I. Matrices inversibles

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1 Chapitre... : Matrices inversibles Définition/Proposition: Matrice inversible Soit A M n (R) une matrice carrée d ordre n. I. Matrices inversibles On dit que la matrice A est... lorsqu il existe une matrice B M n (R) carrée d ordre n vérifiant l une des deux égalités suivantes (qui sont équivalentes) :... Dans ce cas, une telle matrice B est... : on l appelle... et on la note A 1 On parle de matrices inversibles uniquement pour des matrices carrées. Exemple Soient A = et B = Vérifier que A est inversible, d inverse B. La matrice nulle O n n est pas inversible. Raisonnons par l absurde. Si O n était inversible, il existerait une matrice A M n (R) telle que Or pour toute matrice A M n (R),... donc c est impossible. Exemple 2 Montrer que la matrice n est pas inversible. Tout nombre réel x non nul possède une inverse 1. L exemple 2 montre que ce n est pas le cas avec x les matrices puisqu il existe des matrices carrées non nulles qui ne sont pas inversibles. Règles : inversibilité de matrices 1. Si A est inversible d inverse A 1 alors la matrice A 1 est inversible d inverse A. Autrement dit : Si A possède deux lignes identiques ou deux colonnes identiques alors elle n est pas inversible, voir Lycée Gambetta-Carnot Page 1/

2 l exemple Si A est inversible alors t A est également inversible et Si A et B sont inversibles alors le produit AB est aussi inversible et... car Si A et B sont deux matrices non nulles telles que AB = O n alors aucune des deux n est inversible. 6. Soit C une matrice inversible. Si AC = BC alors... Si CA = CB alors... Si AC = B alors... Si CA = B alors... Définition : Ensemble des matrices inversibles On désigne par GL n (R) l ensemble des matrices carrées inversibles d ordre n. I n GL n (R) et I 1 n =... car... Théorème : Critère d inversibilité d une matrice carrée d ordre 2 a b Soit M = une matrice carrée d ordre 2. c d Alors A est inversible si et seulement si... Exemple 3 Redémontrer que la matrice A de l exemple 1 est inversible. Proposition : Inversibilité d une matrice diagonale a 1, a.. La matrice diagonale D = 2,2. est inversible si et seulement si a n,n... Dans ce cas, Lycée Gambetta-Carnot Page 2/

3 Méthode : Conditions suffisantes d inversibilité d une matrice Soit A M n (R) une matrice carrée d ordre n. Pour que A soit inversible, il suffit (mais ce n est pas nécessaire) que l un des points suivants soit vérifié : 1. Si A est diagonale avec coefficients diagonaux non nuls, voir la Proposition précédente. 2. Si A est triangulaire (supérieure ou inférieure) avec coefficients diagonaux non nuls, voir l exemple S il existe une matrice B telle que AB = I n ou BA = I n. Dans ce cas, A 1 = B. 4. S il existe une expression factorisable par A qui est égale à I n. Dans ce cas, l autre facteur est l inverse de A, voir l exemple Si A est le produit de plusieurs matrices inversibles : A = C 1 C 2 C p et dans ce cas, A 1 =..., voir l exemple 5. Si aucune information n est vérifiée, on utilise la méthode du pivot de Gauss pour montrer l inversibilité de A, voir la méthode ci-dessous et l exemple 6. Exemple 4 Soit A =. Montrer que A = 4A I 2 et en déduire que A est inversible. Expliciter son inverse. Exemple Montrer que le produit de matrices est inversible. Expliciter son inverse Méthode : Étudier l inversibilité d une matrice à l aide de l algorithme du pivot de Gauss matriciel On va montrer l inversibilité d une matrice sur l exemple suivant : Exemple 6 2 Étudier l inversibilité de la matrice A = Lycée Gambetta-Carnot Page 3/

4 L 2 L 2 L 1 L 3 L3 L 1 dff dff Lycée Gambetta-Carnot Page 4/

5 On peut échanger les lignes et les colonnes, à condition de le faire simultanément pour les matrices à gauche et à droite. Exemple Étudier l inversibilité de A = à l aide de l algorithme du pivot de Gauss Exemple 8 1 Montrer que la matrice A = 0 est inversible et expliciter A Lycée Gambetta-Carnot Page 5/

6 Exercices Exercice 1. Les matrices A = et B = sont-elles inversibles? Exercice 2. Les matrices A = et B = 1 sont-elles inversibles? Exercice 3. Les matrices suivantes sont-elles inversibles? Si oui, déterminer leur inverse A = B = C = D = Exercice 4. Soit A = ( ) 1. Pour quelles valeurs du réel λ la matrice A λi n est-elle pas inversible? 2. Déterminer en fonction de λ toutes les matrices colonnes X telles que AX = λx Mêmes questions avec A = et A = Exercice 5. Montrer que pour tout k R, la matrice M = k 1 0 est inversible et donner son inverse Exercice 6. Soit A = Calculer A2. En déduire que A n est pas inversible Exercice 7. Soient A,P,Q et D les matrices définies par A = 1 7 2, P = et D = Déterminer l inverse de P. 2. Vérifier que A = P DP 1 3. En déduire une expression simple de A 2. (A 2 = A A) 4. Calculer A n en fonction de n N Exercice 8. Soit C = Calculer C 2 et C Que vaut 3C2 2C? 3. En utilisant la question précédente, démontrer que C n est pas inversible. Lycée Gambetta-Carnot Page 6/

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