NOMBRES COMPLEXES (Partie 2) zz = a + ib a ib = a ib = a i b = a + b = z

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1 NOMBRES COMPLEXES (Partie ) 1 r r Dans tout le chapitre, on munit le plan d'un repère orthonormé direct ( O; u ; v ) I Argument, module et forme trigonométrique 1) Module Définition : Soit un nombre complexe = a + ib On appelle module de, le nombre réel positif, noté, égal à a + b M est un point d'affixe Alors le module de est égal à la distance OM Propriétés : Soit et ' deux nombres complexes a) = b) = c) = Démonstrations : a) ( )( ) ( ) = a + ib a ib = a ib = a i b = a + b = = a + b = a + b = b) ( ) c) ( ) ( ) = a + b = a + b = ) Argument Définition : Soit un point M d'affixe non nulle uuuur r On appelle argument de, notée arg() une mesure, en radians, de l'angle ( u ; OM ) wwwfamillefuteecom

2 Remarques : - Un nombre complexe non nul possède une infinité d'arguments de la forme arg() + kπ,k Z On notera arg() modulo π ou arg() π r uuuur u ; OM - 0 n'a pas d'argument car dans ce cas l'angle ( ) n'est pas défini Exemple : Soit = 3+ 3i Alors = 3 + 3i = = 18 = 3 Et arg() = π 4 π Propriétés : Soit un nombre complexe non nul a) est un nombre réel arg() = 0 π, b) est un imaginaire pur arg() = π π c) arg( ) = arg() d) arg( ) = arg() + π Démonstrations : a) Le point M d'affixe appartient à l'axe des réels b) Le point M d'affixe appartient à l'axe des imaginaires c) d) Ses résultats se déduisent par symétrie wwwfamillefuteecom

3 3) Forme trigonométrique Propriété : Soit = a + ib un nombre complexe non nul On pose : θ = arg() On a alors : a = cosθ et b = sinθ 3 Définition : On appelle forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul l'écriture ( cosθ sinθ ) = + i avec θ = arg() Méthode : Ecrire un nombre complexe sous sa forme trigonométrique Ecrire le nombre complexe = 3 + i sous sa forme trigonométrique Solutions : - On commence par calculer le module de : - En calculant = 3+ 1 =, on peut identifier plus facilement la partie réelle de et sa partie imaginaire : = i On cherche donc un argument θ de tel que : cosθ = 3 et sinθ = 1 Comme cos π 6 = 3 et sin π 6 = 1, on a : Donc : π π = cos + isin 6 6 π π = cos + isin 6 6 avec arg() = π 6 π wwwfamillefuteecom

4 Avec une calculatrice ou un logiciel, il est possible de vérifier les résultats obtenus : 4 4) Propriétés Inégalité triangulaire : Soit et ' deux nombres complexes + ' + ' Démonstration : Il s'agit d'une traduction de l'inégalité sur les distances Propriétés : Soit et ' deux nombres complexes non nuls et n entier naturel non nul Produit ' = ' arg( ') = arg() + arg( ') Puissance n = n arg( n ) = narg() Inverse Quotient =, 0 arg = arg( ), 0 =, ' 0 arg = arg( ') arg( ), ' 0 ' ' ' Démonstration pour le produit : On pose θ = arg() et θ ' = arg( ') ( θ θ ) ( θ θ ) ( θ θ θ θ ) i( θ θ θ θ ) ( θ θ ) i ( θ θ ) ' = cos + i sin ' cos ' + i sin ' = ' cos cos ' sin sin ' + sin cos ' + cos sin ' = ' cos + ' + sin + ' Donc le module de ' est ' et un argument de ' est θ + θ ' = arg() + arg( ') wwwfamillefuteecom

5 II Forme exponentielle 1) Définition 5 Posons f (θ) = cosθ + isinθ En prenant = ' = 1, on a démontré précédemment que : ( cosθ i sinθ )( cos θ ' i sin θ ') cos ( θ θ ') isin ( θ θ ') + + = Soit : f (θ) f (θ ') = f (θ + θ ') On retrouve ainsi la même équation fonctionnelle que celle établie pour les exponentielles : e θ e θ ' = e θ +θ ' Définition : Pour tout réel θ, on a : e iθ = cosθ + isinθ Remarque : e iθ est le nombre complexe de module 1 et d'argument θ Propriété : e iπ = 1 Démonstration : e iπ = cosπ + isinπ = 1+ i 0 = 1 Cette relation a été établie en 1748 par le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 ; 1783) Elle possède la particularité de relier les grandes branches des mathématiques : l'analyse (avec le nombre e), l'algèbre (avec le nombre i) et la géométrie (avec le nombre π ) Exemples : e i0 = cos0 + isin0 = 1+ i 0 = 1 e i π = cos π + isin π = 0 + i 1 = i Définition : Tout nombre complexe non nul de module r et d'argument θ s'écrit sous sa forme exponentielle = re iθ Méthode : Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle et réciproquement 1) Ecrire les nombres complexes suivants sous la forme exponentielle : a) 1 = i b) = 5 ) Ecrire les nombres complexes suivants sous la forme algébrique : a) 3 = e i π 6 b) 4 = 4e i π 4 Solutions : 1) a) - 1 = i = = i = i On cherche donc un argument θ de 1 tel que sinθ = 1 wwwfamillefuteecom

6 π π Comme sin = 1 et cos = 0, l'argument π convient 1 π π = cos + i sin 1 donc π π i 1 = cos + i sin = e π 6 b) - = 5 = 5 - = 5 5 = 1 On cherche donc un argument θ de tel que cosθ = 1 cos 1 sin π = 0, l'argument π convient Comme ( π ) = et ( ) ( ) = cos( π ) + i sin ( π ) donc ( π ) ( π ) = 5 cos + i sin = 5e iπ ) a) 3 = e i π 6 = cos π 6 + isin π 6 = 3 + i π i 4 π π b) 4 = 4e = 4 cos + i sin = 4 + i = + i 4 4 ) Propriétés Propriétés : Pour tous réels θ et θ ', pour tout entier naturel n non nul, a) e iθ e iθ ' = e i θ +θ ' ( ) iθ b) ( ) n e 1 inθ = e c) e = iθ e iθ d) eiθ = e i ( θ θ ') e iθ ' e) e iθ = e iθ Remarque : La formule b) s'appelle formule de Moivre 3) Applications à la géométrie Propriété : A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts du plan d'affixes respectives A, B, C et D On a : r uuur u ; AB = arg B A a) ( ) ( ) b) AB = B A uuur uuur D C c) ( AB ; CD) = arg B A Démonstrations : uuur uuur a) On considère un point E tel que OE = AB Alors E a pour affixe B A r uuur u ; OE = arg B A Donc ( ) ( ) et donc ( u AB) = ( ) r uuur ; arg B A wwwfamillefuteecom

7 b) B A = E = OE uuur uuur Comme OE = AB, OE = AB donc B A = AB 7 uuur uuur uuur r r uuur c) ( AB ; CD) = ( AB ; u) + ( u ; CD) r uuur r uuur = ( u ; CD) ( u ; AB) ( ) arg ( ) = arg D C B A D C = arg B A Méthode : Utiliser les nombres complexes en géométrie Soit A, B et C trois points d'affixes respectives A = i, B = 1 i et C = 1+ i 1) Démontrer que le triangle ABC est isocèle en A ) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A Solutions : AB = = 1 i i = 3 i = = 10 1) B A ( ) ( ) AC = = 1+ i i = 1+ 3i = 1+ 9 = 10 C Donc AB = AC A uuur uuur C A ; = arg B A C A 1+ 3i = 3 i ) ( AB AC ) = B A ( 1+ 3i )( 3 + i) ( 3 i)( 3 + i) 3 + i + 9i 3 = i = = i 10 uuur uuur π ( AB ; AC ) = arg ( i) = [ π ] On en déduit que l'angle est droit wwwfamillefuteecom