avec E i j = (a kl ) 1 k n (K)). Le produit AB peut alors se calculer par blocs :

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "avec E i j = (a kl ) 1 k n (K)). Le produit AB peut alors se calculer par blocs :"

Transcription

1 I Rappels sur les matrices 1 Opérations et structure Proposition 1 Structure d espace vectoriel L ensemble (M n,p (K),+, ) est un K-espace vectoriel de dimension np (isomorphe à K np ) La base canonique de M n,p (K) est la famille (E i j ) 1 i n 1 j p avec E i j = (a kl ) 1 k n 1 l p { 1 si k = i et l = j et a kl = 0 sinon Définition 1 : Produit de deux matrices Soient A = (a i j ) M n,p (K) et B = (b j k ) M p,q (K) La matrice produit de A et B est AB = (c i k ) M n,q (K) avec i,k 1,n 1, q, c i k = p a i j b j k On note I p la matrice identité de M p (K) : les coefficients diagonaux valent 1 et les autres sont nuls On a alors A M n,p (K), A I p = A et B M p,q (K), I p B = B On retiendra que le produit de matrices n est pas commutatif, et que AB = 0 n entraîne pas nécessairement A ou B nulle j =1 Proposition 2 Soit M M n,p (K) Si pour tout X M p,1 (K), M X = 0 alors M = 0 Dans cette propriété, le pour tout X est primordial! Produit par blocs Considérons deux matrices A M n,p (K) et B M p,q (K) qui se décomposent par blocs (avec n = n 1 + n 2, p = p 1 + p 2, q = q 1 + q 2 et A i j M ni,p j (K), B i j M pi,q j (K)) Le produit AB peut alors se calculer par blocs : AB = A 11 A 12 A 21 A 22 B 11 B 12 B 21 B 22 = A 11 B 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22 A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B 22 Définition 2 : Transposée Soit A = (a i j ) M n,p (K) On appelle transposée de A, et on note t A la matrice de M p,n (K) définie par (α i j ) 1 i p où α i j = a j i 1 j n Proposition 3 A M n,p (K), t ( t A) = A L application M n,p(k) M p,n (K) A t A est un isomorphisme d espaces vectoriels Soient A M n,p (K) et B M p,q (K), on transpose t (AB) = t B t A 2 Ensemble des matrices carrées M n (K) On appelle matrice carrée d ordre n toute matrice à n lignes et n colonnes à coefficients dans K On note M n (K) l ensemble de ces matrices, c est un anneau muni de la somme et du produit Itérés : On définit par récurrence, les itérés d un élément A M n (K) : A 0 = I n et k N, A k = A k 1 A = A A k 1 Magali Hillairet 1 Lycée Franklin, Orléans

2 Formule du binôme de Newton : On démontre par récurrence, Soient A, B M n (K) tels que AB = B A, on a p N, (A + B) p = p k=0 ( p k ) A k B p k Matrices inversibles Définition 3 : A M n (K) est inversible si et seulement si il existe B M n (K) telle que AB = B A = I n La matrice B est alors l inverse de A et elle est notée A 1 On note GL n (K) l ensemble des matrices inversibles de M n (K) Proposition 4 Soit A M n (K) On note (C 1,,C n ) ses vecteurs colonnes (vus comme des éléments de K n ) Soit E un K espace vectoriel de dimension n muni d une base B Pour f L(E) tel que Mat B (f ) = A, A est inversible si et seulement si f est bijective A est inversible si et seulement si X M n,1 (K) (AX = 0 = X = 0) A est inversible si et seulement si, pour tout Y M n,1 (K), le système Y = AX (d inconnue X M n,1 (K)) admet une unique solution A est inversible si et seulement si rg(a) = n A inversible (C 1,,C n ) est une base de K n (C 1,,C n ) est une famille libre de K n (C 1,,C n ) est une famille génératrice de K n A est inversible si et seulement si A L I n Remarque 1 : Soient A et B dans M n (K) Si AB = I n alors A et B sont inversibles et inverses l une de l autre Proposition 5 Soient A et B dans GL n (K) AB est inversible et (AB) 1 = B 1 A 1 La matrice t A est dans GL n (K) et ( t A) 1 = t (A 1 ) II Matrices et applications linéaires 1 Matrice d une famille de vecteurs dans une base Soit E un K espace vectoriel de dimension n, muni d une base B = (e 1,,e n ) On considère une famille F = (u 1,u 2,,u p ) de p vecteurs de E La matrice de la famille F dans la base B est formée en inscrivant en colonne j les coordonnées de u j dans la base B Elle se note M at B F ou M at B (u 1,,u p ), et elle appartient à M n,p (K) 2 Matrice d une application linéaire dans des bases Soit E un K espace vectoriel de dimension p, muni d une base B = (e 1,,e p ), et F un K espace vectoriel de dimension n, muni d une base C Soit f L (E,F ) La matrice d une application linéaire f dans des bases B et C est notée Mat C (f ) : elle est formée en inscrivant dans la colonne j les coordonnées du vecteur f (e j ) dans la base C = (ε 1,,ε n B ) Définition 4 : La matrice de f dans les bases B et C, notée Mat C B (f ) est la matrice de M n,p(k) définie par Mat C B (f ) = (a i j ) 1 i n 1 j p n où j 1, p, f (e j ) = a i j ε i i=1 Magali Hillairet 2 Lycée Franklin, Orléans

3 La relation vectorielle y = f (x) avec x E et y F se traduit matriciellement par M at C (y) = M at C B (f )M at B(x) Remarque 2 : Pour un endomorphisme f L (E), on définit la matrice de f dans une base B de E comme ci-dessus en prenant la même base au départ et à l arrivée On la note Mat B (f ) : c est une matrice carrée de taille p = dime et ses colonnes contiennent les coordonnées des vecteurs f (e j ) dans la base B = (e 1,,e p ) Exemple fondamental : La matrice de l application identité de E, espace de dimension p, dans une base B, est M at B (I d E ) = I p En revanche, si on prend deux bases différentes de E, la matrice obtenue dans ces bases n est pas l identité Proposition 6 Soient E et F deux K ev de dimensions finies, munis des bases B et C L application ϕ : L (E,F ) M n,p (K) f M at C B (f ) est un isomorphisme d espaces vectoriels Interprétation du produit matriciel Soient E muni d une base B, F muni d une base C et G muni d une base D Si f L(E,F ) de matrice A = Mat C B (f ) et g L(F,G) de matrice B = MatD (g ), alors B A est la matrice de C g f dans les bases B et D : Mat D B (g f ) = MatD C (g ) MatC B (f ) Remarque 3 : ϕ : L (E) M n (K) induit un isomorphisme de groupes de (GL(E), ) dans (GL n (K), ) f Mat B (f ) Pour tout f GL(E), en notant A = Mat B (f ), on a A 1 = Mat B (f 1 ) 3 Changements de bases Matrice de passage Soit E un espace de dimension n, soient B = (e 1,,e n ) et B = (e 1,,e n ) deux bases de E Définition 5 : On appelle matrice de passage de la base B (ancienne) à la base B (nouvelle), et on note P(B,B ) ou P B B, la matrice de M n (K) de la famille B dans la base B Elle est aussi égale à Mat B B (Id E ) Cette matrice est donc formée en inscrivant les coordonnées des vecteurs e j dans la base B, en colonnes C est donc Mat B (B ) = Mat B (e 1,,e n ) Proposition 7 Une matrice de passage est une matrice inversible, et (P B B ) 1 = P B B démo Posons P = P B B et Q = P B B On forme le produit en considérant P et Q comme la matrice de l identité dans des bases bien choisies : PQ = Mat B B (Id E ) Mat B B (Id E ) = Mat B B (Id E ) = I n Et voilà! Remarque 4 : Une matrice de passage est inversible et toute matrice inversible peut-être interprétée comme une matrice de passage ( ) 1 1 Par exemple, la matrice P = est inversible On peut l interpréter comme P 1 1 B B avec B la base canonique de R 2 et B = ((1, 1),(1,1)) Magali Hillairet 3 Lycée Franklin, Orléans

4 Effet sur les coordonnées d un vecteur Proposition 8 démo Soit E un K ev muni de deux bases B et B Soit x E, on note X = Mat B (x) (vecteur des coordonnées dans B), et X = Mat B (x) (vecteur des coordonnées dans B ) On a alors X = P X En général, on souhaite obtenir X en fonction de X Il faudra alors utiliser X = P 1 X et donc calculer P 1 Effet sur les matrices d une application linéaire Proposition 9 démo Soit f L(E,F ) avec B et B deux bases de E et C, C bases de F On note P = P B B et Q = P C C les matrices de passages, et A = Mat C B (f ) et A = Mat C B (f ) les matrices de f On a alors A = Q 1 AP Dans le cas des endomorphismes, on effectue le même changement de base au départ et à l arrivée On a donc, avec A = Mat B (f ) et A = Mat B (f ), A = P 1 AP 4 Rang d une matrice Nous avons déjà parlé du rang d une application linéaire f : c est la dimension de l image de f d une famille de vecteurs (u 1,,u p ) : c est la dimension de Vect(u 1,,u p ) Ces deux notions sont liées par le fait que, pour f L(E,F ), et pour (e 1,,e p ) une base de E, l image de f est Imf = Vect(f (e 1 ),, f (e p )) Cela est valable pour toute base (e 1,,e p ) de E, et cela ne dépend pas de la base dans laquelle on écrit les vecteurs à l arrivée (dans F ) En notant C 1,,C p les vecteurs colonnes de la matrice de f dans les base B et C de E et F, on constate que le rang de f est aussi le rang de la famille (C 1,,C p ) vecteurs de R n Définition 6 : Le rang d une matrice de M n,p (K) est le rang de la famille de ses vecteurs colonnes Remarque 5 : Si A représente une application linéaire f L(E,F ) dans des bases B et C, alors le rang de A est le rang de f (ie la dimension de Im(f )) C est aussi le rang du système correspondant à A Pour A M n,p (K), rg(a) min(n, p) Soit A M n (K) A est inversible si et seulement si son rang est n Proposition 10 Soit A M n,p (K) a Si B M p (K) est inversible, alors le rang de AB est égal au rang de A b Si B M n (K) est inversible, alors le rang de B A est égal au rang de A Proposition 11 (Admis) Soit A M n,p (K) Le rang de t A est égal au rang de A Définition 7 : Soit A M n,p (K), on définit le noyau de A : ker A = {X M p,1 (K) / AX = 0}, qui est un sous-espace vectoriel de M p,1 (K) (identifié à K p ), l image de A : ImA = {AX, X M p,1 (K)}, sous-espace de M n,1 (K) (identifié à K n ) Magali Hillairet 4 Lycée Franklin, Orléans

5 Proposition 12 Théorème du rang pour les matrices Soit A M n,p (K) On a alors dimker A + dimima = p démo : découle directement du théorème du rang pour les applications linéaires 5 Utilisation des matrices inversibles Proposition 13 Caractérisation des bases Soit E un K espace vectoriel de dimension n muni d une base B Une famille (u 1,,u n ) de vecteurs de E est une base de E si et seulement si M at B (u 1,,u n ) est une matrice inversible Remarque 6 : Une famille (u 1,,u n ) de vecteurs de E est une base de E si et seulement si le rang de la famille est n, si et seulement si le rang de sa matrice dans une base de E est n Proposition 14 Caractérisation des isomorphismes Soient E et F deux K espaces vectoriels de dimensions finies Soit f L (E, F ) f est un isomorphisme si et seulement si sa matrice dans des bases de E et F est inversible Soit E un K espace vectoriel de dimension n Soit f L (E) f est bijective si et seulement si sa matrice dans une base de E est inversible III Trace d une matrice carrée 1 Matrices semblables Définition 8 : Soient A et B dans M n (K) Si il existe P GL n (K) telle que B = P 1 AP, on dit que A et B sont semblables Deux matrices représentant le même endomorphisme dans des bases différentes sont semblables Réciproquement, deux matrices semblables représentent le même endomorphisme dans des bases différentes 2 Trace Définition 9 : n Soit A = (a i j ) M n (K) La trace de A est le scalaire noté tr(a), défini par tr(a) = a i i La trace d un matrice carrée est la somme de ses coefficients diagonaux i=1 Proposition 15 A,B M n (K), tr(a + B) = tr(a) + tr(b) A M n (K), λ K, tr(λa) = λtr(a) A,B M n (K), tr(ab) = tr(b A) Les deux premiers points expriment le fait que tr : M n (K) K A tr(a) est une forme linéaire Proposition 16 Remarque 7 : Deux matrices semblables ont la même trace On appelle trace d un endomorphisme la trace de n importe quelle matrice le représentant (elles sont toutes semblables) Soit p un projecteur de E On a tr(p) = rg(p) Magali Hillairet 5 Lycée Franklin, Orléans

6 IV Déterminant d une matrice carrée 1 Définition Définition 10 : Définition du déterminant dans M n (K) Il existe une unique application de M n (K) dans K appelé déterminant, telle que (1) le déterminant est linéaire par rapport à chacune des colonnes (de la matrice A M n (K)), (2) l échange de deux colonnes a pour effet de multiplier le déterminant par 1, (3) le déterminant de la matrice I n vaut 1 Explications et notations : soit A = (a i j ) M n (K), on définit det : M n (K) K A det A a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n Le déterminant est aussi noté det A = a n1 a n2 a nn On note (C 1,,C n ) les colonnes de A (ce sont des vecteurs-colonnes de M n,1 (K) que l on peut identifier à des vecteurs de K n ) On note alors det A = det(c 1,,C n ) Les propriétés du déterminant concernent les colonnes (1) Pour toutes colonnes C 1,,C n et C de M n,1 (K), pour tout λ K, on a k 1,n, det(c 1,,C k +C,,C n ) = det(c 1,,C k,,c n ) + det(c 1,,C,,C n ), k 1,n, det(c 1,,λC k,,c n ) = λdet(c 1,,C k,,c n ) Le déterminant est dit n-linéaire : il est linéaire par rapport à chacune de ses colonnes, les autres étant momentanément fixées Le déterminant n est pas linéaire Proposition 17 Soit A M n (K), soit λ K, on a det(λa) = λ n det A (2) Pour toutes colonnes C 1,,C n et pour tout (k,l) 1,n 2 tel que k l, on a det(c 1,,C k,,c l,,c n ) = det(c 1,,C l,,c k,,c n ) Exemple 1 a Le déterminant ( dans ) M 2 (R) a b Soit A = On définit det A = ad bc c d Vérifier que le déterminant ainsi défini possède les propriétés de la définition 1 Montrer que det( t A) = det A b Le déterminant dans M 3 (R) x 1 x 2 x 3 Soit A = y y 1 y 2 y 2 y 3 3 On définit det A = x 1 z z 1 z 2 z 2 z 3 x 2 y 1 y 3 z 1 z 3 + x 3 y 1 y 2 z 1 z 2 3 Vérifier que le déterminant ainsi défini possède les propriétés de la définition 1 Montrer que det( t A) = det A Proposition 18 démo a Le déterminant d une matrice ayant deux colonnes égales est nul b Le déterminant d une matrice ayant une colonne nulle est nul c Le déterminant d une matrice dont l une des colonnes est Combinaison Linéaire des autres colonnes est nul Magali Hillairet 6 Lycée Franklin, Orléans

7 a On utilise l échange de deux colonnes (celles identiques ici) b On utilise la linéarité par rapport à une colonne c On écrit C j = λ k C k et on utilise le premier point k j Proposition 19 (admis) Pour toute matrice A M n (K), det( t A) = det A Cela implique que le déterminant de A est aussi le déterminant de la famille de ses lignes dans la base canonique de K n Si on note C 1,,C n les colonnes de A et L 1,,L n les lignes de A, on a donc det A = det(c 1,,C n ) = det(l 1,,L n ) 2 Calcul de déterminants a Effet des opérations élémentaires On appelle opération élémentaire sur un déterminant les mêmes opérations élémentaires que celle définies sur les matrices (ou les systèmes) : échange de deux colonnes, ou de deux lignes, multiplication d une colonne (ou d une ligne) par un scalaire non nul, ajout à une colonne (ou une ligne) d une CL des autres colonnes (ou lignes) Ces opérations ont un effet simple sur le déterminant Opération sur les lignes Effet sur le déterminant Opération sur les colonnes L i L i + αl j inchangé C i C i + αc j, α K L i L j ( 1) C i C j L i αl i, α 0 1 α C i αc i, α K Proposition 20 Soit A une matrice triangulaire supérieure Le déterminant de A est égal au produit de ses coefficients diagonaux démo : Nous montrons, en travaillant avec les opérations sur les lignes pour obtenir un déterminant d une matrice échelonnée réduite, que Si l un des coefficients diagonaux de A est nul alors det A = 0 n Si tous les coefficients diagonaux de A sont non nuls alors det A = a i i i=1 En pratique : on utilise la méthode du pivot pour transformer le déterminant et se ramener à calculer le déterminant d une matrice triangulaire b Développement suivant une ligne ou une colonne Théorème 1 (admis) Soit A = (a i j ) M n (K) Soit j 1,n Le développement de det A par rapport à la colonne j est det A = n ( 1) i+j a i j det A i j, où A i j M n 1 (K) est la matrice déduite de A en supprimant la ligne i et la colonne j i=1 Remarque 8 : Vocabulaire : on appelle b i j = ( 1) i+j det A i j le cofacteur de a i j dans la matrice A et det(a i j ) s appelle un mineur On retrouve le fait que le déterminant d une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux Magali Hillairet 7 Lycée Franklin, Orléans

8 Puisque le déterminant est le même pour la matrice transposée, on peut aussi développer suivant une ligne : Proposition 21 Soit A = (a i j ) M n (K) Soit i 1,n Le développement de det A par rapport à la ligne i est det A = n ( 1) i+j a i j det A i j où A i j M n 1 (K) est la matrice déduite de A en supprimant la ligne i et la colonne j j =1 3 Propriétés et utilisations du déterminant Proposition 22 Déterminant d un produit (admis) Pour toutes matrices A, B M n (K), on a det(ab) = det A detb Pour toute matrice A M n (K), k N, det(a k ) = (det A) k Proposition 23 Soit A M n (K), A est inversible si et seulement si det A 0 démo : Soit A M n (K), A est équivalente par ligne à une matrice échelonnée réduite A 1 Cette matrice est triangulaire Les déterminants de ces deux matrices ne sont pas égaux mais proportionnels (les opérations élémentaires peuvent amener des changements de signes, et des multiplications par un scalaire non nuls) : det A 1 = αdet A avec α K Puisque A 1 est triangulaire, A 1 est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls Or det A 1 est égal au produit de ces coefficients diagonaux Donc A 1 est inversible si et seulement si det A 1 0 Mais on sait aussi que A 1 est inversible si et seulement si A est inversible On en conclut que A est inversible si et seulement si det A 0 Proposition 24 Soit A M n (K) inversible On a det(a 1 ) = 1 det A Proposition 25 Soit A et B deux matrices de M n (K) Si A et B sont des matrices semblables alors detb = det A 4 Déterminant d une famille de vecteurs dans une base Définition 11 : Soit E un K espace vectoriel de dimension n Soit B une base de E Soit (u 1,,u n ) une famille de n vecteurs de E On pose A = Mat B (u 1,,u n ) M n (K) On appelle déterminant dans la base B de (u 1,,u n ) le déterminant de la matrice A, et on note ce déterminant det B (u 1,,u n ) Proposition 26 Caractérisation des bases par le déterminant Soit E un K espace vectoriel de dimension n Soit B une base de E Soit (u 1,,u n ) une famille de n vecteurs de E La famille (u 1,,u n ) est une base si et seulement si det B (u 1,,u n ) 0 démo : (u 1,,u n ) est une base si et seulement si A = Mat B (u 1,,u n )est inversible, donc si et seulement si det A = det B (u 1,,u n ) est non nul Magali Hillairet 8 Lycée Franklin, Orléans

9 Remarque 9 : Cette propriété est valable quelle que soit la base B choisie : le déterminant d une famille de vecteurs dépend de la base dans laquelle on l exprime mais le fait que ce déterminant soit nul ne dépend pas du choix de la base Notez bien qu il faut exactement n vecteurs dans une famille de vecteurs d un espace de dimension n pour calculer un déterminant : c est ce qui assure que la matrice A = Mat B (u 1,,u n ) est bien une matrice carrée! Propriétés du déterminant dans une base d une famille de vecteurs Proposition 27 Le déterminant d une famille de vecteurs dont deux d entre eux sont égaux est nul Le déterminant d une famille de vecteurs contenant le vecteur nul est nul Le déterminant d une famille liée est nul Considérons le déterminant dans une base comme une application : det B : E n K (u 1,,u n ) det B (u 1,,u n ) Proposition 28 Le déterminant dans une base B est linéaire par rapport à chacune de ses variables Le déterminant d une famille est transformé en son opposé si l on échange deux vecteurs On ne change pas le déterminant d une famille de vecteurs en ajoutant à l un des vecteurs une CL des autres Traduction des deux premières propriétés : Multi-linéarité : (u 1,,u n ) E n, u E, λ K, on a pour tout k 1,n, det B (u 1,,u k + u,u n ) = det B (u 1,,u k,u n ) + det B (u 1,,u,u n ), det B (u 1,,λu k,u n ) = λ det B (u 1,,u k,u n ) Echange de deux vecteurs : pour tout (u 1,,u n ) E n, (i, j ) 1,n, i j, det B (u 1,,u j,,u i,u n ) = det B (u 1,,u i,,u j,,u n ) On dit que l application det B est une forme multilinéaire alternée 5 Déterminant d un endomorphisme Soit E un K espace vectoriel de dimension n Soit B 0 et B 1 deux bases de E Soit f L (E) On note A 0 = Mat B0 (f ) et A 1 = Mat B1 (f ) Ces deux matrices sont semblables : A 1 = P 1 A 0 P avec P = P(B 0,B 1 ) GL n (K) Leur déterminants sont donc égaux : det A 0 = det A 1 Définition 12 : Soit E un K espace vectoriel de dimension n Soit B une base de E Soit f L (E) On appelle déterminant de f, et on note det f, le déterminant de la matrice A M n (K) représentant f dans la base B Ce déterminant ne dépend pas de la base choisie Proposition 29 Soit E un K ev de dimension n muni d une base B = (e 1,,e n ) et soit f L (E) Le déterminant de f est égal à det B (f (e 1 ),, f (e n )) démo : Posons A = Mat B (f ) On remplit A en inscrivant en colonnes les coordonnées des vecteurs f (e j ) dans la base B, donc A = Mat B (f (e 1 ),, f (e n )) On a donc det f = det A = det B (f (e 1 ),, f (e n )) Magali Hillairet 9 Lycée Franklin, Orléans

10 Proposition 30 Caractérisation des automorphismes Soit E un K espace vectoriel de dimension n Soit f L (E) f est un automorphisme si et seulement si det f 0 démo : f est linéaire par hypothèse f est bijective si et seulement si sa matrice A dans une base de E (quelconque) est inversible, donc si et seulement si det f = det A 0 Proposition 31 Soit E un K espace vectoriel de dimension n det(id E ) = 1 λ K, f L (E), det(λf ) = λ n det(f ) f, g L (E), det(f g ) = det(f )det(g ) f L (E), k N, det(f k ) = (det f ) k Soit f L (E) Si f est bijective alors det(f 1 ) = 1 det f démo : direct en utilisant les propriétés du déterminant d une matrice Gabriel Cramer ( ) Pierre simon Laplace ( ) Magali Hillairet 10 Lycée Franklin, Orléans

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Cours d analyse numérique SMI-S4

Cours d analyse numérique SMI-S4 ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,

Plus en détail

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1 [http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2. Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2 33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015

Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015 et et Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore Télécom ParisTech david.madore@enst.fr 29 mai 2015 1/31 et 2/31 : définition Un réseau de R m est un sous-groupe (additif) discret L

Plus en détail

Déterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3

Déterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3 Déterminants Marc SAGE 9 août 28 Table des matières Quid des formes n-linéaires alternées? 2 2 Inverses et polynômes 3 3 Formule de Miller pour calculer un déterminant (ou comment illustrer une idée géniale)

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation

Plus en détail

Licence Sciences de l Ingénieur et Licence Informatique. Niveau L2 (= 2ème année)

Licence Sciences de l Ingénieur et Licence Informatique. Niveau L2 (= 2ème année) Licence Sciences de l Ingénieur et Licence Informatique Niveau L2 (= 2ème année) Mathématiques : Résumé de ce qu il faut savoir en Algèbre linéaire (ou Calcul Matriciel) au sortir du L1, en préalable au

Plus en détail

Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions

Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4

Plus en détail

Eteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :

Eteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE

Plus en détail

Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion

Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion Mr Makrem Ben Jeddou Mme Hababou Hella Université Virtuelle de Tunis 2008 Continuité et dérivation1 1- La continuité Théorème : On considère un intervalle

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

1 Complément sur la projection du nuage des individus

1 Complément sur la projection du nuage des individus TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES

INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations

IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation

Plus en détail

Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise

Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise Marc Mezzarobba Sam Zoghaib Sujet proposé par François Loeser Résumé Nous exposons un ensemble de méthodes qui permettent d évaluer «en forme

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès et sa réciproque Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie

Plus en détail

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA 75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche

Plus en détail

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples, Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très

Plus en détail

Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5.

Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. DÉVELOPPEMENT 32 A 5 EST LE SEUL GROUPE SIMPLE D ORDRE 60 Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. Démonstration. On considère un groupe G d ordre 60 = 2 2 3 5 et

Plus en détail

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x = LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste

Plus en détail

ENSAE - DAKAR BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA

ENSAE - DAKAR BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA ENSEA - ABIDJAN ENSAE - DAKAR ISSEA - YAOUNDÉ BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA CENTRE D APPUI AUX

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

Étudier si une famille est une base

Étudier si une famille est une base Base raisonnée d exercices de mathématiqes (Braise) Méthodes et techniqes des exercices Étdier si ne famille est ne base Soit E n K-espace vectoriel. Comment décider si ne famille donnée de vecters de

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples.

LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. Pré-requis : Probabilités : définition, calculs et probabilités conditionnelles ; Notion de variables aléatoires, et propriétés associées : espérance,

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier

Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Vincent Lefèvre (Lycée P. de Fermat, Toulouse) 1990, 1991 1 Introduction Nous allons étudier des propriétés du triangle de Pascal dans Z/pZ, p étant un nombre

Plus en détail

Les indices à surplus constant

Les indices à surplus constant Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Mesure d angles et trigonométrie

Mesure d angles et trigonométrie Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE

VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE 12. Compléments sur les modules 12.1. Théorème de Zorn et conséquences. Soient A un anneau commutatif

Plus en détail

Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon

Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point 03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de

Plus en détail

UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1

UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1 UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Optimisation des fonctions de plusieurs variables

Optimisation des fonctions de plusieurs variables Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ

L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et

Plus en détail

Partie 1 - Séquence 3 Original d une fonction

Partie 1 - Séquence 3 Original d une fonction Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)

Plus en détail

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie

Plus en détail

Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr

Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014 Sandra Rozensztajn UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr CHAPITRE 0 Relations d équivalence et classes d équivalence 1. Relation d équivalence Définition

Plus en détail