Chapitre 2 : Matrices

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1 Chapitre : Matrices Notion de matrice et vocabulaire Notation Dans tout le chapitre n, p, q sont des entiers naturels non nuls Définition Une matrice A à n lignes et p colonnes est un tableau défini par n p éléments de R notés a ij pour i n et j p Le nombre a ij est le coefficient d indice (i, j de la matrice A La matrice A est parfois dite de taille ou de format (n, p ou tout simplement matrice n p L ensemble des matrices de taille (n, p à coefficients dans R est noté M n,p (R Notation On présente généralement les matrices de cette manière : j-ème colonne a a a j a p a a a j a p i-ème ligne a i a i a ij a ip a n a n a nj a np Exemple À quels ensembles appartiennent les matrices suivantes? (a A = e (b B = π (c Id 0, 3 = 0 0 (d C = (e D = (g 0,3 = (h F = ( Écrire sous forme de tableau la matrice M = (i j i 3 j 4 (f E = 0 0 Définition On adopte le vocabulaire suivant : M n (R = M nn (R est l ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans R M p (R est l ensemble des matrices lignes de taille p à coefficients dans R M n (R est l ensemble des matrices colonnes de taille n à coefficients dans R A = (a ij M n (R est une matrice triangulaire supérieure si a ij = 0 dès que i > j A = (a ij M n (R est une matrice triangulaire inférieure si a ij = 0 dès que i < j A = (a ij M n (R est une matrice diagonale si si a ij = 0 dès que i j A = (a ij M n (R est une matrice symétrique si (i, j ; n, a ji = a ij 0 np M np (R est la matrice nulle, dont tous les coefficients valent 0 Id n M n (R est la matrice identité : diagonale, de taille n, dont les coefficients diagonaux valent Exemple Pour n = 3, donner des matrices triangulaire supérieure (resp inférieure, diagonale et symétrique Opérations de base sur les matrices Addition de matrices et multiplication d un réel par une matrice Définition 3 On définit les opérations suivantes sur l ensemble M np (R : Addition : soient A = (a ij i n M np (R et B = (b ij i n M np (R, alors A + B = (a ij + b ij i n M np (R Multiplication par un réel : soient λ R et A = (a ij i n M np (R, alors λ A = (λa ij i n M np (R Exemple 3 À partir des matrices de l exemple, calculer E + D, 3B et A 3Id 3 Remarque Il est possible d additionner deux matrices uniquement lorsqu elles ont les mêmes dimensions wwwfranck-madigoufr ECE 07-08, Chapitre : Matrices /4

2 Multiplication matricielle Définition 4 On définit le produit d une matrice A de n lignes et p colonnes avec une matrice B de p lignes et q colonnes comme la matrice de n lignes et q colonnes suivante : ( p Soient A = (a ik i n M np (R et B = (b kj k p M pq (R, alors AB = a ik b kj M nq (R k p j q k= i n j q Le coefficient (i, j du produit AB est le «produit» de la i-ème ligne de A avec la j-ème colonne de B On ne peut calculer le produit AB que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B Exemple 4 On peut disposer les calculs ainsi : 3 = B 0 Pour obtenir le coefficient entouré, on fait le calcul : = 5 A = = AB À partir de l exemple, calculer : ED DE 3 AId 3 4 AC 5 0,3 A 6 EB 7 Que dire de BE? Proposition Propriétés du produit Le produit matriciel est associatif : A M n,p (K, B M p,q (K, C M q,r (K, (ABC = A(BC est distributif à gauche par rapport à : A M n,p (K, B, C M p,q (K, A(B + C = AB + AC 3 est distributif à droite par rapport à + : A, B M n,p (K, C M p,q (K, (A + BC = AC + BC 4 commute avec le produit externe : λ K, (A, B M n,p (K M p,q (K, (λab = λ(ab = A(λB 5 vérifie A M n,p (K, AId p = A et Id n A = A 6 n est pas commutatif 7 ne vérifie pas la propriété du produit nul Démonstration Se vérifie avec la définition Les premiers produits de l exemple 4 justifient les derniers points 3 Exemple 5 Soit M = Vérifier que M 4 3M + Id = 0, puis factoriser l expression de gauche dans l égalité précédente (penser à un polynôme du second degré et adapter 3 Puissances de matrice Définition 5 Soit k N et soit A une matrice carrée de M n (R On appelle puissance k-ième de A, et on note A k, la matrice A A (k fois Par convention A 0 = I n Le produit matriciel ne commutant pas en général, la puissance de matrice garde seulement certaines propriétés des réels : Soient k, l, n trois entiers naturels et A et B deux matrices de M p (R A k A l = A k+l (A k l = A kl Proposition 3 Si A et B commutent, on a : (a (AB k = A k B k (b (A B(A + B = A B n (c (A + B = A + AB + B (d (A B = A AB + B (e (A + B n n = A i B n i i i=0 wwwfranck-madigoufr ECE 07-08, Chapitre : Matrices /4

3 Remarque Deux exemples fondamentaux de matrices qui commutent Pour tout A M n (R, pour tout λ R : A et λi n commutent Pour toute matrice carrée A : toutes les puissances de A commutent entre elles Exemple 6 Calculer, si possible : A, A 3, B, AB, BA, A + B, (A + B, A + AB + B pour A = M 0, M, M, M 3, M 4, M 00 pour M = et B = Remarque 3 Une application importante du calcul de puissances de matrices est l étude des suites récurrentes (notamment les suites récurrentes couplées qui interviennent en probabilités 4 Inverse d une matrice Définition 6 Soit A M n (R une matrice carrée On dit que A est inversible s il existe un matrice B M n (R qui vérifie BA = Id n ou AB = Id n Dans ce cas, la matrice B est unique, commute avec A et est appelée matrice inverse de A On note alors B = A L ensemble des matrices inversibles de M n (R est noté GL n (R (A = A (AB = B A Proposition 3 Exemple Vérifier que B = est l inverse de la matrice A = Soit n N Montrer que si A A = I n alors A est inversible, et préciser son inverse 3 Soit n N, λ R Vérifier que λi n est inversible, d inverse λ I n et que 0 n n est pas inversible Remarque 4 Les propriétés de calcul des puissances sont valables pour des puissances négatives dans GL n (R Remarque 5 La somme de deux matrices inversibles n est pas inversible en général Par exemple I n et I n sont inversibles mais I n I n = 0 n ne l est pas Exemple 8 Soit A M p (R et P GL p (R Simplifier (P AP, (P AP 3 Conjecturer une formule pour (P AP n valable pour n N et la prouver par récurrence En calcul matriciel, lorsqu une matrice est inversible cela permet d obtenir de nouvelles règles de calcul On peut «simplifier» par cette matrice dans les égalités, comme on le fait dans R à l aide de la divisions Cependant il ne faut pas oublier de tenir compte de la non commutativité des matrices Pour ne pas faire d erreur, il faut multiplier, à gauche ou à droite, par l inverse de la matrice En conséquence : Soit C Gl n (R, et A et B des matrices telles que les produits suivants aient un sens CA = B A = C Simplification à gauche : B CA = CB A = B Simplification à droite : AC = B A = BC AC = BC A = B Proposition 4 Exemple 9 Soient A, B telles que AB = 0 Montrer que si A 0 et B 0 alors ni A ni B ne sont inversibles wwwfranck-madigoufr ECE 07-08, Chapitre : Matrices 3/4

4 Soit B = Calculer B B et déduire que B n est pas inversible Proposition 5 a b Soit A =, où a, b, c, d sont quatre nombres réels Alors, c d Si ad bc = 0, A n est pas inversible Si ad bc 0, A est inversible et A d b = ad bc c a d d Démonstration Considérer B = Calcul direct c c Remarque 6 Le calcul explicite de l inverse d une matrice carrée de petite dimension (3 3, voire plus rarement 4 4, qui repose essentiellement sur une séries de manipulations techniques, sera vu dans le chapitre consacré à la résolution de systèmes linéaires Ceci signifie qu une bonne partie des exercices sur les matrices n est pas encore faisable Exemple 0 Chercher des matrices inversibles ou non et donner si possible l inverse 5 Transposition et matrices symétriques Définition 7 Soit A = (a ij i n M np (R La transposée de A est la matrice A = (a ij i p M pn (R où : j n (i, j ; p ; n, a ij = a ji La transposition est une opération qui «échange» les lignes et les colonnes d une matrice Exemple Calculer la transposée de chacune des matrices de l exemple Proposition 6 Propriétés de la transposition A M n,p (K, A = A A M n,p (K, B M p,q (K, (AB = B A 3 λ R, A, B M n,p (K, (λa + B = λ A + B 4 A GL n (R, (A = ( A 5 L ensemble {A M n (R : A = A} est l ensemble des matrices symétriques d ordre n (parfois noté S n (R Démonstration À partir de la définition 7 Exemple Vérifier la deuxième formule sur les matrices B et E de l exemple wwwfranck-madigoufr ECE 07-08, Chapitre : Matrices 4/4

5 TD du chapitre Exercice Puissances d une matrice : méthode But : calculer les puissances d une matrice semblable à une matrice diagonale (uniquement dans ce chapitre 0 Soit M = et P = (a Déterminer P et calculer D = P MP (b Calculer M k pour tout entier naturel k, à l aide du résultat de l exemple 8 0 Soit C = et P = 3 (a Vérifier que P est inversible et calculer son inverse 0 (b Montrer que la matrice D = P CP est égale à 0 (c Montrer par récurrence que C k = PD k P pour tout k N (d Calculer D k pour tout k N et en déduire que C k k = k k+ k+ (e On donne = 048 Calculer 0 Exercice Puissances d une matrice : méthode But : calculer les puissances de la somme d une matrice nilpotente et d une homothétie 3 Soit T = 0 et N = T Id 3 (on a donc T = Id 3 + N 0 0 C k (a Expliciter N puis N, N 3 et enfin N k pour tout entier naturel k (b En déduire T k à l aide de la formule du binôme de Newton, dont on justifiera l emploi Reprendre la méthode précédente pour calculer U k pour tout entier naturel k, avec U = Id 3 + N n 3 Reprendre la méthode précédente pour calculer pour tout entier naturel n Exercice 3 Puissances d une matrice : méthode 3 But : calculer les puissances d une matrice par conjecture et récurrence Pour les matrices suivantes, calculer les premières puissances, deviner une formule pour la puissance n-ième, puis la montrer a 0 0 par récurrence : A = 0 b 0 (a, b et c sont trois nombres réels, B =, C = et D = c 0 0 Exercice 4 Somme et matrice But : apprendre à manipuler des sommes particulières de matrices Soient n N et p N Simplifier pour tout A M n (R l expression : (I n A Soient A, B M n (R deux matrices qui commutent, simplifier (A B p A k p A k B p k Exercice 5 Autour des matrices nilpotentes (variante de la méthode Soit A M n (R une matrice non nulle nilpotente, c est à dire pour laquelle il existe un entier r tel que A r = 0 On suppose dans la suite que r est son indice de nilpotence, c est à dire le plus petit entier tel que A r = 0 ainsi A r 0 Montrer que A n est pas inversible p Simplifier (I n A A k, pour p R Déduire que I n A est inversible, et préciser son inverse wwwfranck-madigoufr ECE 07-08, TD du chapitre /3

6 3 Appliquer les questions et à a et Exercice 6 Polynômes de matrices et inversibilité But : voir si une matrice est inversible ou pas à l aide d un polynôme de matrices 0 0 Soit A = 0 Calculer A 3 A A Déduire que A est inversible, et déterminer son inverse 0 0 Soit B = 0 0 Calculer B 3 3B + B Déduire que B n est pas inversible Soit A = Calculer (A I 4 A I 4 est-elle inversible? Développer (A I 4 puis montrer que A est inversible et déterminer son inverse 4 Soit p N et A M p (R tel que (A I p 3 = 0 p avec A I p (a Justifier que A I p n est pas inversible (on pourra distinguer les cas (A I p = 0 p et (A I p 0 p (b Justifier que A est inversible et que son inverse vaut 8 A 3 4 A + 3 I p Exercice 7 Matrices et coefficients indéterminés a 0 b Soit A = 0 c 0, où a, b et c sont des nombres réels Donner toutes les valeurs possibles de a, b et de c telles que : b 0 a A = I 3 A = A Exercice 8 Puissances de matrice : un mélange de deux méthodes Chacune des deux premières parties peut être traitée indépendamment de l autre, sauf la dernière question de la deuxième partie, qui fait appel aux résultats de la première partie Soit n N Soit A = 6 Le but de cet exercice est de calculer A n 5 0 Travail préliminaire Soient D = et N = Enfin, on pose B = D + N Calculer DN, ND et N Sachant que la matrice D est diagonale, donner une expression de D n, sans la démontrer (le résultat sera admis dans cet exercice 3 En déduire une expression de B n Retour à la matrice A 0 Soit P = et Q = 0 0 Démontrer que P est inversible et que P = Q Calculer P AP Que remarque-t-on? 3 En déduire une expression de A n en fonction des matrices B, P et P 4 Calculer les 9 coefficients de A n wwwfranck-madigoufr ECE 07-08, TD du chapitre /3

7 Exercice 9 Autour d un polynôme de matrices Les deux premières parties sont indépendantes, sauf la dernière question de la deuxième partie La troisième partie est une application sur deux exemples de ce qui précède On y utilise parfois le résultat de la première question de la première partie Soit p N et soit A M p (R vérifiant la relation : A A I p = 0 p, ou encore, écrite différemment, A = A + I p (* On suppose enfin qu il n existe pas de réel λ tel que A = λi p Première partie : questions d inversibilités A l aide de(*, montrer que A est inversible et calculer son inverse, exprimée en fonction de A et de I p Montrer que si le produit de deux matrices non nulles de M p (R est nul, alors aucune de ces deux matrices n est inversible (on raisonnera par l absurde 3 Factoriser x x En déduire que ni A + I p ni A I p ne sont inversibles Deuxième partie : puissances de A et récurrence Démontrer, en utilisant la relation (* que A 3 = 3A + I p En utilisant une méthode similaire, exprimer A 4 en fonction de A et de I p Soit n N Préciser les valeurs de p et q (en fonction de n afin que les égalités suivantes soient vraies : (a n + n = p (b ( n = ( q 3 Démontrer par récurrence que, pour tout n N, on a : A n = n ( n Troisième partie : deux applications Soit A = ( A + n + ( n I p 3 (a Montrer que A est inversible et calculer l inverse de A à l aide d une formule du cours Calculer A A I et vérifier que le calcul de A est cohérent avec le résultat obtenue à la première question de la première partie (b On donne 0 = 04 Expliciter A 0 Soit A = (a Montrer que A A I 3 = 0 3 (b Déduire l inverse de A (on explicitera les 9 coefficients à l aide des résultats de la première partie Exercice 0 Racine carré d une matrice Le but de cet exercice est la résolution dans l ensemble des matrice carrées de taille de l équation Z = A (, 5/8 3/8 où Z est la matrice inconnue et A = 3/8 5/8 Soit P = ( Montrer que P est inversible et trouver sa matrice inverse Montrer que la matrice D = P AP est diagonale et donner sa valeur 3 Soit Y = P ZP Montrer que l équation (?? équivaut à Y = D ( 4 On cherche à résoudre l équation ( en prenant Y sous la forme particulière : Y = (a Calculer Y en fonction de x et de t (b En déduire que l équation ( admet 4 solutions (c Donner les quatre solutions de l équation ( ( x 0 0 t wwwfranck-madigoufr ECE 07-08, TD du chapitre 3/3

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