Question 1 : Représentation des nombres (5 min 3 pts)

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1 Question : Représentation des nombres (5 min 3 pts) a) Donner la représentation binaire des nombres suivants b) Donner la valeur des nombres binaires suivant c) Trouver les bonnes réponses du tableau en cochant les cases Vrai et Faux respectives Décimal Binaire Vrai Faux Question 2 : Algèbre de Boole (2 min 6 pts) Les assertions suivantes et leurs démonstrations sont proposées ci-dessous. Pour chaque ligne de démonstration, justifier (en citant le(s) théorème(s) ou la (les) propriété(s) utilisée(s)) ou invalider (écrire FAUX). Finalement, indiquer si l assertion est vraie (que la démonstration soit valide ou non). a) A(A+B)+A = A+B A(A+B)+A = AA+AB+A = A+AB+A = A+AB+A A = A+B b) A+ A B+AB = AB A+ A B+AB = ( A+ A )( A+B )+AB = ()(A+B)+AB = A B L assertion est elle vraie? L assertion est elle vraie?

2 c) A(A+ B )+AB = A A(A+ B )+AB = AA+A B + AB = A+A B = A+ A B = A( + B ) = A( ) = A d) A B +AB+ A B = AB L assertion est elle vraie? AB+AB+ A B = A B +A B+AB+ A B = B ( A+ A ) + A ( B+ B ) = B + A = A +B = AB L assertion est elle vraie? e) Démontrer l assertion suivante : A+B=A B AB Rappel : au besoin, on se souviendra que X Y = XY + X Y

3 Question 3: Représentation des circuits logiques ( min 5 pts) Une fonction F(A,B,C) est régie par la table de vérité suivante : A B C F Donner sa représentation sous les formes suivantes : a) Forme canonique disjonctive b) Forme canonique conjonctive c) Table de Karnaugh d) Un circuit logique qui utilise uniquement des portes NAND A B C F e) Un circuit logique qui utilise uniquement des portes NOR A B C F

4 Question 4: Simplification de circuit (25 min 6 pts) a) Retrouver la table de Karnaugh de la fonction X(A,B,C) : BC A 3 2 Donner l expression disjonctive simplifiée de X : b) Dessiner le circuit équivalent qui utilise uniquement des portes NAND et calculer son coût. c) Retrouver la table de Karnaugh de la fonction Y(A,B,C) : Coût : BC A 3 2 Donner l expression conjonctive simplifiée de Y : d) Dessiner le circuit équivalent qui utilise uniquement des portes NOR et calculer son coût. Coût :

5 e) En utilisant les résultats précédents donner l expression simplifiée du circuit suivant : Z = Piste : Utiliser le résultat de la question 2e (une minute maximum pour cette question) Question 5: Table de Karnaugh (25 min 6 pts) Pour chacune des fonctions suivantes, simplifier et donner le coût minimal du circuit. Pour chaque problème, il vous appartient de choisir entre la forme disjonctive ou conjonctive. a) La fonction X(a, b, c, d, e) est donnée par sa table de Karnaugh : Expression simplifiée : Coût minimal du circuit :

6 b) La fonction Y(a, b, c, d, e) est donnée par sa table de Karnaugh : Expression simplifiée : Coût minimal du circuit : c) La fonction Z(a, b, c, d, e) vaut X Y. Exprimer sa table de Karnaugh et simplifier : Expression simplifiée : Coût minimal du circuit : Question 6: Problème complet (25 min 4 pts) Suite à un phénomène électromagnétique inexpliqué, la logique de commande d une navette spatiale est complètement déprogrammée. Heureusement, seulement trois commandes sont affectées : G : commande du moteur gauche R : commande de la radio D : commande du moteur droit

7 Pour sauver sa vie, l équipage a rapidement essayé toutes les combinaisons des commandes G, R et D et a observé le comportement suivant : G R D Moteur G Radio Moteur D Arrêt () Arrêt () Arrêt () Arrêt () Marche () Marche () Arrêt () Arrêt () Marche () Marche () Marche () Marche () Arrêt () Marche () Arrêt () Marche () Arrêt () Arrêt () Arrêt () Marche () Marche () Marche () Marche () Marche () Marche () Arrêt () Arrêt () Marche () Marche () Arrêt () Marche () Arrêt () Marche () Arrêt () Arrêt () Arrêt () Marche () Marche () Arrêt () Arrêt () Arrêt () Marche () Marche () Marche () Marche () Arrêt () Marche () Arrêt () Par exemple on interprète la ligne en gras ainsi : Lorsque la commande du moteur gauche est en position «Arrêt», que la commande de la radio est en position «Marche» et que la commande du moteur droit est position «Arrêt», alors le moteur gauche de la fusée est en marche, la radio est à l arrêt et le moteur droit de la fusée est a l arrêt. Un membre de l équipage s exclame : «Ce n est pas compliqué, il suffit de regarder la droite de la table pour trouver la commande qui y correspond. Par exemple, si tu veux seulement allumer la radio, tu constates que cela correspond à la dernière ligne et tu mets toutes les commandes (G, R et D) en position Marche». Toutefois, au moment de l atterrissage, il faut aller vite. L équipage décide alors de réaliser une petite machine qui actionnera les commandes G R et D en fonction de trois nouvelle commandes NG, NR et ND. En utilisant ces nouvelles commandes, le pilote aura l impression que la navette répond correctement à ses commandes. L équipage dispose uniquement de portes NOR. Il s agit donc de réaliser un circuit qui prend les trois entrées NG, NR, et ND pour générer les sorties G, R, et D de sorte que NG commande bien le moteur gauche, NR commande bien la radio et ND commande bien le moteur droit.

8 L équipage commence à écrire les tables de vérité des trois fonctions G, R et D (voir page suivante). La ligne en italique représente le cas ou seule la radio est en marche. Mais il reste indécis sur la manière de remplir les cases vides. Se pourrait-il que le problème soit impossible à résoudre? Expliquez pourquoi et proposez une solution qui puisse tout de même aider notre équipage à revenir sur terre de manière sécuritaire. Justifiez! NG NR ND G R D N R N D N G 3 2 N R N D N G 3 2 N R N D N G 3 2 Votre explication du ou des problème(s) et votre meilleure solution pour revenir sur terre Votre meilleur circuit n utilisant que des portes NOR

9 7 Question Bonus Cette question est facultative. Sa réussite donne un bonus qui sera comptabilisé dans la note finale du cours. Des extraterrestres viennent vous chercher pour profiter de vos talents de concepteur numérique hors pair. Ils vous emmènent sur leur planète et vous demandent de concevoir un circuit. Cependant, étant très en avance sur nous, ceux-ci n utilisent pas nos portes logiques. La technologie des extraterrestres utilise une porte réversible qui ne consomme pas d énergie. Cette porte est appelée CCN ; on vous remet sa table de vérité : Afin de vous y retrouver, vous voulez réaliser à l aide de cette porte les fonctions AND et XOR à deux entrées. Quelles entrées et quelle sortie choisir? Une fois ceci fait, utiliser plusieurs portes CCN pour réaliser une porte OR à deux entrées. Indice : Fixez certaines entrées. Une question de détente