sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il a

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Pierre-Antoine Duquette
il y a 5 ans
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1 Les calculatrices sont interdites **** NB Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision à la concision de la rédaction Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énoncé, il la signalera sur sa copie devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il a été amené à prendre **** Notations Soit des entiers supérieurs ou égaux à 1 On note le -espace vectoriel des matrices à coefficients dans ayant lignes colonnes Lorsque, est noté plus simplement est muni de sa structure d algèbre, représentant la matrice identité désigne l ensemble des matrices inversibles de l ensemble des matrices symétriques de Tout vecteur de est identifié à un élément de tel que l élément de laème ligne de soit Dans toute la suite, nous noterons indifféremment de un élément aussi bien que le vecteur de Pour qui lui est associé dans dans, on note le coefficient de laème ligne de Selon le contexte, désigne soit le réel nul, soit la matrice nulle de, soit encore la matrice nulle de est muni de son produit scalaire canonique noté! " de la norme associée notée!!!! Une matrice symétrique# de est dite positive si seulement si $ % & ' # ( définie positive si seulement $ si % ) * + & ' # " Tournez la page SVP

2 2 /0 1 l ensemble des matrices symétriques réelles positives, / l ensemble des On note, - matrices symétriques réelles définies positives Partie I I1 Soit/ /6 78/ , ;2 4=< ;4 2 /0 1 Etablir les égalités a) /; <;2 /4 ;4 12<;4 /2 ;2 14 b) ;2 4< >2? 4=@ < > 2? 4@ c) I2 Démontrer A / 83 les propriétés /, - /0 119 suivantes 3 8 B 9 5, - /0 1 a) A / , - /0 1 C, / B 9 5, / b) A D 5 6 /0 1 3 ;D D 5, - /0 1 c) I3 a) Soit 5, /0 1 A 2E56 78 /0 1 3 ;2 2F<=G vérifiant Montrer que toute valeur propre de est nulle en déduire <G b) Donner un exemple de matrice carréeh d ordre 3, non nulle vérifiant A 25 6I78/0 1 3 ;2 H 2<G I4 a) Soit 5, /0 1 Montrer que à, - /0 1 appartient si seulement si toutes ses valeurs propres sont positives b) Que peut-on dire d une matrice symétrique réelle semblable à une matrice symétrique réelle positive? I5 On munit, /0 1 des relations définies respectivement par A / /, / / 8 J 9 K L 8 M 9 5, - /0 11 A / /, / / 9 K L 8 M 9 5, / a) Montrer que la relationj est une relation d ordre sur, /0 1 b) Montrer que pourn JO, c ordre n est pas total sur, /0 1 c) La relation@ est-elle une relation d ordre? d) Trouver un exemple dans, 9 /0 1 8 J 9 8 < P 9 montrant que n implique pas nécessairement 9 I6 SoitQ R deux endomorphismes de0 diagonalisables vérifiantq S R < R S Q a) Démontrer T 83 T que tout sous-espace propre deq est stable parr 9 3 U U U 3 T V Q W X Y 3 W X Z 3 U U U 3 W X [ b) Soit les valeurs propres distinctes de les sousespaces propres deq respectivement associés Pour tout\ 5] ^ 3 O 3 U U U 3_ `, on noter a l endomorphisme dew X b induit parr Montrer que pour tout\ 5] ^ 3O 3 U U U 3_ ` il existe une basec a dew X b formée de vecteurs propres der En déduire qu il existe une basec de0 Q telle que les matrices de R dans cte base soient toutes deux diagonales

3 mœœœœœœœœœl ts 3 I7 a) Soitd e defg hi j deux matrices diagonalisables Montrer que les matricesd e commutent si seulement si elles sont diagonalisables au moyen d une même matrice de passage b) On donne les matricesd e lmonpneq n suivantes d k q npneq nq nrnn stvu lmowpneq n e k qq wrxfq yrwrwn Montrer qued e sont diagonalisables au moyen d une même matrice de passage déterminer explicitement une telle matrice de passage I8 Soithz { z } j ~ h g hi jj} tel quez { z } k z } z { Montrer quez { z } ~ g hi j I9 a) Soithz { z } j ~ h g hi jj} tel quez { z } k z } z { Montrer que z } z { k ƒz }} z {} nen z { ko nen z } ko E } z } z { b) Montrer } z que }{ les matrices vérifient? Vérifient-ellesz } Partie II On se propose dans cte partie de caractériser de diverses manières la définie positivité d une matrice symétrique réelle II1 Soitz ~ g hi j z Montrer que les quatre propositions suivantes sont équivalentes a) est définie positive b) Toutes les valeurs propres dez sont strictement positives c) Il z existeˆ~ Š g hi j telle quez k ˆ ˆ d) est positive inversible II2 Soitd g e g les matrices de g hi j données par n Ž s n n e g k n n n t d g k w g q e g F n a) Montrer que pour tout vecteur k h j{ g dei g d g k }{ g { { h q { j} }g Tournez la page SVP

4 Ì Æ ª Ü Á 4 b) En déduire queš est définie positive c) En cherchant une matriceœ ŸŸŸŸŸŸž de la forme œ F r ª ª ± ± ³ «déterminer explicitement une matriceœ inversible telle queš µœ œ II3 Soit œ telles que µœ œ On note½ ³ ³» ¼ ± ± ± la famille des vecteurs colonnes deœ Pour Å ³ À Á ±Â ± ± Ã Ä, on noteæ Å la projection orthogonale deå sur Vect ± ± ± ³ a) Justifier que½ est une base de b) On définit la famille de vecteursç ± ± ± par les relations É ³ À Â ± ± Ã Ä ± Ê Montrer que la familleç est orthogonale que c est une base de c) SoitË Ì Ì ± ± ± la famille de vecteurs définie parì ÍÍ ÍÍ Ë pour tout ³ À Á ±Â ± ± Ã Ä est alors une base orthonormale de Montrer que la matrice de passage de la baseë à la base½ est triangulaire supérieure d) SoitÎ œ la matrice de passage de la base canonique de à la la baseë Montrer que peut s écrire sous la formeœ Î Ï oï est une matrice triangulaire supérieure inversible qu alors µï Ï ž oð e) Montrer que la matrice Ê Â Ê Â Ê ÂrÂ adm une décomposition de la forme µï Ï oï Ê Â rñ est une matrice triangulaire supérieure inversible en déduire que est symétrique définie positive II4 a) Soitš Ò Ó Ô Déterminer ÔÕ ³ ³ Ø Ù Ú À Ä tel queµ š Ò b) Soitš oó Û ÔÕ Ô š Montrer que est définie positive si seulement si Trš Ü dšü ³ àû Ü Û ce qui équivaut encore Õ Ê Ô c) Soit, ³ Ã ÝÂ On décompose sous la forme Ó Û µ Þ ± Û ª Þ ª ³ ± ³ Ø Ù ± ³

5 ó ò ò ä ä å ç 5 En écrivantßà áâ ãäåæ ç è ßé êëì é à æ ì ß ê à áâ í äãä åæ ç ðñ ï sous la forme ò ò, montrer que pour ß ó ß ð ô è é õ ß êë õ ß êå ó ê çß ò êú en déduire queó siå û ñ ó ê est définie positive si seulement est définie positiveç d) En gardant les notations de la question II4 c) précédente, on peut alors construire par récurrence une suite de nombres réelså çäý ý â une suite de matricesåó çäý ò ý â comme suit On pose d abord ó ä ð ó ì ä ð ì ä ð ì ó êä ð ó ê ì ó ð äó äê Siþ ÿ, on décomposeó ò sous la forme ð è ó ê ëì ò à æ ì à áâ í ãäåæ ç ì ó ê à â í åæ ç On pose à nouveauó ð ó ê on itère le processus précédent On obtient ainsi une suite å çäý de ý â matrices symétriques réelles åó ç äý ý â ó d ordreþ o ò est õ une suites de réels liés par les relations à ì ì ì þ ì ó ð è ò ó êëì ó ä ð ó ê ð þ Le processus s arrête pour caró â est alors d ordre on noteó â ð å ó â ç å çäý ý â Montrer que est définie positive si seulement si tous les réels de la suite sont strictement positifs e) Soitó ð åæ ç à Selon les notations précédentes, déterminer explici- ì associés à cte matriceó en déduire queó est définie positive si û ñ ì û ñ û ñ tement les réels äì seulement si Fin de l énoncé

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