Séance de soutien n o Décharge d un condensateur & RLC

Transcription

1 Séance de soutien n o 1 1 Décharge d un condensateur & L Le but de cet exercice est d étudier la décharge d un condensateur dans une résistance, puis dans une inductance pure L, et enfin dans un circuit L. On procède tout d abord à une étude expérimentale, puis on mène dans un second temps une étude théorique permettant d interpréter les résultats expérimentaux. Les différentes parties de cet exercice sont largement indépendantes. et exercice comporte deux annexes, notées NNXS 1 et, pages et 3 1. Étude du circuit Pour l étude de la réponse à un échelon de tension d un dipôle, on utilise le montage de la figure 1 de l annexe 1, page à rendre avec la copie). Les deux flèches disposées aux nœuds et du circuit sont reliées aux entrées d un système d acquisition par ordinateur, ainsi que la masse M qui est commune au générateur et au système d acquisition. Pour ce montage, on a utilisé = 9,1 kω et = µf. On obtient les enregistrements reproduits sur la figure de l annexe 1. 1.a. On considère tout d abord que l interrupteur à deux voies K) est positionné sur 1). Sur le schéma de la figure 1, indiquer par des flèches les tensions u et u aux bornes du condensateur et de la résistance, ainsi que l intensité i dans ces composants. 1.b. vant de lancer une acquisition, on veut être certain que le condensateur est bien déchargé. omment peut-on procéder pour le décharger complètement?. Étude de la charge du condensateur.a. On lance une acquisition. xpliquer quelles) opérations) il faut effectuer sur l interrupteur K) pour obtenir les tensions représentées sur la figure. Quelle est la tension détectée par la voie marquée Y 1? Par la voie Y? ompléter alors les pointillés...) au niveau des flèches indiquant les branchements du système d acquisition sur la figure 1..b. Quelle est la valeur de la tension délivrée par le générateur en fin de charge? Même question pour la tension aux bornes du condensateur..c. ffectuer une détermination graphique de la constante de temps τ 1. Le tracé effectué doit être apparent sur la figure..d. Donner la relation liant τ 1 à et. ffectuer l application numérique et comparer cette valeur théorique avec la valeur expérimentale obtenue par lecture graphique sur l enregistrement. 3. Étude de la décharge du condensateur Le condensateur étant chargé sous la tension maximale, on bascule l interrupteur K) en position ). 3.a. Établir l équation différentielle vérifiée par la tension u aux bornes du condensateur. 3.b. Montrer que : u t) = Ke t τ est solution de l équation différentielle, K et τ étant des constantes dont on donnera l expression. Pour terminer, comparer la constante de temps τ de décharge à la constante de temps τ 1 de charge. 3.c. u bout de combien de temps peut-on admettre que le condensateur est déchargé? Justifier.. Décharge du condensateur dans une bobine Pour l étude des oscillations libres d un circuit L, on utilise le montage représenté ci-dessous. Un système d acquisition par ordinateur est connecté aux nœuds et D du circuit, ainsi qu à la masse qui est commune au générateur et au système d acquisition. On enregistre l évolution des tensions aux bornes du condensateur et de la résistance. 1) K ) L, r Y 1 D Y Le condensateur est préalablement chargé sous la tension, en plaçant l interrupteur K) en position 1). L interrupteur est alors basculé en position ); c est à cet instant que commence l acquisition des données..a. On se place dans le cas où la résistance de la résistance totale de la branche comportant la bobine est nulle donc +r = ). Établir l équation différentielle vérifiée par q, q étant la charge portée par l armature du condensateur..b. n déduire la période propre T des oscillations. Solution proposée pour l équation différentielle précédente : qt) = Q m cos π t ) +ϕ T

2 . Décharge du condensateur dans un circuit L Dans la pratique, la résistance totale + r de la branche comportant la bobine n est pas négligeable r = 1 Ω pour la résistance de la bobine et Ω). On réalise trois expériences afin d étudier l influence des différents paramètres sur les oscillations. Les graphiques a, b et c de l annexe page 3 représentent les variations de la tension u et de l intensité du courant i dans le circuit, quand l interrupteur K) est sur la position ). Le tableau ci-dessous indique les paramètres utilisé lors des trois expériences. Le lien entre les trois graphiques a-b-c) et les trois expériences ) fait l objet d une question ultérieure. xpériences Ω) L H) µf) 1 1 1,, 3,, 3 3 1,,.a. À l aide des données du tableau, calculer les périodes propres T 1, T et T 3 correspondant aux expériences 1, et 3..b. Mesurer graphiquement la pseudo-période T a, T b et T c des oscillations sur chacun des graphiques a, b et c laissez vos mesures apparentes sur les trois figures de l annexe 1)..c. Dans les conditions de l expérience, on suppose que l on peut confondre la période propre avec la pseudo-période des oscillations amorties. Faire alors correspondre chaque graphique a-b-c) à une des trois expériences ), en justifiant. NNX 1 À rendre avec la copie 1) K... u V) voie Y 1 ) M voie Y t s) Figure 1 ircuit Figure nregistrement effectué avec le circuit

3 NNX À rendre avec la copie graphique a t ms) graphique b t ms) graphique c t ms)

4 orrigé soutien n o 1 1 Décharge d un condensateur & L 1. Étude du circuit 1.a. u aux bornes de, u aux bornes de, toutes deux en sens inverse de i convention récepteur) : 1) ) M 1.b. On relie les deux bornes du condensateur par un fil, ou même on abaisse l interrupteur K) en position ) pendant un temps suffisamment long.. Étude de la charge du condensateur.a. Il faut lancer l acquisition puis positionner l interrupteur K) en position 1). La voie Y 1 est branchée au nœud, où on a la tension aux bornes du dipôle par rapport à la masse. La voie Y est branchée sur le nœud, où on a la tension aux bornes du condensateur..b. Le générateur étant supposé parfait, la tension à ses bornes vaut toujours V, quelque soit l intensité demandée; Lorsque le condensateur est chargé, l intensité du courant dans le circuit s annule : i = donc u = i = V, et = u + u donc u = = V. lternativement on peut lire cette valeur sur la figure de l annexe, pour t. K i i u u Y 1 Y.c. Tracé de la tangente à l origine : τ 1 =, s. 3 1 u V) τ 1 voie Y voie Y d. pplication numérique : t s) τ 1 = = 9, =, s Il y a accord parfait. 3. Étude de la décharge du condensateur 3.a. On utilise les relations connues : q = u ; i = dq i = du Loi d additivité des tensions : ; u = i = u +u = du D où l équation différentielle demandée : du + 1 u = +u 3.b. n remplaçant la forme proposée dans l équation différentielle : K + K ) e t τ τ τ =, égale à τ 1. t τ = 3.c. Décharge quasi-complète du condensateur pour t = τ. À cette date, u a 1% de sa valeur initiale, puisque : e,1. Décharge du condensateur dans une bobine.a. On utilise les relations connues : u = q ; i = dq u L = L d q Loi d additivité des tensions : u +u L = ; u L = L di q +Ld q = D où l équation différentielle demandée :.b. Vérifions que la charge : d q + 1 L q = q = Q m cos π t ) +ϕ T est solution de l équation différentielle, Q m étant l amplitude, T la période propre et ϕ la phase à l origine. On dérive deux fois cette tension par rapport au temps : ) dq π = π Q m sin t+ϕ T T

5 d ) q π = π Q m cos t+ϕ T T Dans cette dernière formule, on reconnaît la charge q elle-même : d q = π q On remplace cette dernière forme dans l équation différentielle trouvée précédemment : π T q + 1 L q = n multipliant tout par L et en factorisant par q : π T T ) L +1 q = On remplace q par la solution proposée dans cette dernière équation : π T ) ) π L +1 Q m cos t+ϕ = T Pour que ce produit soit nul quelque soit le temps t, il faut qu au moins l un des deux termes soit nul, en l occurence le terme constant : π T L +1 = T = π L. Décharge du condensateur dans un circuit L a. On applique la formule précédente : T = π L, ce qui donne : T 1 = 13 ms T =, ms T 3 = 13 ms b. Il faut être habile pour les mesures des périodes. Si l on se focalise sur la sinusoïde en pointillés correspondant au courant i partant de zéro à t = ), on compte exactement trois périodes pour a et b, et six pour c, dans l intervalle de ms montré par l acquisition. D où les valeurs : T a = 13 ms T b = 13 ms T c =,7 ms c. Les acquisitions b et c correspondent à une atténuation plus forte que l acquisition a comparer les maximums locaux de u à t = ms) : elles doivent donc correspondre à une résistance plus forte : expériences et 3. Les acquisitions a et b ont la même pseudopériode : expériences 1 et 3. D ou les correspondances : a 1 b 3 c