CALCUL MATRICIEL Exercices EXERCICE 1 : opérations sur les matrices

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1 CALCUL MATRICIEL Exercices EXERCICE : opératios sur les matrices a) Soi les matrices A 0 B Calculer A B; B A; A B; AB b) Effectuer les produits suivats : 0 5 A ; B ; C 5 0 D 5 ; F ; E 0 c) Soit A 0 0 Motrer que A A A O 0 0 d) Soi A 0 0 B 0 Comparer AB A B A B 0 EXERCICE : ième Pour tout ier aturel, calculer la puissace des matrices suivates a 0 a 0 a b A ; B ; C, où a b sot des ombres réels 0 a b 0 0 a EXERCICE : x O pose M x où x est u ombre réel o ul x Calculer M a Mb pour tout ier aturel, où a b sot des ombres réels o uls EXERCICE 4 : O cosidère les deux matrices suivates : A I a) Détermier la matrice J telle que A I J, puis calculer J b) E déduire que, pour tout ier supérieur ou égal à, J est égale à la matrice ulle ( ) a) Motrer que, pour tout ier aturel, A I J J b) E déduire alors, pour tout ier aturel, l'expressio sous forme de tableau de la matrice A J

2 a) Développer le produit ( I J) ( I J J ) b) E déduire que A est iversible préciser A e foctio de I J Vérifier que l'égalité obteue à la questio a) reste vraie si EXERCICE 5 : 4 Soi les réels x y ; les matrices A = 0 B = 4 Soit la matrice M = x A+ y B ) Calculer A A ; e déduire A (o discutera suivat les valeurs de ) ) Calculer B, puis détermier B e foctio de B ( ier aturel o ul) ) Calculer AB BA 4) Exprimer M e foctio de x, y, A, B, ( ier aturel o ul) EXERCICE 6 : O cosidère les matrices suivates : 0 0 A, B I ) Calculer B puis B pour tout ier aturel ) Vérifier que A I B e déduire l expressio de A pour tout ier aturel EXERCICE 7 : t Soit X M, différe de la matrice ulle de M, B X X ( désigat u ier aturel o ul t X la trasposée de la matrice X) ) Motrer que le produit t XX est u ombre réel strictem positif que l o otera p ) Calculer B e foctio de, p B pour p ) Soit la matrice A ai bb où a b sot deux réels Exprimer a, b,, p, I, B pour p EXERCICE 8 : O cosidère la matrice A ) Calculer le produit matriciel A 0 ; la matrice A est-elle iversible? ) Calculer A, A motrer que : A A A p A e foctio de

3 ) Prouver, par récurrece, que pour tout ier aturel o ul, il existe des réels a, b tels a b a que : A aa ba avec : Doer a, b b a 4) Motrer que pour tout ier aturel o ul : a b E déduire que : b b 5) Exprimer alors b a e foctio de EXERCICE 9 : Soit u la suite défiie par : u0 0, u, u, u 6u u 6u 0 0 O ote A 0 0 P ) Avec la méthode de Gauss -Jorda, motrer que la matrice P doer P ) Motrer que la matrice D P AP est ue matrice diagoale puis calculer, pour tout ier aturel, D ) Motrer que, pour tout ier aturel, A PD P u O pose, pour tout ier aturel, X u u 4) Motrer que X AX E déduire que, pour tout ier aturel, X A X0 5) E déduire la valeur d e u e foctio de EXERCICE 0 : Soi P 0 Q 0 Calculer le produit PQ E déduire que P est iversible exprimer so iverse e foctio de Q EXERCICE : 0 Soit J 0 EXERCICE : ; calculer J e déduire que J est pas iversible Soi les matrices M 4 I ) Calculer M détermier les réels a b tels que M am bi ) E déduire que la matrice M est iversible préciser M

4 EXERCICE : Cosidéros les matrices A ) Vérifier que B A 4I ) Trouver ue formule liate B B, e déduire ue relatio re A B AA, I ) Motrer que la matrice A est iversible calculer EXERCICE 4 : O cosidère la matrice carrée réelle d'ordre 4 : A = Calculer A, A, A 4 E déduire que la matrice A est pas iversible EXERCICE 5 : O cosidère les matrices I= 0 0, A= 0 0 O= x A tout réel x o associe la matrice M( x ) = I + x A+ A () ) Calculer A,A e déduire, pour tout ier aturel, A ) Calculer e utilisat () le produit M xm y motrer que M xm y M x y ) Recoaître M 0 E utilisat la questio ) justifier l iversibilité de la matrice M( x) détermier l iverse de M( x ) Calculer, pour tout ier aturel, M( x ) EXERCICE 6 : 0 0 Soi A 7 9 I ) Calculer A, puis détermier deux réels a b tels que A a A b I ) E déduire que la matrice A est iversible, exprimer so iverse A e foctio de A I, puis calculer A x y z ) Résoudre le système : x 7y 9z 0 x 4y 5z EXERCICE 7 : E résolvat u système liéaire, motrer que les matrices suivates sot iversibles préciser leur iverse 4 a A 0, B où abc,, sot trois ombres réels b c

5 EXERCICE 8 : Détermier le rag des matrices suivates (préciser si ces matrices sot iversibles) : 0 4 m 0 m A 6 5, B 4 6, C m m m où m m EXERCICE 9 : 0 a c O ote I o cosidère la matrice M 0 b d M a d M ad bc I ) Motrer que ) E déduire que M est iversible si seulem si ad bc 0 ) Das le cas où ad bc 0, écrire EXERCICE 0 : élém de M M e foctio seulem de a, b, c, d Calculer le carré de la matrice A a i ( ier aturel o ul) où ij j a ij i j ( ) si i 0 sio i j EXERCICE : La trace d ue matrice AM,otée ) Motrer que,tr A Tr A ) Motrer que si A B sot deux éléms de M, Tr A B Tr A Tr B Tr AB Tr BA ) Motrer qu il existe pas de matrices A B éléms de Tr A, est la somme de ses coefficis diagoaux M vérifiat AB BA I