Matrices bcpst 1, 3/2018

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1 Matrices bcpst, /08 Calculs élémentaires Exercice Recenser et calculer tous les produits possibles de deux matrices parmi celles ci-dessous 0 A = ; B = ; C = ; D = ; E = 8 Exercice x x x 0 λ Soit A = y y y, M = 0 0, X = λ z z z 0 λ et t λ 0 0 Y = 0 λ 0 a) Calculer AM, AX, AY λ b) Montrer que M n est pas inversible λ Trouver une matrice dont le produit avec A est x + x + x x x x λ 0 0 a) y + y + y 0 λ 0 ; c) ; 0 λ 0 z + z + z y y y x x x x x x x x 0 0 λ x b) ; d) y y y y y y z z z z z z z z Exercice 5 z x y z Soit A = x Inversion de matrices y z une matrice telle que x y z Exercice Montrer que les matrices suivantes sont inver- x i = y i = = et x i y i = sibles, et calculer leurs inverses : Exercice 4 / / / / /4 / /4 /5 n 0 n n 0 0 Pour quelles valeurs de λ les matrices suivantes sont-elles inversibles? y i z i = z i x i z i = 0 Montrer que A est inversible, d inverse t A Exercice 6 Pour tout θ, on considère la matrice R(θ) = cos θ sin θ sin θ cos θ

2 Démontrer que R(θ)R(φ ) = R(θ +φ ) Démontrer que R(θ) est inversible pour tout θ et calculer son inverse Exercice 7 Soit (A, B) ( n ()) telles que A + B = AB Montrer que A I n est inversible et calculer (A I n ) Exercice 8 Méthode du déterminant a c Soit la matrice M = On note I = b d et O = Montrer que M = (a + d)m (ad bc)i En déduire que M est inversible ssi ad bc 0 Exprimer alors M en fonction de a, b, c et d Exercice 9 Soit A M n () une matrice telle que A 4 = 0 Montrer que I n A est inversible, d inverse I n + A + A + A 0 0 Soit B = 0 0 et A = I 4 B Calculer A 4, puis inverser B Calculer ensuite B n Exercice 0 Soit A = pour (x, y), B x,y = a) Calculer AB et BA, B = x y, et, b) Déterminer les couples (x, y) pour que A et B x, y commutent a) Montrer que B t B = I b) Déterminer les couples (x, y) pour que Exercice Soit J B x,y soit inversible n () On suppose que (i, j) ( ; n ), on a J i, j = Calculer pour n, J n La matrice J est-elle inversible? Exercice Soit M M n () telle que am + bm + ci n = 0, avec a, b deux réels et c un réel non nul Montrer que M est inversible 0 0 Donner l inverse de la matrice 0 Exercice Justifier que M est inversible et calculer son inverse M = 0 n () 0 0 Exercice 4 Soit A = 5 0 Calculer (A + I ) En déduire que A est inversible et exprimer son inverse en fonction de A Exercice 5 Soit 0 A = 0 n () 0 Exprimer A en fonction de A et de I n En déduire que A est inversible et expliciter A en fonction de A et I n Puissances de matrice Exercice 6 0 Soient B = 0 0 et C = Calculer B À l aide de la formule du binôme, calculer C n pour n Exercice 7

3 Soit M M n () et P G L n () On pose D = P M P Démontrer que k, M k = P D k P et que k, D k = P M k P 0 Soit M = et P = a) Vérifier que P est inversible et que P = b) Calculer D = P M P, puis D k pour k c) Expliciter M k pour tout k d) Démontrer que M est inversible, et calculer M k pour k e) Calculer (I + M) k, pour k, en utilisant encore la matrice D Exercice 8 a b b Soit M(a, b) = b a b () b b a Calculer (M(a, b)) n pour n Comment faut il choisir a et b pour qu une des deux matrices (M(a, b)) M(a, b) soit proportionnelle l une à l autre? Exercice 9 x x Soit A = 0 x Calculer A n pour n Exercice 0 Déterminer l ensemble des matrices carrées M d ordre telles que M = 0 ou 0 désigne la matrice nulle d ordre Soient A et B deux matrices de n () On suppose que A est inversible Déterminer l ensemble des matrices X vérifiant (AX ) + AX B + BX A + B = 0 Indication : On pourra commencer par calculer (AX + B) Exercice Soient M =, et A = Calculer M En déduire pour n, A n Divers sujets Exercice x Soit A = Calculer A 4 Montrer que A est inversible ssi x 0 Lorsque x 0, déterminer A n pour n Exercice Soit A = Trouver deux matrices non nulles U et V telles que AU = U, AV = V et U + V = A Montrer que n, A n+ = ( ) n U + n V Exercice 4 Soit n Pour toute matrice carrée A = mat a de taille n, on appelle trace de A le nombre Tr(A) = n a ii k= Calculer la trace des matrices carrées des exercices précédents Calculer la trace de la matrice identité Vérifier : (λ, µ) (), (A, B) M n (), Tr(λA + µb) = λ Tr(A) + µ Tr(B) Démontrer : (A, B) M n (), Tr(AB) = Tr(BA) 4 Démontrer que deux matrices semblables ont la même trace Exercice 5 On cherche à déterminer le commutant de n (), c est-à-dire l ensemble des matrices A de

4 n () qui vérifient M n () AM = MA Soit A une telle matrice Pour cela on raisonne par analyse-synthèse Analyse Soit A une telle matrice a) Soit D n () Expliciter les matrices DA et AD et en déduire que A est diagonale b) Soit M n () Expliciter AM et MA et déduire que tous les coefficients diagonaux de A sont égaux Synthèse Décrire le commutant de n () Exercice 6 Soit A, B et C trois matrices non nulles telles que ABC = 0 Montrer que deux au moins de ces matrices ne sont pas inversibles Exercice 7 Soit A = (a i j ) i,jn une matrice inversible avec A = (α i j ) i, jn On suppose que (i, j) 0 ; n, a i j 0 et α i j 0 Montrer que dans chaque rangée de A il y a un seul élément non nul (Voir l exercice??) Trouver les matrices stochastiques inversibles dont l inverse est aussi une matrice stochastique Exercice8 Soit A = 0 0 Dans cet exercice, I désigne la matrice identité d ordre et O la matrice 0 nulle d ordre On se propose de calculer les puissances de A de plusieurs manières Partie I Par diagonalisation 0 On pose P = 0 Démontrer que P est inversible et donner son inverse a) Calculer D = P AP b) Pour n, calculer D n c) Démontrer que D n = P A n P et en déduire l expression de A n a) Justifier que D est inversible et en déduire que A est inversible b) En adaptant la question précédente, donner l expression de A n en fonction de n, où n est un entier naturel Partie II Par le binôme de Newton Soit B = A I Pour n, calculer B n en fonction de B En utilisant la formule du binôme, calculer l expression de A n en fonction de n, A et I Partie III Par polynôme annulateur Démontrer que A A + I = O a) Démontrer par récurrence qu il existe deux suites (a n ) n et (b n ) n telles que, pour tout entier n, A n = a n A + b n I Donner les relations de récurrence vérifiées par (a n ) n et (b n ) n b) Démontrer que (a n ) n et (b n ) n sont des suites récurrentes d ordre c) En déduire les expressions de (a n ) n et (b n ) n en fonction de n, puis celle de A n en fonction de n, A et I a) Justifier que A est inversible, et donner son inverse en fonction de A et I b) En reprenant la question précédente, donner l expression de A n en fonction de A et I, pour tout entier naturel n Utilisation de relations polynomiales Exercice Soit M la matrice 4 4 On notera I la matrice 0 0 Calculer M Montrer qu il existe un unique couple de réels (α, β) tels que M = αm + βi Déterminer α et β Montrer que, pour tout entier naturel n, il existe un couple de réels (a n, b n ) tels que l on 4

5 ait M n = a n M + b n I, et déterminer des relations de récurrence vérifiées par les suites (a n ) n et (b n ) n Calculer a n et b n en fonction de n Écrire M n en fonction de n Exercice 0 a a a a 4 0 a a a Soit A = a a Trouver une ma- 0 a 0 0 trice J telle que l on ait : coefficients sont nuls, sauf ceux d ordre (i, i + ) (pour i ; n ), égaux à Calculer les puissances successives de la matrice J Soient a et b deux réels, et A la matrice ai n +bj Calculer A n A = I + aj + a J + a J + a 4 J 4 Calculer J 5 En déduire que A est inversible et calculer son inverse Exercice a b Soit A = c d Montrer qu il existe deux réels α et β tels que A αa + βi = 0 Donner une condition nécessaire et suffisante sur β pour que A soit inversible Montrer que, pour tout entier n, il existe deux réels α n et β n tels que A n = α n A + β n I Formule du binôme, etc Exercice Soit J = et A = Calculer J n, pour tout entier n En déduire A n Exercice a a Soit a un réel et A = 0 Calculer 0 (A + I), en déduire A n (n un entier naturel) Exercice 4 Soit A une matrice carrée d ordre n, telle que A = 0 Montrer que A + I est inversible Pour quelles valeurs de a a-t-on A + ai inversible? Exercice 5 Soit J la matrice carrée d ordre n dont tous les