant la valeur moyenne est correcte. La comparaison des différents modèles moyens laisse très clairement apparaître l'apport des retards virtuels. Le même type de résultat est obtenu pour les pertes: 72

73 Niveaux de Représentation et Objectifs de Simulation Modèle non-idéal 1 Modèle moyen non-idéal 2 2MHz 100kHz Pertes Diode MOSFET Modèle moyen non-idéal Modèle non-idéal 3 4 Figure 2-24 : Simulation des pertes à 100KHz et 2MHz pendant la phase de démarrage CONCLUSION Nous avons montré que, si les modèles de commutation (et particulièrement les modèles de comportement) sont les plus précis, ils sont aussi les plus gourmands en temps de calcul et espace mémoire, excluant toute simulation sur des horizons de temps trop longs. D'autre part, certains modèles ne fonctionnent pas correctement dans un environnement complexe. Par exemple, les modèles d'igbt utilisés au laboratoire [Hefner-93], [Hefner-94], n'acceptent pas de tension négative collecteur-émetteur (erreur numérique), ce qui est très gênant dans les onduleurs de tension où les IGBT sont équipés de diodes de roue libre. Ce type de modèle est donc généralement utilisé pour étudier un point particulier du fonctionnement du convertisseur ou, lorsque cela est possible, pour valider les simulations en phase finale d'étude, avant de prototyper le système. La théorie des modèles moyens permet de déduire des modèles plus rapides à simuler. Parmi les différentes techniques de "moyennage", la méthode du circuit moyen équivalent semble plus souple d'utilisation que celle de la moyenne d'état. En effet, la deuxième méthode aboutit à un nouveau modèle se substituant à la totalité du circuit, alors que dans le premier cas, le modèle 73

74 CHAPITRE SECOND obtenu ne vient remplacer que certains composants. Ce type de modèle est donc plus générique. En effet, la valeur des composants et la topologie du système peuvent être changée sans avoir à recalculer de modèle, à condition de respecter sa causalité et de s'assurer que la période de commutation est suffisamment faible devant les constantes de temps naturelles du système. La principale difficulté dans ce type de moyennage est le choix des composants à remplacer par un circuit moyen équivalent. Nous avons présenté un algorithme permettant la construction automatique d'un modèle moyen à partir d'un circuit donné. Cet algorithme définit automatiquement les composants qui feront partie du modèle équivalent et calcule les paramètres de celui-ci à partir de simulations ou de relevés expérimentaux. Le modèle ainsi obtenu prend en compte les non-linéarités des composants à semiconducteur ainsi que leurs pertes, tout en restant très simple. A titre d'exemple, nous avons appliqué cet algorithme au hacheur abaisseur de tension non-idéal. Les résultats obtenus sont très encourageants: le circuit équivalent suit parfaitement le modèle original pour différentes fréquences de commutation. Seule l'information "haute fréquence" peut être perdue, mais la valeur moyenne reste correcte. Le coût de simulation est réduit de manière drastique par l'utilisation de ces modèles moyens : un facteur 10 5 dans notre cas! Il est alors possible d'envisager la simulation de systèmes plus complets, comme par exemple la commande d'une machine électrique alimentée par un onduleur de tension. Un seul problème réside: il n'est actuellement pas possible de connaître a priori la limite de validité de ces modèles, car la condition sur les constantes de temps du système n'a pas encore été formulée mathématiquement. Quel que soit le type de modèle utilisé, une étape incontournable est l'identification de ses paramètres. C'est un problème souvent complexe et les résultats sont très dépendants de la qualité des relevés expérimentaux. Ce sera l'objet du quatrième chapitre, mais, de manière à appliquer les méthodes d'identification à des cas concrets, il nous faut commencer par présenter le banc de tests que nous avons mis en place dans le cadre de ce travail. 74

75 CHAPITRE TROISIEME UN BANC DE TESTS DE PUISSANCE Nous avons vu, dans les chapitres précédents, que le formalisme des graphes de liens, associés à la méthode d'analyse de la Causalité Algébrique permettaient de développer un algorithme de construction automatique de modèles moyens. A titre d'exemple, l'algorithme a été décrit dans le cas d'un hacheur de faible puissance (qq. centaines de Watts). Rappelons, que le contexte de notre travail est la conversion continu/alternatif triphasée de moyenne puissance (environ 30kVA) et moyenne tension (environ 300V), ordres de grandeurs que l'on retrouve, par exemple en traction électrique grand public. Si les théories présentées sont indépendantes du niveau de puissance, il n'en est pas de même de la mise en œuvre. A ces niveaux de puissance (et surtout de courant), les phénomènes parasites sont exacerbés et la modélisation n'en est que plus difficile. Rappelons aussi que, notre objectif final, est l'obtention de modèles de convertisseurs à découpage (onduleur dans notre cas) alliant fiabilité et rapidité de simulation, utilisables, par exemple, par les automaticiens, pour la conception des boucles de régulation (machines électriques en particulier). Dans la mesure où l'on ne s'intéresse qu'aux phénomènes dont l'horizon de temps ne dépasse pas quelques commutations, il est envisageable de mettre en place un banc de test impulsionnels ne nécessitant qu'une alimentation et une charge de faibles puissances. Par contre, lorsque l'objectif est la modélisation des phénomènes liés aux constantes de temps de la charge (plusieurs centaines de millisecondes, voire de secondes), la phase de validation passe incontournablement par des essais à échelle de puissance réelle. C'est pourquoi, une partie non négligeable de notre travail à été axée sur la mise en place d'un banc de tests capable de fonctionner, au moins, à 30kVA en régime permanent. Ce troisième chapitre est dédié à la description des différents éléments constituant ce banc. Ce banc a été conçu en partenariat avec la Société ARCEL ELECTRONIQUE DE PUISSANCE.

76 CHAPITRE TROISIEME 3.1. CAHIER DES CHARGES Dans l'étude de ce projet, nous avons tenu à ce que le banc de test soit le plus général possible, de manière à ce qu'il puisse répondre aux besoins des différentes équipes du laboratoire et de la Société ARCEL. Il doit donc permettre la modélisation et la qualification des convertisseurs continu/alternatif ou continu/continu d'une puissance au moins égale à 30kVA à 300VDC. L'unité de commande du convertisseur doit permettre la mise au point d'algorithmes de contrôle de machines électriques (qq. kw) et la prise en compte en temps réel d'un modèle du convertisseur. La charge est un élément indispensable mais qui peu poser des problèmes de modélisation. En effet, il nous faut la modéliser avec suffisamment de précision avant d'espérer valider les modèles du convertisseur. Nous avons donc opté pour une charge passive (R, L) triphasée, dimensionnée pour environ 30kVA à 300V. Ainsi, le modèle de la charge sera suffisamment simple pour être correctement connu. Une fois le modèle du convertisseur validé, il va de soi que la charge passive pourra être remplacée par une machine électrique. Le convertisseur est l'élément interchangeable du banc. Dans notre cas, il devait permettre la qualification de ses différents modèles moyens. Etant donné les niveaux de courant mis en jeu, nous avons décidé d'intégrer directement les capteurs à l'onduleur. Ceci permet, en outre, d'optimiser la topologie du convertisseur en fonction des contraintes de mesures et d'assurer une bonne reproductivité à ces dernières. Notons cependant que ces capteurs ne sont présents que pour la validation de nos simulations et ne servent aucunement à l'identification des paramètres du modèle LA SOURCE DE TENSION La source de tension doit permettre de fournir un courant d'environ 100A sous une tension continue d'au moins 300V. L'énergie sera prélevée sur un réseau triphasé 420V/50Hz EDF. Nous avons choisi d'utiliser un pont mixte à thyristors avec une carte de régulation fournis par la société ARCEL. Pour la sécurité, le secteur est isolé par un transformateur triphasé et un disjoncteur différentiel. La sortie est filtrée par un banc capacitif de forte valeur. La source de tension pourra donc fournir une tension redressée variable de 0 à 550V sous un courant d'au plus 100A, soit une puissance maximale de 55kVA. Le dimensionnement thermique est prévu en conséquence et l'ensemble est monté dans une armoire. 76

77 Un Banc de Tests de Puissance Afficheur Ampèremètre Banc capacitif Afficheur Voltmètre Contacteur de sortie Redresseur Disjoncteur Différentiel Carte de régulation Transformateur Figure 3-1 : Photographie de l'armoire d'alimentation continue LA CHARGE Comme nous l'avons déjà dit, nous avons opté pour une charge triphasée équilibrée inductive. V1 R V3 L V2 R L L R Figure 3-2 : La charge triphasée Par la suite, nous verrons que la modulation de largeur d'impulsion vectorielle permet, théoriquement, d'obtenir une tension crête entre phases égale à la tension d'alimentation continue, lorsque la charge est câblée en triangle. Soit, pour une tension continue de 310V (notre régime nominal) nous aurons une tension efficace entre phases de 220V. A cette tension, chaque phase de la charge doit recevoir une puissance apparente d'environ 10kVA. En fait, il serait souhaitable de pouvoir soumettre les composants à semiconducteurs de l'onduleur à des contraintes maximales, de manière à détecter d'éventuels changements dans 77

78 CHAPITRE TROISIEME leur comportement. Pour cela, nous avons choisi des modules ayant un courant maximal en régime permanent de 150A. Si nous fixons à 140A le courant crête dans les composants (100A efficace), le courant efficace dans une phase de la charge sera I=58A, sous une tension de V=220V, soit une puissance apparente de S=12.7kVA, ce qui correspond aux limites de la source de tension. En fixant la valeur du facteur de puissance à 0.7 et la fréquence nominale à 50Hz (cas des machines dans un fonctionnement non optimal), nous obtenons pour chaque phase: R=2.67Ω L=8.67mH P=8.9kW (dissipée par R) L'ensemble résistance et inductance a été assemblé dans une cage ventilée reliée à la terre. Ventilateur Connexions de sortie Résistance Inductance Figure 3-3 : :Photographie de la charge triphasée. 78

79 Un Banc de Tests de Puissance 3.4. L'ONDULEUR L'onduleur triphasé que nous projetons de modéliser doit répondre aux caractéristiques suivantes: Tension d'alimentation continue Vcc=310V Puissance de sortie 9kW / 13kVA Courant efficace ligne 100A Fréquence de découpage 10kHz Table 3-1 : Caractéristiques de l'onduleur L'IGBT est parfaitement adapté à ces niveaux de puissance et les fournisseurs proposent des composants hybrides contenant les deux IGBTs et les deux Diodes d'un bras d'onduleur. Nous avons donc choisi les modules CM150DY-12H de Mitsubishi (600V / 150A). La solution "IPM (Intelligent Power Module)", où la commande rapprochée est intégrée, à été écartée, de manière à pouvoir effectuer les mesures nécessaires à l'identification des différents modèles, que nous aborderons dans le chapitre suivant. D'autre part, nous souhaitons intégrer à l'onduleur les capteurs de courants nécessaires à la validation des modèles moyens. Ces capteurs ne nécessitent donc pas une bande passante très étendue (quelques khz suffisent), mais doivent supporter le régime permanent et de forts appels de courant. Les capteurs de type LEM semblent bien adaptés. Nous arrivons donc au schéma de principe suivant: E I I 1 I I 3 I I 5 I Commande rapprochée 2 A B C Commande rapprochée Commande rapprochée 4 6 OV I I Vab I Vbc I A (charge) I B (charge) Vca I C (charge) Figure 3-4 : Schéma de principe de l'onduleur. Pour des raisons d'encombrement, nous n'avons pu installer que deux capteurs de courant par bras d'onduleur (au lieu de trois). Un jeu de barres amovibles permet cependant de mesurer deux courants quelconques parmi les trois prévus. 79

80 CHAPITRE TROISIEME Les circuits de commande rapprochée (ARCAL-02) commercialisés par la société ARCEL, ont été conçus en collaboration avec notre laboratoire. Un circuit permet de commander jusqu'à deux IGBTs en parallèle sur toute la gamme Mitsubishi et possèdent sa propre alimentation isolée permettant, à partir d'une tension continue comprise entre 12 et 24V, de faire commuter les IGBTs entre ±15V. La commande logique et le retour de défaut sont isolés par optocoupleurs rapides. La réalisation technologique de l'onduleur a l'allure suivante: Figure 3-5 : Plan de l'onduleur réalisé 80

81 Un Banc de Tests de Puissance Ventilateur Dissipateur Thermique Capteur de courant Remarques: Carte de mesure de courant Alimentation générale 220V / 50Hz Figure 3-6 : Photographie de l'onduleur triphasé. Carte de commande rapprochée Alimentations 24VDC Circuit de commande de l'onduleur Nous nous sommes servis des dissipateurs thermiques comme support de montage des différents éléments de l'onduleur. Ces dissipateurs fonctionnent en ventilation forcée. La présence des capteurs rendait l'utilisation de barre-bus impossible. Le réseau de connexion de puissance est donc plus fortement inductif que dans un contexte réel. Afin d'éviter que les surtensions ne provoquent la destruction des composants à semiconducteur, et pour nous ramener dans des conditions plus proches des onduleurs industriels, nous avons monté en parallèle sur chaque bras, un condensateur rapide, faisant office de circuit d'aide à la commutation. Condensateur Rapide Module 150A / 600V 81

82 CHAPITRE TROISIEME 3.5. L'UNITE DE COMMANDE La commande d'un onduleur est, en principe, relativement aisée à implanter. Elle répond généralement au schéma blocs suivant: Algorithme de commande: Génération des références de tension Algorithme de Modulation de Largeur d'impulsion Génération des 6 impulsions de commande de l'onduleur Figure 3-7 : Principe de commande d'un onduleur. Dans la pratique, ce n'est pas toujours si simple. En effet, l'algorithme de commande est généralement traité par une unité numérique. Le calcul fournit la largeur des impulsions à envoyer à l'onduleur. Il faut ensuite générer celles-ci, à la fréquence de commutation de l'onduleur. Dans les systèmes embarqués, les microcontrôleurs utilisés disposent de plusieurs compteurs programmables. Si leur nombre n'est pas suffisant, où si l'unité de calcul ne dispose pas de tels éléments (certains DSP ou plus simplement un PC) la génération de ces impulsions devient très problématique. D'autre part, les algorithmes de commande ont généralement des fréquences de récurrence très inférieures à la fréquence de commutation. La génération des impulsions oblige donc de prévoir une tâche à la fréquence de commutation de l'onduleur dans le programme. Enfin, un arrêt intempestif du microcontrôleur pourrait conduire à la mise en conduction des deux transistors du même bras. On élimine généralement ce risque par de la logique extérieure, réalisant en même temps les temps morts de la commande, dont nous parlerons dans le paragraphe suivant. Pour palier ces problèmes, nous avons conçu un circuit numérique de commande des bras entièrement sécurisé, dédié à la commande des convertisseurs à découpage, s'interfaçant très simplement avec une unité de calcul par un bus numérique et déchargeant ainsi celle-ci de la génération des impulsions Un circuit de génération d'impulsions Ce circuit, dédié à la commande des convertisseurs à découpage, doit répondre à certaines contraintes concernant la nature des impulsions générées: Dans les convertisseurs du type "onduleur", deux interrupteurs sont en série. Il est donc primordial d'assurer un "temps mort" entre la commande des transistors complémentaires, sous peine de voir conduire les deux éléments en même temps, créant ainsi un court circuit (généralement destructif). La durée de ce "temps mort" dépend du temps de commutation des composants utilisés. Le circuit proposé doit donc permettre de régler cette durée. 82

83 Un Banc de Tests de Puissance D'autre part, [Jacquot-95] a montré qu'il était préférable de fournir des impulsions centrées sur la période de commutation et de réaliser les acquisitions nécessaires à l'algorithme de commande au centre de cette période. Le circuit que nous avons réalisé répond à ce cahier des charges. Il est entièrement numérique et a été prototypé sur un FPGA de la famille ALTERA. Xtal Vcc Impulsion calculée centrée 12 InData Strobe Reset Rdy Error Run IRQ Halt Sec AU AD BU BD CU CD Over_I AU BU CU AD BD CD Tmod/2 Tmod ρ*tmod Impulsion IGBT du haut τm Impulsion IGBt du bas τm Figure 3-8 : Le circuit de génération d'impulsions. A gauche son brochage, à droite les impulsions générées L'interface reçoit la valeur du rapport cyclique à appliquer via son bus de donnée (InData) et génère les deux impulsions centrées sur les sorties correspondantes (A, B ou C). La durée du temps mort (τ M ) et la période de découpage (Tmod) sont programmables de la même manière. Le circuit équipé d'une entrée de détection de court-circuit (Over_I) émanant des circuits de commandes rapprochées. En cas de court-circuit, il force toutes les sorties de commande de l'onduleur au niveau bas et prévient l'unité maître par le signal "Sec". Un signal d'interruption (IRQ - rapport cyclique 0.5) est généré à chaque période de découpage. Celui-ci permet de synchroniser l'unité maître sur la période de découpage et de déclencher, le cas échéant, les acquisitions. En outre, les sorties de commande d'un même bras de l'onduleur sont protégées contre un passage simultané au niveau haut. Et, dans le cas où l'algorithme de modulation de largeur d'impulsions a une fréquence de récurrence plus faible que la fréquence de découpage de l'onduleur, le circuit reproduit automatiquement 15 fois le dernier rapport cyclique. Cette limite a été fixée de manière à ne pas endommager le convertisseur en cas d'arrêt de l'unité maître. En 83

84 CHAPITRE TROISIEME effet, la répétition d'une impulsion de tension de rapport cyclique constant sur une charge inductive (et faiblement résistive) ou un moteur, aboutit à un courant continu de forte valeur. Pour plus d'informations sur ce circuit, nous renvoyons le lecteur à la notice d'utilisation du composant présentée en annexe. Figure 3-9 : La carte d'interface avec l'onduleur. Grâce à cette interface, l'unité de calcul voit l'onduleur (ou tout autre convertisseur à découpage) comme un périphérique numérique. Son rôle est donc limité à la tâche de contrôle/commande et de dialogue avec notre interface. Les références de tensions utilisées par la MLI sont fournies généralement à une fréquence plus lente par un algorithme de commande Le contexte de la commande des machines électriques Avant de présenter le matériel choisi pour réaliser la commande de haut niveau de notre banc de tests, faisons un bref rappel du contexte de la commande des machines électriques Structure algorithmique. Quel que soit l'algorithme de régulation utilisé, le principe de la commande d'une machine à courant alternatif, à partir d'une source de tension continue répond au schéma suivant: 84

85 Un Banc de Tests de Puissance Source continue Onduleur Machine Charge Mesures MLI Régulation Figure 3-10 : Principe général de la commande des machines. Il existe différentes méthodes de commande des machines à courant alternatif, citons par exemple la commande scalaire, la commande vectorielle ou la commande directe de couple [Boze-86]. Toutes consistent en la génération de commandes permettant d'asservir la vitesse ou le couple (cas de la traction) à un objectif donné. Les performances souhaitées dépendent de l'application. Nous trouvons généralement des critères basés sur les caractéristiques dynamiques de la commande, sa robustesse, ou encore le rendement global de l'ensemble... La commande scalaire consiste à considérer que le couple est maintenu constant lorsque le rapport entre la tension et la fréquence statoriques est maintenu constant. Ce type de commande est simple à mettre en place que ce soit en boucle ouverte ou fermée. Ses performances sont correctes, mais elle ne permet pas de maîtriser la dynamique du couple. D'autres commandes ont donc vu le jour. Elles sont généralement basées sur un pilotage de grandeurs internes de la machine. Par exemple, dans une commande vectorielle, nous pilotons à la fois le flux et les courants, le produit des deux donnant le couple. De manière simplifiée, une commande vectorielle [Jorda-95] est architecturée sur trois niveaux: Récurrence 10 Hz Récurrence 1 khz Récurrence 10 khz Ω r # Contrôle vitesse Cm # φ# Contrôle courant flux V d V q Commande rapprochée + onduleur 3 Moteur Ω r I Θ Figure 3-11 : Architecture d'une commande vectorielle. 85

86 CHAPITRE TROISIEME Couche commande algorithmique (récurrence faible : environ 10 Hz). On calcule ici les signaux d'erreurs à fournir à la régulation. Ceux-ci sont issus des valeurs de consignes et des mesures à récurrence lente (la vitesse). On applique ensuite les correcteurs nécessaires à l'obtention des consignes de couple et de flux. Couche contrôle courant - flux (récurrence moyenne : environ 1 khz). Les acquisitions de courant sont faites à une fréquence plus élevée que celles de la vitesse, et servent, après transformation de Concordia et application de deux nouveaux correcteurs, à la génération des valeurs de commande V d et V q. Couche commande rapprochée (récurrence rapide : 10 khz dans notre cas). On effectue ici, à l'aide de l'angle de rotation échantillonné à la fréquence de découpage de l'onduleur, les transformées nécessaires à l'obtention des temps de conduction de chaque interrupteur de l'onduleur à partir des consignes reçues: c'est la Modulation de Largeur d'impulsions (MLI). On génère ensuite les impulsions de commande (ou on utilise l'interface présentée précédemment). Ce type de commande présente des performances bien supérieures à la commande scalaire. Cependant, elle nécessite un certain nombre de capteurs (au moins quatre: deux courants, la vitesse et la tension continue d'alimentation de l'onduleur) et des régulateurs fonctionnant à des fréquences d'échantillonnage différentes. Enfin, il faut, en toute rigueur, pouvoir calculer la MLI à la fréquence de découpage de l'onduleur. Il existe deux grandes familles de MLI: les modulations intersectives et vectorielles [Pietrzac-92] La MLI intersective Cette technique est héritée des techniques analogiques. Elle consiste à calculer la largeur d'une impulsion de manière à obtenir la tension de référence, en moyenne sur une période de commutation et nous ne détaillerons pas son calcul. On montre que, pour une charge triphasée montée en triangle, l'amplitude du vecteur tension qu'il est possible de générer est inscrite au triangle de la figure suivante. 86

87 Un Banc de Tests de Puissance β 3E E r v s E α 3 2 E Figure 3-12 : Vecteur tension de la MLI intersective Ceci est dû au fait que la commande intersective considère les trois bras de l'onduleur comme indépendants. Si l'on prend en compte les interactions entre les différents bras de l'onduleur, nous arrivons à la modulation vectorielle La MLI vectorielle. Cette technique de modulation repose sur la représentation d'une machine triphasée par une machine diphasée équivalente: la machine de Kron [Chatelain-83]. On définit ainsi deux repères diphasés, l'un lié au stator (α, β), et l'autre lié au champ tournant (d, q), conformément à la figure suivante: α q Axe transversal Q b f D a d Axe longitudinal ou direct θ β c a, b, c, phases de l'enroulement statorique f enroulement inducteur éventuel D Q amortisseur longitudinal amortisseur transversal Figure 3-13 : Les repères diphasés équivalents. Le passage des grandeurs triphasées aux grandeurs diphasées se fait par simple projection sur les axes concernés. 87

88 CHAPITRE TROISIEME Considérons maintenant l'onduleur (Figure 3-4, page 79). Ses six interrupteurs sont commandés de manière complémentaire deux à deux, nous avons seulement trois degrés de liberté, ayant deux états chacun: Fermé ou Ouvert. Nous pouvons donc dresser un tableau des différents états du convertisseur. Q1 Q3 Q5 Vab Vbc Vca Vsα Vsβ Vecteur Nom r Ouvert Ouvert Ouvert v r 0 3π Ouvert Ouvert Fermé 0 -E E 0 2E 2E j v5 e r 5π Ouvert Fermé Ouvert -E E 0 -E E 2E j v3 e Ouvert Fermé Fermé -E 0 E -E E 3 Fermé Ouvert Ouvert E 0 -E E E 3 Fermé Ouvert Fermé E -E 0 E E 3 Fermé Fermé Ouvert 0 E -E E j e 3 7π 6 2E j π e 6 3 2E j e 3 E 2E j π e 2 3 Fermé Fermé Fermé Table 3-2 : Différents états de l'onduleur triphasé Nous pouvons alors représenter les vecteurs (colonne de droite) dans le plan (α, β): II Vsβ i=2 i=1 i=3 i=2 r v 2 r v 3 23 E r v 1 E E Vsα i=4 i=3 r r v 0 v 7 i=1 i=6 r r v 4 v 6 III r v 5 i=4 i=5 i=6 i=5 23 E Figure 3-14 : Représentation des vecteurs tensions réalisables par l'onduleur. On peut alors reconstruire n'importe quelle tension en combinant ses deux vecteurs adjacents: I IV 11π 6 r v4 r v1 r v6 r v2 r v 7 88

89 Un Banc de Tests de Puissance β vr 2 vsβ r τ 2.v 2 r v 0 r v7 i=1 r v s r τ 1.v 1 v sα 1 τ 1 = T T mod τ 2 2 = T T mod r v 1 E α Figure 3-15 : Projection du vecteur à réaliser sur ses deux vecteurs adjacents. T1 et T2 sont les temps d'application des vecteurs V1 et V2 respectivement. La somme des deux vecteurs V1 et V2 respectivement appliqués pendant les durées τ 1 et τ 2 donne donc le vecteur Vs initial. En combinant ces deux vecteurs avec les vecteurs nuls (V0 et V7) et en codant par un 1 un interrupteur fermé et un zéro un interrupteur ouvert, nous pouvons reconstituer les signaux de commande à appliquer pour obtenir le vecteur Vs souhaité: i = 1 r r r v r 0 v 2 v 1 v r r 7 v r 1 v 2 v 0 Q1 Q3 Q5 T0 T2 T1 T0 T0 T1 T2 T T mod Figure 3-16 : Reconstitution des signaux de commande. L'algorithme de calcul de la MLI vectorielle est constitué d'une phase de recherche du secteur angulaire (recherche de i) et d'une phase de calcul des temps d'application des deux vecteurs: π T Ti = i vs i vs + π mod cos ( 1) sin ( 1) Eq α 3 β E π T Ti + = i + vs i vs + + π mod 1 cos ( 1) sin ( 1) Eq α 3 β E 89

90 CHAPITRE TROISIEME Enfin, les rapports cycliques de commande sont reconstitués en appliquant des vecteurs nuls le reste du temps (V0 sur les bords et V7 au centre), et dans notre cas, envoyés directement à l'interface de génération d'impulsions. Cette technique de modulation est beaucoup plus efficace que la précédente puisqu'elle permet d'obtenir des vecteurs tensions inscrits dans le polygone de la Figure 3-14, donc de tensions crêtes aux bornes de la charge de ±E (à comparer avec la valeur de 3 2 E obtenue avec la modulation intersective) L'unité de commande algorithmique Nous venons de voir que dans le contexte de la commande des machines, l'unité de calcul doit être capable d'effectuer certains calculs à des fréquences assez élevées. De plus, sa structure doit permettre d'exécuter plusieurs tâches à des fréquences de récurrence différentes. Enfin, dans un contexte de recherche, il serait souhaitable de pouvoir tester différents algorithmes de commandes en un temps de développement minimal, donc avec un environnement adapté aux outils que nous utilisons déjà, et particulièrement Matlab/Simulink. Ces considérations nous ont amenés à retenir une carte de la société Dspace et le jeu de logiciels temps réel pour Simulink qui permet d'exécuter un schéma bloc en temps réel. Cette unité de commande (un PC) peut aujourd'hui être utilisée à la fois sur notre banc moteur triphasé (1.5kW), sur notre banc de puissance ou sur tout autre banc dont le convertisseur est équipé de notre interface de génération d'impulsions. Cependant, il nous a fallu réaliser quelques adaptations logicielles et matérielles avant d'arriver à ce résultat. Ces adaptations ont été motivées par la structure interne de la carte Dspace (DS1102): 90

91 RAM 128k Un Banc de Tests de Puissance FIFO RAM 4k Interfaçage PC Bus // 32bits 16 Bits E/S IT externe TMS 320C31 Double entrée Codeur incrémental 4* CNA 4*CAN IT Communication TMS 320P14 MLI, capture, liaison série Figure 3-17 : Structure de la carte DS1102. Nous ne souhaitons pas entrer ici dans les détails techniques concernant les modifications. Nous décrirons simplement celles-ci dans le but de clarifier le fonctionnement final du système. La carte DS1102 est architecturée autour d'un DSP TMS320C31 de Texas Instrument, dédié aux calculs. Elle est équipée de 4 convertisseurs Analogique/Numérique, de 4 convertisseurs Numérique/Analogique, de deux entrées pour codeurs incrémentaux, d'une liaison série et d'entrées/sorties numériques gérées par un DSP esclave (TMS320P14). Le dialogue entre les deux processeurs peut se faire par deux canaux différents: une pile de type FIFO et un bus dédié. Les sorties MLI présentes n'ont pas les performances requises par nos applications et nous avons constaté par ailleurs que les outils fournis pour adresser les sorties numériques depuis Simulink étaient trop lents pour l'exploitation en temps réel! Nous avons donc effectué les adaptations suivantes: 1. Un multiplexeur analogique bidirectionnel nous a permis de doubler la capacité de mesure analogique (ou de sorties analogiques). Pour pouvoir utiliser ce multiplexeur depuis Simulink, nous avons du modifier les sources de compilation fournies avec l'environnement temps réel. 2. Le processeur esclave (TMS320P14) a été re-programmé pour qu'il soit capable de gérer, de manière autonome, notre interface de génération des impulsions de commande de 91

92 CHAPITRE TROISIEME l'onduleur. Le processeur maître (TMS320C31) n'a plus qu'à envoyer les rapports cycliques calculés vers l'esclave sans s'occuper du dialogue vers l'extérieur. Nous avons ainsi gagné un facteur 10 à 20 (suivant le cas) sur le taux d'occupation du processeur maître! 3. La mesure de vitesse est effectuée par une entrée codeur et disponible sous Simulink. Sa période de rafraîchissement (sous échantillonnage) est réglable par l'utilisateur. 4. L'algorithme de modulation de largeur d'impulsion vectorielle a été écrit en C. Ainsi, il peut être exécuté très rapidement sur une requête d'interruption en provenance de notre interface (moins de 14 µs). La structure logicielle et matérielle adoptée en fin de compte est la suivante (les valeurs numériques sont données à titre indicatif): Codeur IT IT 1kHz Algorithme principal Simulink Fréquence programmable Vitesse cycle=40ns C31 MLI Communication: 10kHz IT IT IT = Interruption Bus de dialogue interne 10kHz P14 bus numérique extérieur ONDULEUR + Interface Numérique Figure 3-18 : Architecture matérielle et logicielle de l'unité de commande. L'algorithme principal tourne dans le DSP maître à la fréquence de récurrence définie par l'utilisateur, sous Simulink. A la fréquence de découpage de l'onduleur, une interruption déclenche un nouveau calcul de la MLI vectorielle. La mesure de vitesse est exécutée à une fréquence sous-multiple de la fréquence de récurrence de l'algorithme principal définie par l'utilisateur. Ainsi, nous respectons bien les trois couches présentées à la Figure 3-11, tout en optimisant les temps d'exécution des tâches. Enfin, notons que les outils de développement temps réel de Simulink permettent de visualiser et modifier n'importe quelle variable en utilisant la souris de l'ordinateur. C'est particulièrement utile lors de la phase de réglage des paramètres des régulateurs par exemple, pour rechercher 92

93 Un Banc de Tests de Puissance une erreur dans l'algorithme de régulation, ou plus simplement, pour faire varier les différentes consignes. Voici, à titre d'exemple, l'écran de pilotage de la machine asynchrone du banc moteur 1.5kW. Figure 3-19 : Ecran de pilotage du programme de régulation de vitesse CONCLUSION Nous venons de présenter un banc d'essais de puissance (30kVA) constitué d'un redresseur, d'un onduleur, d'une charge passive et d'une unité de commande. Afin d'optimiser le câblage de l'onduleur, nous avons intégré directement les capteurs de courant dans le circuit de puissance. L'unité de commande, constituée d'un PC équipé d'une carte DSP compatible avec Simulink, dialogue avec le convertisseur de puissance par l'intermédiaire d'une interface que nous avons développée. Cette interface permet de piloter tout convertisseur à découpage via un bus numérique. Les environnements logiciels et matériel ont été adaptés de manière à ce qu'ils correspondent au contexte général de recherche de l'équipe commande du laboratoire. Les modifications 93

94 CHAPITRE TROISIEME logicielles ont été effectuées au niveau des sources du module temps réel de Simulink pour optimiser les temps d'exécution et sont transparentes pour l'utilisateur. En fin de compte, notre système d'expérimentation a la structure suivante: Alimentation PC + Carte DSP 16 Interface MLI Commande rapprochée Onduleur Charges * Moteur * Charge R,L *... Mesures Figure 3-20 : Structure du système d'expérimentation de l'équipe commande du CEGELY. Ici, la charge passive limite le nombre d'inconnues dans la simulation et nous permet de supposer l'environnement du convertisseur comme "parfaitement connu". Lorsque le modèle du convertisseur sera éprouvé, il est clair que cette charge sera remplacée par une machine électrique de manière à exploiter les résultats obtenus dans un contexte de commande prenant en compte l'onduleur. Après avoir validé le fonctionnement de ce banc d'essais, il nous faut effectuer un certain nombre de mesures visant à identifier les paramètres des modèles des différents éléments le constituant. C'est l'objet de notre quatrième chapitre. 94

95 CHAPITRE QUATRIEME MODELISATION, MESURES ET IDENTIFICATION DES ELEMENTS DU BANC D'ESSAIS Dans le deuxième chapitre, nous avons présenté différents modèles de composants à semiconducteur et leurs contextes d'utilisation. Les contraintes de choix des modèles à utiliser sont principalement liées à l'outil de simulation. En effet, si les calculateurs (et les unités de stockage) étaient plus rapides, nous pourrions systématiquement envisager l'utilisation des modèles de connaissance. Il est d'ailleurs probable que l'évolution future de l'informatique (processeurs et mémoire plus rapides, calculs parallèles,...) nous permette d'étendre le champ d'utilisation de ces modèles. Ce n'est pas le cas pour le moment, et, pour palier ces limitations matérielles, les modèles moyens semblent particulièrement efficaces. Mais, quels que soient les modèles que l'on envisage d'utiliser, une étape incontournable est l'identification de ses paramètres. C'est une phase critique où la rigueur des mesures est primordiale. De nombreux phénomènes sont mis en jeu, et la méthodologie de mesure doit permettre de fixer (ou de maîtriser) un maximum de variables "parasites", sans quoi la phase d'identification numérique est vouée à l'échec. Un certain nombre d'outils d'identification sont proposés dans le commerce. Citons par exemple le logiciel IC-CAP (Hewlett Packard), qui combine plusieurs méthodes d'optimisation permettant l'identification des paramètres des modèles standard du type SPICE, à partir de mesures expérimentales statiques ou quasi-statiques i(v) et c(v), ou, pour les composants passifs, l'impédancemètre. Ces outils permettent parfois l'excitation des composants de puissance dans un contexte réel de plusieurs centaines de volts ou/et d'ampères, mais ils ne sont pas utilisables pour des composants bipolaires (problèmes liés à la durée de vie des porteurs). Pour déterminer le jeu de paramètres d'une nouvelle série de composants, il faut donc réaliser soi-même les mesures et l'identification numérique. Ce quatrième chapitre est dédié à cette phase de la modélisation en électronique de puissance. Après un bref bilan sur la problématique de l'identification numérique, nous passerons en revue les différents éléments constituant notre banc, en définissant, pour chacun d'entre eux, le ou les modèle(s) choisi(s), la nature et la méthodologie des mesures à effectuer pour leur identification et les valeurs des paramètres retenues.

96 CHAPITRE QUATRIEME 4.1. LES METHODES D'OPTIMISATION Généralités Les méthodes d'optimisation [Morel-97] sont des méthodes numériques qui permettent de trouver la solution d'un problème de minimisation. Définition: Problème d'optimisation. Un problème d'optimisation est souvent formulé comme un problème de minimisation. Trouver u V tel que, J( u) = Min v V J ( v ) V est l'espace de recherche de la solution. Lorsqu'elles existent, les frontières de V définissent les contraintes du problème de minimisation. J est définie sur l'espace V. C'est la fonction coût. Propriété: Equation d'euler Si la fonction coût est suffisamment régulière (dérivable), le point du minimum u vérifie J'(u)=0 Evidemment, la réciproque est fausse, car par exemple l'équation d'euler est vérifiée pour un minimum local (une vallée), un maximum local (un sommet) ou un point selle (un col). L'application pratique est la recherche des valeurs de paramètres qui correspondent au minimum minimorum d'un critère donné. Ce critère peut être par exemple un rendement, un coût de fabrication, une durée (des temps de commutation), une distance... Ce sont souvent des valeurs positives et le cas idéal correspond à une valeur nulle de la fonction coût. Une autre application courante correspond aux problèmes du placement (des composants) et du routage (le tracé des pistes de connexion) dans le cas des circuits imprimés, intégrés ou des modules hybrides. Dans notre cas, nous appliquerons ces principes à l'identification des paramètres d'un modèle. D'une façon générale, la technique d'identification consiste à minimiser l'écart entre la simulation et l'expérience. Le simulateur Pacte dispose déjà d'un outil d'identification reposant sur la comparaison simulation/expérience. Un certain nombre de méthodes d'optimisation sont programmées (dichotomie, recuit simulé,...). Nous les avons donc utilisées. 96

97 Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'essais Expression pratique de la fonction coût La fonction coût peut être définie par une fonction analytique. Par exemple, la fonction de Rosenbrock s'écrit, J( v1 v 2) ( v1 1) p( v1 v 2 ), = + où p>0. Elle admet un minimum pour (v 1 =1, v 2 =1). Evidemment dans ce cas, il est facile de vérifier la régularité de la fonction coût et de calculer ses dérivées partielles. Par contre, si l'on veut optimiser le comportement d'un système dynamique, la formulation devient implicite. Soit le système décrit par l'équation différentielle ordinaire: dx = f ( x, p1) dt Eq. 4-1 y = g( x, p2) où x vaut initialement x 0. Par exemple, un problème d'identification des paramètres p 1 et p 2 à partir d'un relevé expérimental y m (t) peut s'écrire avec la fonction coût: ( m ) T (, ) = ( ) ( ) J p p y t y t dt Eq. 4-2 Dans cette formulation la sortie, y(t), dépend implicitement des paramètres, car la fonction, y(t), se calcule à partir de la solution de l'edo. Dans la pratique, la fonction coût est évaluée à partir d'une intégration numérique de l'edo. Certes, il existe des théorèmes qui permettent de s'assurer de la régularité de la fonction coût, mais, le calcul des dérivées partielles de la fonction coût ne peut plus se faire analytiquement. Dans ce cas, on peut toutefois estimer numériquement ces dérivées en calculant la fonction coût pour des petites variations des paramètres. En fait, ce cas correspond aussi à tous les problèmes d'optimisation que l'on doit réaliser sur des fonctions coût calculées par des méthodes numériques. C'est par exemple le cas de l'optimisation de forme dans des modélisations utilisant les éléments finis pour la résolution Expression des contraintes Classiquement, on rencontre deux types de contraintes: Les contraintes par égalité, de la forme p p = 3. Elles sont à éviter, car elles compliquent sérieusement les méthodes de résolution (utilisation des multiplicateurs de Lagrange). Les contraintes par inégalités, de la forme 0 < p 1 < 5. Elles traduisent généralement des limites physiques. Elles peuvent aussi servir pour distinguer plusieurs minima locaux. 2 97

98 CHAPITRE QUATRIEME Classification des méthodes d'optimisation Nous venons de voir le premier critère de classification: les contraintes. En effet, certaines méthodes sont adaptées aux problèmes avec contraintes, d'autres ne le sont pas. Dans la description pratique des fonctions coût, nous avons vu que dans certains cas le calcul des dérivées partielles était simple et que dans d'autres cas ce n'était pas simple du tout. Enfin, le dernier critère concerne le déterminisme de la méthode. Certaines méthodes convergent systématiquement vers un minimum local alors que d'autres, et en particulier les méthodes stochastiques, non déterministes, permettent d'espérer l'obtention d'un minimum global. La Table 4-1 récapitule les principales méthodes que nous allons succinctement décrire. Pour de plus amples informations sur les méthodes d'optimisation, nous renvoyons le lecteur aux ouvrages de référence [Culioli-94] et [Charon-96]. type catégorie nom prise en compte des contraintes calcul des dérivées premières calcul des dérivées secondes recherche du minimum global déterministe méthode de oui relaxation méthode du oui gradient descente méthode du oui gradient conjugué méthode de oui oui Newton pénalisation oui oui programmation simplex oui linéaire stochastique recuit simulé oui oui génétique oui oui Table 4-1 : Classification des principales méthodes d'optimisation Les méthodes de descente Une méthode de descente est une méthode itérative. Le vecteur de paramètres x k représente l'état à l'itération numéro k. x 0 représente l'état initial. A chaque étape une direction de descente est choisie. L'objectif est alors de trouver le minimum de la fonction coût dans cette direction de descente. Nous avons ainsi transformé un problème de minimisation multidimensionnel en une suite de problème de minimisation unidimensionnel. La grande différence entre toutes les méthodes de descente réside dans le choix de la direction de descente. 98

99 Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'essais D'une façon générale, une méthode de descente utilise le schéma itératif suivant: x = x λ d (descente) k+ 1 k k k x 0 x 2 d 1 x 1 Figure 4-1 : Interprétation graphique d'une méthode de descente par des courbes de niveaux d k est la direction de descente, et λ k est le pas de descente qui minimise la fonction coût dans la direction de descente. En d'autres termes, on cherche le λ k qui fournit le minimum de la fonction coût. Sur une représentation en courbe de niveaux, le nouveau point, x k+1 correspond au point dans la direction de descente qui tangente avec une courbe de niveau (Figure 4-1) La méthode de Newton: De manière générale, si l'on a à résoudre f(u)=0, connaissant un état initial x 0, la méthode de newton s'écrit: 1 [ ( )] ( ) x = x f x f x k+ 1 k k k d 0. Eq. 4-3 f'(x) est le Jacobien (ou matrice Jacobienne du système). En posant f(v)=j'(v), nous arrivons à la formulation de la méthode de Newton pour l'optimisation. L'état à l'itération k s'obtient par: 1 [ ( )] ( ) xk + 1 = xk J xk. J xk Eq. 4-4 où J' est le gradient de la fonction coût et J'' est la matrice Hessienne. Le domaine de convergence de la méthode de Newton est le plus grand domaine convexe contenant la solution u, dans lequel la fonction coût est convexe (Figure 4-2). 99

100 CHAPITRE QUATRIEME domaine de convergence! V. u V u Figure 4-2 : Interprétation du domaine de convergence de la méthode de newton Les méthodes de gradients (conjugués) La méthode du gradient à pas optimal correspond au choix d k =J'(x k ). Ce choix correspond à la direction de plus grande pente, le gradient. En fait, ce choix n'est judicieux que localement. Pour trouver le pas optimal λ k nous avons un problème de minimisation unidimensionnelle à résoudre. On peut par exemple utiliser la méthode de recherche dichotomique ou la méthode de Newton. Définition: fonction quadratique 1 une fonction J( v) = v T. A.v bt. v 2 symétrique définie positive. est dite quadratique. Elle est elliptique si A est Dans ce cas λ k = 2 wk wk T. A.wk où, wk = A.xk b est le gradient au point courant. La méthode du gradient à pas optimal converge si: J est elliptique. Si J est C 1 et convexe Les méthodes de gradients conjugués ont l'avantage de converger en moins de n itérations pour des fonctions elliptiques, où n est la dimension du vecteur x. Le choix de la direction de descente est celle de la direction conjuguée. 100

101 Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'essais gradient conjugué gradient Figure 4-3 : La direction conjuguée passe par le centre de l'ellipse. Notons que si la méthode converge théoriquement en moins de n=dim(x) itérations, dans la pratique dès que n est assez grand il faut beaucoup plus de n itérations pour converger. La méthode des gradients conjugués pré-conditionnés est alors bien plus performante. Par ailleurs la méthode peut s'étendre aux fonctions coûts quelconques. Il existe aussi des algorithmes de bi-gradients conjugués pour les matrices non symétriques La méthode de relaxation La méthode de relaxation consiste à choisir comme direction de descente, les axes de l'espace de recherche V. Cela revient en d'autres termes à minimiser la fonction coût en faisant varier une seule composante du vecteur x à la fois. Les différents axes de l'espace sont choisis à tour de rôle comme direction de descente. Propriété: Si la fonction J est C 1 et convexe, la méthode de relaxation converge vers l'unique minimum. Par contre, si la fonction coût n'est pas C 1, cette méthode peut converger vers un point qui n'est pas le minimum. Cette méthode ne nécessite pas le calcul des dérivées premières de la fonction coût, évitant ainsi les problèmes liés aux Jacobiens singuliers. Un autre intérêt de cette méthode est qu'il est très facile de prendre en compte des contraintes représentées par des inégalités portant sur un seul paramètre Les méthodes de pénalisation L'idée des méthodes de pénalisation est de modifier la fonction coût pour satisfaire les contraintes. On utilise alors une nouvelle fonction coût, ( ) ( ) ( ) J v = ε J v + 1 v ε ψ où Ψ(v)=0 si v V, et Ψ(v)>0 sinon. 101

102 CHAPITRE QUATRIEME La difficulté est le choix de la fonction de pénalisation Ψ(v). Après il suffit de choisir une méthode de descente quelconque. Ces méthodes sont toutefois heuristiques! Programmation linéaire, la méthode du symplexe La programmation linéaire regroupe toutes les techniques de recherche du minimum d'une fonction coût linéaire. La propriété de base est qu'une fonction linéaire définie dans un domaine compact, atteint son minimum (maximum) sur son bord. Les notions de bords correspondent aux contraintes (linéaires). La méthode du simplexe minimise une fonction coût linéaire avec des contraintes linéaires. Cet algorithme peut toutefois s'appliquer aux fonctions coûts non linéaires Les méthodes stochastiques Ces méthodes sont très puissantes pour les problèmes complexes. Leur principal défaut est qu'il est impossible de prévoir le nombre d'itérations nécessaires à l'obtention du résultat. On utilise généralement les méthodes stochastiques pour approcher une solution qui sera ensuite affinée par des méthodes plus classiques Le recuit simulé La méthode du recuit simulé repose sur une analogie avec la thermodynamique, proposée par N. Metropolis en Cette approche a été surtout employée depuis 1982 (S. Kirkpatrick et V. Cerny). L'état d'un matériau est régi par la loi de Boltzmann. La probabilité d'observer l'état X est, p( X ) = p 0 exp ( ) E X kt L'intérêt de cette analogie réside dans l'étude du cas de la trempe des aciers. En effet, l'acier trempé correspond à un état énergétique élevé, alors que l'acier recuit, plus mou, correspond au minimum absolu de l'énergie du matériau. Or, le recuit consiste à appliquer une température suffisamment élevée pour permettre le changement de vallée. L'analogie est donc simple: La fonction coût représente l'énergie du matériau. Naturellement, l'état d'un matériau évolue de façon à réduire son énergie. Toutefois, une augmentation d'énergie est possible si la transition respecte la loi de probabilité de Boltzmann. Il faut donc des températures élevées pour permettre de faire des sauts importants de vallée. 102

103 Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'essais La méthode est intéressante pour trouver la bonne vallée dans des cas complexes, où, par exemple, la solution est assez "plate" dans de nombreuses régions du domaine de recherche. Toutefois, la convergence est très mauvaise à la fin. Il est alors préférable d'utiliser une méthode déterministe dès que la bonne vallée a été trouvée. E(X) recuit X état du matériaux acier trempé acier recuit Figure 4-4 : Représentation graphique de la méthode du recuit simulé Les algorithmes génétiques Cette fois l'analogie est celle de la vie. La vie sélectionne les meilleures solutions d'une population d'individus, les autres meurent (sauf chez les hommes)... Cette approche nécessite un codage binaire. Celui-ci doit permettre de décrire complètement un individu: un état du système. Les valeurs discrètes et continues sont donc codées en binaire. Le codage mime donc le codage génétique. La différence de cette approche est que cette méthode gère une population, c'est-à-dire un ensemble d'états du système. Les algorithmes génétiques reposent sur plusieurs mécanismes. La sélection consiste à choisir les individus que l'on va conserver, les autres meurent...a ce stade la fonction coût est largement utilisée. Le croisement permet de créer de nouveaux individus à partir de deux individus survivants. Le croisement doit se faire entre individus de natures très diverses. Le risque majeur de la consanguinité est de rester piégé dans un minimum local et de ne pas produire le meilleur individu. La mutation permet à un même individu de changer l'une de ces caractéristiques. Nous venons de passer brièvement en revue différentes méthodes d'optimisation. Nous allons maintenant les appliquer au cas concret de l'identification des différents modèles de notre banc 103

104 CHAPITRE QUATRIEME de tests. Dans la mesures du possible, nous utiliserons les méthodes déterministes, plus rapides, sachant qu'on peut toujours avoir recours aux méthodes euristiques en cas de difficultés de convergence LE CONDENSATEUR Si l'on veut simuler un système complet, il convient de modéliser le plus fidèlement possible la source d'énergie du convertisseur. Les modèles de condensateurs proposés dans la littérature, et particulièrement celui proposé par [Joubert-95], donnent de très bons résultats, mais, les mesures nécessaires à l'identification des paramètres sont particulièrement complexes et sortent du cadre de notre application Méthodologie Nous ne nous intéresserons ici qu'aux condensateurs électrolytiques, plus lents. Un modèle du type schéma équivalent {R, L, C série} sera suffisant et ne dégradera pas le temps de calcul. Par contre, pour les condensateurs rapides, les phénomènes de propagation internes excluent l'utilisation de tels schémas électriques équivalents. L'objectif ici, est de déterminer la valeur des trois paramètres Rc, Lc et C dans des conditions nominales de fonctionnement. L'utilisation d'un impédancemètre est inadaptée à la mesure sur ce type de composant dans les conditions nominales. Le schéma adopté pour les mesures est le suivant: Figure 4-5 : Schéma de test du condensateur. L'idée principale est de réaliser une commutation rapide du condensateur sur charge résistive de manière à mettre en évidence l'effet de sa résistance série Rc et de son inductance Lc. La source de tension E et l'interrupteur K servent à la pré-charge du condensateur sous la tension choisie pour l'essai. Après la charge du condensateur, l'interrupteur K est ouvert. La résistance R définit approximativement, avec la tension initiale E, la valeur du courant maximal 104

105 Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'essais durant l'essai. L'inductance L est une inductance de câblage, elle devra être aussi faible que possible de manière à ne pas limiter la montée du courant lors de la fermeture du transistor, et à ne pas détruire ce dernier lors de son ouverture. De la même manière, le transistor doit être suffisamment rapide pour ne pas trop influer sur la montée du courant. Nous avons opté pour un transistor de puissance de type MOS. Nous mesurerons la tension aux bornes du condensateur Vc et le courant Ic traversant celui-ci. Deux essais seront nécessaires (Figure 4-6). Le premier essai a pour but l'identification de la valeur de la capacité C du condensateur. Ce paramètre sera déterminé de manière formelle: Ic( t). dt C = Eq. 4-5 V 2 V1 avec V1 la tension initiale aux bornes du condensateur avant la commutation et V2 la tension finale après la commutation. Pour cet essai, la durée de l'impulsion de commande du transistor MOS ( t) devra être suffisante pour que la différence entre V2 et V1 ( V) soit représentative de la décharge du condensateur. Cette valeur peut être approchée à partir des valeurs annoncées par le constructeur et des conditions d'essai. Dans le cas d'une capacité linéaire, nous avons: C V t =. Eq. 4-6 E / R Figure 4-6 : Mesures pour l'identification des paramètres du modèle de condensateur électrolytique. A gauche, allure du courant et de la tension aux bornes du condensateur durant une commutation. A droite, zoom sur la phase de montée du courant. 105

106 CHAPITRE QUATRIEME L'intégrale du courant sera calculée numériquement d'après le relevé expérimental. L'identification des deux autres paramètres nécessite une méthode d'optimisation basée sur la phase de montée du courant Ic. Contrairement à la mesure précédente, l'horizon de temps est très réduit (quelques centaines de nano-secondes). Le relevé expérimental devra faire clairement apparaître le pic "négatif" de la tension aux bornes du condensateur et la phase de palier qui suit ce pic (Vplat, Figure 4-6, droite). Comme nous l'avons dit, la phase d'identification consiste en une comparaison systématique de la mesure avec une simulation reproduisant les conditions d'essais, exécutée avec un jeu de paramètres (Rc et Lc) donné. Les valeurs des paramètres sont ensuite ajustées jusqu'à obtention d'un critère d'erreur minimal. Il semble donc nécessaire d'identifier le banc de test, à savoir le transistor MOS et les éléments parasites pour pouvoir réaliser la simulation. C'est une phase fastidieuse et, une fois de plus, la fiabilité des modèles et de leur identification conditionnent les identifications futures des condensateurs. Dans ce cas particulier, ce travail n'est pas nécessaire. En effet, le signal de tension Vc est suffisamment riche pour être la seule grandeur comparée. Nous utiliserons donc le courant mesuré comme source d'excitation du modèle de condensateur pendant la simulation (Figure 4-7). Le critère d'optimisation sera l'erreur quadratique entre la tension mesurée et la tension simulée. Notons que le schéma n'est plus causal. En effet, nous imposons le courant dans une inductance. Dans l'outil PACTE, le modèle de l'inductance Lc passe alors automatiquement en causalité dérivée (on calcule la tension à partir du courant) pour que la simulation puisse avoir lieu. Figure 4-7 : Schéma adopté en simulation pour la phase d'optimisation. Remarques: Afin de vérifier la validité de la méthode avant de procéder aux essais, nous avons simulé la procédure complète sous PACTE. Les paramètres du condensateur et des éléments parasites ont été fixés arbitrairement et un modèle comportemental du transistor MOS existant en bibliothèque a été utilisé. Nous avons exploité les 106

107 Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'essais résultats de cette simulation comme "mesures" pour tester la phase d'identification et avons obtenu de bons résultats. Dans la pratique, nous nous sommes heurtés au problème du bruit de mesure et du bruit numérique de l'échantillonnage de l'oscilloscope sur le courant. En effet, la moindre discontinuité sur le courant Ic crée de fortes variations de la tension Vc en simulation (à cause du calcul de dérivée), et la phase d'optimisation ne peut avoir lieu dans de bonnes conditions. Il nous a donc fallu mettre en place une étape intermédiaire de lissage du courant mesuré. La méthode adoptée est un lissage par moindres carrés par morceaux sur des fonctions splines du troisième ordre, assurant ainsi la continuité des dérivées. La mesure du courant Ic peut poser quelques problèmes: la nature "continue" du courant pour le premier essai exclut l'utilisation d'un tore. D'autre part, au moment de la commutation la restitution de la phase de montée du courant est très critique, ce qui exclut les capteurs ayant une bande passante (ou un di/dt) trop faible. La solution adoptée est le shunt "non inductif". Le lieu d'insertion du shunt dans le circuit est souvent critique: la meilleure place est généralement le circuit de source mais il faudra alors s'assurer que le circuit de commande rapprochée est alimenté par une source flottante et suffisamment immunisé contre les modes communs pour que la tension apparaissant aux bornes du shunt n'influe pas sur la commutation du transistor (contre-réaction). Cette méthode d'identification a donné de bons résultats, tant du point de vue de la valeur des paramètres identifiés que de la reproductibilité. Nous avons soumis les condensateurs à des contraintes très variables, allant des faibles puissances, jusqu'à leurs caractéristiques limites. Notons que cette méthode d'identification ne nécessite aucune source d'énergie "fort courant": le condensateur peut être chargé à faible courant. Ceci nous permet d'utiliser les instruments de laboratoires programmables (par bus GPIB par exemple), et ainsi, ce type d'opération peut être entièrement automatisée. A titre d'exemple, nous avons réalisé l'identification d'un condensateur électrolytique: Le constructeur (AEROVOX) fournit les caractéristiques suivantes : 2200µF ±20% - 400Vcc. Le tableau suivant résume les paramètres identifiés pour trois essais à différentes tensions et la Figure 4-8 donne un exemple des relevés effectués. Notons le fort niveau du bruit de mesure. 107

108 CHAPITRE QUATRIEME Tension d'essai (V) C (µf) Lc (µh) Rc (mω) Table 4-2 : Exemple de paramètres identifiés pour un condensateur. Il semble que les dispersions constatées (environ 20% sur Rc) soient dues au bruit de mesure et au lissage en découlant. Les variations de la valeur de capacité mesurée ne nous permettent pas de conclure à une non-linéarité. Courant Ic Courant Ic Tension Vc Tension Vc Figure 4-8 : Exemple de mesures exploitées pour l'identification des paramètres d'un condensateur. Notons que le même type d'identification a été réalisé sur un impédancemètre Hewlett Packard. Les résultats obtenus sont très peu reproductifs à cause de leur sensibilité au câblage. Sur la totalité des essais, seul un faible pourcentage a donné des résultats crédibles, qui, généralement, confirmaient les nôtres Application à l'onduleur La simulation du convertisseur au niveau des commutations des composants (avec des modèles de connaissance) ne peut être fiable que si la topologie du convertisseur, et particulièrement ses éléments parasites (inductances et résistances de câblage) est correctement prise en compte. 108

109 Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'essais En supposant que la connectique (de puissance) du convertisseur est principalement composée de résistances et inductances en série, nous pouvons dresser le schéma électrique équivalent suivant: (r 1,l 1 ) A+ (r 3,l 3 ) C+ (r 5,l 5 ) E+ +E (r 7,l 7 ) (r 9,l 9 ) (r 11,l 11 ) B+ D+ F l c r c C r p µF 0V B- D- F- (r 8,l 8 ) (r 10,l 10 ) A- C- E- (r 2,l 2 ) (r 4,l 4 ) (r 6,l 6 ) (r 12,l 12 ) Figure 4-9 : Schéma électrique équivalent de la connectique du convertisseur. Les zones hachurées représentent les barreaux de connexion utilisés. Etant donné que, du côté continu, un onduleur est principalement capacitif, nous pouvons utiliser la méthode d'identification présentée précédemment pour identifier les différents éléments du schéma équivalent. La réalisation du convertisseur étant symétrique par rapport à son axe transversal, nous pouvons supposer que les éléments placés symétriquement par rapport à cet axe ont la même valeur (r 1 =r 2, l 1 =l 2, r 2 =r 3...). D'autre part, nous supposons que les résistances R p ont une valeur suffisamment grande (27kΩ) pour ne pas prendre en compte leur influence sur les mesures. Enfin, nous supposons que le banc de condensateurs, associé aux éléments r 1, r 2, l 1 et l 2 est équivalent à un condensateur C T unique ayant le même schéma équivalent (r T,l T,C T ). Pour déterminer la valeur de tous les éléments du montage, il suffit de réaliser une identification de trois paramètres r,l,c (Figure 4-10), pour chaque paire de point {A+,A-}, {B+,B-},... {F+,F-}. Par exemple, le point A nous fournira la valeur de r T, l T et C T ; le point B nous fournira la valeur de r 7 +r T, l 7 +l T et C T ;

110 +Vcc CHAPITRE QUATRIEME A+ (r 3,l 3 ) C+ (r 5,l 5 ) (r 7,l 7 ) (r 9,l 9 ) E+ (r 11,l 11 ) B+ D+ F+ l T Rcharge 3 5 r T C T Vcc B- D- F- (r 8,l 8 ) (r 10,l 10 ) (r 12,l 12 ) A- C- E- (r 4,l 4 ) (r 6,l 6 ) Figure 4-10 : Exemple de mesure pour l'identification des éléments parasites de l'onduleur. Les IGBT 3, 4, 5 et 6 sont maintenus bloqués Ainsi, nous avons déterminé la valeur des différents éléments de câblage du montage. Pour chaque point de mesure, nous avons réalisé trois paires d'essais à des niveaux différents. L'analyse statistique des résultats montre une très faible dispersion sur les valeurs des inductances (environ 1%), une dispersion d'environ 10% sur les résistances et les capacités identifiées. Indice T r (mω) l (nh) C (µf) 7440 (en moyenne) L'intérêt de cette méthode d'identification est qu'il n'est pas nécessaire de modifier la topologie du convertisseur pour procéder à ces essais : nous utilisons les composants déjà à disposition. Par exemple (Figure 4-10), pour réaliser les mesures aux point (A+, A-) et (B+, B-), il suffit de connecter la résistance de charge en parallèle sur la paire (IGBT, Diode) n 1. Les IGBT 1, 3, 4, 5, 6 sont maintenus bloquée et les diodes correspondantes ne peuvent pas passer en conduction durant les essais. L'IGBT n 2 servira à la commutation sur la charge résistive. Le capteur de courant peut être inséré en série avec la résistance (attention au mode commun). 110

111 Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'essais 4.3. LA CHARGE De la même manière que pour la source de puissance, la connaissance de la charge avec précision est indispensable pour la simulation du convertisseur. Comme nous l'avons déjà vu, le contexte de notre travail est la conversion continue alternative triphasée de forte puissance (Figure 4-11). Etant donné le volume de la charge (environ 2m 3 ) et sa masse, il était difficile de la déplacer vers un banc d'identification. Pour les mêmes raisons que précédemment, l'impédancemètre était à exclure. Nous avons donc, ici aussi, exploité le convertisseur déjà présent et le principe d'identification présenté précédemment, à l'identification des paramètres R et L (résistance et inductance) de notre charge passive triphasée A B C IA IB R1 L1 R2 L2 IC L3 R3 Figure 4-11 : L'onduleur (simplifié) et sa charge (30KVA). Nous débranchons deux phases parmi trois et relevons une réponse indicielle sur la phase restante grâce aux IGBT du convertisseur. Par exemple, pour la phase 1, les charges 2 et 3 sont débranchées. En faisant commuter les interrupteurs 1 et 4 ou 2 et 3, nous générons une impulsion de tension aux bornes de la charge. L'amplitude de l'impulsion (et donc la valeur maximale du courant dans la charge) est fixée par l'alimentation continue de l'onduleur. Nous relevons la tension entre les points A et B (V AB ) et le courant I A (Figure 4-13). Remarques: Comme précédemment, cette méthode d'identification soumet le système à des contraintes réelles. D'autre part, si la mesure de la tension est effectuée au plus près des IGBT, l'identification prendra en compte les résistances et inductances parasites 111

112 CHAPITRE QUATRIEME dues aux câbles de liaisons vers la charge, aux contacts et aux capteurs de courant éventuels venant en série dans le circuit (shunts ou autres). L'isothermie de la charge durant les mesures est très difficile à assurer en raison de son volume. Tous les essais ont été effectués après une période de fonctionnement en régime nominal et avant refroidissement. De la même manière que pour le condensateur, pour s'affranchir de l'environnement de mesure, l'une des deux grandeurs mesurées servira de source pour les simulations de la phase d'identification. Dans ce cas, la charge est principalement inductive, nous utiliserons donc la tension mesurée comme source d'excitation. Le critère d'optimisation sera l'erreur quadratique entre le courant mesuré et le courant simulé. Les résultats de l'identification sur la phase A sont les suivants: Tension continue (V) R1 (Ω) L1 (mh) Coût (erreur) Figure 4-12 : Identification des paramètres R et L de la charge pour la phase A. Nous notons une bonne corrélation des résultats pour la résistance mais une diminution progressive de l'inductance accompagnée d'une augmentation du critère d'erreur optimal (Figure 4-13). Il semble que ce soit l'effet de la saturation de l'inductance. Le système devient non-linéaire et l'optimisation à partir du schéma équivalent linéaire devient progressivement impossible. Ces résultats sont confirmés par les deux autres phases: à tension donnée, nous avons moins de 5% de dispersion pour les inductances et moins de 2% pour les résistances quelle que soit la tension. Si nous prenions la valeur moyenne de l'inductance identifiée pour les simulations, nous aurions les résultats suivants : 112

113 Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'essais Modèle linéaire L=11.5mH - R=2.6Ω Courant simulé Courant mesuré Courant mesuré Courant simulé Courant mesuré Courant simulé Figure 4-13 : Comparaison entre les mesures effectuées sur la phase 1 de notre charge et les résultats obtenus en simulation pour la valeur de l'inductance retenue. A l'évidence, cette solution n'est pas suffisamment fiable pour permettre d'évaluer le modèle du convertisseur. Il est donc nécessaire de prendre en compte un modèle non-linéaire de l'inductance de la charge. Ce modèle doit respecter la causalité du modèle de l'inductance (calcul de la valeur du courant à partir de la tension) et prendre en compte la saturation du flux dans la bobine. Φ(Wb) Φmax Φmax 2 i0 i(a) Figure 4-14 : Allure du flux tel qu'il est pris en compte. 113

114 CHAPITRE QUATRIEME Nous pouvons approcher la variation du flux en fonction du courant par l'hyperbole suivante: Φ( i) = Φmax nous avons alors: d'où: dφ i = Φ max di + i Eq. 4-7 i + i 0 0 ( i i ) 0 ( i + i ) 2 Eq. 4-8 di dφ 1 0 = dt dt Φ max i0 Le modèle d'état de notre inductance saturable est donc: ( + ) 2 Eq dx v( t) x i0 = dt Φ max i Eq i = x d avec v( t) = Φ, la tension aux bornes de l'inductance dt Pour identifier les paramètres de ce modèle, il faudra initialiser les deux variables (flux maximal et courant) et donner leurs domaines de variation. Pour une bobine donnée, il est toujours plus difficile de connaître l'ordre de grandeur du flux que de son inductance. Par soucis de simplicité, nous préférerons donc utiliser comme paramètre du modèle, une valeur particulière L 0 de l'inductance, définie par L 0 = Φ max i 0 à la place du flux maximal (qui sera calculé par le modèle). Pour la phase d'identification, on pourra alors initialiser les paramètres du modèle aux valeurs fournies par la plaque signalétique de la bobine. L'identification de notre charge avec ce nouveau modèle nous a fourni les paramètres suivants: R = 2.63Ω L 0 =12.8mH I 0 =400A Nous pouvons constater sur la figure ci-dessous que le modèle d'inductance non-linéaire nous permet de réduire l'erreur entre la simulation et la mesure sur une plus grande plage de variation du courant. 114

115 Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'essais Modèle non-linéaire Courant simulé I0=400A - L=12.8mH - R=2.63mΩ Courant mesuré Courant simulé Courant mesuré Courant mesuré Courant simulé Figure 4-15 : Comparaison du modèle non linéaire de l'inductance avec quelques mesures à différents niveaux de courant. Pour améliorer encore l'identification de la charge, il semble que l'étape suivante soit la prise en compte des phénomènes capacitifs entre les spires de la bobine. Cependant, notre objectif principal est la modélisation de l'onduleur et la qualité de la modélisation de la charge semble dors et déjà suffisante. Nous vérifierons a posteriori que ce modèle est suffisant L'IGBT Nous allons ici aborder les mesures nécessaires à l'identification des paramètres des différents modèles de l'igbt. Ces travaux ont été menés en collaboration avec A. AMMOUS dont l'objectif était l'obtention d'un modèle électro-thermique de l'igbt, et qui a pris en charge la partie identification. C'est un problème particulièrement complexe de par le grand nombre de paramètres à identifier. Nous n'aborderons pas ces détails et renvoyons le lecteur à son mémoire de thèse [Ammous-98]. 115

116 CHAPITRE QUATRIEME Les mesures à réaliser sur les composants actifs nécessitent généralement un banc de caractérisation spécifique. En effet, les éléments parasites (particulièrement les inductances) doivent être maîtrisés. Pour les puissances mises en jeu, la topologie des connections est très importante: il faut à tout prix éviter les boucles de courant, tout en insérant dans le circuit des capteurs souvent volumineux. D'autre part, les énergies mises en jeu lors de commutation sous forte tension et fort courant sont suffisamment importantes pour que la source nécessaire aux essais soit très onéreuse (source de courant). D'une manière générale, nous avons adopté une solution économique et sûre: nous stockons l'énergie dans une batterie de condensateurs correctement dimensionnée [Fiscal-96]]. Le principe en est le suivant: K l R rc D L E C1 C2 M IGBT1 Vge1 Figure 4-16 : Schéma de principe du banc de caractérisation en forte puissance. La source de tension E fixe la valeur de la tension d'essai. La résistance r c et l'interrupteur K servent au pré-chargement des condensateurs. Le banc capacitif est constitué d'un réseau de condensateurs de forte valeur (C1 - électrolytiques) servant lors de la phase d'établissement du courant dans l'inductance et d'un banc de condensateurs rapides (C2 - polypropylène) fournissant l'énergie lors des phases de commutation. L'inductance l représente l'inductance de câblage entre les deux bancs de condensateurs. La valeur du courant durant l'essai est fixée par l'inductance L, la résistance R et la durée d'amorçage de l'igbt1. En connectant le composant sous test au point M et la masse, et avec une séquence de commande adéquate, il est possible d'observer des commutations de bonne qualité sous de forts courants et de fortes tensions. La diode D permet à l'inductance L de restituer l'énergie électromagnétique emmagasinée. Ce type de banc a un double avantage: il permet de s'affranchir d'une alimentation de puissance et limite l'énergie maximale disponible pour le test, réduisant ainsi les risques de défaillance. D'autre part, il est entièrement automatisable. Dans la suite de l'exposé, nous représenterons l'ensemble {alimentation, condensateurs} par une tension continue réglable. 116

117 Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'essais Caractéristiques statiques Le relevé de caractéristiques statiques est relativement facile si l'on évite quelques pièges courants (Figure 4-17). La première difficulté est liée à la saturation des entrées de l oscilloscope. En effet, si la tension mesurée varie d une grande amplitude trop rapidement, la faible tension de saturation mesurée sera faussée par l amplificateur d entrée de l oscilloscope qui n'a pas eu le temps de se dé-saturer. Allonger la durée de l impulsion de courant aurait pour effet d échauffer le composant. La solution adoptée est d utiliser deux IGBT en série: le premier (IGBT2) commutera de manière à autoriser ou non le passage du courant dans le second (IGBT3) qui sera continuellement commandé : c est le composant à caractériser. La tension ainsi mesurée ne pourra donc excéder quelques volts. Le deuxième point dur apparaît lors des relevés à forte tension Vge 3 (Figure 4-17) où les tensions de saturation sont plus faibles que lors de l'utilisation normale des IGBT (Vge=15V). Le composant en série avec l'igbt sous test devra donc avoir un calibre supérieur à ce dernier pour que les mesures ne soient pas perturbées. Lorsque cela est possible, un facteur deux est recommandé. R Vge1(V) +15 D L t1 E Vge2 IGBT2-15 Vge2(V) +15 t2 Ic IGBT1 t3 IGBT3 Vce Vge1 Vge3-15 Figure 4-17 : Relevé des caractéristiques statiques d'un IGBT et chronogrammes de commande. IGBT3 est le composant sous test. Pour éviter l'échauffement du composant sous test, ces essais seront réalisés par impulsions de courant les plus courtes possible et à rapport cyclique faible. Le temps t1 (Figure 4-17) et la valeur de E, R et L définissent la valeur du courant Ic. Le temps t2 doit permettre à l IGBT 2 de passer en conduction. Le temps t3 devra être suffisamment long pour que les IGBTs 2 et 3 soient totalement conducteurs et que l'effet de la 117

118 CHAPITRE QUATRIEME durée de vie des porteurs soit négligeable. La mesure sera effectuée juste avant que la commande Vge2 ne retombe au niveau bas. Seul le relevé du point de fonctionnement (Ic, Vce sat ) est nécessaire. Voici un exemple de caractéristiques relevées sur un module Mitsubishi 150A/600V. Caractéristiques Statiques CM150DY-12H 300 Vge=15V Vge=12V Ic (A) 150 Vge=18V 100 Vge=10V 50 Vge=8V Vce (V) Figure 4-18 : Exemple de relevé des caractéristiques statiques d'un IGBT Problématique de l'obtention des caractéristiques dynamiques Dans l'état actuel de nos travaux, il semble que l identification de l IGBT puisse être effectuée à partir de commutations sur charge résistive (Mise en conduction et Blocage) [Ammous-98]. Trois types de mesures sont nécessaires : 1. Commutation en régime nominal : Le courant a sa valeur nominale et la tension est fixée aux 2/3 du maximum admissible (d où la valeur de la résistance de charge). 2. Commutation en régime moyen : La tension est diminuée de moitié. On garde la même résistance de charge. 3. Commutation en régime faible : La tension est divisée par environ huit. On garde la même résistance de charge. Le circuit utilisé pour ces essais est le suivant: 118

119 Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'essais D R E Rg IGBT1 Ic Vge1 Vce Vcmd Vge Figure 4-19 : Relevé des caractéristiques dynamiques d'un IGBT. Recommandations: La résistance de grille doit être choisie de manière à faire clairement apparaître l effet Miller sur la tension Vge. Le blocage se fera à 0V et l amorçage à la tension nominale recommandée par le constructeur (généralement 15V). La masse de l oscilloscope sera connectée à l émetteur de commande (s il existe) de l IGBT. L effet de l inductance interne d émetteur sera alors minimisé. Voici un exemple de caractéristiques que nous avons relevé sur le même composant que précédemment. 119

120 CHAPITRE QUATRIEME 1 6 T e n s io n s V c m d e t V g e (V ) V c m d V g e t (µ s ) T e n s io n V c e (V ) t (µ s ) C o u ra n t Ic (A ) t (µ s ) Figure 4-20 : Exemple de caractéristiques dynamiques d'un IGBT Identification Comme nous l'avons déjà précisé, les travaux étant actuellement en cours, nous ne traiterons pas le cas de l'identification des paramètres du modèle de l'igbt. Cependant, aussi bien les modèles simplifiés que les modèles moyens des convertisseurs utilisent uniquement les caractéristiques statiques des composants semiconducteurs. Pour l'igbt, il nous faut prendre en compte la caractéristique statique correspondant à la tension de commande utilisée dans le convertisseur. Les constructeurs recommandent en général une tension de ±15V sur la grille. 120

121 Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'essais D'autre part, la causalité des modèles de circuits que nous étudions (à charge inductive) nous imposent de fournir la tension à l'état passant en fonction du courant direct (Figure 4-18). Dans les limites de la mesure (qui sont supérieures au fonctionnement normal de l'igbt), cette caractéristique est très semblable à celle d'une diode. Le modèle analytique de la tension aux bornes de l'igbt à l'état passant en fonction de son courant direct sera donc celui couramment utilisé pour les diodes: Ic Vce( Ic) = U TT ln( 1+ ) + RT. Ic Eq Is T Pour les IGBTs d'un module Mitsubishi CM150DY-12H, l' identification des trois paramètres sous PACTE nous a fourni les résultats suivants: U TT = mv Is T = µa R T =4768 µω 3.5 Caractéristiques Statiques à Vge=15V 3 Vce calculé 2.5 Vce (V) Vce mesuré Ic (A) Figure 4-21 : Superposition des caractéristiques statiques mesurée et simulée LA DIODE Les relevés expérimentaux concernant les diodes sont très semblables à ceux pour les IGBTs, avec un degré de liberté de moins: la commande Caractéristique statique Cette mesure n'est pas nécessaire pour l'identification du modèle de diode [Morel-94]. Cependant, les autres modèles utilisent uniquement cette caractéristique. 121

122 CHAPITRE QUATRIEME Nous avons procédé exactement comme pour l'igbt. Le circuit utilisé est le même que précédemment; nous avons simplement substitué la diode au transistor. D L R E IGBT2 Vge2 Id IGBT1 D3 Vd Vge1 Figure 4-22 : Relevé des caractéristiques statiques d'une diode. La caractéristique statique relevée pour une diode du même module est la suivante: 300 Caractéristique Statique CM150DY-12H Id (A) Vd (V) Figure 4-23 : Caractéristique statique d'une diode du module utilisé Caractéristiques dynamiques L identification des paramètres du modèle «PIN» de la diode de puissance ne nécessite que des mesures de la phase de blocage. Comme pour l IGBT, trois conditions de commutation sont nécessaires à l optimisation de paramètres. 122

123 Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'essais 1. Commutation en régime nominal : Le courant a sa valeur nominale et la tension est fixée aux 2/3 du maximum admissible (d où la valeur de la résistance de charge). 2. Commutation sous tension moyenne : On conserve le courant nominal mais on divise la tension inverse appliquée par trois environ. 3. Commutation sous faible tension : On conserve le courant nominal mais on divise la tension inverse appliquée par six environ. Le blocage de la diode est provoqué par la mise en conduction d'un IGBT après une phase de roue libre. L'idéal est de disposer d'un transistor beaucoup plus rapide que la diode. Dans le cas contraire, la pente du courant de recouvrement des charges stockées risque d'être fixée par le transistor et non par la diode, donc en relation avec la durée de vie des porteurs de charge. Alors, l'identification des paramètres est, au mieux, plus difficile et, au pire, complètement faussée. Le schéma adopté est le suivant: R Vce D Id L Vge1(V) +15 E t1 t2 IGBT1 t3 Vge1-15 Figure 4-24 : Circuit de relevé des caractéristiques dynamiques des diodes et chronogrammes de commande de l'igbt. La durée de conduction de l'igbt fixe la valeur du courant direct dans la diode pendant la phase de roue libre. La durée t1 permet de fixer la valeur du courant pendant le blocage de la diode. t2 doit être suffisamment long pour que la diode ait fini de passer à l état «On». t3 doit permettre d observer la totalité du blocage. Remarques: Pour limiter les problèmes de mode commun, il est préférable de connecter la masse de l'oscilloscope (isolé de la terre) au plus près de la cathode de la diode. En effet, ce potentiel varie peu durant les commutations et nous limitons l'effet des capacités d'entrée des amplificateurs de l'oscilloscope. 123

124 CHAPITRE QUATRIEME Il est possible de simplifier la commande en utilisant deux IGBTs en parallèle. La diode sous test servira à décharger l'inductance après t3. Il faudra donc prendre garde aux limites thermiques de ce composant et veiller à le laisser retrouver son équilibre thermique entre deux essais. Les courbes ainsi relevées ont l'allure suivante: T e n s io n V d (V ) Effet de l'inductance interne t (µ s ) C o u ra n t Id (A ) La commutation est contrôlée par l'igbt t (µ s ) Figure 4-25 : Un relevé de blocage de diode. Le processus d'identification est très difficile car, l'igbt doit être déjà modélisé car la commutation de la diode n'est pas découplée de celle du transistor Identification Nous ne traiterons ici aussi, que le cas de la caractéristique statique. Nous avons procédé au même type d'identification que pour l'igbt. Cette caractéristique peut être approchée par: Id Vd( Id) = U TD ln( 1+ ) + RD. Id Eq Is D Pour les diodes du même module (CM150DY-12H), nous avons: U TD = 180 mv Is D = 80.4 ma R D =4192 µω La superposition des mesures et du modèle donne ici aussi de très bons résultats: 124

125 Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'essais 3 Caractéristiques Statiques de la diode Vd (V) Id (A) Figure 4-26 : Superposition des caractéristiques statiques mesurées et calculées IDENTIFICATION DES PARAMETRES DES MODELES MOYENS Nous avons montré dans le deuxième chapitre que le modèle moyen d'un convertisseur peut être construit à partir de simulations "fines" ou directement à partir de l'expérience. L'état d'avancement des travaux sur l'identification des modèles comportementaux de l'igbt [Ammous-98] ne nous permet pas encore d'effectuer des simulations fines du convertisseur complet. Nous allons donc nous intéresser aux mesures nécessaires à l'identification des paramètres du modèle moyen de notre onduleur. Le modèle complet sera présenté dans le chapitre suivant. Comme nous l'avons déjà vu dans le cas du hacheur élévateur de tension (cf. Chap. 2-2), les seules caractéristiques nécessaires sont les caractéristiques statiques et l'allure des retards virtuels en fonction des conditions courant/tension de chaque composant à semiconducteur, de la température et des valeurs des inductances parasites. Mais ici, ces deux derniers paramètres sont fixés par l'utilisation d'un convertisseur donné, en régime nominal de fonctionnement. Dans notre cas, nous considérerons que les caractéristiques statiques de toutes les diodes sont identiques, de même que pour les IGBTs. Ceci est d'autant plus vrai que nous avons utilisé des modules de type "bras d'onduleur" et que les différents modules achetés font partie de la même série. Nous utiliserons les caractéristiques statiques identifiées précédemment. Pour les retards virtuels, nous ne nous intéresserons qu'aux retards de type "tension" et "courant". Notre modèle ne prendra donc pas en compte les pertes. En effet, le banc de test 125

126 CHAPITRE QUATRIEME n'étant pas instrumenté pour ce type de mesure, nous n'aurions pas eu de référence pour qualifier nos résultats. Les retards virtuels ont été définis dans le deuxième chapitre, pour un montage de type hacheur, à composants discrets. Nous sommes maintenant dans le cas d'un onduleur à base de modules intégrés, et il convient de s'assurer qu'il est possible, en toute rigueur, d'utiliser la même définition des retards virtuels Considérations sur les retards virtuels. Les retards virtuels permettent de définir un signal S'(t), dit idéal, dont la valeur moyenne sur une période T est identique à un signal S(t) quelconque. S(t) S1 S0 S'(t) S1 t0 a b c d T S0 t0 a' a δon b b' c δoff d T Figure 4-27 : interprétation de la notion de retard virtuel. Un retard virtuel δ est défini par (cf. Eq. 2-16, chapitre 2): δ = a ( s s ) ( ) s. b a s( t). dt b b b a Eq δ on sera le retard virtuel à la mise en conduction du composant, et δ off sera le retard virtuel au blocage. Il nous faut donc calculer l'intégrale entre les bornes (a,b) du signal s(t). La valeur du retard virtuel va donc dépendre du choix des bornes d'intégration. Or, la seule contrainte sur les bornes d'intégration que nous pouvons définir clairement est: Les bornes d'intégration sont choisies de manière à encadrer le transitoire du signal S(t) pour lequel on veut calculer le retard virtuel. C'est une définition assez vague et nous devons vérifier que le choix des bornes d'intégration n'influera pas sur le résultat final. 126

127 Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'essais Calculons, par exemple, le retard virtuel δ on de la Figure 4-27, pour les bornes (a,b): S1. ( b a) S( t). dt b a δ on = S1 S0 Calculons maintenant ce retard pour les bornes (a',b'): δ ' on = Or, nous avons: ( ) b' S1. b' a' S( t). dt a' S1 S0 Eq Eq d'où: b' a b b' S( t). dt = S( t). dt + S( t). dt + S( t). dt Eq a' a' a b δ ' on = δon + ( a a') Eq Le retard virtuel est donc défini relativement à la borne gauche d'intégration (a ou a'). Sa position absolue sur l'axe des temps ne change évidemment pas. La borne droite n'a aucun effet. Pour nous affranchir de la définition relative des retards virtuels, nous choisirons systématiquement comme borne gauche, l'instant d'apparition de la cause du changement d'état du signal s(t). Par exemple dans le cas d'un transistor, nous choisirons les instants du basculement du signal de commande: 1 0 S(t) S1 a on = t 0 b on a on off b off T S0 a on = t 0 aon+δon b on a off aoff+δoff b off T Figure 4-28 : Choix des bornes gauches d'intégration. Alors, l'intégrale du signal s(t) peut s'écrire: T S( t). dt = S1. T + S1 S0. δ δ + a a Eq ( ) ( off on off on ) La valeur moyenne du signal ne dépend donc que des deux états statiques, de la différence entre les deux retards virtuels et de la durée de l'impulsion de commande. 127

128 CHAPITRE QUATRIEME Appliquons maintenant ces définitions au cas de notre onduleur, nous localiserons les inductances internes en un seul point mais le raisonnement reste valable pour des inductances réparties: L1 V1 1 E IF 2 V2 L2 Figure 4-29 : Un bras d'onduleur Contrairement au hacheur traité dans le deuxième chapitre, nous sommes en présence d'un bras d'onduleur constitué d'un module intégré. Nous n'avons donc pas accès au connexions des différents composants mais à trois plots, séparés des composants par des inductances internes. D'autre part nous trouvons systématiquement un IGBT et une diode tête-bêche. Il nous faut donc vérifier que les délais virtuels déduits à partir de ces mesures permettent bien de calculer la valeur moyenne de la tension de sortie. Nous effectuerons notre démonstration pour la tension V1 et un courant positif, l'extension aux autres cas étant immédiate. Effet de l'inductance interne: Nous considérerons ici que l'effet de la Diode D1 est négligeable. En nous référant aux deux figures précédentes, nous pouvons écrire, pour la tension V1 (le courant n'est pas affecté par cette inductance): δ off δ on = = b off ( off off ) 1 ( ) S1. b a S( t). dt S. b a Vce( t). dt V ( t). dt S1 S0 ( ) on on aoff bon aoon ( S1 S0) = boff boff off off L1 aoff aoff ( ) bon S1 S0 S0. b a S( t). dt S0. b a Vce( t). dt V ( t). dt = on on L1 aon aon ( S1 S0) bon Eq Eq

129 V t L di ( t ) dt Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'essais β or : L1( ) = 1 VL1( t). dt = L1. di = L1. ( I ( ) I( )) d'où: aoff α β α β α et: I(a off )=I(b on ), (a on )=I(b off ) V ( t ). L1 dt = V ( L1 t ). dt Eq boff aon bon Nous avons montré précédemment que l'intégrale du signal ne dépend que de la différence entre les retards virtuels. Si nous écrivons cette différence, les termes dépendant de l'inductance L1 s'annulent. L'intégrale de la tension aux bornes de l'igbt ne dépend donc pas explicitement de la valeur de l'inductance interne. Effet du deuxième composant en parallèle: Dans notre cas, la diode D1 est toujours bloquée. Elle se comporte donc comme une capacité parasite. En négligeant l'inductance L1, nous pouvons suivre le même type de raisonnement que précédemment, mais sur l'intégrale du courant I1. Nous arrivons ainsi au même type de conclusion: L'intégrale du courant I1 ne dépend pas explicitement de la capacité parasite équivalente au composant bloqué en parallèle sur le composant qui commute. Conséquences sur les pertes: Le même type de facteur correctif a été défini pour les pertes dans le composant qui commute. Ce sont toujours des retards, dépendant des conditions de commutation (E, I F ), qui représentent le temps supplémentaire que devrait conduire le composant pour dissiper en statique la totalité des pertes. Par conséquent, si les pertes en commutation sont très supérieures aux pertes statiques, ces retards peuvent être supérieurs à la période de commutation. On peut trouver le même type de résultats pour les retards virtuels sur les tensions si l'inductance de câblage était très grande. Cependant, elle provoquerait la destruction du composant qui commute! Ces retards virtuels sont calculés à partir de la moyenne du produit des signaux I(t) et V1(t). Par conséquent, ils sont aussi indépendants des effets parasites internes au module décrits précédemment. 129

130 CHAPITRE QUATRIEME Mesure des retards virtuels Le principe de mesure des retards virtuels est relativement simple: pour chaque composant, il faut réaliser une mesure au blocage et à la mise en conduction, pour différentes valeurs de tension et de courant. Les retards seront déterminés a posteriori. En écrivant les différents retards virtuels en fonction de l'intégrale du signal réel pour le schéma suivant, nous avons: Avec: a Figure 4-30 : Cas de la mise en conduction de l'igbt1 pour un courant I F positif. on Vce( t). dt = Vceon ( b a) δt 1. V ( Vceon Vceoff ) Eq b a on Vd( t). dt = Vdoff ( b a) δd 2 V ( Vdoff Vdon ) Eq b b a a E. dt = E( b a) = Vce( t). dt + VL1( t). dt Vd( t). dt VL2 ( t). dt Eq b a b Vceoff = E + Vdon Icoff = Id off = 0 Vd off = Vceon E Icon = Idon = I Eq F D'où: off on ( δ δ )( ) ( ) D2. V T1. V Vceon E Vdon L1 L2 I F = Eq De la même manière, pour le blocage de l'igbt, nous pouvons démontrer que: on off ( δ δ )( ) ( ) D2. V T1. V E Vd on Vceon L1 L2 I F = Eq Donc, en sommant les équations 4-27 et 4-28, il vient: off on off on δ δ + δ δ = δ + δ = Eq D2. V D2. V T1. V T1. V D2. V T1. V a b a b

131 Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'essais δt1. V = δd2. V ( L1, L2) Eq En reprenant ces équations pour le courant, nous démontrons que: δ δ on = δ D I δ δ off T1. I D2. I ( L1, L2) = δd I = Eq off T1. I 2. on T1. I 2. La symétrie du schéma nous permet d'extrapoler ces résultats à l'igbt T2 et la diode D1. Nous pouvons donc écrire: δt 1. V = δt 2. V = δd1. V = δd2. V = δt. V ( L1, L2) Eq δt 1. I = δt 2. I = δd1. I = δd2. I = δt. I Pour définir complètement le modèle moyen d'un bras d'onduleur, en plus des caractéristiques statiques, il suffit de connaître les retards virtuels pour un des quatre composants du bras en fonction des conditions de commutation (E, I F ). Il est primordial d'effectuer ces mesures dans le contexte réel d'utilisation du convertisseur pour fixer les valeurs de la température et des inductances parasites. Pour plusieurs valeurs de courant, on relève la tension aux bornes du composant, le courant le traversant et le signal de commande (niveau logique) ayant causé le changement d'état du composant concerné (Figure 4-31). Le signe du courant nous permet de savoir quel composant conduit dans une cellule. Par exemple, pour un courant I A positif, le blocage et la mise en conduction de l'igbt n 1 sont causés respectivement par la disparition et l'apparition du signal de commande V 1. Par contre, pour un courant négatif, le blocage et la mise en conduction de la diode D1 sont la conséquence de l'apparition et de la disparition du signal de commande V 2. +Vcc I V1 Commande rapprochée 1 2 V I A (charge) Circuit d'aide à la commutation V2 V -Vcc I Figure 4-31 : Zoom sur la partie de l'onduleur où les mesures sont réalisées. 131

132 CHAPITRE QUATRIEME Notons que le circuit d'aide à la commutation éventuel (un condensateur rapide dans notre cas) doit être pris en compte par les mesures. Il faut donc mesurer le courant après ce circuit qui, en règle générale, est câblé au plus près des composants à semiconducteur. L'insertion du capteur nécessite donc une légère modification du câblage du convertisseur. Si cette modification est réalisées avec soin, elle ne devrait pas affecter les paramètres de manière significative. La figure suivante présente un exemple de mesures effectuées sur notre onduleur. Ic1 Blocage IGBT -Id2 Blocage Diode 1,16 µs,73 µs V1 V1 Vce1 1,13 µs Vd2,76 µs Ic1 Fermeture IGBT -Id2 Fermeture Diode,73 µs 1,16 µs V1 V1 Vce1 Vd2,82 µs 1,07 µs Figure 4-32 : Exemple de mesures pour la détermination des délais virtuels Nous constatons que les commutations sont principalement constituées d'un retard pur. En fait, la majorité de ce retard est dû au temps de propagation du signal logique de commande à travers le circuit de commande rapprochée. Par exemple pour le circuit hybride de commande d'igbt (M57959AL) utilisé dans nos circuits de commande rapprochée, le constructeur donne les caractéristiques suivantes : Min Max t PLH (µs) Temps de propagation lors du passage à l'état haut t r (µs) Temps de montée du signal de commande de grille t PHL (µs) Temps de propagation lors du passage à l'état bas t f (µs) Temps de descente du signal de commande de grille Table 4-3 : Caractéristiques techniques des circuits hybrides de commande des IGBTs. 132

133 Modélisation, Mesures et Identification des Eléments du Banc d'essais Ces délais ne dépendent pas (ou très peu) des conditions de courant et de tension de l'igbt commandé. Nous pouvons donc les considérer comme constants. Durant nos essais, nous n'avons pas noté de variation importante des retards virtuels on (δ δ off ) en fonction des conditions de commutation. Ces variations sont vraisemblablement masquées par les temps de propagation des circuits de commande. En première approximation, nous pouvons donc considérer cette différence comme invariante par rapport au courant et à la tension. Nous avons mesuré: IGBT 1 (µs) Diode 2 (µs) Table 4-4 : Retards virtuels mesurés Pour notre modèle moyen d'onduleur, nous aurons donc les paramètres suivants: δ I=100A, V=300V pour les tensions pour les courants Retard δ on δ off off on δ δ δ on δ off off δ δ = 0. 31µ s δ = 0. 40µ s Eq T. v T. i on 4.7. CONCLUSION Dans ce chapitre, nous avons mis en place les différents outils qui vont nous permettre de comparer les simulations de notre modèle de convertisseur à l'expérience. Pour ce faire, nous avons dû modéliser les différents composants externes à l'onduleur (charge, condensateurs). La première partie nous a permis de définir le problème de l'identification et de présenter les principales méthodes numériques permettant d'optimiser un critère donné en faisant varier un jeu de paramètres. Nous avons ensuite présenté les méthodes de mesure et les modèles associés qui nous ont permis de modéliser l'environnement électrique du convertisseur. Dans la mesure du possible, nous avons essayé d'exploiter le convertisseur lui-même pour ces essais de manière à soumettre les différents éléments à des excitations représentatives de leurs conditions de fonctionnement normales. Ainsi, nous avons pu déterminer les paramètres des modèles de la charge et du bus continu d'alimentation de l'onduleur. Un modèle d'inductance non linéaire s'est avéré nécessaire. Notons que les non-linéarités n'auraient pas été observées si les mesures avaient été effectuées à plus faible niveau. Enfin, ces méthodes d'identification in situ ont un intérêt économique indéniable. Lorsque cela n'est pas possible, il convient d'utiliser un banc de caractérisation dédié. C'est le cas des composants à semiconducteur. L'identification des 133

134 CHAPITRE QUATRIEME paramètres des modèles de comportement est un problème très complexe qui sort du contexte de ce travail. Nous avons cependant présenté les grandes lignes de la méthodologie à adopter pour effectuer les mesures nécessaires à l'obtention de ces paramètres, et nous avons déterminé un modèle analytique de la caractéristique statique d'igbts et de Diodes. Enfin, nous avons décrit la méthode nous permettant de déterminer les derniers paramètres nécessaires à l'établissement de notre modèle d'onduleur: les retards virtuels. L'observation des mesures et l'analyse des différents éléments entrant en ligne de compte pour la détermination de ces retards nous ont permis de valider la démarche pour le cas des modules intégrés et limiter le nombre de mesures à effectuer. En outre, les éléments utilisés dans notre onduleur nous ont permis de considérer les retards virtuels comme constants. Le modèle de l'onduleur en sera d'autant plus simple. Le chapitre suivant est dédié à l'exploitation de ces différents modèles. Nous y établirons le modèle moyen de notre onduleur et comparerons les résultats des simulations aux expérimentations correspondantes. Dans un contexte de commande en temps réel, le temps de calcul d'un modèle est primordial. Nous conclurons donc le cinquième et dernier chapitre par une analyse de sensibilité paramétrique de notre modèle, afin de déterminer le compromis précision complexité correspondant à une application particulière. 134

135 CHAPITRE CINQUIEME UN MODELE MOYEN D'ONDULEUR Les chapitres précédents nous ont permis de mettre en place les différents éléments nécessaires au développement du modèle de notre onduleur, à sa simulation et à la comparaison des résultats à l'expérience, dans des conditions proches de celles des véhicules électriques (15 à 30kW). Notre démarche s'est appuyée sur des principes théoriques formulés principalement à partir des graphes de liens. Dans les chapitres précédents nous avons identifié les paramètres des différents modèles constitutifs de l'ensemble convertisseur / charge. En particulier, nous avons pris en compte les non-linéarités de la charge (Chapitre 4). Le deuxième chapitre nous a permis, dans le cas du hacheur abaisseur de tension, de déterminer les différents éléments entrant dans la construction des modèles moyens: caractéristiques statiques des composants à semiconducteur et retards virtuels prenant en compte les phases de commutation. Nous allons donc, dans une première partie, appliquer les différentes étapes de construction des modèles moyens au cas de l'onduleur. Si celles-ci peuvent paraître laborieuses, elles sont relativement rapides à appliquer dans les cas simples car, en fait, elles représentent l'expression formalisée du "bon sens". Par contre, pour les convertisseurs plus complexes (à résonance par exemple), il est raisonnable d'envisager une automatisation de la procédure. Une fois ce modèle obtenu, il faut assembler les différents blocs (onduleur, charge, MLI et commande algorithmique fournissant les références) dans le logiciel de simulation choisi. La validation de notre modèle d'onduleur sera effectuée en comparant les résultats des simulations aux mesures correspondantes. Pour cela nous définirons un critère d'erreur quadratique. D'autre part, la précision de la modélisation induit une certaine complexité de la phase d'identification. Afin de réduire celle-ci, nous ferons une étude pour apprécier la dégradation de la représentation consécutive à une simplification du modèle de l'onduleur. Enfin, nous verrons comment exploiter ce modèle, dans le cadre de l'automatique, pour compenser les imperfections dues à l'onduleur. Nous appliquerons ces résultats au système de commande en temps réel du banc d'essais.

136 CHAPITRE CINQUIEME 5.1. ETABLISSEMENT DU MODELE DE L'ONDULEUR Avant de concevoir le modèle moyen de notre onduleur, il convient d'analyser le montage de manière à aboutir à un modèle de cellule élémentaire, utilisable pour d'autres structures de convertisseurs. En effet, si nous appliquons directement l'algorithme de construction de modèles moyens au schéma de la Figure 5-1, nous obtiendrons un modèle valable uniquement pour l'onduleur triphasé E IA R1 L1 R2 L2 IB IC L3 R3 Figure 5-1 : Schéma simplifié de l'onduleur et de sa charge. Les condensateurs de découpage (circuits d'aide à la commutation de la Figure 4-32) ne sont pas représentés. Les éléments grisés représentent les impédances des barres de connexions identifiées au chapitre 4. En émettant une hypothèse simple, nous allons simplifier considérablement le travail et aboutir à un modèle modulaire: Hypothèse 1: Les condensateurs de découplage sont suffisamment efficaces pour fournir la totalité de l'énergie pendant les phases de commutation sans que la tension à leur borne ne varie de manière significative. En fait, cette hypothèse revient à supposer que notre onduleur est de bonne qualité! Si la totalité de l'énergie des phases de commutation est fournie (ou absorbée) par les condensateurs de découplage, l'effet des inductances de câblage entre l'alimentation et le condensateur est négligeable. Nous pouvons donc conclure qu'aucun des bras de l'onduleur 136

137 Un Modèle Moyen d'onduleur n'est influencé par les commutations des deux autres et que la tension aux bornes des condensateurs est rigoureusement constante pendant la phase de commutation. Nous sommes alors en présence d'un système composé de trois bras d'onduleur complètement indépendants (au niveau des commutations). La deuxième hypothèse est indispensable pour la construction du modèle moyen (et pour le bon fonctionnement de l'onduleur): Hypothèse 2 : Le courant dans la charge varie très lentement par rapport à la fréquence de commutation. Il peut donc être considéré comme constant durant ces phases. Nous arrivons donc au schéma suivant: E IA IB IC Figure 5-2 : L'onduleur après simplification. Les courants étant imposés par la charge et chaque bras étant indépendant, nous pouvons en toute rigueur appliquer l'algorithme de construction de modèles moyens à un bras d'onduleur. Le modèle de l'onduleur triphasé sera donc l'assemblage de trois bras. 137

138 CHAPITRE CINQUIEME Modèle moyen d'un bras d'onduleur. Nous allons donc établir le modèle moyen du bras d'onduleur suivant: Iin 1 V1 E Vin Iout 2 V2 Vout I Alimentation Charge Figure 5-3 : Le bras d'onduleur à modéliser. Les grandeurs sont comptées positives telles que fléchées. Etape A : Déduction du bloc de commutation: La séquence de commande des interrupteurs est la suivante (notation binaire), nous y reviendrons un peu plus tard: { } S T. T, T. T, T. T, T. T Eq. 5-1 = Pour la séquence de commutation donnée, les éléments qui changent d'état sont les composants à l'intérieur du module et les inductances de câblage entre le module et le condensateur de découplage (qui, dans notre schéma, ont été fusionnées avec les inductances internes au module). En fait, dans ce cas, le bloc de commutation correspond à tous les composants compris entre les deux sources idéales V in et I out. Etape B: Identification des variables de port externes au bloc de commutation: Le schéma ci-dessus est très clair à ce sujet. Les variables de port sont donc: V in, I in, V out, I out. Etape C: Identification des variables d'entrée et de sortie: La source de tension à gauche impose évidemment la tension V in et la source de courant impose le courant I out. Ce sont nos deux variables d'entrée. Le modèle doit donc fournir la valeur de I in et V out. Nous venons de faire une Analyse de Causalité Algébrique correspondant à l'algorithme décrit dans le premier chapitre. Nous avons donc: 138

139 [ in, out ] [ out, in] U = V I Y = V I Etape D: Simplification du graphe de liens: Un Modèle Moyen d'onduleur Eq. 5-2 Cette étape a, en fait, déjà été effectuée en passant de la Figure 5-2 à la Figure 5-3. Notre graphe de liens final a donc l'allure suivante: Se:E Bloc de (Vin,Iin) (Vout,Iout) 1:l2 Sf:I commutation Se:g1 Se:g2 Figure 5-4 : Graphe de liens simplifié du bras d'onduleur. Nous reviendrons ultérieurement à l'expression des sources g 1 et g 2, commande du modèle moyen du bras d'onduleur. Etape E: Expression des variables de sortie du bloc de commutation. Pour chaque état de la séquence de commande S (Eq. 5-1), nous allons écrire l'expression des variables de sortie en fonction des variables d'entrée. Nous devons ici préciser le fonctionnement du bras d'onduleur. En effet, suivant le signe du courant I (Figure 5-3), nous aurons deux modes de fonctionnement pour la même séquence S. Ces deux modes correspondront donc à deux états différents dans notre modèle. Si le courant est positif, seuls l'igbt 1 et la diode 2 peuvent conduire, et inversement. Nous allons donc dresser un tableau pour chaque état: Séquence S Pour I positif - T est la période de découpage. T1. T2 T. T T1. T2 T. T Durée T.ρ M T.ρ 1 T.ρ M T.ρ 2 T1 off on off off Etat des D1 off off off off composants T2 off off off off D2 on off on on V out V 2 E-V 1 V 2 V 2 I in 0 A I out 0 A 0 A Table 5-1 : Expression des variables de sortie en fonction des variables d'entrée pour I positif. 139

140 CHAPITRE CINQUIEME Séquence S Pour I négatif - T est la période de découpage. T1. T2 T. T T1. T2 T. T Durée T.ρ M T.ρ 1 T.ρ M T.ρ 2 T1 off off off off Etat des D1 on on on off composants T2 off off off on D2 off off off off V out E-V 1 E-V 1 E-V 1 V 2 I in I out I out I out 0 A Table 5-2 : Expression des variables de sortie en fonction des variable d'entrées pour I négatif. Nota: T.ρ M correspond à la durée des temps morts appliqués par la commande. T.ρ 1 correspond à la durée de la commande de l'igbt n 1 T.ρ 2 correspond à la durée de la commande de l'igbt n 2 Nous avons donc : T.ρ 1 +T.ρ 2 +2.T.ρ M = T Eq. 5-3 Etape F: Calcul de la valeur moyenne des variables de sortie du bloc de commutation: Il nous faut donc maintenant calculer l'intégrale de chaque variable de sortie sur une période de découpage. En utilisant la notion de retard virtuel introduite précédemment et l'équation 4-16, nous pouvons nous ramener à une formulation explicite de ces intégrales: Pour I positif, nous avons: δt V [ Vin Vce( I out )] 1 ρ Vd ( I out ) 140 [ ] T V δt. V out = + T +. ρ T T Eq T I δ T I T I in = ρ +. out Eq. 5-5 T Pour I négatif, nous avons: 1 T V δ out = ρ + T T δt V [ Vin Vd ( I out )] ρ Vce( I out ) T. V T [ ] Eq T I δ T I in = ρ +. I out T Eq. 5-7 T Ces équations dépendent des caractéristiques statiques des IGBTs et des diodes, et des rapports cycliques appliqués sur chaque IGBT par la commande. Il nous faut donc modéliser cette dernière avant de pouvoir effectuer nos simulations Modélisation de la commande du bras Nous devons ici prendre en compte la totalité de la chaîne de commande jusqu'aux entrées des circuits de commande rapprochée du bras d'onduleur. Contrairement aux circuits analogiques,

141 Un Modèle Moyen d'onduleur les commandes "tout numérique" assurent une totale maîtrise de l'allure des signaux de commande. Entre autre, le logiciel PACTE nous permet de reprendre directement l'algorithme de modulation de largeur d'impulsion vectorielle écrit en C pour la carte DSP (cf. Chapitre 3). Cet algorithme fournit la valeur des rapports cycliques théoriques appliqués sur les IGBTs impairs de l'onduleur (ceux du haut). Il ne nous reste plus alors qu'à modéliser le comportement de notre interface de génération d'impulsion. Si nous nous référons à la Figure 3-5, nous constatons que ce circuit se contente de tronquer la durée correspondant au temps mort sur chaque impulsion de commande. En appelant ρ le rapport cyclique calculé par la MLI vectorielle, et ρ M le rapport cyclique correspondant au temps mort ( ρ M τ M = ) nous avons: T ρ 1 = ρ - ρ M Eq. 5-8 ρ 2 = 1 - ρ - ρ M Eq. 5-9 Mais il faut aussi tenir compte du fait que les rapports cycliques sont toujours compris entre 0 et 1. En effet, dans le cas où l'impulsion calculée par la MLI est inférieure au temps mort, l'interface la fait tout simplement disparaître. Notons que ceci peut causer l'apparition de composantes continues pour les forts taux de modulation. On préfère généralement assurer un temps de conduction minimal (généralement égal à la durée des temps morts). C'est une amélioration envisageable pour notre interface. On peut cependant, pour palier ce problème, limiter l'excursion des rapports cycliques calculés par la MLI vectorielle. Quoi qu'il en soit, notre modèle doit tenir compte de ces phénomènes aux limites que nous pouvons exprimer par: si ρ M <ρ<1-ρ M alors ρ 1 = ρ - ρ M et ρ 2 =1 - ρ - ρ M si ρ<ρ M alors ρ 1 = 0 et ρ 2 =1 - ρ - ρ M si ρ>1-ρ M alors ρ 1 = ρ - ρ M et ρ 2 = 0 Ou encore, en utilisant la fonction de Heaviside, H, nous avons: ( M ) H( M ) ρ = ρ 1 ρ. ρ ρ Eq ( M ) H( M ) ρ2 = 1 ρ ρ. 1 ρ ρ Eq Enfin, les délais virtuels n'existent que lorsque les composants commutent, soit quand les rapports cycliques sont différents de 1 et 0. Nous obtenons donc le modèle moyen de bras d'onduleur à deux états suivant: 141

142 CHAPITRE CINQUIEME Si I positif (ETAT 1): ( M ) ( ) Ψ = H ρ ρ Eq ρ1 = Ψ. ρ ρm Eq T V [ Vin Vce( I out )] Ψ δ 1 ρ Vd ( I out ) Vout = + δ T + δt. I I T I in = Ψ ρ1 + out Si I négatif (ETAT 2): T. V. 1 1 ( M ) ( ) T [ ] Eq Eq Ψ = H 1 ρ ρ Eq ρ = Ψ ρ ρm Eq V I 2 1 out in δt V [ Vin Vd ( I out )] Ψ ρ Vce( I out ) [ ] δt. V = 1 + T +. Ψ ρ2 2 T Eq δ T I = 1 Ψ ρ +. 2 I out T Eq Les équations 5-12 à 5-19 forment notre modèle moyen du bras d'onduleur. Le temps mort est un paramètre du bras d'onduleur. Nous devons maintenant assembler les différents modèles obtenus pour réaliser la simulation La chaîne de commande en simulation Nous avons utilisé le logiciel PACTE, pour développer et tester les différents modèles du banc. Un des principaux avantages de cet outil est sa grande souplesse au niveau des formats d'entrée qui permet de saisir les circuits à la fois en réseaux de Kirchhoff (pour la puissance) et en graphes de liens (pour la commande). En outre, il permet de développer très rapidement des modèles en M++ (langage de description de modèles ayant la syntaxe du C++), ou directement en C++. L'utilisation de modèles compilés diminue les temps d'exécution. Le schéma de principe de la simulation de l'ensemble est représenté ci-dessous: F est la fréquence du courant dans la charge Vs est la valeur crête de la tension M le coefficient de modulation. Les inductances de la charge sont non-linéaires. 142

143 Un Modèle Moyen d'onduleur MLI Vectorielle ρa ρb ρc Bras C I 3 I 2 I 1 I0 I C Bras B I B Bras A V CM V BM V AM I A E F M V BC V AB Vs 1/E I BC ICA I AB V CA Figure 5-5 : Schéma de simulation du banc de tests. La simulation de ce schéma sur un horizon de temps de 60ms (3 périodes électriques à 50Hz) sur une Station de travail UltraSparc dure de quelques secondes à quelques minutes. Le même type de simulation avec des modèles de comportement des composants à semiconducteur durerait plusieurs jours. A cela, il faudrait rajouter plusieurs heures de post-traitement pour calculer les valeurs moyennes (sur la période de commutation) des différents signaux découpés. Enfin, les fichiers de sorties dans le cas des modèles moyens sont de quelques dizaines de Kilooctets contre quelques dizaines de Mega-octets dans l'autre cas (avant post-traitement). Le gain apporté par les modèles moyens, en terme de coût de simulation, est indéniable. Voyons maintenant leur niveau de fiabilité COMPARAISONS ENTRE SIMULATION ET EXPERIENCE Pour déterminer le degré de précision de notre modèle, nous avons systématiquement comparé les trois grandeurs suivantes (pour le bras A, par exemple): Le courant I A, directement fourni par le capteur de courant intégré à l'onduleur. Il est représentatif de la qualité de modélisation des sorties du système. En effet, il est la conséquence de l'application de la tension par l'onduleur sur la charge. Le courant I 1. Ce courant est, en fait, découpé. L'information fournie par le second capteur équipant le bras doit donc être filtrée de manière à n'observer que la valeur moyenne du signal sur la période de commutation. Pour cela, nous avons utilisé un simple circuit (R, C) dont la fréquence de coupure a été fixée à 1kHz. Le courant I 0. Ce courant est la somme des trois courants I 1, I 2 et I 3. Il fournit donc une bonne représentation du comportement global du système simulé. 143

144 CHAPITRE CINQUIEME Lorsqu'il était nécessaire de rechercher la ou les cause(s) d'un écart entre la simulation et la mesure, nous avons observé la tension V AM. Cette dernière est, elle aussi, fortement découpée. Il nous a fallu filtrer la mesure de manière à éliminer les harmoniques dus aux commutations et éviter les problèmes de mode commun. Nous avons donc utilisé des sondes de tension différentielles développées au laboratoire, associées à des filtres (R, C) (coupure à 1kHz). Nous avons jugé de la validité de notre modélisation par la comparaison des réponses temporelles associées à un critère d'erreur quadratique. En ce qui concerne le courant de sortie (signal primordial dans un contexte de commande), nous avons déterminé un critère d'erreur relatif correspondant à l'écart entre les valeurs efficaces du signal obtenu en simulation et en mesure. Ce critère est donc défini par la relation suivante: ε = TBF 2 2 I ( t). dt I ( t). dt A TBF I 2 Ames TBF Ames ( t). dt Eq où: I Ames est le courant I A mesuré et I A est le courant I A simulé. D'autre part, ε sera compté positif si la valeur efficace du signal simulé est supérieure à celle du signal mesuré. Il sera compté négatif dans l'autre cas. Pour chaque série d'essais, nous fixons la fréquence F du courant dans la charge et la tension continue d'alimentation E. Nous faisons alors varier le coefficient de modulation M (ou la tension Vs de consigne) Au régime nominal Pour se rapprocher du cas général des machines électriques triphasées, le régime nominal correspond à une fréquence de 50Hz et une tension d'alimentation de 300V. Pour trois valeurs du coefficient de modulation (20%, 50% et 90%), nous avons comparé les trois courants I A, I 1 et I 0. Les mesures sont représentées en rouge. Le temps mort est fixé à 6µs. Cette valeur, supérieure à la valeur nécessaire (environs 3µs) nous permet d'apprécier plus aisément les effets dus aux temps morts. 144

145 Un Modèle Moyen d'onduleur F E M Fréquence: 50Hz Tension: 300V Modulation: 90% Fréquence: 50Hz Tension: 300V Modulation: 50% Fréquence: 50Hz Tension: 300V Modulation: 20% Fréquence: 50Hz Tension: 300V Modulation: 20% Figure 5-6 : Comparaison simulation / mesure en régime nominal. F=50Hz - E = 300V - M variable et ρ M =6µs. Nous constatons une très bonne corrélation entre la simulation et l'expérience. Pour les faibles taux de modulation, l'effet du temps mort appliqué par la commande est très net. Pour le 145

146 CHAPITRE CINQUIEME coefficient de modulation de 20%, nous avons représenté les tensions et les courants pour deux modules. Les distorsions du courant sont clairement les conséquences des discontinuités de la tension, elles-mêmes engendrée par le temps mort. En effet, au changement de signe d'un des trois courants (I A, I B ou I C ), le bras d'onduleur concerné passe d'un état de fonctionnement à l'autre. Si nous reprenons les équations du modèle (Eq et Eq. 5-18) et exprimons l'écart sur la tension de sortie lors du changement de signe du courant, nous avons: V out + δ. = Ψ ρ1 + T T V [ Vin] V δt. V out = + T = + + δ. 1 Ψ ρ2 1 2 T Donc, si le courant passe de 0 + à 0 -, l'écart de tension vaut: T V [ Vin] Ψ ρ ρm [ Vin] Eq Eq V V = 2ρ V Eq out out M in A 300V, avec un temps mort de 6µs pour un fréquence de découpage de 10kHz, nous avons bien une discontinuité de 36 V. Le graphique suivant présente l'erreur ε (Eq. 5-20) en pour-cent pour des tensions et des coefficients de modulation variables à une fréquence de 50Hz Taux d'erreur du modèle moyen de l'onduleur Erreur (%) 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00-1,00-2,00 90 Modulation (%) Tension (V) Figure 5-7 : Erreur relative en % entre simulation et expérience à 50Hz. 146

147 Un Modèle Moyen d'onduleur Dans tous nos essais en régime nominal, l'erreur sur la valeur efficace du courant dans une phase, commise en simulation, reste inférieure à 6%. Voyons maintenant d'autres conditions de fonctionnement Aux autres régimes Nous avons relevé les mêmes caractéristiques que précédemment pour différents taux de modulation à 300V, mais pour des fréquences de 10Hz et 100Hz. 147

148 CHAPITRE CINQUIEME Fréquence: 100Hz Tension: 300V Modulation: 50% Fréquence: 100Hz Tension: 300V Modulation: 90% Fréquence: 10Hz Tension: 300V Modulation: 20% Fréquence: 10Hz Tension: 300V Modulation: 90% Figure 5-8 : Comparaison des courants pour des régimes autres. De la même manière, nous avons représenté l'erreur relative en fonction de la fréquence et du taux de modulation: 148

149 Un Modèle Moyen d'onduleur Erreur relative en fonction de la Fréquence Erreur (%) 6,00 4,00 2,00 0,00-2,00-4,00-6,00-8,00-10, Modulation (%) 90 10Hz 50Hz 100Hz Fréquence (Hz) Figure 5-9 : Erreur relative sur le courant d'une phase en fonction de la fréquence à 300V. Force est de constater que la qualité de la représentation des courants dans la charge se dégrade rapidement avec la fréquence. Même si cette erreur reste, en valeur absolue, inférieure à 10% son large domaine de variation (en valeurs relatives) peut être gênant. L'approche causale de notre représentation peut nous permettre d'analyser si les erreurs de modélisation sont globales ou localisées. Rappelons la causalité du système: l'onduleur impose la tension et la charge impose le courant correspondant. La comparaison simultanée des courants et des tensions sur la charge vont nous apporter des éléments de réponse. La figure suivante présente quelques relevés effectués. Les tensions relevées ont été filtrées de manière à être superposables aux tensions moyennes fournies par la simulation, comme précisé précédemment. 149

150 CHAPITRE CINQUIEME Fréquence: 10Hz Tension: 300V Modulation: 20% Fréquence: 10Hz Tension: 300V Modulation: 90% Fréquence: 100Hz Tension: 300V Modulation: 50% Fréquence: 100Hz Tension: 300V Modulation: 90% Figure 5-10 : Comparaison des courants et tensions en dehors du régime nominal. Outre les déphasages des tensions à 100Hz vraisemblablement introduits par notre filtre de mesure, nous ne constatons pas d'écart sur les tensions justifiant l'erreur commise sur les courants (sauf pour le premier relevé). Il semble donc que les erreurs proviennent 150

151 Un Modèle Moyen d'onduleur principalement du modèle de la charge. Les inductances auraient alors un comportement dépendant de la fréquence. Le premier relevé met en évidence un problème lié aux transitions entre les deux états du modèle du bras d'onduleur. En effet, le changement d'état a lieu au changement de signe du courant. Pour les faibles niveaux et les basses fréquences, le courant peut osciller autour de zéro avant de changer définitivement de signe. Cette oscillation impose alors de nombreux changements d'états du bras et, les temps morts appliqués par la commande créent les discontinuités observées. Notons que, dans ce cas, la simulation est très ralentie. Il est probable que, dans la réalité, l'effet des oscillations haute fréquence des courants (10kHz) avec de très faibles niveaux de courant (qq ma) soient atténuées par des phénomènes non pris en compte dans notre modélisation. Pour palier artificiellement ce problème, il est possible d'introduire une hystérésis dans le test de changement d'état du modèle. Nous venons de définir la pertinence de notre modèle d'onduleur. Comme nous l'avons montré précédemment, c'est un modèle relativement simple et rapide à simuler. Cependant, même si l'identification de ses paramètres ne pose pas de problèmes particuliers, il serait intéressant d'étudier l'importance relative de chaque paramètre de manière à simplifier, si possible, la phase d'identification, toujours problématique dans un contexte industriel SENSIBILITE DU MODELE D'ONDULEUR A SES DIFFERENTS PARAMETRES Pour juger de l'importance de chaque paramètre du modèle de bras, nous avons comparé les résultats obtenus en simulation pour différents niveaux de simplification du modèle: 0 Mesures (jaune); 1 Modèle moyen complet (noir); 2 Elimination des délais virtuels (rouge); 3 Elimination des caractéristiques statiques: composants idéaux (bleu); 4 Pas de prise en compte des temps morts: onduleur "parfait" (magenta); La figure suivante nous permet d'apprécier les implications de chaque simplification dans deux cas très distincts: 151

152 CHAPITRE CINQUIEME Fréquence: 50Hz Tension: 100V Modulation: 20% Fréquence: 50Hz Tension: 100V Modulation: 20% Fréquence: 50Hz Tension: 300V Modulation: 90% Fréquence: 50Hz Tension: 300V Modulation: 90% Figure 5-11 : Comparaison des simulations avec des modèles de bras d'onduleur simplifiés. Notons tout d'abord que le modèle d'onduleur "parfait" est le plus éloigné des mesures. Ceci est dû uniquement à la non prise en compte des temps morts appliqués par la commande. Cet effet est d'autant plus flagrant que nous avons choisi un temps mort très important. Notons 152