Chapitre 7 : Trigonométrie

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1 Chapitre 7 : Trigonométrie Effectuer un relevé topographique nécessite l utilisation d appareil de mesure d angle comme le théodolite ou le cercle répétiteur. La trigonométrie est donc un outil de calcul d angle indispensable en mathématiques. I. Repérage sur le cercle trigonométrique Définition : Cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique C est le cercle de centre O (l origine du repère) et de rayon 1 orienté dans le sens positif (c est-à-dire dans le sens contraire des aiguilles d une montre). Par exemple, J est l image de mais aussi de 3. I et J sont deux points du cercle trigonométrique. Enroulement de la droite numérique. Soit (d) une droite numérique graduée dont le zéro coïncide avec le point I. Quand on enroule, le cercle C, la demi-droite rouge des réels positifs dans le sens direct et celle des réels négatifs dans le sens indirect, chaque réel t vient s appliquer sur un point M unique du cercle C. On dit que M est l image de t sur le cercle C. La longueur du cercle C étant, deux réels t et t ont même point image sur le cercle C si et seulement si l enroulement de la droite entre t et t correspond à un nombre entier de tours de C. Tout point de C est l image d une infinité de réels. Si t est l un d eux, les autres sont les réels t + k, où k est un entier relatif (k Z). 1

2 II. Le radian Définition : Radian Le radian est l unité de mesure des angles telle que la mesure en radian d un angle est égale à la longueur de l arc de cet angle intercepte sur un cercle de rayon 1. Exemple : Un angle plat mesure radians. Un angle droit mesure radians. Les mesures en degrés et en radians d un angle sont proportionnelles. Exemple 1 : Un tiers d un angle plat a pour mesure = 60 ou 3 radians. Exemple : Calculer en radian les angles suivant α 1 = 1, α = 50 et α 3 = 60 On utilise un tableau de proportionnalité : degré radian 360 = = = 3 Exemple 3 : Calculer en degré les angles suivant α 1 = 1 rad, α = 3 rad et α 3 = 5 rad On utilise un tableau de proportionnalité : degré radian = = = Soit t un réel de l intervalle ] ; ] et M le point image de t sur le cercle trigonométrique C. La mesure en radian de l angle IOM est égal à t.

3 III. Mesure d un angle orienté Définition : Mesure en radian d un angle entre deux vecteurs Soit u et v deux vecteurs non-nuls. Soit M et N deux points tels que u = OM et v = ON, et M et N les points d intersection des demidroites [OM) et [ON) avec le cercle trigonométrique de centre O. Si M est l image du réel t et N est l image du réel t sur le cercle trigonométrique t t est apelée une mesure en radian de l angle orienté (u, v). Un angle orienté (u, v) a une unique mesure α appartenant à l intervalle ] ; ], on l appelle la mesure principale de cet angle. Ses autres valeurs sont des réels de la forme α + k, k Z. On note (u, v) = α + k (k Z), où (u, v) = α (modulo ) ou (u, v) = α (mod ) ou (u, v) = α () ou encore (u, v) = α [] Si M, O, N sont trois points distincts, MON = α, où α est la mesure principale de (OM, ON ) Exemple : 3

4 Conséquence : De la définition découlent immédiatement les relations suivantes : Soient u, v et w trois vecteurs non-nuls. 1. (v, u ) = (u, v) []. u et v sont colinéaires si et seulement si (u, v) = 0 ou [] 3. (u, v) + (v, w ) = (u, w ) [] IV. Cosinus et sinus d un réel et d un angle orienté Définition : Cosinus et sinus Soit M l image d un réel t sur le cercle trigonométrique C. Le cosinus de t, noté cos (t) est l abscisse de M. Le sinus de t, noté sin (t) est l ordonnée de M. 4

5 Pour tout réel t et entier relatif k, cos(t) + sin(t) = 1 1 cos(t) 1 1 sin(t) 1 cos(t + k ) = cos(t) sin(t + k ) = sin (t) α 0 cos(α) 1 sin(α) Définition : Cosinus et sinus d un angle Le cosinus et le sinus d un angle orienté sont le cosinus et le sinus d une quelconque de ses mesures. 5

6 V. Equations trigonométriques Pour résoudre une équation du type cos(x) = cos (a) ou sin(x) = sin (a), on s appuie sur le cercle trigonométrique et sur les angles associés pour ne pas oublier de solutions! En général, il y a en effet deux angles qui ont le même cosinus et deux angles qui ont le même sinus. Toutes les mesures de ces deux angles sont les solutions. Exemple 1 : Résolvons cos(x) = cos (a) pour a un réel quelconque. cos(x) = cos(a) x = a [] ou x = a [] Exemple : Résolvons sin(x) = sin (a) pour a un réel quelconque. sin(x) = sin(a) x = a [] ou x = a [] VI. Formules d addition et de duplication Quels que soient les réels a et b, 1. cos(a + b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin (b). cos(a b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin (b) 3. sin(a + b) = cos(b) sin(a) + cos(a) sin (b) 4. sin(a b) = cos(b) sin(a) cos(a) sin (b) Ces formules permettent de déterminer les valeurs exactes des cosinus et sinus de réels ou d angle orientés à partir des valeurs remarquables déjà connues. Quels que soit le réel a, 5. cos(a) = cos(a) sin(a) = cos(a) 1 = 1 sin(a) 6. sin(a) = cos(a) sin (a) Ces formules de duplication permettent, à partir des cosinus et sinus d un angle de mesure a, de calculer les cosinus et sinus de l angle double a, d où leur nom. 6