TD 10 : Circuits linéaires du 2nd ordre

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1 TD 10 : Circuits linéaires du 2nd ordre I. Tester ses connaissances et sa compréhension du cours 1) Définir et établir un modèle d'oscillateur harmonique en électricité. 2) Dans un second temps, tenir compte des frottements. 3) Rappeler et établir l'analogie entre les oscillateurs électriques et mécaniques. 4) Représenter graphiquement les réponses indicielles d'un circuit RLC série. 5) Que nous apporte l'étude des portraits de phase? 6) Rappeler les 3 types de régime transitoire possible selon la valeur de l'amortissement. II. Questions de réflexion Physique pratique 1) Exemples de régimes transitoires Donner des exemples de situations concrètes provoquant un régime transitoire pour le fonctionnement d'un réfrigérateur. Et pour un cœur humain? 2) Observation de la charge et de l'intensité On considère un circuit RLC série qui comporte aussi un générateur délivrant un signal en créneaux. Préciser sur un schéma les montages permettant d'observer l'intensité ou la charge en même temps que la tension du générateur. On précisera particulièrement la position de la masse. 3) Pseudo-période Dans le cas d'un régime pseudo-périodique, la pseudo-période est-elle plus ou moins élevée qu'en l'absence de frottements (régime harmonique), les paramètres autres que les frottements restant fixés? 4) Temps caractéristiques en électrocinétique Donner et interpréter les trois temps que l'on peut dimensionnellement construire avec une résistance R, une inductance L et une capacité C. III. Exercices d'entraînement 1) Étude de portraits de phase On considère trois circuits permettant d étudier la réponse d un circuit RLC soumis à un échelon de tension E. Dans chaque cas, l interrupteur bascule à t = 0 de la position 1 à la position 2. Pour chacun des trois circuits, on étudie l'évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur et on trace le portrait de phase en portant u C (t) en abscisses et i(t) en ordonnées. (Les échelles sont modifiées d une figure à l autre pour plus de lisibilité) On donne : C = 0,1 µf et L = 100 mh

2 1. Associer trois des quatre portraits de phase aux trois circuits étudiés. 2. Pour le portrait de phase restant, proposer des conditions initiales cohérentes. 3. Que peut-on dire du facteur de qualité de ce système? 4. A l'aide des portraits de phase, déterminer les valeurs numériques de E et R. 5. En déduire les valeurs du facteur de qualité ainsi que la pulsation propre du système. 6. Quel est le temps de réponse du système?

3 2) Caractérisation d'un système linéaire On étudie la réponse d'un système linéaire d'ordre 2 soumis à une entrée e(t) selon : e(t) Système d'ordre 2 s(t) L'équation différentielle reliant le signal d'entrée et de sortie est : 8 d 2 s ds s(t)=e (t ) 2 dt dt 1. On soumet ce système à un échelon de tension. Quelle est la courbe correspondant à la réponse indicielle? 2. Déterminer l'expression de s(t) sachant que s(t=0)=0 et ds dt (0)=0 3) Interprétation énergétique du facteur de qualité On considère le circuit ci-contre constitué d'un condensateur parfait de capacité C, d'une inductance L en série avec un résistor R et d'un 1 2 K R i(t) générateur de tension continue E. Le commutateur K est initialement en position (1). E C L Le condensateur sera donc chargé sous la tension E.

4 A l'instant t = 0, le commutateur K est basculé dans la position (2). La charge q(t) est portée par l'armature proche de l'interrupteur et i(t) est l'intensité dans la branche de la bobine. 1. Établir l'équation différentielle satisfaite par la charge q du condensateur quand le commutateur K est basculé dans la position (2) On se place dans la suite dans le cas d'un amortissement faible, soit Q >> Exprimer q(t) sachant qu'à t = 0 le commutateur K est basculé dans la position (2) et qu'à cet instant la charge vaut q 0 3. Évaluer la pseudo-période T, ainsi que l'ordre de grandeur de la durée du régime transitoire. 4. Représenter l'évolution du système sous la forme q(t) ainsi que dans le plan (q, q) 5. Évaluer E(t) l'énergie contenue dans le circuit à l'instant t. Que dire du signe de de? dt 6. Évaluer la variation relative d'énergie contenue dans le circuit pendant une pseudo-période : E t E t T = E t 7. En déduire une caractérisation du facteur de qualité Q. 4) Régime pseudo-périodique Un circuit électrique est composé d'une résistance R, d'une R L bobine d'inductance pure L et d'un condensateur de capacité C. Ces dipôles sont disposés en série et on soumet le circuit à un échelon de tension tel que: pour t < 0, on a e(t) = 0 pour t > 0, on a e(t) = E e(t) U R i U L U C C On pose : γ= R 2 L et ω 0 = 1 LC 1. Expliquer simplement pourquoi à t = 0 - la charge q et le courant i sont nuls. 2. Établir l'équation différentielle vérifiée par la charge q(t) du condensateur pour t > 0. Préciser, en les justifiant, les valeurs initiales de la charge q(0 + ) et de sa dérivée. Le circuit présente différents régimes suivant les valeurs de R, L et C. On suppose dans la suite, la condition ω 0 > γ réalisée. 3. Montrer que l'expression de la charge pour t > 0 peut se mettre sous la forme q t = A cos t B sin t e t D où on déterminera ω, A, B et D en fonction de C, E, ω 0 et γ. 4. Exprimer le courant i(t) dans le circuit pour t > 0 en fonction de C, E, ω 0 et γ.

5 5. Donner l'allure des courbes q(t) et i(t). Quelles sont leurs valeurs à la fin du régime transitoire? Justifier par des considérations simples ces valeurs atteintes. 6. Déterminer l'énergie totale E G fournie par le générateur ainsi que l'énergie E LC emmagasinée dans la bobine et le condensateur à la fin du régime transitoire en fonction de C et E. En déduire l'énergie dissipée par effet Joule dans la résistance. Ces résultats dépendent-ils du régime particulier dans lequel se trouve le circuit? Interpréter le résultat paradoxal qui apparaît dans le cas limite R 0. 5) Circuit RLC soumis à une tension créneau On considère un circuit RLC série dans lequel initialement le condensateur est déchargé. A t = 0, on ferme l interrupteur K. La tension E > 0 imposée par le générateur est stationnaire. 1. Déterminer toutes les tensions et les courants lorsque le nouveau régime stationnaire est atteint. 2. Le facteur de qualité du circuit est voisin de 10. Déterminer la tension u C (t) à chaque instant. Le circuit est maintenant soumis à une tension créneau imposée par un GBF (il n y a alors plus d interrupteur dans le montage). On obtient la trajectoire de phase suivante de l oscillateur. 3. Interpréter le portrait de phase. 4. A partir du portrait de phase, tracer l allure de la tension u C (t). 5. On donne les paramètres du circuit : résistance de la bobine r L =36,1 Ω inductance de la bobine L = 100 mh résistance du conducteur ohmique R = 102,2 Ω capacité du condensateur C = 0,11μF Est-ce cohérent avec l allure du portrait de phase? On justifiera la réponse avec des calculs simples.

6 6) Réglage d'amortisseurs de voiture La suspension d une voiture de masse à vide 4 M est constituée de quatre systèmes indépendants comprenant : - Un ressort de masse négligeable, de raideur k et de longueur à vide l o - Un amortisseur de masse négligeable, qui exerce sur la masse posée sur la suspension, une force frottement f = λ v où v désigne la vitesse ascensionnelle de la voiture et λ un coefficient de frottement. On supposera que la masse du véhicule est répartie de manière égale sur les quatre amortisseurs. Un robot appuie sur la carrosserie pour comprimer les ressorts. A t = 0, le robot libère le véhicule sans vitesse verticale initiale. En plaçant l origine de l axe vertical à la position d équilibre de M, on montre que l équation du mouvement de ce système s écrit : d 2 z dt 2 + λ M dz dt + k M z (t )=0 1. Déterminer le coefficient λ en fonction de k et M pour que le régime d amortissement soit critique lorsque la voiture est vide. Pourquoi faut-il que le régime soit critique? On considère maintenant que la voiture contient 4 passagers de masse m chacun. Ces 4 masses sont supposées également réparties sur les amortisseurs. On recommence le même test. L origine de l axe vertical est pris à la position d équilibre du système. 2. Comment est modifiée l équation du mouvement. Mettre cette équation sous forme canonique. 3. Quel est alors le régime d amortissement? 4. Déterminer l expression de z(t) sachant que z (t = 0) = z 0 5. Déterminer alors la pseudo-période des oscillations. 6. Quel est l ordre de grandeur de la durée du retour à l équilibre? 7. Tracer l allure du portrait de phase de ce mouvement. 8. Pour qu une voiture soit confortable, il faut que les oscillations résultant d un défaut éventuel de la route aient une période adaptée à l organisme humain, comme par exemple la période de marche qui vaut environ 1 s. Calculer numériquement la valeur de la constante de raideur k du ressort sachant que M = 400 kg et m = 75 kg. Bonus : Retrouver l équation du mouvement du système.

7 7) Portrait de phase d'un oscillateur harmonique amorti On considère le portrait de phase d un oscillateur amorti composé d une masse m = 500 g soumise à une force de rappel élastique (ressort de raideur k ) et à une force de frottement fluide f = λ v v étant la vitesse de la masse m et x est l écart à la position d équilibre. L étude est réalisée dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. 1. Déterminer la nature du régime d'oscillations de l'oscillateur. 2. Déterminer par lecture graphique : la valeur initiale de la position x 0 la valeur finale de la position x f la pseudo-période T a le décrément logarithmique défini par la relation : δ= 1 n ln( 3. En déduire : le facteur de qualité Q de l oscillateur sa période propre T 0 la raideur k du ressort le coefficient de frottement fluide Effectuer les applications numériques pour ces quatre grandeurs. x (t) x ( ) x(t +nt ) x( ) )