Les vecteurs. Scalaire : une quantité est dite scalaire lorsqu elle est représentée par un nombre réel.

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1 Les vecteurs Scalaire : une quantité est dite scalaire lorsqu elle est représentée par un nombre réel. Ex. : taille, poids, âge, Vecteur : une quantité est dite vectorielle lorsqu elle est représentée par une grandeur ( nb réel ), une direction et un sens. Ex. : un déplacement, une force, Un vecteur peut être représenté par une flèche : - la direction est définie par l orientation de la flèche - le sens est défini par la pointe de la flèche - la grandeur est définie par la longueur du segment On peut décrire un vecteur en indiquant sont point de départ et son point d arrivée, sa longueur et l angle que fait le vecteur avec une droite horizontale passant par son origine. Ex. : Toutes les flèches ayant la même longueur, la même direction et le même sens représentent le même vecteur. Deux vecteurs identiques sont dits équipolents. Si un vecteur a la même longueur et la même direction qu un autre vecteur mais est de sens contraire, il est appelé vecteur opposé. B V C A D AB et V représentent le même vecteur mais CD est le vecteur opposé de AB. Par convention, AB représente le vecteur ayant son origine en A, donc BA est le vecteur opposé de AB : BA = AB Vecteurs dans le plan cartésien Tout vecteur AB d origine (x 1,y 1 ) et d extrémité ( x 2,y 2 ) peut être décrit par sa composante horizontale x = x 2 x 1 et sa composante verticale y = y 2 y 1. On note AB = ( x, y ).

2 La grandeur de la flèche est appelée la norme du vecteur, le symbole est :. Si AB est défini par A (x 1,y 1 ) et B ( x 2,y 2 ) alors AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Un vecteur v est dit unitaire si v = 1 et est dit nul si v = 0. Si le vecteur est décrit sous la forme AB = ( x, y ), on peut déterminer son orientation en utilisant la trigonométrie.

3 Deux vecteurs sont dits orthogonaux s ils sont perpendiculaires. Ils sont dits colinéaires s ils sont parallèles ( même direction peu importe le sens ). Addition de vecteurs La somme de vecteurs donne un vecteur appelé la résultante. 1 e méthode : méthode du triangle. On place l origine d un des vecteurs à l extrémité de l autre vecteur et on complète le triangle. Le troisième côté du triangle est la résultante. 2 e méthode : méthode du parallélogramme. On déplace les vecteurs de telle sorte que les origines des vecteurs se touchent, on trace des parallèles aux deux vecteurs passant par les extrémités des vecteurs, ce qui forme un parallélogramme. La résultante est la diagonale du parallélogramme.

4 Ex. : AB + DE + CD + BC =? Puisque u + v = v + u, on peut réécrire l addition de vecteur de la façon suivante : AB + DE + CD + BC = AB + BC + CD + DE = AE Graphiquement : Soustraction de vecteurs On transforme la soustraction par une addition du vecteur opposé et on utilise une des méthodes vues précédemment. s r = s + (-r ) Ex. : AC BC = AC + (-BC ) = AC + CB = AB

5 Dans le plan cartésien Si les vecteurs u et v sont définis par leurs composantes horizontales et verticales, on effectue les opérations ( + ou ) avec les composantes. Si u = ( a,b ) et v = ( c,d ) ( vecteur sous la forme ( x, y ) ) Alors u + v = ( a + c, b + d ) et u v = ( a c, b d ) Ex. : u = ( 2,-4 ) et v = ( 3,2 ) alors u + v = ( 5,-2 ) et u v = ( -1,-6 ) Norme du vecteur résultant Multiplication d un vecteur par un scalaire Soit u,un vecteur et k, un scalaire. 1 e cas : k est positif ( k > 0 ) k u est colinéaire avec u et possède le même sens ( grandeur ) k u = k u Si u = ( a,b ) alors k u = ( ka, kb ) 2 e cas : k est négatif ( k < 0 ) k u est colinéaire avec u mais il est de sens contraire

6 3 e cas : k = 0 k u = O ( vecteur nul ) et la norme est égale à 0 Produit scalaire de deux vecteurs Le produit scalaire donne un scalaire ( un nombre réel ). La notion de produit scalaire vient de la physique. «Le travail effectué par une force constante est égal au produit de sa composante orientée dans le sens du déplacement par la grandeur du déplacement.» F d = F d cos θ Les unités de travail sont Nm ( joules ). Ex. :

7 Dans le plan cartésien, le produit scalaire de 2 vecteurs se calculent de la façon suivante : Si F = ( a,b ) et d = ( c,d ) alors F d = ac + bd Ex. : u = ( 2,1 ) et v = ( 2,2 ), alors u v = 2 x x 2 = 6 Propriétés des opérations sur les vecteurs Lire p. 162 à 166 Base vectorielle Deux vecteurs linéairement indépendants ( non parallèles ) peuvent engendrer tous les vecteurs. Ces deux vecteurs constituent une base vectorielle. Ex. : Soit la base vectorielle constituée des vecteurs u et v illustrée ci-dessous. On peut représenter le vecteur w comme une combinaison linéaire des vecteurs u et v. w = a u + b v Pour trouver la valeur des coefficients a et b ( 2 nombres réels ), on procède de la façon suivante : 1 e On trace des droites passant par les vecteurs u et v.

8 2 e On trace des droites parallèles aux 2 premières droites passant par l extrémité du vecteur w. 3 e On trouve la norme des vecteurs u et v ainsi que la longueur des côtés du parallélogramme. 4 e On trouve la valeur de a et de b en effectuant des rapports et en tenant compte des signes. w = 4,54 u + 10,39 v 2,95 4,29