Statistiques à deux variables

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1 Chaptre 3 Statstques à deux varables Sommare 3.1 Actvtés Blan et compléments Sére statstque à deux varables Nuage de ponts Corrélaton Ajustement affne Utlsaton de la calculatrce Exercces Actvtés Actvté 3.1 (Ajustement affne par une méthode graphque). A la sute d une vste médcale dans dx entreprses de servces nformatques, on a constaté qu une certane proporton du personnel travallant devant un ordnateur souffrat régulèrement de maux de tête ou de troubles de la vson. Ces résultats fgurent, par entreprse, dans le tableau c-dessous dans lequel l horare est donné en heures et centèmes d heures. Entreprses n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 n 7 n 8 n 9 n 10 Horare quotden devant un ordnateur x 5,5 5,5 6 6,5 6,5 6,5 6,75 7,25 7,25 7,25 Pourcentage du personnel attent y Construre dans le repère orthogonal de la fgure page 25 le nuage de ponts assocé à ce tableau statstque. On prendra les untés suvantes : en abscsse 1 cm pour 0,25 heure et en ordonnées 1 cm pour 10 %. On graduera l axe des abscsses à partr de la valeur (a) On note respectvement x et y les moyennes des séres (x ) et (y ). Calculer x et y. (b) On note G le pont de coordonnées (x ; y). G est le pont moyen du nuage. Placer le pont G sur le graphque. 3. On consdère les ponts A (8; 70) et B (8; 55). Construre les drotes (G A) et (GB) sur le graphque précédent. (a) On se propose de fare un ajustement du nuage par l une de ces drotes. Quelle drote vous semble la plus approprée? Explquer votre chox. (b) Détermner une équaton de la drote chose. 4. En utlsant l ajustement que vous avez chos, estmer le pourcentage de personnes attentes de maux de têtes pour une utlsaton moyenne de 7 heures. 23

2 3.1 Actvtés Termnale STG Actvté 3.2 (Ajustement par la méthode de MAYER et la méthode des mondres carrés). Le tableau suvant donne dans une populaton fémnne, la moyenne de la tenson artérelle maxmale en foncton de l âge. 1. Drote de MAYER Rang de l âge Age en années : x Tenson maxmale : y 11,8 13, ,4 15,5 15,1 (a) Représenter graphquement le nuage de ponts de coordonnées (x ; y ) de cette sére statstque dans le repère orthogonal de la fgure page c-contre. On graduera l axe des abscsses à partr de 36 et l axe des ordonnées à partr de 11. De plus, on prendra comme untés 0,5 cm pour une année en abscsse et 2 cm pour une unté de tenson en ordonnée. (b) Calculer les coordonnées du pont moyen G du nuage et placer G sur le graphque. (c) On fractonne le nuage précédent en deux partes consttuées respectvement par les ponts numérotés de 1 à 3 et ceux numérotés de 4 à 6. On note G 1 et G 2 les ponts moyens respectfs de ces deux partes du nuage de ponts.. Calculer les coordonnées de G 1 et G 2.. Tracer la drote (G 1 G 2 ). La drote (G 1 G 2 ) s appelle drote de MAYER. On admet qu elle consttue une bonne drote d ajustement pour un nuage de ponts «étré».. Vérfer que la drote (G 1 G 2 ) a pour équaton : y = 19x v. Vérfer que le pont G appartent à la drote (G 1 G 2 ). C est un résultat général : le pont moyen G appartent dans tous les cas à la drote de MAYER (G 1 G 2 ). (d) On admet que la drote de MAYER consttue un ajustement convenable du nuage de ponts précédent.. Détermner graphquement, en fasant apparaître les trats de constructon utles, la tenson artérelle maxmale prévsble pour une personne de 70 ans.. Vérfer le résultat précédent par le calcul en utlsant l équaton de la drote (G 1 G 2 ). 2. Méthode des mondres carrés (a). On décde de fare un ajustement affne de cette sére à l ade de la calculatrce. Pour trouver la drote qu passe «au plus près» de tous les ponts, les calculatrces utlsent une méthode de calcul appelée méthode des mondres carrés. Avec le menu stat de la calculatrce (vor le paragraphe page 30 pour des nformatons sur les calculatrces), écrre les deux séres et donner l équaton de la drote D.. Tracer la drote D dans le repère. (b) A l ade de l équaton de D, détermner par le calcul une estmaton de l âge d une personne dont la tenson est http ://perpendculares.free.fr/

3 Termnale STG 3.1 Actvtés Pourcentage Horare quotden Tenson maxmale Age Davd ROBERT 25

4 3.1 Actvtés Termnale STG Actvté 3.3 (Prncpe de la méthode des mondres carrés). On peut mesurer la dstance d une drote D à un nuage de ponts en calculant la somme des carrés des dstances M P où pour chaque, le pont M est un pont du nuage et le pont P est le pont de la drote D ayant la même abscsse que M (vor la fgure 3.1 de la présente page). FIGURE 3.1 Prncpe de la méthode des mondres carrés y M D ax + b P O x Plus cette somme sera pette et plus la drote sera proche du nuage de ponts. On procédera suvant la démarche : Premère étape : Chercher une équaton de drote (y = ax+ b) qu passe au plus près des ponts du nuage. Deuxème étape : Calculer pour chaque M la valeur M P 2 = (y ax b) 2. Trosème étape : Chercher à mnmser la somme des M P 2. Voc la sére statstque étudée : x y Sasr la feulle de calcul A l ade d un tableur, reprodure la feulle de calcul sur le modèle de la fgure de la présente page. En A2 est nscrt le coeffcent drecteur et en C2 est nscrt l ordonnée à l orgne de la drote d ajustement. Pour les lgnes 5 à 12, on trouve : dans la colonne A, la sére (x ) des abscsses des ponts du nuage dans la colonne B, la sére (y ) des ordonnées des ponts du nuage dans la colonne C, les ordonnées des ponts P de la drote 26 http ://perpendculares.free.fr/

5 Termnale STG 3.1 Actvtés dans la colonne E, M P 2 = ( )2 Pour la cellule C5, l faut écrre = pus coper-coller cette formule de C6 à C Modfer l ordonnée à l orgne D après le graphque, l semble que la drote d équaton y = 9x+100 ne sot pas le melleur ajustement : l ordonnée à l orgne n est pas assez grande. (a) Remplacer le contenu de la cellule C2 par 115. (b) Essayer par tâtonnement de trouver la valeur de a (au dxème près) qu mnmse la somme des M P 2. a (c) Quelle est la somme des M P 2 avec cet ajustement? somme des M P Modfer le coeffcent drecteur (a) Remplacer le coeffcent drecteur de l ajustement par 6 (cellule A2). (b) Essayer par tâtonnement de trouver la valeur de b (au dxème près) qu mnmse la somme des M P 2. b (c) Quelle est la somme des M P 2 avec cet ajustement? somme des M P En applquant la méthode de MAYER (a) En prenant les quatre premers ponts du nuage, pus les quatre derners, détermner avec le tableur, les coordonnées des deux ponts moyens G 1 et G 2 des deux sous-séres. G 1 ( ;......) et G 2 (... ;......) (b) Détermner l équaton rédute de la drote (G 1 G 2 ) de MAYER. y = x (c) Avec le tableur, quelle est la somme des M P 2 avec cet ajustement? somme des M P En utlsant la méthode des mondres carrés (a) A l ade du tableur, donner l ajustement affne par la méthode des mondres carrés. y = x (b) Quelle est la somme des M P 2 avec cet ajustement? somme des M P Remarque. Avec le tableur, on utlsera les fonctons DROITEREG pour détermner le coeffcent drecteur et CO- EFFICIENT.DIRECTEUR pour détermner le coeffcent drecteur de la drote d ajustement. Davd ROBERT 27

6 3.2 Blan et compléments Termnale STG 3.2 Blan et compléments Sére statstque à deux varables Défnton 3.1. On appelle sére statstque à deux varables, l étude smultanée de deux varables statstques défnes sur une même populaton. Exemples. Le pods et la talle de nouveaux nés dans une maternté. Le volume des ventes et le montant alloué à la publcté dans une entreprse. La consommaton d un véhcule et sa vtesse. En notant (x ) 1 p et (y ) 1 p les p valeurs prses par les deux varables statstques, les données sont données à l ade d un tableau d effectf : On note (x ; y ) la sére statstque double ans défne. Varable X x 1 x 2... x p Varable Y y 1 y 2... y p Exemple 3.1. Dans toute la sute du chaptre, on se référera à la sére statstque suvante : On mesure l allongement Y d un ressort en foncton de la masse suspendue X Nuage de ponts Masse (en g) Allongement (en mm) Défnton 3.2. Le plan étant mun d un repère orthogonal, on peut assocer à chaque couple (x ; y ) de la sére statstque le pont M de coordonnées (x ; y ). Le graphque ans obtenu consttue un nuage de ponts. Exemple. Les ponts du nuage ont pour coordonnées M 1 (30; 12), M 2 (40; 19), M 3 (50; 24),..., M 8 (100; 55). Placer ces ponts dans le repère de la fgure 3.2 de la présente page (Untés graphques : 1 cm pour 10 g en abscsses et 1 cm pour 10 mm en ordonnées, on graduera l axe des abscsses à partr de 30). Allongement (en mm) FIGURE 3.2 Nuage de ponts 10 O 30 Masse (en g) Défnton 3.3. On appelle pont moyen du nuage de N ponts M de coordonnées (x ; y ) le pont G de coordonnées : x G = x = 1 N x et y G = y = 1 N N =1 N =1 Exemple. Dans la sére précédente, le pont moyen G a pour coordonnées : x G = et y G = donc G ( ; ) y 28 http ://perpendculares.free.fr/

7 Termnale STG 3.2 Blan et compléments Corrélaton Soent X et Y deux varables statstques défnes sur une même populaton. Dans certans cas, on peut soupçonner l exstence d un len entre ces deux varables. Par exemple, l allongement du ressort est foncton de la masse suspendue, la talle des enfants peut dépendre de la talle des parents, etc. Défnton 3.4. Il y a corrélaton entre deux varables X et Y observées sur les ndvdus d une même populaton lorsque X et Y varent dans le même sens ou en sens contrare. Remarque. L exstence d une corrélaton entre deux varables peut être décelée à l ade d un nuage de ponts. Exemples. Consdérons les dagrammes de la fgure 3.3 de la présente page FIGURE 3.3 Corrélaton Y Dagramme A Dagramme B Dagramme C Y Y O X O X O X Aucune lason apparente ; absence de corrélaton entre les deux varables Corrélaton négatve Corrélaton postve Lorsque les ponts du nuage ont tendance à s algner comme pour le dagramme B, on parle alors de corrélaton lnéare entre les deux varables. On essaye alors d effectuer un ajustement affne, ce qu consste à trouver une drote qu rend compte de la forme algnée du nuage en approchant «au meux» les ponts qu le consttuent Ajustement affne Ajustement à la règle Exemple. La drote D contenant les ponts M 1 (30; 12) et M 8 (100; 55) approche de façon satsfasante les ponts du nuage. Détermner une équaton de cette drote D. En utlsant l équaton de la drote d ajustement, détermner quel serat l allongement du ressort correspondant à une masse de 110 grammes. Méthode de MAYER On fractonne le nuage de ponts en deux nuages partels de même effectf (à un près s l effectf de la sére est mpar) : le premer nuage comprend les ponts ayant les abscsses les plus pettes, et l autre, les plus grandes. On détermne ensute les ponts moyens G 1 et G 2 des deux nuages partels. La drote de MAYER du nuage est la drote (G 1 G 2 ). Exemple. Le premer nuage comprend les ponts M 1, M 2, M 3 et M 4. Son pont moyen G 1 a pour coordonnées : x G1 = y G1 = d où G 1 ( ; ) Avec les ponts restants, on obtent un second nuage dont le pont moyen G 2 a pour coordonnées : Placer les ponts G 1 et G 2 et tracer la drote de MAYER. Détermner l équaton de la drote (G 1 G 2 ). x G2 = y G2 = d où G 2 ( ; ) Davd ROBERT 29

8 3.3 Exercces Termnale STG On admettra la proprété suvante : Proprété 3.1. La drote de MAYER d un nuage de ponts passe par le pont moyen du nuage. Vérfer ce résultat sur le graphque et par le calcul. En utlsant l équaton de la drote de MAYER, détermner par le calcul la masse correspondant à un allongement de 60 mm. Retrouver ensute ce résultat sur le graphque. Méthode des mondres carrés L ajustement affne effectué avec la calculatrce est obtenu par une méthode appelée des mondres carrés qu consste à trouver une drote qu passe «au plus près» des ponts du nuage. La calculatrce donne le coeffcent drecteur m et l ordonnée à l orgne p. Avec la calculatrce, détermner l équaton de la drote d ajustement et tracer dans le repère Utlsaton de la calculatrce On peut retrouver tous ces paramètres statstques en utlsant les lstes d une calculatrce. Effacer les ancennes données Entrer les nouvelles données. On entre les valeurs des x dans la premère colonne (L1 ou lst 1) et les valeurs des y dans la deuxème colonne (L2 ou lst 2) ; TI-82 Caso Graph 25 Sélectonner le menu STAT STAT F6 4 : ClrLst 4 2 nd DEL-A F4 L1 YES F1, 2 nd L2 DEL-A F4 ENTER YES F1 STAT 1 : Edt ENTER A l écran : L1 L2 L A l écran Lst 1 Lst 2 Lst Calculer les paramètres statstques CALC 4 : Lnreg (ax+ b) ENTER A l écran : Lnreg (ax + b) y = ax+ b a= b= r = CALC F2 REG F3 X F1 A l écran : Lnreg a= b= r = r 2 = y = ax+ b 3.3 Exercces 11 p 90, 15 p 91, 26 et 29 p 96, 36 et 40 p http ://perpendculares.free.fr/