Trigonométrie. Table des matières

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1 Trigonométrie Table des matières 1 mesure d un angle 1.1 activité : cercle trigonométrique et mesure d angle en radians corrigé activité : cercle trigonométrique et mesure d angle en radians à retenir exercices corrigés exercices sinus et cosinus d un angle orienté 11.1 activité : sinus et cosinus corrigé activité : sinus et cosinus à retenir exercices évaluation 18 devoir maison 19 5 TP 0

2 1 mesure d un angle 1.1 activité : cercle trigonométrique et mesure d angle en radians Le but est d indiquer sur le "cercle trigonométrique" (cercle orienté de rayon 1) la "mesure principale" de l angle IM (en degrés et en "radians") pour chacun des rayons ci dessous (figures question c) 1. sachant que (1) la mesure en radian, d un angle non orienté α, est égale à la longueur l de l arc de cercle de rayon qu intercepte cet angle () la longueur d un arc de cercle intercepté est proportionnelle à la mesure de l angle (a) calculer la longueur l de l arc de cercle de rayon et d angle 0 en déduire la mesure en radian d un angle de 0 (rappel : p = r) α l (b) compléter le tableau ci dessous (valeurs exactes simplifiées et à 0,1 près pour 1 radian) mesure en degrés mesure en radians calculs : 1 (c) placer les mesures principales (dans ] 180 ; 180] ou ] ;]) d angles IM ci dessous en tenant compte de l orientation mesures d angles en degrés mesures d angles en radians + + I I. placer A,B,C,... sur le cercle de droite et donner la mesure principale de l angle sachant que (a) IA a pour mesure ( que l on notera IA = ) (b) IB = (c) IC = 7 (d) ID = 5 (e) IE = 5 (f) IF = 5 (g) IG = (h) IH = 0 (i) IJ = 15 (j) IK = 75

3 1. corrigé activité : cercle trigonométrique et mesure d angle en radians Le but est d indiquer sur le "cercle trigonométrique" (cercle orienté de rayon 1) la "mesure principale" de l angle IM (en degrés et en "radians") pour chacun des rayons ci dessous (figures question c) 1. sachant que (1) la mesure en radian, d un angle non orienté α, est égale à la longueur l de l arc de cercle de rayon qu intercepte cet angle () la longueur d un arc de cercle intercepté est proportionnelle à la mesure de l angle (a) calculer la longueur l de l arc de cercle de rayon et d angle 0 en déduire la mesure en radian d un angle de 0 (rappel : p = r) α l p = 1 = donc à 0 correspond radians (b) compléter le tableau ci dessous (valeurs exactes simplifiées et à 0,1 près pour 1 radian) mesure en degrés , mesure en radians 0 1 calculs : { 0 x = 0 1 = 0 1 = { 0 x 1 5 x = , x (c) placer les mesures principales (dans ] 180 ; 180] ou ] ;]) d angles IM ci dessous en tenant compte de l orientation mesures d angles en degrés mesures d angles en radians F J I 0 A B I E G = H C = D = K. placer A,B,C,... sur le cercle de droite et donner la mesure principale de l angle sachant que (a) IA = [] (e) IE = 5 [] (h) IH = 0 [] (b) IB = 0[] (c) IC = 7 [] (f) IF = 5 [] (i) IJ = 15 [] (d) ID = 5 [] (g) IG = [] (j) IK = 75 []

4 Explications pour les mesures principales : (a) 0 0 / ] ;] donc 0 n est pas la mesure principale ( 0 1, et 1, / ] 1;1] ) on ajoute autant de fois qu il faut à 0 0 = 0 1 = 0, on peut donc ajouter fois à = 0 + mais on a encore on ajoute encore = / ] ;] pour que le résultat soit dans ] ;] + = + = et ] ;] est alors la mesure principale de 0 0 congru à modulo et on écrit 0 []

5 1. à retenir définition 1 : (mesure d angle non orienté en radian) quel que soit l angle (non orienté) α la mesure en radian de l angle α est égale à la longueur l de l arc de cercle de rayon intercepté par cet angle α mesure l = en radian de α remarques i. "tour complet" : r = 1 = ii. "quart de tour" : par proportionnalité, 1 = iii. on confond usuellement l angle avec la valeur de sa mesure, mesure(α) = α iv. exemples degrés radians l = l = α = l = α = α = définition : (cercle trigonométrique et mesure d angle orienté en radian) (1) Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon { orienté négativement dans le sens horaire orienté positivement dans le sens anti-horaire () Quel que soit l angle orienté α, si l angle est dans le sens positif, la mesure en radian de l angle α est égale à la longueur l de l arc de cercle de rayon intercepté par cet angle sinon c est -1 que multiplie cette longueur α = l exemples l = l α = l l = l + l = α = + l = α = α = + α = remarques i. le sens positif est appelé le "sens trigonométrique" ou sens "direct" ii. le sens négatif est appelé le "sens horaire" ou sens "indirect" u + définition : (angle orienté entre deux vecteurs) Quels que soient les vecteurs non nuls u et v l angle orienté entre les vecteurs u et v est noté ( u; v ) B une de ses mesures est celle de l angle orienté AB est le centre du cercle trigonométrique C où M et P sont deux points tels que M = u et P = v A = C [M) et B = C [P) ainsi : ( u; v ) = AB toutes les mesures de l angle ( u; v ) sont de la forme AB +k où k Z est un entier relatif quelconque P A M v

6 Exemple + ci contre on a : ( u; v ) = AB = et toutes ses mesures sont de la forme +k (..., 7,, 9, 17,...) propriété 1 : (mesure principale d un angle) quels que soient les vecteurs non nuls u et v, parmi toutes les mesures de l angle ( u; v ) de la forme α+k, il en existe une seule faisant partie de l intervalle ] ; ], cette mesure est appelée la mesure principale de l angle v P B A u M démonstration (cette propriété est admise) exemples i. AB 101 = pout trouver la mesure principale de 101, on soustrait autant de fois qu il faut à 101 pour que le résultat soit dans ] ; ], or, 101 = = = 1,5 on peut donc enlever 1 fois à 101 ce qui donne : = = 5 on enlève encore une fois ce qui donne 5 = qui n est pas dans ] ; ], qui est ] ; ] et la mesure principale de 101 est alors et on écrit 101 [] 101 congru à [] modulo ii. AB 101 = pout trouver la mesure principale de 101, on ajoute autant de fois qu il faut à 101 pour que le résultat soit dans ] ; ], et une mesure principale de 101 propriété : (propriétés des angles orientés) quels que soient les vecteurs non nuls u, v et w, (1) ( u; v )+( v ; w) = ( u; w) (relation de Chasles) () ( u; u) = 0 ( u; u u) = () ( v ; u) = ( u; v ) ( u; v ) = ( u; v ) () ( u; v ) = ( u; v )+ ( u; v ) = ( u; v )+ est alors et on écrit 101 [] w u u v v u u démonstration (1) admis (le reste s en déduit en exercice) v

7 1. exercices exercice 1 : 1. placer les point A, B, C et D sur le cercle trigonométrique sachant que : ( I, A) = 5 ; ( I, B) = ; ( I, C) = ; ( I, D) =. Déterminer la mesure principale des angles suivants : (a) ( B, A) (b) ( D, A) (c) ( A, D) (d) ( C, B) I + exercice : ABC est un triangle et I est le milieu de [BC ], ( IA, IB) = et ( CI, CA) = Déterminer en justifiant, la mesure principale des angles orientés suivants 1. ( AI, IB). ( AI, IC). ( IA, CB). ( AIC? puis pour ABC 5. ( AI, AB) AC, AI) qu en déduire pour. ( AB, BI) exercice : n considère les points A, B, C et D du cercle trigonométrique C associés, respectivement, aux réels 7, 9, et 5 1. Déterminer les mesures principales des angles orientés ( I, A) et ( I, B). Démontrer que (A) (C). Déterminer les mesures principales des angles orientés ( D, A) et ( C, D). Préciser une mesure en degré de l angle ( A, D) + I

8 1.5 corrigés exercices corrigé exercice 1 : 1. placer les point A, B, C et D sur le cercle trigonométrique sachant que : ( I, A) = 5 ; ( I, B) = ; ( I, C) = ; ( I, D) = C : A : 5 + I 0 B : D :. Déterminer la mesure principale des angles suivants : (a) ( B, A) = ( B, I)+( I, A) ( B, A) = ( I, B)+( I, A) (b) ( D, A) = ( D, I)+( I, A) ( D, A) = ( I, D)+( I, A) ( B, A) = ( )+ 5 ( B, A) = + 5 ( B, A) = + 5 = 9 = ( B, A) = [] / ] ; ] ( D, A) = ( )+ 5 ( D, A) = + 5 ( D, A) = + 5 = 8 = ( D, A) = [] / ] ; ] (c) ( A, D) = ( D, A) [] (d) ( C, B) = = ( 7 C, B) = 5 [] = 7

9 corrigé exercice : ABC est un triangle et I est le milieu de [BC ], ( IA, IB) = et ( CI, CA) = A / / B I C E D Déterminer en justifiant, la mesure principale des angles orientés suivants 1. ( AI; IB) = ( ID, IB) = + =. ( AI; IC) = ( ID, IC) = ( IA, IB) = (opposés par le sommet). ( IA; CB) = ( IA, IB) =. ( AC; AI) qu en déduire pour AIC? puis pour ABC? ĈIA = = la somme des angles d un triangle vaut 180 soit donc IAC = = donc AIC est un triangle isocèle en I ( angles égaux) et ( AC; AI) = de plus IA = IC = IB donc ABC est rectangle en A 5. ( AI; AB) : IAB = = = donc ( AI; AB) =. ( AB; BI) = ( BE; BI) BIA isocèle en I donc IAB = ÂBI = ( AB; BI) = ( BE; BI) = =

10 corrigé exercice : n considère les points A, B, C et D du cercle trigonométrique C associés, respectivement, aux réels 7, 9, et 5 1. Déterminer les mesures principales des angles orientés ( I, A) et ( I, B) ( I, A) = 7 = + = + = + [] ( I, 9 B) = = 8 + = 7+ = []. Démontrer que (A) (C) ( A, 7 C) = ( A, I)+( I, C) = + ( A, C) = 1 + donc (A) (C) = 7 +1 = 87 = 9 = 8 +. Déterminer les mesures principales des angles orientés ( D, A) et ( C, D) ( D, A) = ( D, I)+( I, A) = ( I, D)+( I, ( D, A) = 7 = + = + [] ( C, D) = ( C, A)+( A, D) +( ) A) = ( 5 [] 7 )+ = 8. ( A, D) = = I

11 sinus et cosinus d un angle orienté.1 activité : sinus et cosinus Soit le repère orthonormé (; I, J), sin(x) J M Dans le cercle trigonométrique de centre, au réel x R correspond le point M tel que ( I; M) = x cos(x), le cosinus de x est par définition l abscisse x M du point M sin(x), le sinus de x est par définition l ordonnée y M du point M x cos(x) I 1. à quel intervalle appartiennent sin(x) et cos(x)?. justifier que : cos(x) +sin(x) = 1 pour tout x R. justifier que : cos( ) = sin( ) =. justifier que : cos( ) = 1 et en déduire que sin( ) = 5. justifier que : sin( ) = 1 et que cos( ) =. compléter le tableau suivant x 0 cos(x) sin(x) 7. à l aide de la figure ci contre, compléter les égalités suivantes sur les angles associés cos(x+) =... sin(x+) =... cos( x) =... sin( x) =... x +x x x cos( x) =... sin( x) =... cos(x+) =... sin(x+) =... cos( x) =... sin( x) =... +x x 8. résoudre dans R les équations suivantes (a) cos(x) = (b) sin(x) = (c) cos(x) = 0 (d) sin(x) = 0 (e) cos(x) = 1 (f) sin(x) = 1 (g) cos(x) = 1 (h) sin(x) = 1 (i) cos(x) = (j) sin(x) = (k) cos(x) = cos(x) (l) sin(x) = sin(x) (m) cos(x) = sin(x) (n) cos(x) = cos(x+)

12 . corrigé activité : sinus et cosinus Soit le repère orthonormé (; I, J), sin(x) J M Dans le cercle trigonométrique de centre, au réel x R correspond le point M tel que ( I; M) = x cos(x), le cosinus de x est par définition l abscisse x M du point M sin(x), le sinus de x est par définition l ordonnée y M du point M x H cos(x) I 1. sin(x) [0;1] et cos(x) [0;1] (M est sur le cercle de rayon 1). DansHM rectangle en H : H +HM = M = 1 = 1 donc cos(x) +sin(x) = 1 pour tout x R. justifier que : cos( ) = sin( ) = Pour x = (5 ), HM est rectangle isocèle en H donc H = 1 H = cos( 1 ) = sin( ) = =. montrons que cos( ) = 1 x = IM est isocèle en car I = M = 1 donc Î = M = = donc IM est équilatéral donc (M H) est hauteur mais aussi médiane et médiatrice donc H = HI = 1 donc cos( ) = 1 cos(x) +sin(x) = 1 donc cos( ) +sin( ) = 1 donc sin( ) = 1 1 = donc sin( ) = ou (à rejeter car sin( ) > 0 ) donc sin( ) = 5. on procède de même pour montrer que sin( ) = 1 et que cos( ) =. compléter le tableau suivant x 0 1 cos(x) 1 1 sin(x)

13 7. à l aide de la figure ci contre, compléter les égalités suivantes sur les angles associés cos(x+) = cos(x) cos( x) = cos(x) cos( x) = cos(x) cos(x+) = cos(x) cos( x) = sin(x) sin(x+) = sin(x) sin( x) = sin(x) sin( x) = sin(x) sin(x+) = sin(x) sin( x) = cos(x) x +x +x x x x 8. résoudre dans R les équations suivantes (a) cos(x) = S = {} car cos(x) [ 1;1] (b) sin(x) = S = {} car sin(x) [ 1;1] (c) cos(x) = 0 cos(x) = cos( ) x = +k ou x = +k S = { +k; +k;k Z} (d) sin(x) = 0 sin(x) = sin(0) x = 0+k ou x = 0+k S = {0+k; +k;k Z} (e) cos(x) = 1 cos(x) = cos(0) x = 0+k ou x = 0+k S = {0+k;k Z} (f) sin(x) = 1 sin(x) = sin( ) x = +k ou x = +k S = { +k;k Z} (g) cos(x) = 1 cos(x) = cos( ) x = +k ou x = +k S = { +k; +k;k Z}

14 (h) sin(x) = 1 sin(x) = sin( ) x = +k ou x = +k S = { +k; 5 (i) cos(x) = cos(x) = cos( ) +k;k Z} x = +k ou x = +k S = { +k; +k;k Z} (j) sin(x) = sin(x) = sin( ) x = +k ou x = +k S = { +k; +k;k Z} (k) cos(x) = cos(x) x = x+k ou x = x+k x = k ou x = k x = k ou x = k k S = {k ; ;k Z} (l) sin(x) = sin(x) x = x+k ou x = x+k x = k ou x = +k x = k ou x = + S = {k ; + k ;k Z} (m) cos(x) = sin(x) cos(x) = cos( x) x = x+k ou x = ( x)+k 5x = +k ou x = +x+k x = 10 + k 5 x = 10 + k 5 S = { 10 + k 5 ou x = +k ou x = k ; k;k Z}

15 (n) cos(x) = cos(x+) x = x+ +k ou x = x +k x = +k ou 5x = +k x = k ou x = 5 + k 5 S = { k ; 5 + k ;k Z} 5

16 . à retenir définition : (sinus et cosinus d un réel) quel que soit le réel x R, dans le cercle trigonométrique de centre, soit le repère orthonormé (; I, J), au réel x R correspond le point M tel que ( I; M) = x le cosinus de x, cos(x) est l abscisse x M de M cos(x) = x M le sinus de x, sin(x) est l ordonnée y M de M sin(x) = y M sin(x) J x M cos(x) I Remarques i. Quel que soit le réel x R : 1 cos(x) 1 et 1 sin(x) 1 Exemple i. cos(0) = cos( I, I) = x I = 1 sin(0) = sin( I, I) = y I = 0 propriété : (valeurs remarquables) x 0 cos(x) 1 sin(x) propriété : (propriété principale) quel que soit le réel x R, cos(x) +sin(x) = 1 propriété 5 : (cosinus et sinus des angles associés) quel que soit le réel x R, cos(x+) = cos(x) cos( x) = cos(x) cos( x) = cos(x) cos(x+) = cos(x) cos( x) = sin(x) sin(x+) = sin(x) sin( x) = sin(x) sin( x) = sin(x) sin(x+) = sin(x) sin( x) = cos(x) x +x +x x x x propriété : (équations ) quel que soit le réel a R, (1) cos(x) = cos(a) x = a+k ou x = a+k où k Z () sin(x) = sin(a) x = a+k ou x = a+k où k Z Exemples : cos(x) = 1 cos(x) = cos( ) x = +k ou x = +k sin(x) = 1 sin(x) = sin( ) x = +k ou x = +k = 5 +k

17 . exercices exercice : simplifier au maximum 1. sin( x)+cos( +x). sin( +x)+cos( x)+sin( x). sin( x)+sin( +x). sin( +x)+cos( +x) sin( x) 5. sin( +x)+sin( x) cos( x) exercice 5 : simplifier au maximum A = sin +sin +sin 5 +sin 7 B = cos cos +cos cos 5 C = sin +cos 7 +cos( ) D = sin cos +sin E = cos 7 +sin cos F = sin ( ) +cos ( ) G = cos ( ) cos +1 exercice : Résoudre les équations suivantes : 1. Dans R : cosx = 8. Dans R : sinx = 1. Dans ] ; ] : sinx = sin. Dans ] ; ] : sinx cos. Dans R : sinx = 0 5. Dans R : cosx = 0. Dans R : cosx = cos ( ) 7. Dans R : cosx = cos 9. Dans R : sinx = cos 10. Dans ] ; ] : (sinx+1)(cosx 1) = Dans ] ; ] : cos x = 1 1. Dans [0; ] : sin x+sinx 1 = 0 1. Dans ] ; ] : cosx+ = 1. Dans ] ; ] : sin x sinx = 0

18 évaluation

19 devoir maison

20 Devoir maison Exercice 1 : ABCD est un carré orienté dans le sens direct (trigonométrique). E et F sont les points tels que CBE et ABF sont des triangles équilatéraux orientés dans le sens direct. Le but de cet exercice est de prouver que les points D, E et F sont alignés, à l aide des angles orientés. 1. Faire une figure (a) Montrer que ( AF, AD) = (b) En déduire que ( FD, FA) = 5 1.(a) Montrer que ( BE, BF) = (b) En déduire que ( FB, FE) =.(a) Montrer que ( FD, FE) = (b) Conclure Exercice : 1. Déterminer la mesure principale dans chacun des cas suivants et placer les points sur le cercle trigonométrique (a) ( I, A) = 99 (b) ( I, B) = 101. en déduire la mesure principale de ( A, B). qu en déduire pour les droites (A) et (B)? Exercice : 1. Simplifier au maximum (a) f(x) = sin( x)+cos(x ) sin(x+)+sin(x ) cos(x )+cos( x) (b) A = sin( )+cos( )+sin(7 )+cos(7 ) Exercice : 1. Résoudre les équations (a) sinx+ = 7 (b) cos x = 0

21 5 TP

22 a) Justifier que ( AM; AC) = ( CM; CA) M med([ac]) MC =... AMC est ACM = ( AM; AC) et( CM; CA) de sens... ( AM; AC) = ( BA; BF) = ( BA; BC)+... a) Justifier que ( BA; BF) = ( CA; CF) ( BA; BF) = ( BA; BF) =... ( CA; CF) = ( CA; CB)+... ( CA; CF) = AC = AB donc A est sur la...de[bc] (AD) est la... de[bc] DC = DB donc D est sur la...de[bc] BCF est... en... F (AD) donc FC =... FCB = ( CB; CF) et ( BC; BF) de sens... ( BC; BF) =... b) Justifier que ( AM; BF) = ( CM; CF)

23 a) Justifier que ( AM; AC) = ( CM; CA) M med([ac]) MC =... AMC est... ACM =... ( AM; AC) et ( CM; CA) de sens... a) Justifier que ( BA; BF) = ( CA; CF) ( AM; AC) =...