Chapitre 6 : Trigonométrie. Module 1 : Angle orienté d un couple de vecteurs
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- Paule Bilodeau
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1 Module : Angle orienté d un couple de vecteurs ) Rappels Le plan est muni d un repère orthonormé (O; i ; j ). Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon et de centre O, affecté arbitrairement d un sens de rotation, positif (ou direct) dans le sens antihoraire et négatif (ou indirect) dans le sens horaire. Soit M un point du cercle trigonométrique et soit x la mesure de l arc IM. On dit que le point M est le point image du réel x sur le cercle trigonométrique. Puisque le cercle trigonométrique a pour périmètre 2, tous les réels x 2k (avec k ) on aussi le point M pour point image sur le cercle trigonométrique. Le réel x est aussi la mesure de l angle IOM exprimée en radians. Pour effectuer des conversions entre les degrés et les radians, on utilisera le fait que ces deux unités sont proportionnelles et que : radians = 80 2 ) Angle orienté d un couple de vecteurs Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan. En positionnant les deux vecteurs, comme sur la figure ci-dessous, de manière à ce qu ils aient la même origine, on obtient le résultat suivant : le réel x est la mesure de l angle orienté du couple de vecteurs ( u ; v ) Copyright 206 Oxogone Tous droits réservés Reproduction totale ou partielle interdite Page
2 3 ) Mesure principale d un angle orienté Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan. Si x est une mesure de l angle orienté du couple ( u ; v ) alors, quel que soit k : x 2k est aussi une mesure de l angle orienté du couple ( u ; v ) On notera : ( u ; v ) x 2k ( k ) ou ( u ; v ) x 2 (cette dernière expression se lit «x modulo 2») Définition : la mesure principale de l angle orienté ( ; ) Méthode : comment trouver la mesure principale d un angle orienté? On cherche la mesure principale d un angle orienté égal à u v est celle qui est comprise dans l intervalle ; 23 4 On constate que 8 2 (car il faut 8 fois 4 4 pour faire un tour complet correspondant à 2 ) On calcule le quotient : 23 8 et on arrondit à l entier le plus proche. On obtient : La mesure principale cherchée est : ) Propriétés des angles orientés Module 2 : Propriétés des angles orientés Propriété : Soit u un vecteur non nul du plan : u ; u 0 2 Propriété 2 : Soit u un vecteur non nul du plan : u ; u 2 Propriété 3 : Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan et soit k un réel non nul : k u ; k v ( u ; v ) 2 2 ) Angles orientés et colinéarité Propriété : Soient Propriété 2 : Soient u et v deux vecteurs non nuls colinéaires et de même sens : u ; v 0 2 u et v deux vecteurs non nuls colinéaires et de sens contraires : u ; v 2 3 ) Propriétés des angles associés Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan Propriété : v ; u u ; v 2 Propriété 2 : u ; v u ; v 2 Propriété 3 : u ; v u ; v 2 Propriété 4 : u ; v u ; v 2 Copyright 206 Oxogone Tous droits réservés Reproduction totale ou partielle interdite Page 2
3 4 ) Relation de Chasles Soient ; et trois vecteurs non nuls du plan u v w : u; v v ; w u; w 2 Remarque : la relation de Chasles permet de démontrer un résultat connu depuis le collège : la somme des angles d un triangle est égale à 2 radians Module 3 : Cosinus et sinus ) Cosinus et sinus d un nombre réel (rappels) Propriétés de base Soit x un nombre réel et soit M le point image du réel x sur le cercle trigonométrique. Nous avons la propriété fondamentale suivante : M(cos x; sin x ) Comme, par ailleurs, x est aussi la mesure, en radians, de l angle orienté du couple de vecteurs OI ; OM, soit x OI ; OM, nous avons : xm cos OI ; OM et ym sin OI ; OM Copyright 206 Oxogone Tous droits réservés Reproduction totale ou partielle interdite Page 3
4 Valeurs remarquables : Propriétés vues en seconde Quel que soit le nombre réel x : 2 2 cos x sin x cos( x 2k) cos x et sin( x 2k) sin x cos ( x) cos x et sin( x) sin x 2 ) Formules de symétrie Quel que soit le nombre réel x : cos( x) cos x et sin( x) sin x cos( x) cos x et sin( x) sin x cos( x) sin x et sin ( x) cos x ) Formules d addition Soient a et b deux nombres réels : cos( a b) cos a cosb sin a sin b cos( a b) cos a cosb sin a sin b sin ( a b) sin a cosb cos a sinb sin ( a b) sin a cosb cos a sinb 4 ) Formules de duplication Quel que soit le réel x : cos 2 cos sin 2cos 2sin x x x x x sin 2x 2sin xcos x Copyright 206 Oxogone Tous droits réservés Reproduction totale ou partielle interdite Page 4
5 Module 4 : Equations et inéquations trigonométriques ) Résolution des équations trigonométriques Equations de la forme : cos x a ( a ) où a désigne un réel connu Pour résoudre une équation de cette forme, il suffit de trouver un réel (en général à l aide des valeurs remarquables) vérifiant : cos a Les solutions de l équation sont les réels x tels que x 2 ou x 2 Exemple : On désire résoudre l équation : cos. Nous avons trouvé cos x. D après le tableau des valeurs remarquables, on constate que : Les solutions de l équations sont les réels x tels que : x 2 ou x 2 Equations de la forme : sin x a ( a ) où a désigne un réel connu Pour résoudre une équation de cette forme, il suffit de trouver un réel (en général à l aide des valeurs remarquables) vérifiant : sin a Les solutions de l équation sont les réels x tels que x 2 ou x 2 Exemple : On désire résoudre l équation : sin. Nous avons trouvé sin x. D après le tableau des valeurs remarquables, on constate que : 2 Les solutions de l équation sont les réels x tels que : 5 x 2 ou x 2 soit x 2 ou x ) Résolution des inéquations trigonométriques La résolution des inéquations trigonométriques est basées sur les mêmes principes que la résolution des équations. On est amené à sélectionner une portion du cercle trigonométrique et à sélectionner les abscisses des points correspondant à la portion sélectionnée. Copyright 206 Oxogone Tous droits réservés Reproduction totale ou partielle interdite Page 5
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