Nombres, calculs et intervalles

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1 Nombres, calculs et intervalles A) Calculer avec des écritures fractionnaires 1 Egalité entre deux fractions a, b, c et d sont des réels, b 0 et d 0 a c Si = alors ad = bc b d a c Si ad = bc alors = b d Ces deux énoncés peuvent être rassemblés sous la forme : Opérations avec les fractions Propriétés : a, b, c et d sont des réels, b 0 et d 0 1) Si les dénominateurs sont les mêmes : a c a + c a c a c + = et = b b b b b b ) Si les dénominateurs sont différents : a c ad + bc a c ad bc + = et = b d bd b d bd ad = bc ( b 0 et d 0 ) a c = b d Propriétés : a, b, c et d sont des réels, b 0, c 0 et d 0 1) Multiplication : que les dénominateurs soient les mêmes ou non : ) Division : que les dénominateurs soient les mêmes ou non : Exercice n 1 : Ecrire les nombres suivants sous forme de fractions irréductibles : 6 1) ) ) ) a b c d a c ac = b d bd = a d = ad b c bc Année nde A M Evanno

2 Exercice n : Sur la figure ci-après, ABC est un triangle M est un point du segment [AB] tel que AM = 6,5 et MB = 5 N est un point du segment [AC] tel que AN = 8 et NC = 6 Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles? B) Les différents ensembles de nombres IN ensemble des entiers naturels : IN = {0 ; 1 ; ; } Z ensemble des entiers relatifs : Z = { ; ; 1 ; 0 ; 1 ; ; } p Q ensemble des nombres rationnels : Q = { ; avec p Z et q Z } q IR ensemble des nombres réels : IR = Q {irrationnels :, π } Remarque : Tous ces ensembles sont inclus les uns dans les autres : IN Z Q IR Année nde A M Evanno

3 Exercice n : Compléter le tableau suivant en cochant la ou les cases valides : IN Z Q IR 8, π C) Radicaux x est un nombre positif La racine carrée de x, notée x, est le nombre positif dont le carré est égal à x Théorème : Lorsque a est positif : a = a Lorsque a et b sont positifs : ab = a b Lorsque a et b sont positifs et b non nul : a a = b b Exercice n 4 : Ecrire plus simplement possible les expressions suivantes : 1) ) ) ( 5) ) 50 5) ) ( 5)( 5) + Année nde A M Evanno

4 Exercice n 5 : Simplifier les nombres suivants : A = B = Exercice n 6 : Ecrire chacun des nombres suivants sans radical au dénominateur : 1) ) Exercice n 7 : Soit ABC un triangle tel que : AB = 5, BC = 5 + et AC = Ce triangle est-il rectangle? Justifier D) Développer, factoriser 1 Développement Propriétés : Soient a, b, c et d des réels, on a alors : 1) Simple distributivité : a ( b + c) = a b + a c ) Double distributivité : ( a + b)( c + d ) = a c + a d + b c + b d Propriétés : Identités remarquables Si a et b sont deux nombres réels on a : a + b = a + a b + b ( ) ( a b) = a a b + b ( a b)( a + b) = a b Exercice n 8 : Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes : A = ( x 7) B = ( x + )(x ) ( x + 1) ( 1) ( x + ) + ( ) C = x D = x Exercice n 9 : Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes : A = ( x 1)( x + ) ( x + )(5x 7) B = (x 1) + (x + )( x + 4) ( x + ) + x( 5) C = x + x Année nde A M Evanno

5 Factorisation Propriétés : Soient a, b et c des réels, on a alors : a b + a c = a( b + c) Propriétés : Identités remarquables Si a et b sont deux nombres réels on a : a + a b + b = a + b ( ) a a b + b = ( a b ) a b = ( a b)( a + b) Exercice n 10 : Factoriser les expressions suivantes : A = ( x + 1)( x 5) + (x + )( x + 1) B = ( x 1)(x + ) + x 1 Exercice n 11 : Factoriser les expressions suivantes : A = 9x 1x + 4 B = 4x 5 C = x Exercice n 1 : Factoriser les expressions suivantes : A = x 4 (x + 5)( x + ) B = 4x + 4x + 1+ (x + 1)( x 4) C = ( 5x )( x 1) + (x )( x 1) D = ( x ) + 7x 1 D = ( x + ) (x + 7) E = ( x 1) 5 C = ( 5x 1)( x + ) (x 1)(10 x ) D = x 18 ( x )( x + 5) Exercice n 1 : Démontrer les égalités suivantes pour tout les réels a et b a + b = a + a b + ab + b 1) ( ) ) ( ) a b = a a b + ab b Exercice n 14 : Démontrer les égalités suivantes : 1 4x ) Pour x : 4 = x + x + 5 x 1 ) Pour x : = x x Exercice n 15 : Démontrer les égalités suivantes : 1 x + x + 1) Pour x 1 : x + 1+ = x + 1 x x x ) Pour x 1 : x + 1 = x 1 x 1 Année nde A M Evanno

6 E) Intervalles 1 Définition L ensemble des nombres réels compris, au sens large, entre deux nombres a et b est noté : a ; b C est un intervalle qui désigne ici tous les nombres réels x tels que : a x b [ ] Le tableau ci-dessous résume les différents types d intervalles Remarque : On dit qu un intervalle est fermé lorsque ses deux bornes sont inclues dans l intervalle On dit qu un intervalle est ouvert lorsque ses deux bornes sont exclues de l intervalle L ensemble des réels IR est ouvert car IR = ] ; + [ L ensemble vide se note : Exercice n 16 : Traduire chacune des inégalités suivantes en intervalle : a) < x 7 b) x 1 c) 11 x < 9 d) x < e) x 5 f) 0,1 < x < 0, 1 g) 6 x 5 h) 5 < x i) x < 10 Année nde A M Evanno

7 Réunion et intersection d intervalles La réunion de deux ensembles A et B est l ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B (ou aux deux) Le «ou» mathématiques est dit inclusif Cet ensemble est noté : A B L intersection de deux ensembles A et B est l ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B Cet ensemble est noté : A B Exemples : Dans chacun des cas suivants déterminons l intersection des intervalles I et J : 1) I = [ 4 ; 7] et J = ] 0 ; 10] On peut représenter la situation à l aide d une droite graduée, on a alors : I (là où les deux traits sont superposés) 7 appartient aux deux ensembles mais 0 à un seul c est pourquoi il est exclu On obtient I J = [ 4 ; 10] (là où il y a au moins un trait) I = 1 ; 5 et J = ] ; + [ On peut représenter la situation à l aide d une droite graduée, on a alors : On obtient J = ] 0 ; 7] ) [ ] On obtient J = ] ; 5] On obtient J = [ 1 ; + [ I (là où les deux traits sont superposés) I (là où il y a au moins un trait) Exercice n 17 : Dans chacun des cas, déterminer l intersection et la réunion des intervalles I et J : = 8 ; 8 J = ; 1 1) I [ ] et [ ] ) I = ] 0 ; ] et J = [ 1 ; + [ ) I = ] 1 ; 8[ et J = [ 5 ; 9] 4) I = ] ; 1[ et J = [ ; 5] 5) I = ] 6 ; 9[ et J = [ 7 ; 8] 6) I = ] 1 ; 1[ et J = [ 1 ; 5] Exercice n 18 : Dans chacun des cas, résoudre l inéquation et donner les solutions sous forme d intervalle : 1) x 1 ) x 5 ) 4 x + 7 > 9 4) x < x + 5 x > 4 5 x + 5) ( ) ( ) Année nde A M Evanno

8 Exercice n 19 : Résoudre dans IR les équations suivantes 1) 4 x 5 = 9x + 4 ) 5 x = ) 4 9 = x 5 4) x = x Exercice n 0 : Résoudre dans IR les inéquations suivantes et donner les solutions sous forme d intervalle : 1) x 6 > 8 5) x + 9 > x ) x 7 6) x 5 7x 15 ) 8 x 4) 8x + 11 < x 4 7) x + 4 > x 5 Exercice n 1 : Résoudre dans IR les équations suivantes 1) ( x + 4 )( x 7) = 0 ) x ( 5 4x) = 0 ) ( 15 x + )( x + 9) = 0 4) 6x + 1x + = 1 5) 5( 6x 7) = 0 6) ( x ) ( x + 6) = 0 7) ( + 1)( x + 4) + ( x + 4)( 5x) = 0 8) ( )( x + 4) ( 7x + 4)( x) = 0 9) ( 4x 7)( 9x + 5) = ( 8x )( 4x 7) x x Exercice n : 1+ 5 Soit le nombre Φ = Ce nombre est appelé «le nombre d or» Il intervient dans de nombreux domaines, en particulier en architecture et en dessin 1) Calculer Φ et vérifier que : Φ = Φ + 1 ) ABCD est un carré de côté 1 N est le milieu de [CD] E est le point de la demi-droite [DC) tel que NB = NE Calculer NB et en déduire que DE = Φ Exercice n : On considère les fonctions f et g définies sur IR par : f ( x) = x + x + x + 1 et ( x) = ( x +1) A l aide du logiciel de calcul formel Xcas, on a factorisé f ( x) et développé g ( x) : g En utilisant la bonne expression, résoudre les équations suivantes 1) f ( x) = x + 1 ) g ( x) = x + 1 ) f ( x) = 0 4) f ( x) = g( x) Année nde A M Evanno