ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE

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1 ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi mars 204 MATHEMATIQUES durée de l'épreuve : 3h - coefficiet 2 Le sujet est uméroté de à 5. L'aexe est à redre avec la copie. L'exercice Vrai-Faux est oté sur 8, le problème est oté sur 2. Les calculatrices sot autorisées. Das le cas où u cadidat repère ce qui lui semble être ue erreur typographique, il le sigale très lisiblemet sur sa copie, propose la correctio et poursuit l'épreuve e coséquece. Si cela le coduit à formuler ue ou plusieurs hypothèses, il le metioe explicitemet.

2 Exercice Vrai-Faux Pour chacue des affirmatios suivates, dire si elle est vraie ou fausse e justifiat soigeusemet la répose. - A ) Soit la suite (u) défiie par u0 = 8 et pour tout etier aturel, u + =^u + 2. La suite (u) est décroissate. 2) Soit (u) ue suite croissate et majorée. La suite (u 2) est aussi croissate et majorée. ^ 3) Soit b u ombre réel et soit/ la foctio défiie pour tout ombre réel x par : f(x) = x2 + bx + 4. Le miimum de la foctio/est iférieur ou égal à 4. 4) L'équatio ex 2e~x = - admet 2 solutios réelles. 5) La courbe représetative de la foctio logarithme épérie, otée l, est toujours audessous de sa tagete e. 6) Ue usie fabrique, e grade quatité, des rodelles d*acier pour la costructio. O admet que 3% des rodelles ot u diamètre défectueux. O prélève au hasard 0 rodelles das le stock pour vérificatio du diamètre. Le stock est assez importat pour que l'o puisse assimiler ce prélèvemet à u tirage avec remise. La probabilité de tirer au mois ue rodelle au diamètre défectueux est égale à 0,263 arrodi à 0" près. ^ 7) Ue ure cotiet 0 boules blaches et 4 boules rouges. U joueur tire successivemet et avec remise 20 boules de l'ure. Pour chaque boule blache tirée, il gage 2 et pour chaque boule rouge tirée, il perd 3. O désige par G la variable aléatoire égale au gai 200 du joueur. L'espérace de G est de. 8) Soiet les poits A(-2; ), B(2; 2) et C(l; 5). Le triagle ABC est rectagle isocèle. 9) Das u repère (0; du pla, ue équatio cartésiee de la droite d passat par le poit A(3; ) et de vecteur directeur u ; est 3x + 0 y = 0. 0) O cosidère l'algorithme suivat : Traitemet Sortie Affecter à S Affecter à Tat que S <,5 Affecter +\ Affecter S+ 7 à S Fi tat que Afficher S L'algorithme calcule la somme! + + -) - H

3 Problème Les parties A, B et C de ce problème sot das ue large mesure idépedates. L'objet de ce problème est d'étudier la rémuératio d'u capital doé sur u compte e faisat varier la période pour l'applicatio d'u taux d'itérêt. Partie A : Calculs d'itérêts Das ce problème o cosidère l'évolutio au cours d'ue aée d'u capital de millier d'euros placé e début d'aée sur u compte bacaire rémuéré. Supposos das u premier temps que le compte est rémuéré avec u taux d'itérêt auel de 0%. Au bout d'u a le motat des itérêts est alors égal à 0% de millier d'euros soit u motat de 0, millier d'euros. Le capital dispoible sur le compte deviet alors égal à, milliers d'euros. Résumos avec u tableau (Ti) : Début javier Fi décembre Itérêts 0, Capital, Supposos maiteat que le compte est rémuéré avec u taux de 5% mais tous les 6 mois et résumos das u tableau l'évolutio du capital et des itérêts au bout de 6 mois (fi jui) puis au bout de 2 mois (fi décembre). O obtiet alors le tableau (T2) suivat : Début javier Fi Jui Fi décembre Itérêts 0,05,05 x 0,05 = Capital,05,025 ) Les trois capitaux successifs figurat das la derière lige du tableau (T2) ci-dessus sotils les premiers termes d'ue suite géométrique? Si oui, e doer la raiso. 2) O suppose das cette questio que le compte est rémuéré chaque mois avec u taux égal à % où a est u réel strictemet positif. E appliquat les mêmes méthodes de calcul que précédemmet, compléter le tableau doé e aexe e preat a = 0. O arrodira les résultats à 0~4 près. 3) Expliquer pourquoi les capitaux successifs du tableau de l'aexe sot les 3 premiers termes d'ue suite géométrique de raiso ( + ). E déduire la valeur exacte du capital à la fi du mois de décembre. 4) Soit u etier o ul. O se place maiteat das le cas d'ue baque appliquat fois au cours de l'aée (à itervalles réguliers) u taux d'itérêt égal à % où a est u réel strictemet positif. Proposer et justifier ue formule permettat de calculer le capital, oté U, préset sur le compte à la fi décembre, c'est-à-dire au bout de périodes. O défiit aisi ue suite (U ). 2

4 Partie B : Etude théorique L'objectif de cette partie est de proposer u algorithme permettat de détermier ue valeur approchée du ombre e. Soiet les suites (a) et (b) défiies pour tout etier aturel o ul par : a = (+^) 6t b«= a"{+l) ) Le graphique suivat représete les 20 premiers termes des suites (a) et (b). < B m m œ " i 7 i m m m i i I I É I É l a) Par le calcul de quelques termes (ou par ue autre justificatio) idetifier les suites (a) et (b) sur ce graphique. b) Cojecturer leur ses de variatio. Pour la suite du problème, o admet que les cojectures sot validées. 2) Démotrer que, pour tout etier aturel o ul, a <b. 3) Covergece de la suite (a) a) Doer ue iterprétatio graphique de l'iégalité suivate : pour tout ombre réel x, + x < ex. b) Démotrer, e utilisat l'iégalité précédete que l'o admet, que pour tout etier aturel o ul, a < e. c) Prouver que la suite (a) est covergete. Das la suite de l'exercice o admet que la suite (a) coverge vers le ombre e. 4) Covergece de la suite (b) a) Démotrer que pour tout etier aturel o ul : 0 < b - a < \ b) E déduire que la suite (b) est covergete et préciser sa limite. c) Démotrer alors que pour tout etier aturel o ul, b > e. 3

5 d) E déduire que e < 4 et doc que, pour tout etier aturel o ul : 4 0 < b - a < - 5) Proposer u algorithme permettat de détermier u ecadremet du ombre e à 0 près. Partie C : Gééralisatio Sur le graphique ci-dessous o a tracé, das le pla mui d'u repère orthoormé (O; î,j), la courbe représetative?d'ue foctio/défiie et dérivable sur l'itervalle ]-l, +oo[. O sait qu'il existe u ombre réel c tel que f(x) = l(l + x) - x + ex2. ) E utilisat le graphique, doer la valeur de /' ( H. 2) Démotrer que pour tout réel x : ro- 2cx2 + (2c - l)x ÏTÏ 3) E déduire la valeur de c. 4) a) Démotrer que pour tout réel x > 0, f(x) > 0. b) A l'aide de l'iégalité établie graphiquemet à la questio 3)a) de la partie B, prouver que, pour tout réel x > : l(l + x) < x c) E déduire que pour tout réel x > 0 -x2 < l(l + x) - x < 0 5) Prouver que, pour tout réel / > 0 et tout etier aturel ^ 0 : - < lfl +-)-r < 0 \ 6) Pourquoi peut-o e déduire que, pour tout réel t > 0, la suite de terme gééral (l + ted vers ec. 7) Détermier la limite de la suite ( / ) défiie à la questio A.4. FIN

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