TD 1 : Modèle de l'oscillateur harmonique

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1 TD 1 : Modèle de l'oscillateur harmonique I. Tester ses connaissances et sa compréhension du cours 1) Rappeler la loi de Hooke et retrouver l'unité SI de la constante de raideur grâce à une équation aux dimensions. 2) Établir l équation différentielle de l'oscillateur harmonique sur l'exemple de votre choix. 3) Rappeler l'expression de la solution complète d'une telle équation différentielle. 4) Vérifier que x (t )=A cos(ω 0 t +φ) est bien solution de ẍ (t)+α 2 x(t )=0 où l on précisera l expression de α. 5) Quelles sont les relations entre pulsation propre, fréquence propre et période propre d un oscillateur harmonique. 6) Qu est-ce que l isochronisme des oscillations? 7) Lorsque l on accroche une masse de 100 g à un ressort accroché au plafond, le ressort s étire de 10 cm. Calculer la raideur k du ressort. 8) Après avoir rappelé les énergies cinétique et potentielle du système masse-ressort, montrer que l'énergie mécanique d'un tel système est constante. II. Questions de réflexion Physique pratique 1) Bus et dos d'âne Un bus vide de masse m = 5 tonnes passe au-dessus d'un dos d'âne. Il oscille alors verticalement à la fréquence f = 1 Hz. Au retour, le bus est rempli de passagers et sa masse est deux fois plus élevée. Quelle est la fréquence des oscillations après le dos d'âne? 2) Autre équation différentielle Soit l'équation différentielle ẍ ω 2 0 x=0, où ω 0 est une constante. a. La fonction x (t )=A sin(ω 0 t ) est-elle solution de cette équation différentielle? b. En réfléchissant au type de force mise en jeu dans une telle équation différentielle, pouvait-on s'attendre au résultat précédent? 3) Trampoline Une gymnaste rebondit plusieurs fois sur un trampoline en atteignant la même altitude. a. Représenter sur un graphe l'allure de son centre de gravité (ou de son nombril pour simplifier). b. Les oscillations sont-elles harmoniques?

2 III. Exercices d'entraînement 1) Reconnaître un oscillateur harmonique 1. La tension électrique v(t) aux bornes d un oscillateur à quartz (tel qu on en trouve dans les montres) vérifie l équation différentielle : d 2 v dt 2 + A v(t)=0 avec A = 4, USI. Quelle est l unité de A? Quelle est la fréquence de cet oscillateur? 2. Un électron de masse m e = 9, kg et de charge q = 1, C est piégé à l intérieur d un dispositif tel que son énergie potentielle est E p = 1 2 q V 0 d 2 On s intéresse à un mouvement de l électron selon l axe (Oz). z2 où V 0 = 5,0 V et d = 6,0 mm. a. Exprimer l énergie mécanique de l électron en fonction des données et de z(t) et dz dt b. On suppose que l énergie mécanique est constante dans le temps. Calculer la fréquence des oscillations de l électron selon (Oz) dans le piège. 2) Vibration d'un diapason Un diapason vibre à la fréquence du La4 soit f = 440 Hz. On mesure sur une photo l amplitude du mouvement de l extrémité des branches A = 0,5 mm. Quelle est la vitesse maximale de l extrémité du diapason? Quelle est l accélération maximale de ce point? 3) Vibration d'une molécule La fréquence de vibration de la molécule de chlorure d hydrogène HCl est f = 8, Hz. On donne les masse atomiques molaires : M H = 1 g mol 1 et M Cl = 35,5 g mol 1, ainsi que la constante d Avogadro : N A = 6, mol 1 On modélise la molécule par un atome d hydrogène mobile relié à un atome de chlore fixe par un «ressort» de raideur k. 1. Justifier l hypothèse d un atome de chlore fixe. 2. Calculer k. 3. On admet que l énergie mécanique de la molécule est égale à 1 2 h f où h = 6, J s est la constante de Planck. Calculer l amplitude du mouvement de l atome d hydrogène. 4. Calculer sa vitesse maximale.

3 4) Mouvement sinusoïdal d'un corps Un corps oscille d'un mouvement sinusoïdal d'équation x (t)=15,0cos(100.π.t π 2 ) où chaque quantité est exprimée en unités SI. 1. Déterminer l amplitude X m, la fréquence propre f 0, la phase initiale φ et la période propre T 0 du mouvement. 2. Quelle est son accélération, sa vitesse et son élongation à l instant t 1 = T 0 /4 3. Tracer les variations de la position x(t) au cours du temps en indiquant les points remarquables. 5) Oscillations verticales d'une masse Un ressort de longueur à vide l 0 et de raideur k est fixé en O au plafond. À son autre extrémité est attaché un mobile M de masse m, repéré par son abscisse z telle que la position du mobile soit OM =z e z 1. Effectuer un bilan des forces sur la masse. 2. Établir l'équation du mouvement de la masse. 3. Quelle est la position d'équilibre z éq? Commenter le résultat obtenu. 4. On pose u(t) = z(t) z éq. Trouver l'équation différentielle satisfaite par u(t). 5. Quelle est la période des oscillations? Commenter. On cherche à retrouver l'équation du mouvement par une méthode énergétique. La position de la masse est à nouveau donnée par une fonction pour le moment indéterminée z(t). 6. Évaluer l'énergie potentielle élastique et l'énergie potentielle de pesanteur en fonction notamment de z(t) et ż (t) 7. Écrire la relation traduisant la constance de l'énergie mécanique E m. En déduire l'équation différentielle du mouvement en dérivant cette relation par rapport au temps. 6) Oscillations d'une masse sur un plan incliné Une masse est attachée à un ressort de longueur à vide l 0, en glissant sans frottement sur le sol (voir figure). Mais ce dernier est incliné d un angle α par rapport à l horizontale. Obtenir l équation différentielle du mouvement puis la résoudre. Vous introduirez tous les paramètres, coordonnées, variables, notations nécessaires. Vous chercherez à détailler au maximum toute votre démarche. α

4 7) Influence des conditions initiales sur le mouvement d'un oscillateur harmonique La figure ci-dessous indique les graphes y(t) correspondant à diverses conditions initiales d un oscillateur harmonique. On note y 1 (t) la fonction de plus faible amplitude, y 2 (t) celle d amplitude moyenne et enfin y 3 (t) celle d amplitude la plus élevée. 1. Précisez dans un tableau pour k = 1, 2, 3 les valeurs des amplitudes y km des positions initiales y k (t = 0), des périodes T k ainsi que le signe de la composante de la vitesse initiale y k (t=0) 2. En quoi les courbes expérimentales fournies sont-elles en accord avec l équation différentielle : ÿ+ω 0 2 y=0 3. Établir une relation générale liant l amplitude de la fonction y(t) et l amplitude de la vitesse v y (t). 4. Déterminer alors pour chacune des trois courbes les valeurs maximales de ẏ (t). 5. Quelle est la forme générale des courbes dans l espace des phases ( y, ẏ). 8) Association série/parallèle de ressorts 1. On considère deux ressorts de constantes de raideur respectives k et k' et de longueurs à vide respectives l 0 et l 0 ' associés en série comme représenté ci-dessous. Montrer qu ils sont équivalents à un unique ressort idéal dont on donnera la longueur à vide et la constante de raideur. 2. On considère maintenant deux ressorts de constantes de raideur respectives k et k' et de même longueur à vide l 0 associés en parallèle comme représenté ci-dessous : leurs extrémités sont toujours jointes. Montrer qu ils sont équivalents à un unique ressort idéal dont on donnera la longueur à vide et la constante de raideur.

5 9) Exploitation d'une expérience Un dispositif a réalisé l acquisition de l allongement d un ressort au cours du temps. Les résultats sont présentés graphiquement dans la figure ci-dessous. 1. On cherche à exprimer l allongement sous la forme x (t)=a sin(2 π f 0 t+ϕ). Déterminer graphiquement les valeurs numériques de A, f 0 et φ. 2. Représenter le système masse-ressort aux instants correspondant aux points P 1, P 2, P 3 et P 4. Représenter qualitativement les vecteurs vitesse et accélération. 3. La masse de l objet accrochée au ressort vaut m = 100g. En déduire la raideur du ressort. 10) Expressions de la loi de Hooke Le point M est repéré par son abscisse x ou sa cote z selon les cas. Le point H est repéré par son abscisse h. Exprimer les forces exercées par les ressorts sur la masse M dans les cas ci-dessous (pour les masses M 1 et M 2 dans le cas n 4) en fonction des grandeurs k, k, l 0, l 0, x, z, h, x 1 et x 2 et des vecteurs unitaires e x et e z.

6 11) Masse reliée à deux ressorts Une masse m positionnée en M reliée à deux ressorts fixés en O et O' glisse sans frotter sur le sol. La position de la masse est repérée par son abscisse x telle que OM =x e x Les ressorts ont pour raideurs respectives k et k', et comme longueurs à vide l 0 et l' 0. La longueur OO' est notée L. z k, l 0 M k', l' 0 O 1. Effectuer un bilan des forces sur la masse. 2. Établir l'équation du mouvement de la masse. 3. Quelle est la position d'équilibre x éq? 4. Écrire l'équation différentielle satisfaite par x(t) en fonction de x éq et d'une certaine pulsation ω que l'on précisera. 5. Sans le résoudre, décrire le mouvement de la masse. 6. Résoudre exactement le mouvement sachant qu'à t = 0, la position est x(0) = x 0 et la projection de la vitesse vaut v (0)= dx dt (0)=v 0 IV. Résolution de problèmes Problème 1 La figure ci-dessous représente l'astronaute Tamara Jernigan en train d'utiliser un BMMD (Body Mass Measurement Device) au cours d'une mission en orbite autour de la Terre. Il s'agit essentiellement d'un siège pouvant se translater vers l'avant ou vers l'arrière et lié au bâti par des ressorts. Quel est l'intérêt d'un tel dispositif? x O' x

7 Problème 2 On considère deux ressorts identiques de raideur k et de longueur à vide l 0. Le premier ressort est attaché au plafond en O et on lui suspend une masse m. Le second ressort pend sous la masse et on note A l'extrémité du ressort du bas. Une personne saisit l'extrémité A et tire vers le bas lentement ou rapidement. L'un des deux ressorts finit par se rompre. Lequel?