Probabilités, cours pour la classe de Terminale STG

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1 Probabilités, cours pour la classe de Terminale STG F.Gaudon 16 février 2008 Table des matières 1 Probabilités (rappels) 2 2 Événements 3 3 Calculs de probabilités 4 4 Probabilités conditionnelles Notion de probabilité conditionnelle Arbre pondérés Indépendance d événements

2 1 Probabilités (rappels) Définitions : Une expérience est dite aléatoire lorsqu elle a plusieurs issues aussi appelées éventualités possibles dont on ne peut pas prévoir laquelle sera réalisée. L ensemble de toutes les éventualités constitue l univers de tous les possibles. Exemple : Le lancer d un dé à six faces constitue une expérience aléatoire d issue x i pour i allant de 1 à 6 et correspondants à la sortie de la face i du dé. Il y a donc 6 issues ou éventualités possibles. Soit E = {x 1 ; x 2 ;... ; x r } l ensemble des issues d une expérience aléatoire, on définit une loi de probabilité sur E en associant à chaque issue x i un nombre p i tel que : pour tout entier i tel que 0 p i 1 ; p 1 + p p n = 1. p i est appelée probabilité de l issue x i. Propriété : Si on répète une expérience aléatoire dont les issues sont {x 1 ; x 2 ;... ; x n } un nombre n de fois, alors les fréquences d apparition des x i vérifient f 1 + f f r = 1 et 0 f i 1 ; si n devient grand, les fréquences se stabilisent autour de la probabilité p i (loi des grands nombres). Exemple : On jette un dé 100 fois et on note la face apparue à chaque lancer. Si le 1 apparaît 12 fois la fréquence de sortie est 12 = 0, 12. On a f f f 6 = 1. Si le nombre de lancers devient grand, les fréquences se stabilisent autour de, probabilité d apparition du

3 Exemple : Une pièce de monnaie est truquée de sorte que la probabilité d obtenir pile est le double de celle d obtenir face. On appelle p 1 la probabilité d obtenir pile et p 2 celle d obtenir face. On a donc p 1 + p 2 = 1. Or p 1 = 2 p 2 donc 2p 2 + p 2 = 1 d où 3p 2 = 1 et p 2 = 1 3 et p 1 = = 2 3. Lorsque les r issues d une expérience aléatoire ont la même probabilité p de se réaliser, on parle de loi équirépartie. Alors p = 1 r. Exemple : Pour le lancer d un dé non truqué à six faces, chaque face ayant la même probabilité d apparaître, la loi est équirépartie et chaque face i a une probabilité p i d apparaître égale à p i = Événements Soit E l univers associé à une expérience aléatoire. Toute partie de l univers est appelé un événement et le nombre d éléments d un événement A est appelé son cardinal. Tout événement formé d une seule éventualité est appelé événement élémentaire. est appelé événement impossible. E est l événement certain. Exemple : lancer d un dé à six faces : «obtenir 1 ou 2»est un événement ; «obtenir 1»est un événement élémentaire ; «obtenir 7»est l événement impossible. 3

4 Soit P une loi de probabilité définie sur un ensemble E, alors la probabilité d un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalise. Propriété : P ( ) = 0 ; P (E) = 1 ; pour tout événement A, 0 P (A) 1. Propriété (cas d une loi équirépartie) : Dans le cas d une loi équirépartie, la probabilité d un événement A est : P (A) = nombre d issues favorables à A nombre d issues possibles dans E 3 Calculs de probabilités Soient A et B deux événements. L événement A B (lire «A inter B»ou «A et B») est l ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B. Lorsqu aucune issue ne réalise A et B, c est à dire A B =, on dit que A et B sont incompatibles. L événement A B (lire «A union B»ou «A ou B») est l ensemble des issues qui réalisent A ou B, c est à dire au moins l un des deux événements. L événement Ā appelé événement complémentaire ou contraire de A est l ensemble des issues qui ne réalisent pas A. Propriété : 4

5 Soit P une loi de probabilité sur un ensemble E. Pour tous les événements A et B, on a : P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) En particulier, si A et B sont des événements incompatibles, alors P (A B) = P (A) + P (B). Pour tout les événements A et B, P (Ā) = 1 P (A) Preuve : Il suffit de dénombrer les issues élémentaires composant chacun des événements. Si A et B sont incompatibles, on a A B = donc P (A B) = 0 d où la formule. On a E = A Ā et A Ā = donc A et Ā sont incompatibles et P (E) = P (A Ā) = P (A) + P (Ā). Or P (E) = 1 donc 1 = P (A) + P (Ā) d où P (Ā) = 1 P (A). 4 Probabilités conditionnelles 4.1 Notion de probabilité conditionnelle Pour tout événement A et tout événement B non impossible, on appelle probabilité conditionnelle de A sachant B et notée P B (A) le nombre P B (A) = P (A B) P (B Exemple : Lors d un sondage, 50% personnes des interrogées déclarent pratiquer un sport régulièrement et 75% des personnes interrogées déclarent aller au cinéma régulièrement. De plus, 40% des personnes déclarent faire du sport et aller au 5

6 cinéma régulièrement. On interroge à nouveau une de ces personnes au hasard et on considère les événements «la personne interrogée pratique un sport régulièrement» et «la personne interrogée va au cinéma régulièrement» que l on notent S et C respectivement. On cherche à calculer la probabilité que la personne pratique un sport régulièrement sachant qu elle va régulièrement au cinéma. On a P (C) = 0, 75 et P (S C) = 0, 4. Donc P C (S) = P (S C) = 0,4 0, 53. P (C) 0,75 Remarque : Soient A et B deux événements non impossibles d un univers donné. La connaissance de la probabilité d un événement B et de la probabilité conditionnelle d un événements A sachant B permet de retrouver la probabilité P (A B) de l intersection de A et B avec la formule P (A B) = P B (A)P (B). 4.2 Arbre pondérés Le schéma ci-dessus est appelé arbre pondéré ou arbre à probabilités. Il comporte 4 chemins : A B, A B, Ā B et Ā B. Un noeud est un point d où partent plusieurs branches. Propriété : 6

7 Dans un arbre pondéré ou arbre à probabilités comme ci-dessus, La somme des probabilités portées sur les branches issues d un même noeud est égale à 1 (par exemple, P B (A) + P B (Ā) = 1) ; la probabilité d un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches (par exemple, P (A B) = P (B) P B (A)) ; la probabilité d un événement est la somme des probabilités des chemins qui le compose(par exemple, P (A) = P (A B) + P (A B)). Exemple : La tableau suivant montre la répartition d une population dans une usine : Cadres Ouvriers Total Hommes Femmes Total On rencontre un employé au hasard. On note H l événement «l employé rencontré est un homme» et C l événement «l employé rencontré est un cadre». On a P (H) = 300 = 0, 6, P 500 H(C) = 100 = 1 et P H( C) = 200 = 2. On a bien P H (C) + P H ( C) = 1. En outre, P (H C) = P (H) P H (C) = 0, 6 1/3 0, 2 et = P (C) = P (C H) + P (C H). 4.3 Indépendance d événements On dit que deux événements A et B sont indépendants lorsque P (A B) = P (A)P (B) Remarque : Si P (B) 0 alors deux événements A et B sont indépendants à condition que P B (A) = P (A) (ou P A (B) = P (B) si P (A) 0), ce qui signifie que la probabilité que l un des deux événements se réalise ne dépend pas de la probabilité que l autre se réalise. 7

8 Exemple : On tire au hasard une carte d un jeu de 32 cartes. On appelle A l évenement «on tire un as», T l événement «on tire un trèfle» et C l événement «on tire un carreau». On a P (A) = 4 = 1, P (T ) = 8 = 1 8 et P (C) = = D une part A T est l événement «on tire l as de trèfle» et P (A)P (T ) = = 1 qui est bien égal à P (A T ) ce qui montre que A et T sont indépendants D autre part, T C est l événement «on tire un trèfle et un carreau» dont la probabilité est 0 mais on a P (T )P (C) = 1 1 = 1 P (T C) ce qui confirme que les événements T et C ne sont évidemment pas indépendants. 8

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