FONCTIONS. III Fonction composée 8

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1 FONCTIONS Table des matières I Rappels I. Courbe représentative d une fonction I. Lecture d une image ou d un antécédent à partir d une courbe I.3 Fonction croissante et décroissante I.4 Tableau de variations d une fonction I.5 Extremum d une fonction I.6 Tableau de signes d une fonction II Fonctions de référence 4 II. Graphique II. Fonction affine II.3 Fonction carré II.4 Fonction inverse II.5 Fonction cube II.6 Fonction racine carrée II.7 Fonction valeur absolue III Fonction composée 8 Dans tout le chapitre, on munit le plan d un repère (O; ı ; j ) I Rappels I. Courbe représentative d une fonction Pour tracer la courbe représentative d un fonction, on commence par faire un tableau de valeurs, puis on place chacun des points dans un repère Exemple On souhaite tracer la courbe représentative de la fonction f définie sur R par : f(x) = On commence par compléter un tableau de valeurs : 5x x + x, 5, 5 0, 5 0 0, 5, 5 f(x), 5, 7, 3, 5 0, 5, 3 --

2 Puis on place les points M(x; f(x)) dans le repère ci-dessous : 3 C f Le point de coordonnées 0 n est pas sur la courbe représentative de la fonction f car f(0) = 0, 495 0, 5 0, 5 I. Lecture d une image ou d un antécédent à partir d une courbe Lire l image d un nombre : Trouver l (les)antécédent(s) d un nombre on place x sur l axe des abscisses on se déplace verticalement pour rencontrer C f on lit f(x) sur l axe des ordonnées L image de par f est on trace une horizontale passant par cette valeur à partir des points d intersection, on se déplace verticalement vers l axe des abscisses pour lire les antécédents Les antécédents de par f sont 0 et 4 --

3 I.3 Fonction croissante et décroissante Définition On dit que la fonction f est croissante sur un intervalle I si quels que soient les réels x et x dans I tels que x x, on a f(x ) f(x ) On dit que la fonction f est décroissante sur un intervalle I si quels que soient les réels x et x dans I tels que x x, on a f(x ) f(x ) Donner les variations d une fonction signufie préciser sur quels intervalles la fonction est croissante, puis sur quels intervalles la fonction est décroissante C f Exemple Cette fonction f est croissante sur [ ; ] et sur [ 5; 7 ], décroissante sur [ 5; ] et sur [ ; 5 ] On peut écrire : f croissante sur [ ; ] [ 5; 7 ], décroissante sur [ 5; ] [ ; 5 ] I.4 Tableau de variations d une fonction Le tableau de variations d une fonction est un tableau synthétique regroupant les informations concernant les variations de la fonction Exemple 3 Le tableau de variations de la fonction f est : x f(x) ց ր ց ր -3-

4 I.5 Extremum d une fonction Définition On dit que la fonction f admet un maximum M sur un intervalle I, atteint en x 0 si, quel que soit le réel x dans I, on a f(x) f(x 0 ) = M On dit que la fonction f admet un minimum m sur un intervalle I, atteint en x 0 si, quel que soit le réel x dans I, on a f(x) f(x 0 ) = m Exemple 4 Le maximum de f sur [ 5; 7 ] est M =, atteint pour x = 5 et x = Le minimum de f sur [ 5; 7 ] est m =, atteint pour x = 5 Attention, la valeur d un extremum dépend de l intervalle! Par exemple, le minimum de f sur [ 5;] est m =, atteint pour x = I.6 Tableau de signes d une fonction On réuni au sein d un tableau appelé tableau de signes les informations concernant le signe de la fonction f, c est à dire sa position par rapport à l axe des abscisses Exemple 5 Le tableau de signes de la fonction f est : x signe de f(x) II Fonctions de référence II. Graphique f(x) = x f(x) = x f(x) = x f(x) = x f(x) = x

5 II. Fonction affine Définition 3 Soient a et b deux réels. La fonction définie sur R par f(x) = ax + b est appelée fonction affine Remarque Si b = 0, la fonction f définie par f(x) = ax est une fonction linéaire Si a = 0, la fonction f définie par f(x) = b est une fonction constante Propriété Soit f une fonction affine définie par f(x) = ax + b, alors : Si a > 0, f est croissante sur R Si a < 0, f est décroissante sur R Si a = 0, f est constante sur R Exemple 6 La fonction f définie par f(x) = 3x + est croissante La fonction f définie par f(x) = x + 3 est décroissante La fonction f définie par f(x) = 5 est constante La représentation graphique d une fonction affine est une droite d 3 d 0 d Représentation graphique des fonctions f, f et f 3 d équations : f (x) = x + f (x) = f 3 (x) = x -5-

6 II.3 Fonction carré Définition 4 La fonction définie sur R par x x s appele la fonction carré Propriété La fonction carré est strictement décroissante sur 0 et strictement croissante sur 0+ x 0 + Tableau de variations : + + f ց ր 0 Dans un repère (O; ı ; j ), la courbe représentative de la fonction carré est une parabole de sommet O Remarque Cette parabole admet l axe des ordonnées comme axe de symétrie, ce qui caractérise une fonction paire. II.4 Fonction inverse Définition 5 La fonction définie sur R = ] ; 0[ ]0; + [ par x x est appelée fonction inverse Propriété 3 La fonction inverse est strictement décroissante sur ] ; 0[ et sur ]0; + [ x 0 + Tableau de variations : 0 + f ց ց 0 Dans un repère (O; ı ; j ), la courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole de centre O Remarque 3 Cette hyperbole admet l origine O du repère comme centre de symétrie, ce qui caractérise une fonction impaire -6-

7 II.5 Fonction cube Définition 6 La fonction définie sur R par f : x x 3 est appelée fonction cube La fonction cube est strictement croissante sur R et impaire La courbe représentant la fonction cube dans un repère orthogonal est appelée cubique x 0 + f 0 ր ր + II.6 Fonction racine carrée Définition 7 La fonction définie sur R + = 0+ par f : x x est appelée fonction racine carrée x 0 + La fonction racine carrée est strictement croissante sur 0+ f ր + 0 II.7 Fonction valeur absolue Définition 8 La fonction définie sur R par f : x x est appelée fonction valeur absolue La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur 0 et strictement croissante sur 0+ La courbe représentatve de la fonction valeur absolue est une fonction affine par morceaux x f ց ր 0-7-

8 III Fonction composée Définition 9 Soient f et g deux fonctions, la fonction h qui a x associe g(f(x)), est notée g f et est appelé composée de f suivie de g Exemple 7 Soit f la fonction affine définie sur R par f(x) = x +, et g la fonction définie sur R par g(x) = x Déterminer l image du nombre 3 par la fonction h, composée de f suivie de g, puis donner l expression générale de h en fonction de x 3 f f(3) = + = g g() = () = 4 Ainsi, on a h(3) = g(f(3)) = 4. x f f(x) = x + g g( x + ) = ( x + ) Ainsi, on a h(x) = g(f(x)) = ( x + ) Remarque 4 En général la fonction f suivie de g n est pas égale à la fonction g suivie de f Exemple 8 On a vu que la fonction composée de f suivie de g de l exemple précédent est définie par g(f(x)) = (x ) Par contre, la fonction composée de g suivie de f est différente : x g g(x) = x f f(x ) = x + Ainsi, on a f(g(x)) = x + et on peut constater que f(g(x)) g(f(x) Propriété 4 La composée de deux fonctions croissantes ou décroissantes est croissante La composée d une fonction croissante et d une fonction décroissantes est décroissante Exemple 9 Si on reprend les fonctions f et g précedentes, alors : Sur R +, f est décroissante et g est croissante, la composée est donc décroisante. Sur R, f et g sont toutes deux décroissantes, la composée est donc croisante -8-