Chapitre 4 : Droite des milieux : TP Geogebra. M. EL HANI

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1 Chapitre 4 : Droite des milieux : TP Geogebra. M. EL HANI Partie 1 : 2) Placer le point D milieu de [AB]. 3) Placer le point E milieu de [AC]. 4) Tracer la droite (DE). 5) Déplacer les points A, B puis C. Que peut-on dire des droites (DE) et (BC)?... 6) Comparer les longueurs DE et BC. 7) Déplacer les points A, B puis C. Que peut-on dire de ces deux longueurs?... Partie 2 : 1) Sur une nouvelle feuille blanche, tracer un triangle ABC quelconque. 2) Placer le point D milieu de [AB]. 3) Tracer la parallèle à (BC) passant par D, elle coupe [AC] en E. 4) Afficher les longueurs AE et EC. 5) Déplacer les points A, B puis C. Que peut-on dire de ces deux longueurs? Conclure sur la position du point E. Partie 3 : Sur une nouvelle feuille : 1) Tracer un triangle ABC quelconque (polygone ABC). 2) Placer les points D, E et F et milieux respectifs des segments [AB], [AC] et [BC]. 3) Construire le polygone DEF. 4) Observer les aires des triangles ABC (poly1) et DEF (poly2). 5) Déplacer les points A, B puis C. Que peut-on dire de ces deux aires?...

2 CORRECTION : TP Geogebra : Droites des milieux. M. EL HANI Partie 1 : 2) Placer le point I milieu de [AB]. 3) Placer le point J milieu de [AC]. 4) Tracer la droite (IJ). 5) Demander au logiciel la relation entre les droites (IJ) et (BC). (Relation entre deux objets). A l aide du curseur, déplacer les points A, B ou C. Que peut-on dire de ces deux droites? On constate que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles. On peut conjecturer la propriété suivante : Si une droite passe par les milieux de deux côtés d un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté de ce triangle. 6) Afficher les longueurs IJ et BC. A l aide du curseur, déplacer les points A, B ou C. Que peut-on dire de ces deux longueurs? On constate que IJ = BC : 2 ou IJ = BC. On peut conjecturer la propriété suivante : Si, dans un triangle, un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés, alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. Partie 2 : 2) Placer le point M milieu de [AB]. 3) Tracer la parallèle à (BC) passant par M, elle coupe [AC] en N. 4) Afficher les longueurs AN et NC. A l aide du curseur, déplacer les points A, B ou C. Que peut-on dire de ces deux longueurs? Conclure sur la position du point N. On constate que AN = NC donc N est le milieu du segment [AC].

3 On peut conjecturer la propriété suivante : Si une droite passe par le milieu d un des cotés d un triangle et est parallèle à un deuxième côté, alors cette droite passe par le milieu du troisième côté de ce triangle. Partie 3 : Pour aller plus loin. Sur une nouvelle feuille : 2) Placer les points E, F et G et milieux respectifs des segments [AB], [AC] et [BC]. 3) Tracer [EF], [EG] et [FG]. 4) Afficher les aires des triangles ABC et EFG. Ecrire dans le champ de saisie : «Aire(ABC) =» + (aire[a,b,c]) puis «Aire(EFG) =» +(aire[e,f,g]) A l aide du curseur, déplacer les points A, B ou C. Que peut-on dire de ces deux aires? On constate que Aire(ABC) = 4 Aire(DEF) Démonstration : Le but est de démontrer les deux premières propriétés du cours : N 1 : Si une droite passe par les milieux de deux côtés d un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté de ce triangle. N 2 : Si, dans un triangle, un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés, alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. Enoncé : ABC est un triangle tel que BC = 8 cm, AB = 7 cm et AC = 5 cm. I milieu de [AB] et J milieu de [AC]. I est le symétrique de I par rapport à J. 1) Faire la figure. 2) Démontrer que le quadrilatère AI CI est un parallélogramme.

4 En déduire que IB = AI = I C et (IB) // (I C). 3) Démontrer que le quadrilatère IBCI est un parallélogramme. En déduire que (IJ) // (BC) et IJ = BC. 1) 2) On sait que J est le milieu de [AC] et que I est le symétrique de I par rapport à J, donc J est aussi le milieu de [II ]. Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c est un parallélogramme.

5 Donc AI CI est un parallélogramme d où AI = I C et (AI) // (I C), or I est le milieu de [AB] donc IB = AI = I C et (IB) // (I C). 3) On sait que IB = I C et que (IB) // (I C). IBCI est non croisé. Or, si un quadrilatère non croisé a 2 côtés parallèles et de même longueur, alors c est un parallélogramme. Donc IBCI est un parallélogramme d où (II ) // (BC) et II = BC or J milieu de [II ] donc (IJ) // (BC) (1 ère propriété) et IJ = BC (2 ème propriété).

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