EC 7 Filtres électriques linéaires du 1er et 2nd ordre

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1 EC 7 dr et nd ordre Savoir que le carré de la valeur efficace d un signal périodique est la somme des carrés des valeurs efficaces de ses harmoniques. PCSI I Généralités. Quadripôles Définition : i e i s Source Quadripôle Charge Entrée Sortie C est un dispositif électrique délimité par quatre pôles : deux bornes d entrée et deux de sortie. Exemple : quadripôle C avec C en sortie ouverte (charge d impédance quasiment infinie : voltmètre ou oscillo). Caractéristiques i e r i e ue C ¹ i s 0 us V GBF Voltmètre Convention d algébrisation des tensions et intensités : cf. dessin. Impédance d entrée, et impédance de sortie (similaire à ce qu on a vu pour un oscilloscope ou un générateur réel). Un quadripôle est passif s il ne contient aucune source. Sinon, il est actif. Gain en tension : G = Us U e. n peut aussi définir un gain en intensité on puissance. Définition : un quadripôle est linéaire s il ne comporte que des éléments linéaires (, L, C et sources linéaires). En conséquence, Le signal d entrée et le signal de sortie sont reliés par une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du type : D n d n (t) dt n + D n d n (t) dt n D 0 (t) = N m d m (t) dt m Le plus grand des entiers n ou m définit l ordre du circuit N 0 (t) emarque : en général, ce dernier est inférieur ou égal au nombre de dipôles réactifs (condensateurs ou bobines) qu il contient.

2 EC 7 Si est sinusoïdal, alors toutes les autres grandeurs le sont également (après le régime transitoire). Par la suite, on notera = U e cos(ωt + ϕe ) = U e e jωt et = U s cos(ωt + ϕs ) = U s e jωt Si aux tensions d entrée et correspondent les tensions de sortie et, alors, à la tension d entrée α + β (α et β réels), correspond la tension de sortie α + β. C est à dire que si on connaît la réponse d un filtre pour tout signal sinusoïdal pur, on peut en déduire la réponse à un signal quelconque car ce dernier est décomposable en une somme de signaux sinusoïdaux : Fourier.. Fonction de transfert en régime sinusoïdal forcé Définition : on définit la fonction de transfert (ou transmittance) par la grandeur complexe : H(jω) = = U s e jωt U = U s = U s e j(ϕs ϕe) e e jωt U e U e Exemple : quadripôle C en sortie ouverte i e = i et on retrouve un pont diviseur de tension : U s U e = H(jω) = Z C + Z C avec Z C = jcω H(jω) = +jcω = +j ω ω 0 où ω 0 = C i e i s = 0 i ue C elation entre équation différentielle et fonction de transfert : remplaçons et par leurs expressions dans l équation différentielle en notation complexe qui caractérise le circuit : D n d n (t) dt n + D n d n (t) dt n D 0 (t) = N m d m (t) dt m N 0 (t) or, en notation complexe, la dérivée n ieme revient a multiplier par (jω) n, il vient donc : D n (jω) n (t) + D n (jω) n (t) D 0 (t) = N m (jω) m (t) N 0 (t) (t) (t) = H(jω) = N 0 + jωn (jω) m N m D 0 + jωd (jω) n D n emarque : on pose parfois (en SI) jω = p, la variable de Laplace. La fonction de transfert s écrit alors de façon générale : H(p) = N 0 + pn p m N m D 0 + pd p n D n = mk=0 N k p k nk=0 D k p k = N(jω) D(jω) PCSI Page /

3 Définitions : Gain en tension et déphasage : Si on écrit H(jω) sous la forme H(jω) = G(ω)e jϕ(ω) G(ω) est le module de H(jω) G(ω) = H(jω) = U s U e = U s U e est le gain en tension. ϕ(ω) est l argument de H(jω) ϕ = arg(h(jω)) = arg ( ) Us U e = ϕ s ϕ e est l avance de phase algébrique de sur 3. 3.a. Définition Définition : Un filtre électrique linéaire est un quadripôle linéaire qui permet de transmettre sélectivement certaines fréquences. n parle de bande passante (intervalle des fréquences telles que G Gmax ) et de bande coupée. 3.b. Principaux types de filtres linéaires : Cf. TP Filtres passe bas : G(ω) bande passante [0; ω c ] où ω c est la pulsation de coupure. G(ω) ω c ω ω c ω Filtre idéal Filtre réel d ordre n tend vers un filtre idéal en l ordre du filtre (mais plus de composants plus coûteux et moins robuste). Filtres passe haut : G(ω) bande passante [ω c ; + [. G(ω) ω c ω ω ω c PCSI Page 3/

4 Filtre idéal Filtre réel d ordre Filtres passe bande : G(ω) bande passante [ω c ; ω c ] avec ω c et ω c les pulsations de coupure. G(ω) ω c ω c ω ω Filtre idéal Filtre réel d ordre Filtres réjecteur de bande (coupe-bande) : G(ω) [ω c ; ω c ] est la bande coupée. G(ω) ω c ω c ω ω Filtre idéal Filtre réel d ordre Filtres déphaseur : garde G constant mais il produit un déphasage entre et. 3.c. Action d un filtre sur un signal Pour comprendre comment un filtre agit sur un signal complexe, on peut établir l équation différentielle reliant et puis chercher une solution particulière. Ce n est pas forcément facile. n peut aussi : 0 3 f (Hz) 0 3 Spectre en entrée Spectre en sortie f (Hz). décomposer le signal en somme de cosinus (analyse spectrale). on sait comment le filtre se comporte pour chaque cosinus, chaque fréquence : il suffit de faire une multiplication pour obtenir les amplitudes en sortie 3. on re-somme les cosinus en sortie pour former le signal de sortie complet (synthèse spectrale) Ainsi, l intérêt de la décomposition spectrale et de la méthode des complexes est de remplacer une équation différentielle par une multiplication. La difficulté est «reportée» sur l analyse spectrale et la synthèse spectrale, mais de nombreux outils expérimentaux ou numérique permettent de faire cela (cf TP et TP-info). PCSI Page 4/

5 3.d. Exemple sur un signal Par exemple si on considère un signal e(t) = U cos(ω t) + U sin(ω t) + U 3 cos(ω 3 t) avec U = V; U = 5 V; U 3 = 0, V; ω = 0 rad/s; ω = rad/s; ω 3 = 00 rad/s; en entré d un filtre de fonction de transfert H(jω) = G 0 + jq(x x ) où x = ω/ω 0 avec ω 0 = 00; Q = 500 et G 0 = 0. Donner l expression dignal de sortie et faire les applications numériques pour les différentes amplitudes et phases. S,S,S 3 = [, ; 6, ;,0] V s(t) = H(jω ) U cos(ω t + arg(h(jω ))) +... ( s(t) = S cos ω t + ) ( + S sin ω t ) + S 3 cos(ω 3 t) 3.e. Filtres réels : diagrammes de Bode Gain en décibel G db : domaine. Le gain en tension G = H(jω) = Us U e peut varier dans un très large Définition : on définit le gain en décibels (db) ou gain du filtre par la relation : G db = 0 log G(ω) = 0 log( H(jω) ) Bande passante à 3 db : soit G(max) le gain maximal en tension du filtre. Les pulsations de coupure ω c = f c sont les pulsations pour lesquelles G = G(max) G db = 0 log G = 0 log G(max) = 0 log G(max) 0log ω = ω c G db = G db (max) 3 db c est le gain en db maximum 3 db. Définition : diagrammes de Bode d un filtre : c est la représentation de sa fonction de transfert H(jω) = G(ω)e jϕ(ω) : deux courbes. PCSI Page 5/

6 Afin de visualiser les variations de G(ω) et ϕ(ω) sur un grand domaine de fréquence, on trace ces fonctions en fonction de log ω. Courbe de réponse en Gain : Courbe de réponse en phase : G db en fonction de log ω G db (ω) ϕ en fonction de log ω ϕ(ω) 0 log ω 0 log ω Avantages : Échelle logarithmique Grande lisibilité pour une plage de fréquences très vaste. Tracé asymptotique très facile et fiable (voir plus loin). 4. Gabarit Échelle semi-logarithmique Lorsque l on veut réaliser effectivement un filtre, il faut tout d abord définir la bande passante du filtre, c est-à-dire l intervalle de fréquence qui n est pas atténué par le filtre. Cela nous donne un diagramme du type «filtre idéal» vu plus haut. Toutefois, il n est pas possible de construire un filtre dont le gain passe brutalement de 0 à. Le cahier des charges doit donc préciser d autres choses, en particulier :. L intervalle de fréquences qui doivent absolument être atténuées et le gain maximum toléré sur cet intervalle. L ondulation maximale tolérée dans la bande passante (c est-à-dire de combien le gain peut varier dans la bande passante : max(g) min(g) ). Ces spécifications peuvent être représentées sur un graphique appelé gabarit qui indique les zones interdites pour le gain en fonction de la fréquence (en échelle logarithmique). G Par exemple pour un filtre passe-bande dont : db. la bande passante est [f p,f p ] G p G m G a f a f p f p f a f. le gain nominal dans la bande passante est G p 3. l ondulation maximale dans la bande passante est G p G m 4. le gain pour les fréquences inférieures à f a oupérieur à f a doit être inférieur à G a Les intervalles [f a,f p ] [f p,f a ] correspondent donc à des zones de transition où le gain du filtre varie rapidement. PCSI Page 6/

7 5. Filtres en cascade, impédance d entrée et de sortie Source H u H u Charge Dans le cas où l on branche des filtres en cascade, on cherche la fonction de transfert équivalente à nos différents filtres. n a naturellement envie de dire : u = H ; u = H u = H H ; = H n H H H eq = H H... H n Mais cela n est vrai que si l on a bien u = H et u = H u etc... Mais ces relations ont été établies pour un courant de sortie nul! Ce qui n est pas forcément le cas lorsque l on branche une charge à la sortie du filtre. Impédance d entrée et de sortie Z e H Z i Z De même que pour le générateur et l oscilloscope, on utilise un modèle linéaire équivalent au quadripôle avec une impédance d entrée Z e (comme pour l oscilloscope réel) et une impédance de sortie Z i (comme pour le générateur réel). ôle de l impédance de sortie : Lorsque l on a définit les fonctions de transfert, le courant de sortie était nul, donc il n y a pas de chute de tension aux bornes de Z i et = H = E la force électromotrice du générateur idéal du modèle (qui dépend de ω et de ). Dans le cas où l on a branché une charge, la formule des ponts diviseurs de tensions nous donne = Z H u Z + Z e = i + Z H u i e Z Pour pouvoir considérer que H même lorsque l on branche une charge, il faut donc que Z i Z. n parle de faible impédance de sortie. ôle de l impédance d entrée : L impédance d entrée, elle, peut modifier le comportement du circuit en amont. Du point de vue du circuit amont, l impédance d entrée du filtre est la charge! Il faut donc que l impédance de sortie du circuit amont soit faible (en module) par rapport à l impédance d entrée du filtre. n parle de forte impédance d entrée. Mise en cascade de circuits : Lorsque l on combine plusieurs étages de filtres de tension en cascade pour former un circuit complexe, on souhaite en général pouvoir considérer que le comportement de chaque «sous-circuit» est le même qu en sortie ouverte. Il est donc intéressant que l impédance de sortie d un étage soit faible devant l impédance d entrée de l étage suivant PCSI Page 7/

8 II éalisation de quelques fonctions particulières Il arrive fréquemment, notamment pour des asservissement, que l on souhaite obtenir la valeur moyenne d un signal, sa dérivé oa primitive.. Filtre «moyenneur» Si on met un signal e(t) = u 0 + u cos(ω t + ϕ ) + u cos(ω t + ϕ ) +... en entrée d un filtre, alors un filtre moyenneur est un filtre tel que la sortie vaut environ s(t) u 0. Ainsi, le filtre doit : «laisser passer» le continu ω = 0 «couper le mieux possible» toutes les autres fréquences dignal Filtre moyenneur : Pour qu un filtre agisse comme un moyenneur, il suffit que ce soit un filtre passe bas de fréquence de coupure très inférieure à la plus basse fréquence dignal et de gain pour ω = 0 Puisque le filtre est un passe-bas de gain statique, alors la composante u 0 dignal d entrée n est pas modifiée. Puisque c est un passe-bas de fréquence de coupure très basse par rapport à toutes les fréquences dignal alors toutes les autres composantes sont fortement atténuées («coupées»).. Filtre «dérivateur» Nous avons vu qu en complexe, dériver un signal revient à le multiplier par jω. Toutefois, pour des raisons d homogénéité, jω n est pas une fonction de transfert valide. Un filtre dérivateur est donc un filtre dont la fonction de transfert est H = j ω ω 0. Exercice : en déduire les diagrammes de Bodes d un tel filtre. +0db/dec +-pi/ (car éventuellement -*) Filtre dérivateur : Pour qu un filtre agisse comme un dérivateur, il faut que sa fonction de transfert soit équivalente à j ω ω 0. Cela correspond à une pente de +0 db/dec et à un déphasage de ±. emarque : Dans la pratique, aucun filtre ne se comporte comme un dérivateur sur tout le spectre, il s agit donc de comportement limite/asymptotique de filtre réel. 3. Filtre «intégrateur» Filtre intégrateur : De même, pour qu un filtre agisse comme un intégrateur, il faut que sa fonction de transfert soit équivalente à Cela correspond à une pente de 0 db/dec et à un déphasage de ±. j ω ω 0. PCSI Page 8/

9 EC 7 III Exemples de filtres du premier ordre. Filtre passe bas du premier ordre : exemple du quadripôle C..a..b. Montage Comportement asymptotique BF i e i s = 0 i = 0 ue C Il s agit d un filtre passe bas. i e i s = 0 i = i e ue C = i e i s = 0 i = ue HF = 0.c. Fonction de transfert H(jω) = Z C + Z C = + jcω = + j ω = ω 0 + jx avec ω 0 = C et x = ω = Cω ω 0 La fonction de transfert d un filtre passe bas du premier ordre peut toujours se mettre sous la forme : H(jω) = G 0 Forme canonique + jx avec : x = ω ω 0 la pulsation réduite (sans dimension). G 0 le gain statique (x = 0) qui est ici la valeur maximale de G (égale à )..d. Pulsation de coupure ω c G(x c ) = G(max) = G 0 + x c = x c = ω c = ω 0 = C.e. Diagrammes de Bode éponse en gain : Diagramme asymptotique : G db = 0 log G = 0 log G 0 + x = 0 log G 0 0 log( + x ) PCSI Page 9/

10 Asymptote basses fréquences : Quand ω ω 0, (ω < ω 0 < ) x 0, et G 0 db 0 log G 0 : droite horizontale. Asymptote hautes fréquences : Quand ω ω 0, (ω > ω 0 > ) x, et + x x soit G 0 db = 0 log G 0 0 log( + x ) 0 log G 0 0 = 0 log G 0 0 : droite de pente -0 db/décade qui passe par 0 log G 0. Une décade est l intervalle de fréquence compris entre une fréquence f et 0f : si on multiplie la fréquence par 0, le gain en db chute de 0 db. G db ω db 0 db 0ω 0 00ω 0 ω 40 db Asymptote de pente 0 db par décade L écart maximum entre les asymptotes et la courbe réelle est de 3 db, il est atteint en x = on a pris G 0 = ici. éponse en phase : ϕ = arg(h(jω)) = arg Diagramme asymptotique : G 0 + jx = arg G 0 arg( + jx) tan ϕ = x si G 0 > 0. Asymptote basses fréquences : Quand ω ω 0, x 0,, H G 0 > 0 et ϕ 0 : droite horizontale. Asymptote hautes fréquences : Quand ω ω 0, x,, H jg 0 et ϕ : droite horizontale. Pour ω = ω 0, x =, = 0 et ϕ = on complète par une droite. 4 PCSI Page 0/

11 ϕ 6 4 L écart maximum entre les asymptotes et la courbe réelle est ϕ < 6..f. Caractère intégrateur du filtre Un filtre électrique se comporte en intégrateur si (t) = ±ω 0 ue (t)dt (inverseur si ), avec ω 0 une constante. En régime sinusoïdal, cela revient à = ±ω 0 jω soit une fonction de transfert H(jω) = = ± j ω ω 0 = ± jx Un intégrateur est donc caractérisé par : Un gain G db = 0 log = 0 x avec x la pulsation réduite x = ω ω 0. droite de -0 db par décade. Une phase ϕ = ± D où le diagramme de Bode : G db ϕ 0 Pour notre filtre C, H(jω) = Nous obtenons ces caractéristiques pour x, en effet, +jx + jx jx et H(jω). jx n vérifiera en TP que ce circuit devient intégrateur si ω > 0ω 0 (Cf. TP)..g. Modélisation n peut modéliser le quadripôle précédent par : PCSI Page /

12 Ðß Ðß Ðß Ðß EC 7 i e ÜÝÝÝÝÝÝÝ Þ i s = 0 C ue ÜÝÝÝÝÝÝÝ Þ ÜÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝ Þ i e u Z e e H. i s = 0 Z s ¹ ÜÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝ Þ n obtient ici Z e = + car i jcω s = 0 et = H. + Z s.i s = H. si i s = 0. La source de tension H. est liée à : on parle d une source de tension commandée en tension.. Filtre passe haut du premier ordre..a. Montage et comportement asymptotique i e i s = 0 C i = i e Il suffira de permuter et C dans le montage précédent : C i e = 0 i s = 0 i = 0 = 0 i e i s = 0 i = ue = Circuit BF HF Pour ω 0, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert, i = 0 et U s = i = 0. Pour ω, le condensateur se comporte comme un interrupteur fermé et U s = U e. Il s agit d un filtre passe haut..b. Fonction de transfert i e = i et on retrouve un pont diviseur de tension : H(jω) = + Z C = jcω + jcω = j ω ω 0 + j ω ω 0 = jx + jx avec x = ω ω 0 ω 0 = C La fonction de transfert d un filtre passe bas du premier ordre peut toujours se mettre sous la forme : H(jω) = jxg 0 Forme canonique + jx avec : x = ω ω 0 la pulsation réduite (sans dimension). G 0 la valeur maximale de G, atteint quand x.c. Fréquence de coupure : et x c = ωc ω 0 est telle que jx G(ω) = H(jω) = + jx = jx + jx = x + x G(x c ) = G(max) = x c + x c = x c = ω c = ω 0 = C PCSI Page /

13 .d. Diagrammes de Bode : éponse en gain G db = 0 log G = 0 log x + x = 0 0 log( + x ) Diagramme asymptotique : Asymptote basses fréquences : Quand ω ω 0, x 0, et G db 0 0 log = 0 : droite de pente + 0 db/décade. Asymptote hautes fréquences : Quand ω ω 0, x, et + x x soit G db = 0 0 log( + x ) 0 0 = 0 : droite horizontale. G db Asymptote de pente +0 db par décade 0 L écart maximum entre les asymptotes et la courbe réelle est de 3 db, il est atteint en x =. éponse en phase ϕ = arg(h(jω)) = arg jx + jx = arg jx arg( + jx) ϕ = arctan x soit la même courbe que plus haut, simplement translatée de. ϕ 4.e. Caractère dérivateur du filtre Un filtre électrique se comporte en dérivateur si (t) = ±, avec ω dt 0 une constante. En régime sinusoïdal, cela revient à = ± ω 0 jω soit une fonction de transfert avec x la pulsation réduite x = ω ω 0. Un dérivateur est donc caractérisé par : ω 0 d(t) H(jω) = = ±j ω ω 0 = ±jx PCSI Page 3/

14 EC 7 Un gain G db = 0 : droite de +0 db par décade. Une phase ϕ = ±. D où le diagramme de Bode : G db ϕ 0 Pour notre filtre C, H(jω) = jx + jx Nous obtenons ces caractéristiques pour x, en effet, + jx et H(jω) jx. n vérifiera en TP que ce circuit devient dérivateur si ω < ω 0 0. IV Exemples de filtres du deuxième ordre. Filtre passe bas d ordre deux.a. Montage Circuit LC avec C en sortie ouverte. i e i s = 0 L i ue C.b. Comportement asymptotique Basses fréquences Hautes fréquences i = 0 U = 0 U L = 0 I = 0 u = 0 u L = L ue C = ue Conclusion : il s agit bien d un filtre passe bas. u C = 0 PCSI Page 4/

15 .c. Fonction de transfert La sortie étant ouverte, on retrouve un pont diviseur de tension. H(jω) = = Z C Z = Cωj LCω + En utilisant les mêmes changements de variables que dans le chapitre sur les régimes transitoires : ω 0 = LC la pulsation propre du circuit. Q = Lω 0 = Cω 0 le facteur de qualité. x = ω ω 0 la pulsation réduite. n obtient H(jω) sous la forme canonique : H(jω) = G 0 x + j x Q (ici, G 0 = ).d. Diagramme de Bode éponse en gain : Gain en décibels : G(ω) = H(jω) = ( x ) + x Q G db = 0 log G(ω) = 0 log ( x ) + x Q = 0 log[( x ) + x Q ] Asymptote en basses fréquences : ω 0, x 0 et G db = 0 log(( x ) + x ) 0 log = 0 : asymptote horizontale. Q Asymptote en hautes fréquences : ω, x et et ( x ) x 4 x d où Q G db = 0 log(( x ) + x ) 0 4 = 40 : droite de pente 40 db par décade Q (on se rapproche du filtre idéal). Pour x = soit ω = ω 0, G db = 0 log(( ) + Q ) = 0 log Q = 0 log Q L écart entre la courbe asymptotique et la courbe réelle augmente quand Q s éloigne de. G db 40 Asymptote de pente 40 db par décade PCSI Page 5/

16 EC 7 Q = 0, Q = Q = 4 emarques : n retrouve la résonance en tension aux bornes du condensateur si Q > (Cf. chap EC 5 ), c est pourquoi Q est appelé aussi facteur de surtension. pour un bon passe bas, il faut que G soit constant avant ω c la pulsation de coupure, on aura donc intérêt à prendre Q. éponse en phase j ϕ = arg(h(jω)) = arg( x + j x ) = arg( j( x Q ) + x ) = arctan Q(x x ) Q Diagramme asymptotique : Asymptote basses fréquences : Quand x 0,, H, d où ϕ 0 : droite horizontale. Pour ω = ω 0, x =, = 0 et ϕ =. Asymptote hautes fréquences : Quand x, et H u < 0 d où ϕ : droite horizontale. ϕ Q = 0, Q = Q = 4. Filtre passe haut d ordre deux..a. Montage Circuit LC avec L en sortie ouverte. i e i s = 0 C i L PCSI Page 6/

17 EC 7.b. Comportement asymptotique Basses fréquences Hautes fréquences i = 0 u = 0 u C = C i = 0 u = 0 u C = 0 ue u s = 0 ue L Conclusion : il s agit bien d un filtre passe haut. =.c. Fonction de transfert La sortie étant ouverte, on retrouve un pont diviseur de tension. H(jω) = = Z L Z = jlω + jlω + jcω = LC(jω) Cωj LCω + = x x + j x Q.d. Diagramme de Bode éponse en gain G(ω) = H(jω) = x Gain en décibels : G db = 0 log G(ω) = 0 log ( x ) + x Q x ( x ) + x Q = 40 0 log(( x ) + x Q ). Asymptote en basses fréquences : ω 0, x 0 et G db = 40 0 log(( x ) + x Q ) 40 0 log = 0 : droite de pente 40 db par décade. Asymptote en hautes fréquences : ω, x et ( x ) x 4 x Q ) d où G db = 40 0 log(( x ) + x Q ) = 0 : asymptote horizontale. Pour x = soit ω = ω 0, G db = 40 log 0 log(( ) + Q ) = 0 log Q = 0 log Q L écart entre la courbe asymptotique et la courbe réelle augmente quand Q augmente. G db 40 Asymptote de pente 40 db par décade Q = 0, Q = Q = 4 emarques : La courbe du passe haut est la symétrique de celle du passe bas par rapport à l axe vertical. n a une résonance en tension aux bornes de la bobine si Q >. PCSI Page 7/

18 EC 7 Pour un bon passe haut, il faut que G soit constant après ω c la pulsation de coupure, on aura donc intérêt à prendre Q. éponse en phase x jx ϕ = arg(h(jω)) = arg( x + j x ) = arg( j( x Q ) + x ) = arctan Q(x x ) Q n remarque que ϕ P H = + ϕ P B, on déduit donc la courbe du passe haut de celle du passe bas en ajoutant simplement. Diagramme asymptotique : Asymptote basses fréquences : x 0,, H x et ϕ : droite horizontale. Pour ω = ω 0, x =, = 0 et ϕ =. Asymptote hautes fréquences, x,, H et ϕ 0 : droite horizontale. ϕ Q = 0, Q = Q = 4 3. Filtre passe bande d ordre deux 3.a. Montage Circuit LC avec en sortie ouverte. i e i s = 0 L C i 3.b. Comportement asymptotique Basses fréquences i e i s = 0 i = 0 = 0 i e i s = 0 i = 0 Hautes fréquences. = 0 PCSI Page 8/

19 Aux basses fréquences : le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert, on a donc i = 0 et = i = 0. Aux hautes fréquences : la bobine se comporte comme un interrupteur ouvert, on a donc i = 0 et = i = 0. Conclusion : il s agit bien d un filtre passe bande. 3.c. Fonction de transfert La sortie étant ouverte, on retrouve un pont diviseur de tension. H(jω) = = + jlω + jcω = Cωj Cωj LCω + = j x Q x + j x Q = + jq(x x ) 3.d. Diagramme de Bode éponse en gain G(ω) = H(jω) = Gain en décibels : G db = 0 log G(ω) = 0 log + [Q(x x )] = 0 log( + [Q(x +[Q(x x )] x )] ) Asymptote en basses fréquences : ω 0, x 0 et, Q(x ) Q et + [Q(x x x x )] ( Q x ). G db = 0 log( + [Q(x x )] ) 0 log( Q x ) = 0 log Q + 0 : droite de pente 0 db par décade et coupant l axe des abscisses en 0 log Q Asymptote en hautes fréquences : ω, x et, Q(x ) Qx et + [Q(x x x )] (Qx). G db = 0 log( + [Q(x x )] ) 0 log(qx) = 0 log Q 0 : droite de pente 0 db par décade et coupant l axe des abscisses en 0 log Q. Pour x = soit ω = ω 0, G db = 0 log( + [Q( )] ) = 0 log = 0 G db 0 log 0, = 0 0 log 0 = 0 Q = 0, Q = 0.7 Q = 0 Bande passante à -3 db : Ici, on cherche x tel(s) que c est l intervalle de fréquence pour lequel G(ω) > G(max). G = G(max) = + Q (x x ) = PCSI Page 9/

20 EC 7 + Q (x x ) = Q(x x ) = ± Qx ± x Q = 0 x ± x Q = 0 et on obtient quatre solutions x = ± ± + dont deux sont positives et en ne retenant que Q 4Q ces dernières, x, = ± Q + 4Q + x x = Q ω = ω ω = ω 0 Q La largeur de la bande est donc inversement proportionnelle au facteur de qualité. éponse en phase ϕ = arg(h(jω)) = arg( + jq(x ) = 0 arctan Q(x x ) x n remarque que ϕ P Ba = +ϕ P B, on déduit donc la courbe du passe bande de celle du passe bas en ajoutant simplement. n peut aussi utiliser le comportement asymptotique : Asymptote basses fréquences : x 0,, H j x et ϕ : droite horizontale. Q Pour ω = ω 0, x =, = 0 et ϕ = 0. Asymptote hautes fréquences : x,, H et ϕ jq ϕ : droite horizontale. Q = 0, Q = 0.7 Q = 4 emarque : on retrouve un comportement dérivateur en BF et intégrateur en HF. 4. Filtre coupe bande d ordre deux 4.a. Montage et comportement asymptotique Circuit LC avec LC en sortie ouverte. i e i s = 0 C i L BF i e i s = 0 C i = 0 = HF i e i s = 0 i = 0 C = Aux basses fréquences : le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert, on a donc i = 0, u = 0 et =. Aux hautes fréquences : la bobine se comporte comme un interrupteur ouvert, on a donc i = 0, u = 0 et = i =. Conclusion : il s agit bien d un filtre coupe bande. PCSI Page 0/

21 4.b. Fonction de transfert H(jω) = U s U e = Z LC Z = LCω Cωj LCω + = x x + j x Q 4.c. Diagramme de Bode éponse en gain G(ω) = H(jω) = Gain en décibels : G db = 0 log G(ω) = 0 log x ( x ) + x Q x ( x ) + x Q = 0 log x 0 log(( x ) + x Q ) Asymptote en basses fréquences : ω 0, x 0 et, G db = 0 log x 0 log(( x ) + x Q ) 0 log 0 log = 0 : asymptote horizontale. Asymptote en hautes fréquences : ω, x et, ( x ) x 4 x Q d où G db = 0 log x 0 log(( x ) + x Q ) = 0 : asymptote horizontale. Asymptote centrale : Pour x soit ω = ω 0, ( x ) 0, G db = 0 log x 0 log(( ) + Q ) : droite verticale. G db Q = 0, Q = 0.7 Q = 4 Bande coupée on retrouve également ω = ω ω = ω 0 Q inversement proportionnelle au facteur de qualité. : la largeur de la bande est donc éponse en phase x ϕ = arg(h(jω)) = arg( x + j x ) = arg( x ) arg( x + j x Q ) Q et arg( x ) = 0 si x < et arg( x ) = si x > n remarque que ϕ B = ϕ P B si x < et ϕ B = + ϕ P B si x >, on déduit donc la courbe du réjecteur de bande de celle du passe bas en ajoutant simplement 0 si x < et si x >. Diagramme asymptotique : PCSI Page /

22 Asymptote basses fréquences : Quand x 0, et ϕ 0 : droite horizontale. Asymptote hautes fréquences : Quand x, et ϕ 0 : droite horizontale. Si x, ϕ 0 arg( j Q ) = Si x +, ϕ arg( j Q ) = ϕ Q = 0, Q = 0.7 Q = 4 Fin PCSI Page /

23 Table des matières I Généralités. Quadripôles. Fonction de transfert en régime sinusoïdal forcé 3. 3.a. Définition 3.b. Principaux types de filtres linéaires : Cf. TP 3.c. Action d un filtre sur un signal 3.d. Exemple sur un signal 3.e. Filtres réels : diagrammes de Bode 4. Gabarit 5. Filtres en cascade, impédance d entrée et de sortie II éalisation de quelques fonctions particulières. Filtre «moyenneur». Filtre «dérivateur» 3. Filtre «intégrateur» III Exemples de filtres du premier ordre. Filtre passe bas du premier ordre : exemple du quadripôle C..a. Montage.b. Comportement asymptotique.c. Fonction de transfert.d. Pulsation de coupure ω c.e. Diagrammes de Bode.f. Caractère intégrateur du filtre.g. Modélisation. Filtre passe haut du premier ordre..a. Montage et comportement asymptotique.b. Fonction de transfert.c. Fréquence de coupure :.d. Diagrammes de Bode :.e. Caractère dérivateur du filtre IV Exemples de filtres du deuxième ordre. Filtre passe bas d ordre deux.a. Montage.b. Comportement asymptotique.c. Fonction de transfert.d. Diagramme de Bode. Filtre passe haut d ordre deux..a. Montage.b. Comportement asymptotique.c. Fonction de transfert.d. Diagramme de Bode 3. Filtre passe bande d ordre deux 3.a. Montage 3.b. Comportement asymptotique 3.c. Fonction de transfert 3.d. Diagramme de Bode 4. Filtre coupe bande d ordre deux 4.a. Montage et comportement asymptotique 4.b. Fonction de transfert PCSI Lycée Poincaré

24 4.c. Diagramme de Bode PCSI Lycée Poincaré

25 i e i s = 0 C i G db = 0 log Filtre passe haut du premier ordre x +x G db +0 db par décade 0 ϕ = arctan x = +ϕ P.Bas er ordre ϕ 4 H(jω) = jx +jx dérivateur i e i s = 0 C i L Filtre passe haut decond ordre G db = 40 0 log(( x ) + x Q ) G db ϕ = + ϕ P.Bas ème ordre ϕ 40 H(jω) = x x +j x Q +40 db par décade i e i s = 0 C i L Filtre coupe bande decond ordre G db = 0 log x 0 log(( x ) + x ) Q G db ϕ = ϕ P.Bas ème ordre si x < et ϕ = + ϕ P.Bas ème ordre si x >. ϕ H(jω) = x x +j x Q