Séance 3 : Exercices corrigés OPTIMISATION

Transcription

1 ECP Mathématques 2 2 e Année Séance 3 : Exercces corrgés OPTIMISATION Objectfs La méthode du gradent pour la mnmsaton de fonctons quadratques. Intérêt d un précondtonnement. x 0 g 2 x X4 X2 X3 g 3 X1 g 1 Fgure 1: Itératons de la méthode du gradent Queston 1 Mnmsaton au sens des mondres carrés. Détermner une foncton affne Y = ax + b approxmant au sens des mondres carrés... Sans le formalsme de l énoncé, on cherche un couple (a, b) qu rende mnmum l erreur quadratque E(a, b) = (ax + b Y ) 2 On écrt que les dérvées en a et b sont nulles X (ax + b Y ) = 0 (1) ax + b Y = 0 (2)

2 2 Mathématques 2 d où le système lnéare qu détermne a et b. ( X 2 )a + ( X )b = X Y (3) ( X )a + pb = Y (4) En suvant le formalsme de l énoncé, on a c n = 2, x = (a, b) et f(x) = (ax 1 + b Y 1,..., ax + b Y,..., ax p + b Y p ) On est ramené à la queston suvante avec une matrce X 1, 1...,... C = X, 1...,... X p, 1 et un vecteur b = (Y 1,..., Y,..., Y p ) t On consdère le cas général où la foncton f(x) = Cx b est lnéare (C est une matrce (p, n), x R n, b R p ). ) Montrer que la soluton au sens des mondres carrés vérfe Il faut mnmser ce qu équvaut à mnmser C t Cx = C t b F (x) = Cx b, Cx b = C t Cx, x 2 C t b, x + b, b F (x) = 1 2 Ct Cx, x C t b, x C est un problème d optmsaton quadratque, à matrce C t C symétrque défne postve, s le rang de C est n. Nous avons vu en cours que la foncton F (x) est alors strctement convexe et qu elle a un mnmum et un seul qu est soluton du système lnéare C t Cx = C t b ) Que dot vérfer la matrce C pour que ce système at une soluton unque? et donc C t Cx = 0 C t Cx, x = 0 C t Cx = 0 Cx, Cx = 0 Cx = 0 ce qu mplque x = 0 s et seulement s la matrce C a n lgnes ndépendantes ce qu équvaut à dre que le système ntal a n équatons ndépendantes.

3 Séance 3 3 Queston 2 Régularsaton d un mallage. Montrer que le vecteur x = (x 1,..., x n ) R 2n réalse le mnmum de la foncton quadratque F (x) = x x j 2 (=1,N,j ) E On obtent les condtons d optmalté en calculant le gradent x x j = 0 j (,j) E Ce qu sgnfe ben que x est le centre de gravté des ponts auxquels l est relé. On dot mnmser la foncton F(x) que nous réécrvons F (x) = (=1,n,j ) E x x j 2 + (=1,n,j>n) E F (x) est une foncton défne sur R n dont la parte de degré 2 est (=1,n,j ) E x x j 2 + (=1,n) qu est toujours postve s x 0 et dont la parte lnéare est 2 < x, x j > (=1,n,j>n) E x 2 x x j 2 C est donc une foncton strctement convexe qu a un mnmum et un seul. On utlse la méthode de relaxaton par rapport à chacun des vecteurs x R 2, c est à dre une relaxaton par bloc de dmenson 2. Le mnmum par rapport à x est donc obtenu en remplaçant le pont x par le centre de gravté des ponts qu l entourent. La précson nécessare est en général assez fable (> 10 2 ) et quelques balayages (< 5) du vecteur x suffsent. La méthode est naturelle, ce qu apporte c l nterprétaton par le problème de mnmsaton c est une preuve de convergence. Queston 3 Noton de précondtonnement. Dans le cas d une foncton F (x) quadratque, montrer que, cela revent à changer la matrce A en L t AL 1. Le changement de varable change F (x) en F (y) = 1 2 < AL 1 y, L 1 y > < b, L 1 y >

4 4 Mathématques 2 Mnmser F (y) revent donc à changer A en L t AL 1 et b en L t b. On pose M = L t L La matrce M, appelée matrce de précondtonnement est symétrque défne postve. Montrer que, pour espérer amélorer le condtonnement la matrce A, M dot être proche de A. Le condtonnement de la nouvelle matrce sera d autant melleur qu elle sera proche de Id, c.a.d. L t AL 1 Id ou A L t L = M Écrre pour une foncton F (x) quelconque l algorthme du gradent pour la recherche de mnmum de la foncton F (L 1 y), pus revenr aux varables ntales... La réponse est dans la queston. Queston 4 Étude d une chaîne pesante Écrre ce problème comme un problème d optmsaton d une foncton lnéare P, U sous des contrantes quadratques d égalté B U, U = 1, = 1,..., n + 1, où le vecteur P et les matrces B sont à précser. Corr. Le centre de gravté d une barre est un pont d ordonnée 1 2 (y + y 1 ) Toutes les barres ont la même masse, donc le centre de gravté du système est un pont d ordonnée y G = 1 n+1 1 n (y + y 1 ) =1 on en dédut, en tenant compte de y 0 = y n+1 = 0, avec y G = P, U P = 1 (0, 1,..., 0, 1,..., 0, 1)t n + 1 Il faut écrre que toutes les barres gardent la longueur L,.e. ou encore matrcellement (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2 L 2 = 1 B U, U = 1, = 1,..., n + 1

5 Séance 3 5 la matrce B étant la matrce symétrque dont tous les coeffcents sont nuls à l excepton de B 2( 1)+1,2( 1)+1 = B 2,2 = B 2+1,2+1 = B 2(+1),2(+1) = 1 L 2 sur la dagonale et, au dessus de la dagonale B 2( 1)+1,2 = B 2(+1),2(+1) Pour résoudre de façon approchée ce problème on utlse une méthode de pénalsaton : cela revent à supposer que les barres sont légèrement déformables et à ntrodure dans la formulaton du problème une pseudo-énerge de déformaton de ces barres. On chost, pour la barre, l expresson suvante de la pseudo-énerge de déformaton E = 1 4ɛ ((x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2 L 2 ) 2 où ɛ, le coeffcent de pénalsaton est un nombre pett. On montre (cf. chaptre 4) que le mnmum lbre de la foncton énerge n+1 J ɛ (U) =< P, U > + est proche du mnmum du problème ntal. Montrer que la foncton J ɛ (U) est coercve. S un U tend vers l nfn, la longueur d une des barres au mons tend vers l nfn et le terme E correspondant tend donc vers l nfn. Est-elle convexe? Corr. En fxant tous les varables à 0 sauf x 1 on obtent =1 E J ɛ (U) = P 1 x ɛ (x2 1 L 2 ) 2 ) qu n est pas une foncton convexe. On applque la méthode du gradent à ce problème, comparer les temps de calcul de dfférentes varantes pour dfférents coeffcents de pénalsaton : Sans précondtonnement et avec un calcul précs du mnmum undrectonnel. En fasant varer de façon adéquate le coeffcent de pénalsaton. En fxant le pas ρ k (comment le fare sans rsque de dvergence?). En précondtonnant par la matrce de la parte quadratque de la foncton F (x). Comparer les temps de calculs avec la méthode standard de Sclab.