Transposition Inverse Trace Propriétés des opérations sur les matrices Propriétés sur les déterminants

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2 Transposition Inverse Trace Propriétés des opérations sur les matrices Propriétés sur les déterminants

3 Définition La transposée d une matrice M de taille m n est la matrice t M (parfois notée M ) de taille n m vérifiant : ( t M) ij = M ji Exemple La transposée de... est... ( ) ( ) a b a c. c d b d ( ) a d a b c b e d e f. c f

4 Transposition Inverse Trace Propriétés des opérations sur les matrices Propriétés sur les déterminants

5 Définition Une matrice carrée A est inversible si il existe une matrice B de même taille telle que AB = BA = I La matrice B est appelée l inverse de A, et on note B = A 1. Résultat L inverse de A est unique. Démonstration. Si B et C sont deux inverses de A, alors B = BI = BAC = IC = C

6 Exemple La matrice identité I 3 est sa propre inverse =

7 Remarque Si D et E sont des matrices diagonales, leur produit est encore une matrice diagonale. D E D 11 E D D nn 0 E E nn = 0 D 22 E D nn E nn Résultat Si D 11,...,D nn sont non-nuls, l inverse de D D D D = D est D nn D 1 nn Si l un des coefficients diagonaux de D est nul, alors D n est pas inversible.

8 Exemple Soit A et B définies ( par ) ( ) cosθ sinθ cosβ sinβ A = B = sinθ cosθ sinβ cosβ Alors ( ) cos(θ + β) sin(θ + β) AB =. sin(θ + β) cos(θ + β) En particulier l inverse de A ( est ) cosθ sinθ sinθ cosθ

9 Transposition Inverse Trace Propriétés des opérations sur les matrices Propriétés sur les déterminants

10 Définition La trace d une matrice carrée M est la somme de ses éléments diagonaux : Tr(M) = M M nn où n n est la taille de la matrice. Exemple Tr ( ) 1 2 = 5 2 4

11 Transposition Inverse Trace Propriétés des opérations sur les matrices Propriétés sur les déterminants

12 Somme et produit Résultat Si A,D Mat(m,n), B,C Mat(n,p) et λ R, alors : A(B+C) = AB+AC (A+D)B = AB+DB λ(ab) = (λa)b = A(λB) Preuve de la première égalité. En position ij, le membre de gauche vaut n n A ik (B + C) kj = A ik (B kj + C kj ) k=1 k=1 = n (A ik B kj + A ik C kj ) = (AB) ij + (AC) ij k=1 ce qui est égal au membre de droite.

13 Transposée et produit Résultat Si A Mat(m, n) et B Mat(n, p), alors : t (AB) = t B t A Démonstration. On écrit les définitions : n ( t (AB)) ij = (AB) ji = A jk B ki = k=1 n n ( t A) kj ( t B) ik = ( t B) ik ( t A) kj = ( t B t A) ij k=1 k=1

14 Trace, somme et produit Résultat Si A,B sont des matrices carrées de même taille, si λ R, alors Tr(A + B) = TrA + TrB Tr(λA) = λtr(a) Tr( t (A)) = Tr(A) Tr(AB) = Tr(BA) Exemple La trace du produit n est (( pas )( égale )) au produit (( des )) traces : Tr = Tr =

15 Inverse, produit et transposée Résultat Si A,B sont des matrices inversibles de même taille, alors (AB) 1 = B 1 A 1 (A 1 ) 1 = A ( t A) 1 = ( t A 1 ) Démonstration. Pour la première égalité, calculons : (AB)(B 1 A 1 ) = ABB 1 A 1 = AIA 1 = AA 1 = I De même pour (B 1 A 1 )(AB) = I.Les autres inégalités sont laissées en exercice.

16 Déterminant et transposée Le déterminant d une matrice et de sa transposée sont égaux : Résultat det (t M ) = det(m)

17 Déterminant et produit Résultat Le déterminant d un produit de deux matrices carrées de même taille est le produit des déterminants : det(ab) = det(a)det(b). Remarque Le déterminant d une somme n est pas la somme des déterminants!

18 Transposition Inverse Trace Propriétés des opérations sur les matrices Propriétés sur les déterminants

19 Résultat Le déterminant d une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux Exemple =

20 Si M est une matrice, son déterminant ne varie pas lorsque nous ajoutons à l une des lignes, une combinaison linéaire des autres nous ajoutons à l une des colonnes, une combinaison linéaire des autres son déterminant change de signe lorsque : nous échangeons des lignes entre elles nous échangeons des colonnes entre elles Définition Une combinaison linéaire de v 1,...,v k est λ 1 v λ k v k (Ici les v 1,...,v k peuvent représenter des matrices colonnes, des matrices lignes, ou même des vecteurs.)

21 Exemple Ici nous remplaçons la première colonne C 1 par C 1 2C = = = 9

22 Définition Si A est une matrice carrée. Notons à nouveau D ij le déterminant de la matrice obtenue en enlevant la i e ligne et la j e colonne de A. Notons à ij ( 1) i+j D ij. Ce nombre est appelé le cofacteur d indices i et j. La matrice à est la matrice des cofacteurs, également appelée comatrice de A. Résultat Pour toute matrice carrée, nous avons : A t (Ã) = detai. En particulier, ceci montre que si deta 0, l inverse de A est donnée par t (Ã) deta.

23 Systèmes linéaires Contenu de la section Systèmes linéaires

24 Systèmes linéaires Définition Une équation est une égalité faisant intervenir des quantités inconnues. Un système d équations est une liste d équations faisant intervenir des quantités inconnues (par exemple nommées x 1,...,x n ). Une solution d un système d équations est un élément (x 1,x 2,...,x n ) de R n tel que chaque égalité est vérifiée. Le système est linéaire si chaque équation est polynomiale de degré 1 en chacune des inconnues.

25 Systèmes linéaires Exemple Le système suivant est un système linéaire { x + y =3 x y =1 Il a pour unique solution (x,y) = (2,1). Vérification. Si (x,y) est une solution, alors 2x = (x + y) + (x y) = = 4, donc il faut x = 2. Comme x + y = 3 il faut donc y = 1. D où il faut (x,y) = (2,1) (= condition nécessaire). Inversement, en remplaçant x = 2 et y = 1 dans les équations, les égalités sont vérifiées. La condition nécessaire est donc suffisante.

26 Systèmes linéaires Les systèmes suivants { ne sont pas linéaires : x 2 { + y =1 cos(x) + y =1 x y 2 et =2 sin(x) + y 2 =π Ces systèmes sont beaucoup plus difficiles à résoudre que le système linéaire vu précédemment.

27 Systèmes linéaires Un système linéaire de k équations avec inconnues (x 1,...,x n ) peut s écrire de manière générale sous la forme : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2.. a k1 x 1 + a k2 x a kn x n =b k où les a ij et b i sont des coefficients constants (c est-à-dire ne dépendent pas des inconnues).

28 Systèmes linéaires En d autres termes, on peut écrire le système linéaire ci-dessus sous la forme A x = b où A R k n est une matrice, b R k 1 est un vecteur-colonne donné, et x R 1 n le vecteur-colonne des inconnues : a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n A = x 2 b 2. x = b = a k1 a k2... a kn x n b k

29 Systèmes linéaires Méthode du pivot de Gauß Contenu de la section Systèmes linéaires Méthode du pivot de Gauß Un exemple de la méthode

30 Systèmes linéaires Méthode du pivot de Gauß Écrivons un système linéaire sous forme d une matrice augmentée, où chaque ligne correspond à une équation du système : a a 1n b 1 a k1... a kn b k Les opérations suivantes ne changent pas les solutions du système : Multiplier (ou diviser) une ligne par un réel non-nul; Échanger plusieurs lignes entre elles; Ajouter (ou retrancher) une combinaison linéaire des autres lignes à une ligne donnée. Et grâce à ces règles simples, nous pouvons résoudre n importe quel système linéaire!

31 Systèmes linéaires Un exemple de la méthode Contenu de la section Systèmes linéaires Méthode du pivot de Gauß Un exemple de la méthode

32 Systèmes linéaires Un exemple de la méthode Trouvons les solutions du système : x + y + z =1 x + 2y + 3z =0 2x y =π Ré-écrivons le d abord sous forme semi-matricielle : π

33 Systèmes linéaires Un exemple de la méthode On sélectionne un élément (en général sur la diagonale) qui nous servira à annuler d autres entrées de la matrice : π On remplace L 2 par L 2 L 1 On remplace L 3 par L 3 2L 1 ce qui donne π 2

34 Systèmes linéaires Un exemple de la méthode Nous choisissons le pivot suivant, toujours sur la diagonale, et recommençons : π 2 On remplace L 1 par L 1 L 2, et On remplace L 3 par L 3 + 3L 2. Le résultat est donc : π 5

35 Systèmes linéaires Un exemple de la méthode Le pivot suivant vaut 4 et pas 1, alors nous divisons d abord par 4 : π Puis nous appliquons encore la même technique : L 1 L 1 + L 3 L 2 L 2 2L 3 pour obtenir π π 5 2 π

36 Systèmes linéaires Un exemple de la méthode Le système de départ possède donc les même solutions que le système représenté par π π π c est-à-dire x = π+3 4 y = 3 π 2 z = π 5 4

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