Calcul matriciel. 1.1 Définitions Matrices carrées particulières... 3

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1 Chapitre 10 Calcul matriciel 1 Généralités 2 11 Définitions 2 12 Matrices carrées particulières 3 2 Opérations sur les matrices 4 21 L espace vectoriel M np (R 4 22 Produit de deux matrices 5 23 Transposée d une matrice 7 3 Cas des matrices carrées 8 31 Puissance d une matrice carrée 8 32 Matrices carrées inversibles 11 4 Matrices et systèmes linéaires Écriture matricielle d un système Calcul de l inverse d une matrice 14 Anthony Mansuy - Professeur de Mathématiques en supérieures ECE au Lycée Clemenceau (Reims Page personnelle :

2 1 Généralités 11 Définitions Soient n et p deux entiers 1 On appelle matrice à n lignes et p colonnes ou matrice n p tout tableau de np nombres réels rangés sur n lignes et p colonnes Les éléments constituant une matrice n p sont appelés coefficients de la matrice et les entiers n et p sont les dimensions de la matrice Si A est une matrice n p, on note a i,j le coefficient de la i-ième ligne et de la j-ième colonne et on écrit : a 1,1 a 1,2 a 1,p a 2,1 a 2,2 a 2,p A = (a i,j 1 i n = a n,1 a n,2 a n,p S il n y a pas d ambiguïté sur le nombre de lignes et le nombre de colonnes, on pourra noter plus simplement A = (a i,j L ensemble des matrices à n lignes et p colonnes est noté M n,p (R Si n = p, cet ensemble est noté M n (R et ses éléments sont alors appelés matrices carrées d ordre n ( 5 3 ( Exemples A = M ,3 (R, B = M 3,2 (R, C = M π 2 2 (R 1 ln(2 La matrice A est de dimension 2 3, la matrice B est de dimension 3 2 et la matrice C est une matrice carrée d ordre 2 Pour ces matrices, on a par exemple : a 1,2 = 0, a 2,3 = 5, b 2,2 = 0, b 3,1 = 1, c 1,1 = c 2,2 = 2 Toute matrice n 1 est appelée matrice colonne et toute matrice 1 p est appelée matrice ligne On identifie les matrices 1 1 et les réels Soit A = (a i,j une matrice n p Alors : Si i [1, n], la matrice ligne (a i,j = ( a i,1 a i,2 a i,p est la i-ième ligne de A a 1,j a 2,j Si j [1, p], la matrice colonne (a i,j 1 i n = est la j-ième colonne de A a n,j Si A = (a i,j une matrice carrée n n, les coefficients a i,i, c est-à-dire a 1,1, a 2,2,, a n,n, sont appelés coefficients diagonaux de A et l ensemble {a 1,1, a 2,2,, a n,n } est appelé diagonale de A Les coefficients a i,j tels que i > j sont donc situés en dessous de la diagonale de A tandis que les coefficients a i,j tels que i < j sont situés au dessus de la diagonale La matrice nulle A = (a i,j de M n,p (R est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, c est-à-dire définie par : i [1, n], j [1, p], a i,j = 0 Cette matrice est notée 0 n,p ou 0 n si n = p 2

3 Deux matrices A = (a i,j et B = (b i,j sont égales si elles ont mêmes dimensions n p et si : i [1, n], j [1, p], a i,j = b i,j Dans le cas contraire, on dira que les matrices A et B sont distinctes Exemples ( ( 1 2 = ( , ( , ( ( Matrices carrées particulières Une matrice A = (a i,j de M n (R est dite diagonale si pour tout i j, a i,j = 0 Une matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux sont égaux est dite matrice scalaire Exemples Les matrices D 1 et D 2 suivantes sont diagonales La matrice D 3 est scalaire : ( D 1 =, D = 0 2 0, D 3 = La matrice identité d ordre n est la matrice diagonale de M n (R dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1 Cette matrice est notée I n Exemples I 2 = ( M 2 (R, I 3 = M 3 (R Une matrice A = (a i,j de M n (R est dite triangulaire supérieure si, pour tous i et j tels que i > j, a i,j = 0, c est-à-dire si tous les coefficients situés en dessous de la diagonale sont nuls Une matrice A = (a i,j de M n (R est dite triangulaire inférieure si, pour tous i et j tels que i < j, a i,j = 0, c est-à-dire si tous les coefficients situés au dessus de la diagonale sont nuls Exemples Les matrices A et B suivantes sont respectivement triangulaire supérieure et triangulaire inférieure : A = et B =

4 2 Opérations sur les matrices 21 L espace vectoriel M np (R Addition des matrices Si A = (a i,j 1 i n par : et B = (b i,j 1 i n sont deux matrices de M n,p (R, la matrice C = (c i,j 1 i n définie i [1, n], j [1, p], c i,j = a i,j + b i,j, est appelée somme des matrices A et B et on note C = A + B L opération définissant la somme de deux matrices de M n,p (R est appelée l addition des matrices dans M n,p (R Remarque L addition de deux matrices de dimensions différentes n est pas définie Exemple = Propriété 1 (de l addition (1 L addition dans M n,p (R est une loi de composition interne, c est-à-dire : A, B M n,p (R, A + B M n,p (R (2 L addition dans M n,p (R est associative, c est-à-dire : A, B, C M n,p (R, (A + B + C = A + (B + C Ainsi, la somme de trois matrices A, B, C pourra être notée A + B + C sans parenthèses (3 L addition dans M n,p (R est commutative, c est-à-dire : A, B M n,p (R, A + B = B + A (4 L addition dans M n,p (R admet pour élément neutre la matrice nulle 0 n,p, c est-à-dire : A M n,p (R, 0 n,p + A = A + 0 n,p = A L opposée de la matrice A = (a i,j 1 i n est la matrice B = (b i,j 1 i n définie par : On la note B = A i [1, n], j [1, p], b i,j = a i,j Une conséquence directe de cette définition est la propriété suivante : Propriété 2 (Opposée d une matrice Pour toute matrice A M n,p (R : A + ( A = ( A + A = 0 n,p 4

5 Produit par un scalaire Si A = (a i,j 1 i n est une matrice de M n,p (R et si λ est un réel, la matrice B = (b i,j 1 i n définie par : i [1, n], j [1, p], b i,j = λa i,j est appelée produit de la matrice A par le scalaire λ et on note B = λa Exemple = Propriété 3 (du produit par un scalaire (1 λ R, A, B M n,p (R, λ(a + B = λa + λb (2 λ, µ R, A M n,p (R, (λ + µa = λa + µa (3 λ, µ R, A M n,p (R, λ(µa = (λµa Remarque La matrice opposée de A vérifie: A = ( 1A 22 Produit de deux matrices Soit A = (a i,j 1 i n une matrice de M n,p (R et B = (b i,j 1 i p 1 j q C = (c i,j 1 i n, élément de M n,q (R, définie par : 1 j q une matrice de M p,q (R La matrice i [1, n], j [1, p], c i,j = p a i,k b k,j, est appelée produit des matrices A et B et on note C = AB L opération définissant le produit d une matrice de M n,p (R dans M p,q (R est appelée produit matriciel Remarque 1 On peut interpréter ce produit comme suit: le terme de la i-ième ligne et de la j-ième colonne de C s obtient en sommant les produits des termes de même rang dans la i-ième ligne de A et dans la j-ième colonne de B selon le schéma ci-dessous où l on a représenté en gras les coefficients de A et B utiles au calcul de c i,j : k=1 a 1,1 a 1,k a 1,p a i,1 a i,k a i,p b 1,1 b 1,j b 1,q b k,1 b k,j b k,q b p,1 b p,j b p,q = c 1,1 c 1,j c 1,q c i,1 c i,j c i,q a n,1 a n,k a n,p c n,1 c n,j c n,q 2 Pour pouvoir effectuer le produit de A par B, il faut impérativement que le nombre de colonnes de A soit égale au nombre de lignes de B 5

6 Exemple On considère les cinq matrices A, B, C, D et E suivantes : 3 5 ( A = B = C = Énumérer les produits de 2 ou 3 de ces matrices qui sont définis et les calculer D = ( E = (

7 Propriété 4 (du produit matriciel (1 Le produit matriciel est associatif, c est-à-dire : (A, B, C M n,p (R M p,q (R M p,q (R, (ABC = A(BC Ainsi, le produit de trois matrices A, B et C pourra être noté ABC sans parenthèses (2 Le produit matriciel est distributif par rapport à l addition, c est-à-dire : (A, B, C M n,p (R M p,q (R M p,q (R, A(B + C = AB + AC, et (A, B, C M n,p (R M n,p (R M p,q (R, (A + BC = AC + BC (3 Pour toute matrice A M n,p (R, on a : I n A = A et AI p = A Remarques 1 Le produit matriciel n est pas commutatif En général, si A M n,p (R et B M p,n (R, AB BA 2 Contrairement à ce qui se passe pour la multiplication dans R, on peut avoir AB = 0 n,q avec A 0 n,p et B 0 p,q Par exemple, si A = ( Transposée d une matrice et B = ( alors AB = ( a 1,1 a 1,2 a 1,p a 2,1 a 2,p Pour toute matrice A = (a i,j 1 i n = de M n,p(r, on appelle transposée de a n,1 a n,2 a n,p A la matrice de M p,n (R notée t A définie par : t A = c est-à-dire telle que si on note t A = ( a i,j 1 i p 1 j n a 1,1 a 2,1 a n,1 a 1,p a n,2 a 1,p a 2,p a n,p, on a : i [1, p], j [1, n], a i,j = a j,i Autrement dit, t A est obtenue à partir de A par échange des lignes et des colonnes ( Exemple Calculer la transposée de A = 1 4, B = et C =

8 Propriété 5 (de la transposition (1 A M n,p (R, t ( t A = A (2 λ R, A M n,p (R, t (λa = λ t A (3 A, B M n,p (R, t (A + B = t A + t B (4 A M n,p (R, B M p,q (R t (AB = t B t A Soit A une matrice carrée de M n (R On dit que A est symétrique si elle est égale à sa transposée, c est-à-dire t A = A On dit que A est antisymétrique si elle est égale à l opposée de sa transposée, c est-à-dire t A = A Exemple Les matrices suivantes sont-elles symétriques ou antisymétriques? A = B = C = Cas des matrices carrées 31 Puissance d une matrice carrée Pour tout entier k N et pour toute matrice A M n (R, on appelle puissance k-ième de A la matrice, notée A k, définie par : Si k = 0, A 0 = I n Si k = 1, A 1 = A Si k 2, A k = A A }{{} k fois Remarque On peut avoir A k = 0 n avec A 0 n Par exemple, ( ( 0 2 A = et A = Exemples 1 Considérons la matrice A M 3 (R définie par : A = Calculer, pour tout entier naturel k, la matrice A k

9 2 Soient a, b, c R Considérons la matrice B M 3 (R définie par : a 0 0 B = 0 b c Calculer, pour tout entier naturel k, la matrice B k 9

10 Dans le cas des matrices diagonales, on retiendra la propriété suivante : Propriété 6 (Puissance d une matrice diagonale Soient k N et λ 1, λ 2,, λ n R Alors : λ λ 2 0 k = λ k λ k λ n 0 0 λ k n Autrement dit, la puissance d une matrice diagonale est la diagonale des puissances La formule du binôme de Newton, valable pour deux matrices qui commutent, permet dans certains cas de calculer la puissance d une matrice Propriété 7 (Formule du binôme de Newton Soient A et B deux matrices de M n (R qui commutent, c est-à-dire telles que AB = BA Alors, pour tout entier k N, k ( k (A + B k = A p B k p p p=0 Exemple Soit A = ( M 2 (R 1 Déterminer la matrice B M 2 (R telle que A = I 2 + B 2 Calculer B k pour tout entier naturel k, et en déduire A k 10

11 32 Matrices carrées inversibles Soit A M n (R A est dite inversible si et seulement si il existe B M n (R telle que : AB = BA = I n Remarques 1 Il découle de cette définition que, si A est inversible, la matrice B est aussi inversible 2 Si A est inversible, cela signifie que l on peut simplifier les égalités qui contiennent A en facteur (en distinguant facteur à droite et facteur à gauche puisque le produit n est pas commutatif Si par exemple AB = BA = I n, alors : Et de même, CA = DA C = D Propriété 8 (Unicité de l inverse AC = AD B(AC = B(AD (BA }{{} C = (BA D C = D }{{} =I n =I n Soit A M n (R Si A est inversible, alors il existe une unique matrice B telle que AB = BA = I n Cette matrice est appelée l inverse de A et elle est notée A 1 Remarque On peut montrer que l une des égalités AB = I n ou BA = I n implique l autre Par conséquent, pour prouver l inversibilité de A, il suffira d exhiber une matrice B vérifiant une seule des égalités AB = I n ou BA = I n, et on aura alors nécessairement B = A 1 Exemple Vérifier que les matrices et sont inverses l une de l autre Propriété 9 (de l inverse (1 Si A M n (R est inversible, alors A 1 l est aussi et ( A 1 1 = A (2 Si A M n (R est inversible, alors t A l est aussi et ( t A 1 = t ( A 1 (3 Si A, B M n (R sont deux matrices inversibles, alors AB l est aussi et (AB 1 = B 1 A 1 Plus généralement, si k 2 et si A 1,, A k M n (R sont k matrices inversibles, alors A 1 A k l est aussi et (A 1 A k 1 = A 1 k A 1 1 En particulier, si A est une matrice inversible et n un entier naturel, alors A n est inversible et (A n 1 = (A 1 n 11

12 Exemple Considérons la matrice A M 3 (R définie par : A = Montrer que A 2 A 2I 3 = En déduire que A est inversible et calculer son inverse 4 Matrices et systèmes linéaires 41 Écriture matricielle d un système Soient n et p deux entiers naturels non nuls et (S le système linéaire de n équations à p inconnues réelles x 1, x 2,, x p suivant : a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,p x p = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,p x p = b 2 (S : a n,1 x 1 + a n,2 x a n,p x p = b n En notant A = (a i,j 1 i n, X = (x j et B = (b i 1 i n, on définit trois matrices A, X, B A est une matrice de M n,p (R dite matrice associée au système (S, X est une matrice colonne à p lignes des inconnues de (S et B est une matrice colonne à n lignes du second membre de (S On peut ainsi écrire le système (S sous forme d égalité matricielle : où AX représente le produit des matrices A et X AX = B Exemple Considérons le système linéaire suivant : 3x + 5y + 6z = 1 (S x + 2y + 2z = 0 x y z = 1 Il s écrit matriciellement : x y = z La matrice associée à (S est A =

13 Théorème 10 (Systèmes de Cramer et matrices inversibles Soient (S un système de n équations à n inconnues, A M n (R la matrice associée à (S, X la matrice colonne des inconnues de (S et B la matrice colonne du second membre de (S (1 Le système (S est de Cramer si et seulement si la matrice A est inversible (2 Dans ce cas, l unique solution est donnée par AX = B X = A 1 B Exemple Considérons toujours le système linéaire : 3x + 5y + 6z = 1 (S x + 2y + 2z = 0 x y z = 1 On a vu que la matrice A = associée à (S est inversible d inverse Donc le système (S est de Cramer et l unique solution est : X = A 1 B = = Donc S = {( 2, 1, 0} Propriété 11 (Inversibilité d une matrice triangulaire ou diagonale (1 Une matrice carrée triangulaire (inférieure ou supérieure est inversible si et seulement si tous les coefficients de sa diagonale sont non-nuls (2 En particulier, une matrice diagonale est inversible si et seulement si tous les coefficients de sa diagonale sont non-nuls Remarque L inverse d une matrice diagonale (dont tous les coefficients de la diagonale sont non-nuls est la matrice diagonale des inverses : si λ 1,, λ n R, 1 λ λ λ λ 2 0 = λ 1 n 0 0 λ n Exemple On considère la matrice A M 3 (R définie par : A = Calculer A 2 A 13

14 2 En déduire que la matrice A est inversible et calculer A 1 3 Résoudre le système linéaire (S suivant : 5x + 3y = 1 (S : 6x 4y = 0 3x 3y + 2z = 1 42 Calcul de l inverse d une matrice Preuve de l inversibilité d une matrice A et calcul de l inverse par la méthode du pivot de Gauss : Par opérations élémentaires sur les lignes, on transforme A en une matrice triangulaire supérieure B Si au moins un des coefficients diagonaux de B est nul, alors la matrice A est non-inversible Si les coefficients diagonaux de B sont tous non-nuls, alors la matrice A est inversible Dans le cas où A est inversible, on peut calculer A 1 : Par opérations élémentaires sur les lignes, on transforme B en la matrice identité I n En appliquant toutes ces transformations élémentaires (pour transformer A en B puis B en I n à la matrice identité I n, la matrice obtenue est A 1 Exemple Montrer que la matrice A suivante est inversible et calculer son inverse : A =

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