LA THI~ORIE DU COMPORTEMENT ET LA CREDIBILITY THEORY AMt~R1CAINE. E. FRANCKX Bruxelles

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1 LA THI~ORIE DU COMPORTEMENT ET LA CREDIBILITY THEORY AMt~R1CAINE E. FRANCKX Bruxelles AVANT PROPOS La thdorie amdricaine de la cr6dibilitd est considdrde par nos coll~gues am6ricains comme une pi~ce-maltresse de la th6orie actuarielle,,non life" (Longley Cook: An Introduction to Credibility Theory) Elle a recu la cons~cration de l'expdrience sur le marchd le plus large du monde, l)irigeants d'entreprises et autoritds de contr61e se sont accordds, sur son emploi. Ce sont llt des rdsultats positifs qui ne peuvent que faire rdfldchir tousles actuaires. ASTIN a mis le probl6me h l'ordre du jour du colloque de Lucerne en t965. Cette annde, la rdunion d'arnhem reprend le m~me sujct, h juste titre. 3lais il faut le constater, si les mdthodes d'adaptation amdricaines donnent des rdsultats pratiques indiscutables, elles ont dtd ~tablies par des mdthodes pragmatiques, d'abord basdes sur certains cas particuliers et admises, ex cathedra, en toute gdndralitd. Cctte situation laisse un sentiment de malaise et soul~ve de nombreuses critiques. (I)erron : KredibilitS.t und Versicherungwesen) (Mayerson: A Bayesan view of Credibility). La thdorie de la crddibilitd impose awmt tout la recherche (['une base thdorique plus valable. La question est ddlicate. Elle touche directement au probl6me de l'infdrence statistique qui constitue entre probabilistes ct statisticiens un domaine tr6s controversd. La prfiscnte note apporte une contribution trfis subjective it la thfiorie am6ricaine. Elle tend t[ dlargir le ddbat et conduit h la conclusion que l'~tablissement d'une thdorie du comportement de l'assureur serait souhaitable. Dans une telle thdorie, les mathdmatiques ont leur importance, mais elles pr~supposent l'ackmission ~t priori de certaines r6gles d'infdrence. Mais il n'en reste pas moins vrat quc la thdorie amdricaine a conduit it l'ad@tion de r~gles de ddcisio,n, comm~t'nes eulre assure'urs.

2 16 LA THI~ORIE DU COMPORTEMENT Elle a eu pour consdquence une certaine unitd de doctrine pratique. Ce fail est remarquable. J~VI:.'NEMENTS QUASI-IMPOSSIBLES OU QUASI-CER.TAINS A. Notre connaissance du monde extdrieur rdsulte de l'observation, de l'enrdgistrement et de l'interprdtation des faits. Beaucoup d'dvdnements qui nous concernent sont aldatoires. )'lais s'il existe des circonstances qui nous permettent de croire qu'un dvdnement posssdc tr~s peu de chances de st rdaliser, alors nous admettons, dans la vie courante, qu'il est quasi-impossible. IIen est de m~me des dvdnements quasi-certains. C'est Cournot qui a explicitd cette rbgle fondamentale de notre comportemeut: si la probabilild d'mz dvdnemant n'atlei.nt pas uu scull minzmal, alors l'dvd~e.ment est quasi impossible. Ce seuil minimum est largement subjectif; certains d'entre nous osent plus que d'autres.?dais ce seuil peut ~tre fixd par une convention suppldmentaire, entre utilisateurs (par exemple en statistique ou en science actuarielle, en artillerie ou pour telle ott telle catdgorie de probl6mes, on adnlet, par exemple, 1% ou 5 ~). C'est lit une rbgle de ddcision collective, ~t laquelle, it tort ou k raison tout le monde se soumet. La thdorie du comportement prdsuppose l'introduction des deux conventions prdcddentes. On peut discuter leur valeur logique: car admettre qu'urt dvdnenlent est quasi impossible ne veut pas dire qu'il ne pout pas st produire. Au contraire,,tu cours d'une longue sdrie d'@reuves il est presque certain d'arriver. Mats ces survenances sont tellement sporadiques, it l'dchelle humaine, qu'on,,convient" de ne pas les prendre en consid6ration. Quant un tel dvdnement quasi impossible survient, on parle de,,fatalitd". Nous admettrons, dans la suite, qne la convention de ddfinition des dwsnements quasi impossibles a c~td prdcisde. Dans l'dtablissement de la thdorie, il suffit d'admettre l'existence d'un scull minin-tal. B. De ee qui prdcsde, il rdsulte que si a~t co~trs de l'dvo]utio~ de cerlains phdnom~nes, leur probabilitd tombe en dessous du seuil fixd par la ddfimtion des dvdnemenls quasi impossibles, en verlu de!a convention dlablie, ils seront sy.~tdmatiquement ndgligds dans q2olre comporle'ment habituel.

3 LA THI~ORIE DU COMPORTEMENT 17 En particulier, tous les ph4nom&ms qui tombent sous la de la loi des grands nombres et de la tendance centrale, conduisent h des dvdnements quasi impossibles. C'est d'ailleurs ~. ce titre que les lois limites du calcul des probabilitds poss6dent leurs v&itables titres pratiques. Nous rappelons le th6or6me de Lindeberg-L6vy de la tendance centrale: Si l'on effectue une suite de n expdriemes relatives dt la mdme variable aldatoire X, alors la variable aldaloire,,cumul" ddfinie par : Sn = x~ + x xn subil l'allraclion de la loi de Gauss el pour n, suffisament grand, pratiquement : prob ~ ~ ~< ~ = e-~. dt (1) ou Ex et *z ddsignent la valeur moyeame et l'dcart quadratique de la variable X. C. En termes d'dv6nements quasi terrains symdtriques, on obtient de (I) K Au seuil de --, IOO il esl quasi certain que le cumul S~ appartiendra au domaine " ct avec t k = I 2 5 lo (2) i pa- = 2,58 2,33 4,96 4,65 Par exemple, si X est une variable de Poisson donnant le hombre xk sinistrcs frappant un contrat avec: Pz-k = e -z )e~ on obtient: E z = o~ = X Au seuil de 5 %, il est quasi certain que le total n des sinistres de ~ contrats &hangeables appartient au domaine: nx- 1,96 X l/~ ~ S,~ ~< ux + 1,96 kv'n De tels rdsultats sont classiques. Notons que n doit &re assez grand pour que la tendance centrale soit effectivement acquise. 2

4 i8 LA THI~ORIE DU COMPORTEMENT LE COMPORTEMENT A PRIORI A. En calcul des probabilit6s, la tmorie math6matique a pour but de justifier, a priori, des propri~t6s tr~s g6n6rales, de rdgularit~ statistique, que l'expdrience confirme. Ces propridtds et r6gularit~s, valables en moyenne, n'excluent absolument pas la possibilit6 d'arrivde de fluctuations. Or dens de nombreuses applications, les fluctuations conduisent au dds~quilibre et peuvent ~tres tr~s ddfavorables. Cette notion, en assurance, e~,t 5. la base de la thdorie du risque au sens le plus g6n~ral. Un des buts de la credibility theory est prdcisdment, de limiter les effets possibles des flucluations ddfavorables. a) Revenons au probl~me du cumul. La fluctuation, apr~s est la diffdrence (Sn--uEz). Elle peut ~tre mesur~e de diffdrentes mani~res; en particulier, on peut prendre la valeur moyenne nez comme units de mesure. Nous posons k priori Sn=~Ez I + ~oo (3) X ddfinit le pourcentage d'dcart par rapport ~ la valeur moyenne, c'est un hombre aldatoire. b) Cela dtant admis, nous considdrons un individu quelconque intdre~,d au cumul de Sn. Nous diro,ns ~i priori qtdil a fixd son comporle~nent, s'il a,~it (th6orie de la d6cision) de telle sorte que: K prob{?, )L} ~ - (4) IOO En d'autres termes, le comportement d'un individu (en particulier d'un assureur) est fixd, s'il s'arrange a priori po~lr qu'une fluctualion de L /o s~r la vale,l r probable de S,, soit quasi impossible au seuil de K %. Nous dirons que K et L sont les param~tres de comportemenl B. Dens le probl~me qui nous occupe, il y a un troisi&me dldment en fait le param6tre prmcipel: la valeur n. Dis lors, se pose la queslion de savoir quelles contraintes sont ~ imposer ~ n pour q2 e

5 LA THI~ORIE DU COMPORTEMENT ~9 l'indgalitd du comporleme~zt (4) soit vdrifide. Compte tenu de la tendance centrale (I), en diiminant (Sn --he) nous trouvons que pour n suffisamment grand, prob I?, [ > IOO Pk ~ I ~ IO---O Si donc on calcule le nombre n o par l'6galit6 on aura pour tout n >/% afortiori et l'in6galit6 (4) sera v6rifde. ~x oop E MG L (5) prol, {I X I > z } --< K IOO La contrainte h imposer h n peut s'dnoncer comme suit: Pour que l'indgalitd de comportement soil vdrifide, it surf it que le hombre d'dpreuves n joudes ddpasse le hombre n o ddfini par (5). La relation (5) est le poi.nt de ddpart de let th6orie du con'tportement. Une premi6re conclusion pratique en rdsulte, il faut clue le nombre d'dpreuves smt relativement grand pour vdrifier (4). D'ailleurs parier sur les rdsultats de quelques dpreuves est toujours sp6culatif, l'expdrience courante le confirlaae. C. Nous pouvons donner au rdsultat prdcddent une forme invarianle c'est-&dire inddpendante de la nature particuli&e de la variable aldaloirc X dour lecmmd est considdrd. En effet en dcrivant [ ~ -- ~o \ fix/ (5, bis) le deuxi~me membre ne ddpend que des param~tres de comportement K et L, il sera appel6,,nombre critique" I. CalcuIfie, la valeur de Iest donn~e sous la forme du tableau ciapr~s:

6 20 LA THt~,ORIE DU COMPORTEMENT valeur de K 1 5 io 2,5 Io valeurs o82 Tableaz~ des hombres de L. 7, critiques 1 IO Ce sont prdcisdment les nombres qui interviennent dans un tableau fondamental de la credibility theory (Longley-Cook page 9). La correspondance est encore plus frappante si nous prenons pour la variable X le module math6matique de Poisson, qui est 5. la base de la thdorie am~ricaine. ks Car si Px=e = e -x -- k! on obtient en particulier I = Xno (6) Donc pour qu'une classe de risques, obdissaul 5 une loi de Poisson de param~tre X, satisfasse ~i l'indgalitd de comportement, il suffit que le nombre probable de sinistres ddpasse le hombre critique I correspondant aux param~tres de comportement (K L). D. Les consid6rations pr6c6dentes conduisent une conclusion gdndrale: pour qu'5. priori, le total 5. payer pour une classe de risques ne s'dcarte pas dans de fortes proportions du montant attendu (moyen), ~l surf it que celle classe de risque poss~de un effectzf minimal. D'une manifre plus prdcise, l'algorithme ~ appliquer sera le suivant : a) les constantes du comportement ayant dtd fixfies, la valeur de I en r~sulte par la formule (5 his). b) le risque dtant statistiquement connu, on peut, par dchantillonnage, calculer la valeur de E/e. Dfs lors, la relation (5 bis) permet le calcul de n oet on se trouvera devant l'alternalive : -- ou bien l'effectif n'est au moins 6gal ~ n o et la classe de risque est admissible

7 - - ou LA THfLORIE DU COMPORTEMENT 21 bien l'effectif n'est infdrieur ~ n o et alors le risque de fluctuation ddpasse les normes fixdes par le comportement. L'assureur sera amend 5. prendre des ddcisions compldmentaires soit en augmentant l'effectif en participant ~t un Pool, soit en augmentant le rapport E/e par la rdassurauce. Ces quelques considdrations indiquent qu'une thdorie plus ddvelopp6e du comportement de l'assureur pourrait fitre l'objet utile de recherches nouvelles. Elle poss~de assurdment un caract~re opdrationnel. LE COMPORTEMENT A POSTERIORI A. La credibility theory amdricaine touche au comporlement a posleriori. Ayant obtenu un dchantillon d'une classe de risques le probl~me posd est celui de la ddduction d'une tarificalio~z valable ~. partir de cet dchantillon. C'est un probl~me d'infdrence et a priori les actuaires amdricains marquent leur ddsaccord avec les mdthodes prdconisdes par l'dcole statiqtique anglosaxonne de Neyn-tan-Pearson. La questiou est d'autant plus ddlicate qu'une mdthode gdndrale d'infdrence n'a jamais did admise par l'ensemble des statisticiens. Et pourtant le probl~me est inapoltant, car la lot des grands hombres sanctionne toujours une mauvaise tarification. Aussi les actuaires de la Casualty ont-ils ddgagd certaines r~gles de comporteme'nt qui ont pour but d'dviter que la prime pure dema~zddc ne diff~re lrop de la prime vraie. Telle est en effet l'idde directrice dmise par le professeur Mowbray en 19I 4 (How extensive a Pa3q-oll exposure is necessary to give a Dependable Pure Premium CAS l (1914). Si on se base sur un ensemble statistique ddtermind, on ne connait pas a priori la valeur numdrique du rapport de la fluctuation b. la valeur nloyenne. En effet, la variable X qui caractdrise le risque aldatoire du total /k payer par contrat n'est pas connue. D'autre part le vrai risque commercial pour l'assureur rdsulte d'une fluctuation favorable 5. son dgard dans le passd qui le conduirait 5. admettre une ratification trop basse, done ddfavorable pour ses affaires futures. B. Puisque l'dtude a priori montre que le danger d'une fluctuation relative diminue lorsque la taille de l'dchantillon augnlente, les

8 22 LA THI~ORIE DU COMPORTEMENT actuaires nmdricains ont ndmis la r~gle d'infdrence.~uivante: il faut que l'dchantillon atteigne une faille suffisanle pour pouvoir en ddduire une tar2ficalion valable (le volume des domtdes dolt a#eindre le niveau correspondant dd la,,full credibilily" dan~ le language conventionnel de la Casualty Society). Passons au cas particulier du module de Poisson et du sinistre moyen. Le problbme consiste ;l d6finir la taille suffisnnte de l'dchantillon sur lequel peut s'op6rer une tarificntion valable. Nous avons vu (5) qu'a priori il surf it quc le uombre probable des sinistres atteigne ou ddpasse It nombre critique (relatif aux param~tres de comportement) pour que Yon nit l'obtention de l'6v6nement quasi impossible. La r~gle am6ricaine admise est: it posleriori, il faul que le hombre dcs sinislres constalds dans l'dchnntillon attcignc lc nombre critique pour que la tnrification, qui cst d6duite, soil valable dans l'avenir. On passe de la proposition a priori ~ lit r~'glc ~L posteriori moyennant In modification des termes soulign6s. Ln r~gle pr6cddente constitue le fondenlent de la m6thode amdricaine--certains hfi couf6rent un pouvoir magique--. C. Nous pouvorls nous demander--tout en admettant une rogle d'infdrence semblab[e-- si on ne peut se ddbarasser des hypoth6ses particuli6res du module mathdmatique admis cn Amdrique, c'est-~_- dire loi de Poisson et sinistre moyen. Le probl6me revient ~. repasser de la condition (6) ~t la condition (5 bis). Or, l'orsqu'ou dispose de la population de~ 6preuves, on peut toujours faire l'estin'tati.on statistique du rapport: ~ (E~) ~ \G~/ qui pour les risques non life dolt ~tre en gdndral petit, si pas tr~s petit, mais reste sp6cifique pour chaque clnsse commerciale de risques (et chaque organisme d'assurances). D6s lors, nous savons par l'dtude pr6c6dente, que pour que l'int~ga - lit6 du comportement soit v~rifide; il surf it que la taille de l'dchantillon atteigne le nombre 1/o~. A partir cela et en appliquant la m~me r~gle d'inf6rence, on en d~duit la r~gle op~rationnelle suivante: pour qu'a posteriori l'dgalitd

9 LA TH1ZORIE DU COMPORTEMENT 23 du comporlement soit attei.nte, il faut que la laillc de l'dchanlillon proposd atleigne le hombre [~co Telle nous sembie la g&ldralisation normale de la procddure am6ricaine. D. Cela nous conduit, sur la base de l'exl)drience, ~t introduire une notion nouvelle: celle d'dchauldlons dquivalenls. A priori pour deux classes de risques diffdrentes, mais qui admettent la mfime valeur numdrique de ~., il suffil de prendre la mnne laille d'&hanlillon pour que, pour n grand, cetle "m&ne laille soit s tffisante pour atleindre l'dgalitd de comporlcment. De telles classes de risques entrainent les mfmcs dangers pour los fluctuations relatives. Elles deviennent figalement addquates pour effectuer une tarification. Cela ne veut pros dire que dcux dchantillons,,dquivalents et addquats" nc vont pas conduire ~t deb tarifications diffdrentes, mais uniquement qu'il est quasi certain que lcs deux valeurs de Ez qu'elles ddfi.nissenl plausibles. La r~gle d'inf6rence revient 5. admettre que cc caract+re d'addquation est maintenu a postdriori ou que la notion d'dehantillon,,6quivalents et addquats" est ind@endante du temp~. Si l'on veut bien y rdfldchtr, tout ce qui vient d'etre prdcddemment dit s'applique au cas des variables,,indicateurs" xl utilisdcs darts le probl6me fondamental de la frdquence d'un 6vdnement k probabilitd inconnue (Probl6me de Bernouilli). Le total stochastique 5n correspond au nombre de rdpdtitions cle l'dvdnement an cours des.n 6preuves. Pour ces variables xz on a: '2 E. = p % = p(~ --p) P en sorte que le coefficient (6) vaut -. (5 bis) entraine alors la proposition" a priori il devienl quasi impossable que l'dcarl relalif entre la fr@uence ca la probabilild d@asse I- -p L %, si le hombre des dprcuvcs alleiut % =-I... P La r6gle d'infdrence, lorsque p est inconnu, nous impose la taille minimale n G ou nous avons remplacd p par son estimation: la frdquence. En pratique, e'est ee que nous faisons toujours, raceme si les thdories math6matiques et logiques dont, no.is disposons ac-

10 24 LA THI~ORIE DU COMPORTEMENT tuellement ne sont pas assez puissantes pour justifier cette rhgle de comportement. Le probl6me, introduit par le principe de full credibility, pose la question de l'utilisntion de la tendanee centrale a posteriori Pour les ddfenseurs de In mdthode de Bnyes, In question est tranchde par une hypoth6se compldmentnire (celle de Laplace ou une autre analogue). Pour les ddfenseurs de in thdorie de In fr4quence, cette utilisation reste justifi6e n priori par le th4or6me de Bernoulli.