Cours de Mathématiques de Première S. Yannis Breney

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1 Cours de Mathématiques de remière S Yannis Breney 20 février 2015

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3 Table des matières 1 Calcul vectoriel Vecteurs colinéaires, applications Équations cartésiennes d une droite Vecteurs orthogonaux, applications Fonctions Variations d une fonction Fonctions de référence Fonctions affines Fonction inverse Fonctions polynômes du second degré Fonction racine carrée Fonction valeur absolue utils pour l étude des variations d une fonction Second degré Rappels Forme canonique et discriminant Équations du second degré Factorisation d un polynôme du second degré Signe d un polynôme du second degré

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5 Chapitre 1 Calcul vectoriel 1.1 Vecteurs colinéaires, applications Deux vecteurs non nuls sont dits colinéaires lorsqu ils ont même direction. Convention Le vecteur nul (noté #» 0) est colinéaire à tout autre vecteur du plan. Deux vecteurs non nuls #» u et #» v sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel non nul k tel que #» v = k #» u. Soit et deux vecteurs non colinéaires. our tout vecteur #» u, il existe un unique couple (x; y) de réels tels que #» u = x + y. s n appelle base des vecteurs du plan tout couple de vecteurs non colinéaires. Le couple (x; y) défini dans la proposition précédente est appelé couple de coordonnées du vecteur #» u dans la base ( ; ). Ç å Lorsqu il n y a pas d ambiguité concernant la base choisie, on note #» x u. y Remarque Si ( ; ) est une base des vecteurs du plan alors ( ; ) en est également une, mais distincte de la première. s Un repère du plan est un triplet (; ; ) où est un point nommé origine du repère et ( ; ) une base des vecteurs du plan. n appelle coordonnées d un point M dans le repère (; ; ), les coordonnées du vecteur M #» dans la base ( ; ). Lorsqu il n y a pas d ambiguité concernant le repère choisi, on note M (x; y). Dans la suite de ce paragraphe, on se place dans une base ( ; ) des vecteurs du plan. (Condition Ç å analytique Ç å de colinéarité) Deux vecteurs #» x u et #» x v y y sont colinéaires si, et seulement si, xy x y = 0. Terminologie (Hors rogramme) Le réel (xy x y) est appelé déterminant des vecteurs #» u et #» v et on note : det( #» u, #» v ) = x x y y = xy x y 5

6 1.2 Équations cartésiennes d une droite Dans tout ce paragraphe, le plan est muni d un repère (;, ). n appelle vecteur directeur d une droite D tout vecteur non nul colinéaire à AB #» où A et B sont deux points distincts quelconques appartenant à D. Remarque Toute droite admet une infinité de vecteurs directeurs. Toute droite du plan admet une équation, appelée équation cartésienne, de la forme ax + by + c = 0 où a, b et c sont trois réels tels que (a; b) (0; 0). Remarque Toute droite admet une infinité d équations cartésiennes. Soit a, b et c trois réels tels que (a; b) (0; 0). L ensemble Ç å des points M de coordonnées (x; y) vérifiant ax + by + c = 0 est une droite dirigée par le vecteur #» b u. a s Soit D et D deux droites d équations respectives ax + by + c = 0 et a x + b y + c = 0. D et D sont parallèles si, et seulement si, ab a b = 0. Deux droites sécantes aux axes de coordonnées sont parallèles si, et seulement si, leurs coeffcients directeurs sont égaux. 1.3 Vecteurs orthogonaux, applications Deux vecteurs non nuls sont dits orthogonaux lorsqu ils ont des directions perpendiculaires. Convention Le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur du plan. s n appelle vecteur normé (ou unitaire) tout vecteur de norme 1. Soit ( ; ) une base des vecteurs du plan. Si et sont orthogonaux alors la base est dite orthogonale. Si et sont orthogonaux et unitaires (i.e. tels que = = 1) alors la base est dite orthonormale. Dans la suite de ce paragraphe, on se place dans une base orthonormale ( ; ) des vecteurs du plan. (Condition Ç å analytique Ç å d orthogonalité) Deux vecteurs #» x u et #» x v y y sont orthogonaux si, et seulement si, xx + yy = 0. s Soit D et D deux droites d équations respectives ax + by + c = 0 et a x + b y + c = 0. D et D sont perpendiculaires si, et seulement si, aa + bb = 0. Deux droites sécantes aux axes de coordonnées sont perpendiculaires si, et seulement si, le produit de leurs coeffcients directeurs est égal à ( 1).

7 Chapitre 2 Fonctions 2.1 Variations d une fonction s (Rappels de la classe de seconde) Une fonction f, définie sur un intervalle I, est dite : croissante sur I lorsque : (a; b) I 2 a b = f(a) f(b) décroissante sur I lorsque : (a; b) I 2 a b = f(a) f(b) strictement croissante sur I lorsque : (a; b) I 2 a < b = f(a) < f(b) strictement décroissante sur I lorsque : (a; b) I 2 a < b = f(a) > f(b) (strictement) monotone sur I lorsqu elle est (strictement) croissante sur I ou (strictement) décroissante sur I. Remarque n dit qu une fonction (strictement) croissante sur un intervalle I est une fonction qui conserve l ordre sur I, ce qui signifie que deux réels quelconques de I se rangent dans le même ordre que leurs images. n dit qu une fonction (strictement) décroissante sur un intervalle I est une fonction qui renverse l ordre sur I, ce qui signifie que deux réels quelconques de I se rangent dans l ordre contraire de leurs images. 2.2 Fonctions de référence Fonctions affines n appelle fonction affine toute fonction qui, à tout réel x, associe une expression de la forme ax+b où a et b sont deux réels quelconques. Représentation graphique Soit a et b deux réels. La courbe représentative de la fonction affine f définie par f(x) = ax + b dans un repère du plan est la droite d équation réduite y = ax + b. Soit a un réel non nul, b un réel quelconque et f la fonction affine définie sur R par f(x) = ax + b. Le sens de variation de f est donné par le signe du coefficient directeur a. 7

8 a > 0 a < 0 L équation f(x) = 0 admet exactement une solution et cette solution est x = b a. b a a b b a 1 1 b a y = ax + b y = ax + b La fonction f est strictement croissante sur R. La fonction f est strictement décroissante sur R. x + x + Var. f Var. f x b/a + x b/a + Sgn. f(x) 0 + Sgn. f(x) Fonction inverse n appelle fonction inverse la fonction qui, à tout réel non nul x, associe son inverse 1 x. Représentation graphique La courbe représentative de la fonction inverse dans un repère du plan est une hyperbole. L hyperbole d équation y = 1 x est symétrique par rapport à l origine du repère. y = 1 x

9 La fonction inverse est strictement décroissante sur ] ; 0[ et sur ]0; + [ Fonctions polynômes du second degré n appelle fonction polynôme du second degré toute fonction qui, à tout réel x, associe une expression de la forme ax 2 + bx + c où a est un réel non nul et b et c deux réels quelconques. Représentation graphique La courbe représentative d une fonction polynôme du second degré dans un repère du plan est une parabole. Dans un repère orthogonal, elle est symétrique par rapport à l axe des ordonnées. Soit a un réel non nul, b et c deux réels, f la fonction définie sur R par f(x) = ax 2 + bx + c et la parabole représentant la fonction f. L orientation de est donnée par le signe de a et le sommet de a pour abscisse b 2a. a > 0 a < 0 La parabole a les bras vers le haut. La parabole a les bras vers le bas. b/2a b/2a x Var. f b/2a + x Var. f b/2a Fonction racine carrée n appelle racine carrée d un réel positif a, et on note a, l unique réel positif dont le carré est égal à a. Autrement dit, si a est un réel positif : b = { b 2 = a a b 0 n appelle fonction racine carrée la fonction qui, à tout réel positif x, associe sa racine carrée x. Représentation graphique La courbe représentative de la fonction racine carrée dans un repère du plan est une demi-parabole.

10 y = x La fonction racine carrée est strictement croissante sur R + = [0; + [. reuve (À connaître par coeur) Soit f la fonction définie sur [0; + [ par f(x) = x. our tous réels positifs a et b tels que a < b : f(a) f(b) = a b = ( a b)( a + b) a + b = ( a) 2 ( b) 2 a + b = a b a + b Fonction valeur absolue n appelle valeur absolue d un réel x, et on note x, la distance entre x et zéro. Autrement dit : x R x = d(x; 0) s our tous réels x et y : 1 : x est un réel positif; { x si x 0 2 : x = ; x si x < 0 3 : x = y x = y ou x = y 4 : x 2 = x ; 5 : d(x; y) = x y. n appelle fonction valeur absolue la fonction qui, à tout réel x, associe sa valeur absolue x. Représentation graphique La courbe représentative de la fonction valeur absolue dans un repère du plan est la réunion de deux demi-droites. Dans un repère orthogonal, elle est symétrique par rapport à l axe des ordonnées. y = x

11 La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur ] ; 0] et strictement croissante sur [0; + [. reuve Immédiate, laissée à titre d exercice. 2.3 utils pour l étude des variations d une fonction s Soit u une fonction définie sur un intervalle I et k un réel. La fonction u + k est la fonction définie sur I par (u + k)(x) = u(x) + k. La fonction k u (ou ku) est la fonction définie sur I par (k u)(x) = k u(x). Si u est à valeurs positives sur I alors la fonction u est la fonction définie sur I par ( u)(x) =» u(x). Si u est à valeurs non nulles sur I alors la fonction 1 Å ã 1 u est la fonction définie sur I par (x) = 1 u u(x). s Soient u une fonction monotone sur un intervalle I et k un réel non nul. 1 : Les fonctions u et (u + k) ont même sens de variation sur I. 2 : Si k > 0 alors u et k u ont même sens de variation sur I. 3 : Si k < 0 alors u et k u ont des sens de variation contraires sur I. 4 : Si u est à valeurs positives sur I alors u et u ont même sens de variation sur I. 5 : Si u est à valeurs strictement positives (ou à valeurs strictement négatives) sur I alors u et 1 u de variation contraires sur I. ont des sens reuves Immédiates, la première résulte de la stricte décroissance de la fonction inverse sur ] ; 0[ comme sur ]0; + [, la seconde de la stricte croissance de la fonction racine carrée sur [0; + [. Méthode Soit f une fonction définie sur un intervalle I. our étudier les variations d une fonction f, définie sur un intervalle I, on peut examiner successivement les méthodes suivantes : 1 Utiliser les résultats connus sur les fonctions de référence (fonctions affines, polynômes du second degré, inverse, racine carrée, valeur absolue). 2 Écrire f sous la forme (u + k), k u où k est un réel et u une fonction dont on connaît les variations sur I. 3 Écrire f sous la forme (u + v) où u et v sont deux fonctions de même monotonie sur I. 4 Écrire f sous la forme 1/u où u est une fonction à valeurs non nulles dont on connaît les variations sur I. 5 Écrire f sous la forme u où u est une fonction à valeurs positives dont on connaît les variations sur I. 6 Dans le cas où la variable x apparaît une seule fois dans l écriture de f(x), utiliser un enchaînement de fonctions de référence. our ce faire, on commence par décomposer le chemin menant de x à f(x) en étapes simples (opération ou application d une fonction de référence) puis on fait subir ces différentes étapes (en veillant à respecter leur ordre) à l inégalité a < b où a et b désignent deux réels appartenant à I ; enfin, on interprète l inégalité obtenue pour conclure quant à l influence de f sur l ordre. 7 En dernier recours, revenir aux définitions et tenter de déterminer le signe de la différence (f(a) f(b)) où a et b sont deux réels appartenant à I tels que a < b.

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13 Chapitre 3 Second degré 3.1 Rappels Dire qu une fonction f définie sur R est une fonction polynôme du second degré signifie qu il existe un réel non nul a et deux réels b et c tels que, pour tout réel x, f(x) = ax 2 + bx + c. Dans la suite du chapitre, le plan est muni d un repère (;, ). Soient a un réel non nul, b et c deux réels, f la fonction définie sur R par f(x) = ax 2 + bx + c et la courbe représentative de la fonction f. est une parabole dont l orientation est donnée par le signe de a et dont le sommet a pour abscisse b 2a. Illustration a > 0 a < 0 La parabole a les bras vers le haut. La parabole a les bras vers le bas. b/2a b/2a x Var. f b/2a + x b/2a + Var. f 3.2 Forme canonique et discriminant Soient a un réel non nul, b et c deux réels quelconques et f la fonction définie sur R par f(x) = ax 2 + bx + c. ñå x R f(x) = a x + b ã 2 ô 2a 4a 2 avec = b 2 4ac 13

14 Terminologie L écriture de f(x) donnée dans la proposition précédente est appelée forme canonique. Å our tout réel x, f(x) = a x + b ã 2 et cette dernière écriture est également nommée, dans certains 2a 4a ouvrages, forme canonique. ar abus de langage, on dit que f(x) est un polynôme (ou trinôme) du second degré. Le réel = b 2 4ac est appelé discriminant de la fonction polynôme f ou du polynôme f(x). 3.3 Équations du second degré Soient a un réel non nul, b et c deux réels quelconques et f la fonction définie sur R par f(x) = ax 2 + bx + c. Si < 0 alors l équation f(x) = 0 n admet aucune solution dans R. Si = 0 alors l équation f(x) = 0 admet une unique solution dans R et cette solution est Si > 0 alors l équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions dans R : b 2a Å b ã. 2a et b +. 2a Terminologie Les solutions de l équation f(x) = 0 sont appelées racines du polynôme f(x). Illustration Soient a un réel non nul, b et c deux réels, f la fonction définie sur R par f(x)=ax 2 + bx + c, son discriminant et la parabole représentant f. >0 =0 <0 a > 0 a < 0 coupe exactement deux fois l axe (; ) coupe une seule fois l axe (; ). ne coupe pas l axe (; ). 3.4 Factorisation d un polynôme du second degré Soient a un réel non nul, b et c deux réels, f(x) le polynôme ax 2 + bx + c et son discriminant. Si > 0 alors f(x) admet exactement deux racines distinctes dans R et, en notant x 1 et x 2 ces racines, on a : x R f(x) = a(x x 1 )(x x 2 ). Si = 0 alors f(x) admet une unique racine (appelée racine «double») dans R et, en notant x 0 cette racine, on a : x R f(x) = a(x x 0 ) 2. Si < 0 alors f(x) n admet pas de racine dans R et ne peut être écrit sous forme d un produit de facteurs du premier degré. Remarque Cette proposition est un cas particulier du résultat (hors programme) suivant : Soient (x) un polynôme de degré n (n N, n 2) et r un réel. r est racine de (x) si, et seulement si, il existe un polynôme Q(x) de degré (n 1) tel que : x R (x) = (x r)q(x) n dit alors que (x) est divisible (ou factorisable) par (x r).

15 3.5 Signe d un polynôme du second degré Soient a un réel non nul, b et c deux réels, f la fonction définie sur R par f(x)=ax 2 + bx + c, son discriminant et la parabole représentant f. Si < 0 alors : ne coupe pas l axe (; ) et est soit entièrement au-dessus soit entièrement en dessous de cet axe sur R; f(x) est du signe de a sur R. Si = 0 alors : a un seul point d intersection avec l axe (; ) et ne le traverse pas; f(x) est du signe de a sur ò ; b 2a ï et sur Si > 0 alors : coupe exactement deux fois l axe (; ) ; f(x) est du signe de a à l extérieur des racines. ò b 2a ; + ï.