Par une droite : On recherche une droite y(x) = a.x + b telle que :

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1 hapire M4/4 : Oscillaeurs harmoniques e amoris Un oscillaeur linéaire es un sysème à un degré de liberé don le paramère vérifie une équaion différenielle linéaire à coefficiens consans. II.. OSSIILLLLATUR HARMONIIU : I.1. Définiion d un oscillaeur harmonique : On nomme oscillaeur harmonique ou sysème à un degré de liberé don l équaion du mouvemen es de la forme : d x +. x = e x adme alors une soluion du ype x = x + A.cos( + ϕ) I.. ude des sysèmes mécaniques conservaifs auour d une posiion d équilibre : I..a. Prérequis Mahémaique : Modéliser la courbe auour de x : par Par une droie : On recherche une droie y(x) = a.x + b elle que : y( x ) = f ( x ) y(x ) = f(x ) = a.x + b - - dy df = dx x x = a Donc y(x) = df dx x.( x x ) + f ( x ) f(x) Par une parabole On cherche une parabole y(x) = α.x + β.x + γ elle que : - y(x ) = f(x ) = α x + β x + γ. dy - dx = df =.α.x + β x dx x d y d f - = = α dx dx x x On a donc : y(x) = 1 d f.x df d f + dx dx x x dx. x x.x + ric OuvrardPSI Physique Lycée Dupuy-de-Lôme Lorien Page 1 / 9 1 d f df d f f ( x). x. x. x dx dx x x dx x df 1 d f Soi y( x) = f ( x) +.( x x) +.( x x ) dx x dx x x x

2 I..b. nergie poenielle U(x) = U(x éq ) + du dx (x éq).(x-x éq ) + 1 d U dx (x éq ).(x-x é ) Or d après l éude des équilibres: du dx (x éq) =. Donc U(x) = U(x éq ) + 1 d U dx (x éq ).(x-x é ) I..c. quaion du mouvemen omme on a = 1.m. d(x-x éq ), le héorème de l énergie mécanique nous donne : d m = donc : d ε k + m.ε = avec ε = x-x éq e k = d U dx (x éq ) Tou sysème mécanique conservaif, écaré d un ε de sa posiion d équilibre sable, se compore comme un oscillaeur harmonique, e ce indépendammen de sa naure pariculière. I..d. Aspec énergéique : L énergie mécanique d un oscillaeur mécanique es proporionnelle au carré de l ampliude du mouvemen. Il y a équipariion en moyenne de l énergie sous les formes cinéique e poenielle. I.3. ude d un circui L- Analogie élecro-mécanique : Mécanique lecricié nergie emmagasinée Sous forme poenielle Par le condensaeur Sous forme cinéique Par la bobine Déperdiion d énergie Par froemen Par effe Joule Bilan énergéique pour le circui L- en régime libre d u 1 + u = L. Le circui L- se compore comme un oscillaeur harmonique de fréquence propre = 1 L. IIII.. OSSIILLLLATURSS RLLSS N LLTRIIIIT II.1. quaion différenielle : II.1.a. Forme canonique : Les grandeurs élecriques d un circui du second ordre son soluion d une équaion différenielle de forme canonique d q dq +. +.q = B() Avec : le faceur de qualié la pulsaion propre ric OuvrardPSI Physique Lycée Dupuy-de-Lôme Lorien Page / 9

3 II.. ude du régime libre : On pose e() = O. es la soluion de l D homogène associée. II..a. quaion caracérisique 1 r + r + = avec comme discriminen = ( 4) On noera r 1 e r les racines de l équaion. La soluion de l D dépend du ype de racine, donc du signe de II..b. Régime apériodique (<1/): 1 Les racines son posiives. La soluion es de la forme q = A e + Be. ( ). r r La soluion es alors de la forme : q = e ( A. e + Be ) ( ) Si augmene, le erme Be 1 4 devien négligeable devan le erme A. e 1 4 On noe alors le emps caracérisique = (1 1 4 II..c. Régime criique (=1/): Soluion de la forme q() = e..(a. + B) La valeur pariculière de la résisance dans ce cas es noée résisance criique Par exemple pour un circui RL série R = II..d. Régime pseudo-périodique (>1/) : 1 Soi =. 1 noée pseudo-pulsaion. 4 Les racines de l équaion caracérisique son alors r ric OuvrardPSI Physique Lycée Dupuy-de-Lôme Lorien Page 3 / 9 ) 1, = ± j. j j Soluion du ype : q( ) = e ( Ae + B. e ) Sachan que q () doi êre une soluion réelle, la soluion générale es du ype : ( ) = q e.cos( + ϕ) le emps caracérisique : = q le décrémen logarihmique δ = ln q ( ) ( + T ) T = c L

4 II..e. ommen déerminer les consanes? On s aperçoi que dans ous les cas, la forme générale de la soluion compore deux consanes A e B. Mais ces oscillaeurs son sysémaiquemen obenus en associan au moins deux dipôles L e/ou. On exploie donc les deux relaions de coninuié pour les dipôles L e/ou présens dan le circui. x + = Un première relaion doi nous donner la valeur de ( ) dx La seconde doi nous donner la valeur de + = II..f. Représenaion graphique : Pour = [,1 ;,5 ;1] e x ( = ) = 4 ; dx = ( ) = ric OuvrardPSI Physique Lycée Dupuy-de-Lôme Lorien Page 4 / 9

5 II..g. ude énergéique : Régime libre : la puissance délivrée par le généraeur es nulle. di q d 1 1 Donc : i.( L + R. i + ) = qui peu s écrire R. i = (. L. i +. u ) Puissance reçue par R nergie emmagazinée par L e à Au cours du régime libre, l énergie emmagasinée par L e se dissipe au ravers de la résisance. Régime libre faiblemen amori : T ( + T ) i( ). e q( + T ) = q( ) i =. e T Donc on peu écrire l énergie emmagasinée par L e à l insan +T : 1 T ( + T ) =. L.( i( ). e ) + 1 T ( q( ). e ) On peu mere en faceur l exponenielle. (+T) = (). e T = Or si >>1: T π π 1 1 π =..(1 + ) Donc ( T + ) ( ) ( ) = = e π T 1 Pour un régime faiblemen amori : π = a donc une significaion de qualié pour le circui d un poin de vue énergéique : L énergie dissipée es d auan plus faible que le faceur de qualié es élevé ric OuvrardPSI Physique Lycée Dupuy-de-Lôme Lorien Page 5 / 9

6 II.3. Réponse à un échelon de ension : II.3.a. Méhode de résoluion : La démarche es idenique à celle uilisée dans le cas des circuis du premier ordre : ude de l D homogène associée s 1 Recherche d une soluion pariculière de l D avec second membre s Soluion générale s=s 1 +s onsidéraion des condiions iniiales Rq : L équaion éan du second ordre, il sera nécessaire de rouver deux condiions iniiales. On rouvera en fai : - une condiion iniiale sur la grandeur - une condiion iniiale sur sa dérivée IIIIII.. OSSIILLLLATURSS RLLSS N MANIIU III.1. quaion du mouvemen Un oscillaeur amori sera caracérisé par une équaion différenielle de forme canonique && x +. σ.. x& +. x = e Dans la mesure du possible, on choisira l origine à la posiion d équilibre du sysème, alors && x +. σ.. x& +. x = σ es ici le coefficien d amorissemen du sysème. III.. Résoluion Il s agi de la même méhode de résoluion que pour les oscillaeurs élecriques. Il y a oujours coninuié de la posiion e de la viesse pour un sysème mécanique. III.3. Porrais de phase III.3.a. Déerminisme mahémaique : On considère ici les sysèmes à un degré de liberé, régis par l équaion : d x = f(x,v,) Pour ces sysèmes mécaniques, la connaissance de x () e v () perme de déerminer ous les éas anérieurs e fuur du sysème. Les sysèmes mécaniques on une évoluion unique pour des condiions iniiales déerminées. NB : n mééorologie, on essaye de modéliser les sysèmes fluides par des équaions différenielles. Ainsi, la connaissance de N variables à un insan donné permerai de déerminer l évoluion fuure. La difficulé es que pour une variaion ε d un éa iniial, on arrive à des soluions oalemen différenes. ric OuvrardPSI Physique Lycée Dupuy-de-Lôme Lorien Page 6 / 9

7 III.3.b. Porrai de phase : On a donc inérê à représener le couple (x,v) pour le sysème à l insan. n effe ces deux variables consiuen les variables d éa du sysème. On défini le plan de phase le plan où le sysème à 1 degré de liberé es représené par un poin P de coordonnées (x,v) Le poin P figuraif de l éa du sysème à l insan es alors le poin de phase. L ensemble des poins de phases correspondan à une évoluion du sysème es une rajecoire de phase L ensemble des rajecoires de phase es nommé porrai de phase. On pourra irer de l analyse des rajecoires de phase ceraines caracérisiques du sysème. III.3.c. Propriéés Le déerminisme fai que deux rajecoires de phase ne peuven pas se couper dans le plan de phase. aracère oscillaoire - révoluif : Un mouvemen es oscillaoire si, au bou d une durée T, le sysème rerouve un éa idenique à un éa anérieur. La rajecoire de phase d un sysème oscillaoire es fermée Mouvemen révoluif : Le mouvemen es révoluif si le paramère x n adme pas d exrémum La rajecoire de phase d un sysème révoluif es nécessairemen ouvere Poins singuliers : e son par définiion les poins où on a à la fois : v= dx Le sysème es alors en équilibre or dv = dv dx. dx avec dx = v = = e dv La condiion es alors vérifiée an que dv dx Tou poin d une rajecoire de phase coupan l axe OX avec une angene non vericale es un poin singulier le sysème placé en l un de ses poins singuliers es en équilibre. Sens de parcours dx v = donc dx v > > On en dédui que pour un mouvemen oscillaoire, la rajecoire de phase es parcourue dans le sens horaire =. régime apériodique régime pseudo-périodique ric OuvrardPSI Physique Lycée Dupuy-de-Lôme Lorien Page 7 / 9

8 TD M4 : Oscillaions libres xercice 1 : Un ressor es fixé en A e au mobile M. M peu glisser sur le plan incliné faisan un angle α avec l horizonale, sans froemen. 1. Déerminer la longueur à l équilibre du ressor.. On écare alors M de a vers le bas. On le lâche sans viesse iniiale. Éudier le mouvemen. xercice : Porrai de phase L oscillaeur éudié es un sysème supposé poncuel de masse m = 5 g soumise à une force de rappel (e k) e à une force de froemen fluide λ. v avec v = ẋ. x. 1. Par rappor à quel origine repère--on le poin M?. Déerminer la naure de l oscillaeur 3. Pour ce oscillaeur, déerminer : a. sa posiion iniiale x b. la pseudo-période T c. le décrémen logarihmique 4. n déduire la pulsaion propre e le faceur d ammorissemen m de l oscillaeur. xercice 3 : Pendule Une masse m = 1 g es suspendue à un fil de longueur l = 1m. 1. ude du froemen fluide : On place le pendule dans une soufflerie donnan une viesse à l air v air = V a. x avec V a = m.s -1 e x horizonal. Le fil fai alors un angle α = 1 avec la vericale. n déduire le coefficien µ de froemen fluide en supposan que la force es du ype µ. v. On arrêe la soufflerie. udier le mouvemen en supposan que la viesse de l air devien immédiaemen nulle dans le référeniel d éude. x4- quilibre sable e oscillaion Un élasique de longueur à vide l e de raideur k es fixé à un poin M de masse m, posé sur un quar de cercle verical. On néglige ou froemen. 1- Déerminer la ou les posisions d équilibre du sysème - udier leur sabilié. 3- On écare le sysème de ε par rappor à sa posiion d équilibre sable puis on le laisse évoluer sans viesse iniiale. Déerminer l équaion du mouvemen puis exprimer ε(). θ a M(m) l Rappel : f(x +ε) f(x ) + f (x ).ε. ric OuvrardPSI Physique Lycée Dupuy-de-Lôme Lorien Page 8 / 9

9 TD 4 Régime ransioire des circuis du second ordre x5- Régime libre d un circui bouchon 1. Déerminer l équaion différenielle vérifiée par u () dans le monage ci-conre.. L=1mH ; R=1kΩ ; =1µF ; u () =U e i L() =. Déerminer u () foncion de,, U 3. Définir les différens régimes en foncion des valeurs de R R u() L x6- Le condensaeur éan déchargé, on abaisse l inerrupeur (K) à l insan =. ablir l équaion différenielle saisfaie par u (). Déerminer les condiions iniiales Donner l expression de u () dans le cas d un régime pseudo-périodique avec la condiion sur R. Vous meerez u () sous la forme : u () = e.( Acos + B sin) + u1 (K) u() L R x7- Une bobine d inducance propre L =, H e de résisance R =,1 Ω, es alimenée par un généraeur de f.é.m. = 1 V e de résisance inerne r = 4 Ω. On branche à ses bornes, à un insan que l on prendra comme origine des emps, un condensaeur non chargé de capacié = 1 µf. i 1. Déerminer l équaion différenielle vérifiée par i pour >.. alculer i( + ) e di (O+) ; Donner l expression de i(). (L,R) r x8 - Pon de Wien e() R R u() e() = si < si. xprimer u() pour > en foncion de, R e. Tracer sa représenaion. On prendra = 6 V ; R = 1 kω e = 1 µf ric OuvrardPSI Physique Lycée Dupuy-de-Lôme Lorien Page 9 / 9