Concours commun 2002 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes. Épreuve spécifique

Transcription

1 Remarque importante : si au cours de l épreuve, un étudiant repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il a été amené à prendre. La précision, la clarté, la présentation et la concision des raisonnements et des calculs sont des éléments déterminants dans l appréciation des copies. Tout résultat, toute affirmation non justifiés ne seront pas pris en compte. Concours commun 22 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes Épreuve spécifique Problème (Exemples de matrices semblables à leur inverse) Dans tout le problème, E est un R-espace vectoriel de dimension 3. Pour u endomorphisme de E et n entier naturel non nul, on note u n = u u u (n fois). On note M 3 (R) le R-espace vectoriel des matrices carrées d ordre 3, GL 3 (R) le groupe des matrices inversibles de M 3 (R), et I 3 la matrice unité de M 3 (R). On notera par l endomorphisme nul, la matrice nulle et le vecteur nul. Pour deux matrices A et B de M 3 (R), on dira que la matrice A est semblable à la matrice B s il existe une matrice P de GL 3 (R) telle que : A = P BP. On rappelle que si B et B sont deux bases de E, si P est la matrice de passage de la base B à la base B, si u est un endomorphisme de E de matrice A dans la base B et de matrice B dans la base B alors A = P BP (c est-à-dire, la matrice A est semblable à la matrice B). Partie On notera A B pour dire que la matrice A est semblable à la matrice B. Démontrer que la relation est une relation d équivalence sur M 3 (R). On pourra désormais dire que les matrices A et B sont semblables. 2 Démontrer que deux matrices de M 3 (R) de déterminants différents ne sont pas semblables. 3 Soit u un endomorphisme de E et soit i et j deux entiers naturels. On considère l application w de ker u i+j vers E définie par : w(x) = u j (x).. Montrer que Im w ker u i. 2. En déduire que dim(ker u i+j ) dim(ker u i ) + dim(ker u j ).

2 4 Soit u un endomorphisme de E vérifiant : u 3 = et rang u = 2.. Montrer que dim(ker u 2 ) = 2. (On pourra utiliser deux fois la question 3.2.). 2. Montrer que l on peut trouver un vecteur a non nul de E tel que u 2 (a) =, et en déduire que la famille (u 2 (a), u(a), a) est une base de E. 3. Écrire alors la matrice U de u et la matrice V de u 2 u dans cette base. 5 Soit u un endomorphisme de E vérifiant : u 2 = et rang u =.. Montrer que l on peut trouver un vecteur b non nul de E tel que u(b) =. 2. Justifier l existence d un vecteur c de ker u tel que la famille (u(b), c) soit libre, puis montrer que la famille (b, u(b), c) est une base de E. 3. Écrire alors la matrice U de u et la matrice V de u 2 u dans cette base. Partie 2 Soit désormais une matrice A de M 3 (R) semblable à une matrice du type α β T = γ de M 3 (R). On se propose de montrer que la matrice A est semblable à son inverse A. α β On pose alors N = γ, et soit une matrice P de GL 3 (R) telle que P AP = T = I 3 + N. 6 Expliquer pourquoi la matrice A est bien inversible. 7 Calculer N 3 et montrer que P A P = I 3 N + N 2. 8 On suppose dans cette question que N =, montrer alors que les matrices A et A sont semblables. 9 On suppose dans cette question que rang(n) = 2. On pose M = N 2 N.. Montrer que la matrice N est semblable à la matrice et en déduire, en utilisant la question 4., une matrice semblable à la matrice M. 2

3 2. Calculer M 3 et déterminer rang(m). 3. Montrer que les matrices M et N sont semblables. 4. Montrer alors que les matrices A et A sont semblables. On suppose dans cette question que rang(n) =. On pose M = N 2 N. Montrer que les matrices A et A sont semblables. Exemple : soit la matrice A =. 2 On note (a, b, c) une base de E et u l endomorphisme de E de matrice A dans cette base.. Montrer que ker(u id E ) est un sous-espace vectoriel de E de dimension 2 dont on donnera une base (e, e 2 ). 2. Justifier que la famille (e, e 2, c) est une base de E, et écrire la matrice de u dans cette base. 3. Montrer que les matrices A et A sont semblables. 2 Réciproquement, toute matrice de M 3 (R) semblable à son inverse estelle α β nécessairement semblable à une matrice du type T = γ? Problème 2 (Calcul et irrationalité de ζ(2) = lim n + ( n 2 ) ) Dans ce problème, pour une fonction f et un entier naturel k, f (k) désigne la dérivée k-ième de la fonction f avec : f () = f. Remarque : sauf s il est précisé entier naturel, un entier peut être positif ou négatif. Partie (Convergence de la suite ( n k= k ) Dans cette partie, p et n )n p sont deux entiers naturels non nuls et on pose S n (p) = n k= k. p Montrer que pour tout entier k, k+ (k+) p k x dx p k. p 2 Montrer que pour n 2, S n (p) n x p dx S n (p). 3 Démontrer, par un calcul d intégrales, que la fonction x x p est intégrable sur [, + [ si et seulement si p 2. 4 Montrer que la suite (S n (p)) n converge si et seulement si p 2.. hors programme 3

4 On note alors ζ(p) = lim n + S n (p). Partie 2 (Partie B : Calcul de ζ(2)) Dans cette partie on pose, pour t réel : h(t) = t2 2π t, et on définit la fonction ϕ sur [, π] par : ϕ() = et ϕ(t) = h(t) 2 sin t 2 pour t ], π]. 5 Montrer que la fonction ϕ est de classe C sur l intervalle [, π]. 6 Calculer, pour tout k entier naturel non nul, π h(t) cos(kt) dt. 7 Calculer, pour t ], π], n k= cos(kt), puis déterminer une constante λ telle que, n t ], π], cos(kt) = sin (n + 2 ) t k= sin t λ. 2 8 Montrer à l aide d une intégration par parties que, pour toute fonction π ψ de classe C sur l intervalle [, π], lim n + ψ(t) sin ( (n + 2 ) t) dt =. 9 Montrer que ζ(2) = π2 6. Partie 3 (ζ(2) est irrationnel) Dans cette partie, pour n entier naturel non nul et x réel, on pose f n (x) = xn ( x) n n!. Dans cette question, n est un entier naturel non nul.. Montrer qu il existe n + entiers e n, e n+,..., e 2n tels que f n (x) = n! 2n i= e i x i. 2. Montrer que pour tout entier naturel k, f (k) n () et f (k) n () sont des entiers. (On pourra remarquer que f n (x) = f n ( x) ). On veut montrer que π 2 est un irrationnel, et on va raisonner par l absurde : on suppose que π 2 = a b où a et b sont deux entiers naturels non nuls. On pose, pour n entier naturel non nul et x réel : F n (x) = b n (π 2n f n (x) π 2n 2 f (2) n (x) + π 2n 4 f (4) n (x) + ( ) n f (2n) n (x)). Montrer que F n () et F n () sont des entiers. 4

5 2. On pose, pour n entier naturel non nul et x réel : g n (x) = F n(x) sin(πx) π F n (x) cos(πx), et A n = π a n f n (x) sin(πx) dx. Montrer que, pour n entier naturel non nul et x réel : g n(x) = π 2 a n f n (x) sin(πx), et montrer que A n est un entier. 2 On pose, toujours pour le même entier a, u n = an n!.. En considérant le quotient u n+ u n, montrer que lim n + u n =. 2. Montrer qu il existe un entier naturel n tel que pour tout entier n n, an n! < Montrer que pour tout réel x [, ], f n (x) n!. 4. Montrer alors que, pour tout entier n n, A n ], [, et conclure que π 2 est irrationnel. 5. Comment peut-on déduire de ce qui vient d être fait que π est irrationnel? Pour information Il a été prouvé depuis le 8 e siècle, que ζ(p) est irrationnel pour tout entier pair p 2, récemment (979) il vient d être découvert que ζ(3) est irrationnel et le mystère demeure encore quant à l irrationnalité des ζ(p) pour les entiers impairs p 3. 5