T. D. 2 : Spectre sonore d une corde frappée, d une corde pincée

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Marie Ratté
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1 T. D. 2 : Spectre sonore d une corde frappée, d une corde pncée On consdère une corde sans radeur, nextensble, avec une densté lnéque de masse constante et tendue par une tenson. Au repos, elle se confond avec l axe et on étude de petts ébranlements plans dans une drecton perpendculare à cet axe. La corde de longueur est fxée en ses extrémtés aux ponts et. On néglge l acton du champ de pesanteur et de tout amortssement. On dénotera par et les condtons ntales du mouvement défnes par: "! # 2.1 Questons de cours a. Donner la forme la plus générale de l onde comme combnason lnéare des modes normaux de la corde (théorème de la sére de Fourer). b. Donner l expresson des coeffcents des dfférents modes. 2.2 Corde frappée : pano A l nstant la corde au repos est frappée au pont $ avec un marteau de largeur % &. On supposera % &(' $ et % &(' *)+$. On admettra les condtons ntales smplfées suvantes: et,.- /021 )43 )5$ % &7698 : a. Détermner les coeffcents de développement en modes normaux en foncton de,, % &, ;,, < = et $. b. Que faut-l fare pour supprmer un mode harmonque? c. Peut-on supprmer le mode fondamental? d. Peut-on avor un son pur? e. Dans le cas quels sont les harmonques présents dans le son éms par la corde? Interpréter physquement ce résultat. 2.3 Corde pncée : gutare La corde est pncée et lâchée. On a alors une vtesse ntale nulle et une déformaton ntale dfférente de zéro. On supposera: AB- /021 ) 3 )5$ % &7698 : 9

2 a. Calculer les coeffcents de la décomposton en modes normaux, en foncton de C, D E, F, G, H et I. b. Comment varent ces coeffcents en foncton de F? c. Comment se comparent les spectres d une corde de pano et d une corde de gutare? 10

3 n ˆ d y n w T. D. 2 : Corrgé 2.1 Questons de cours a. On a J K LM N OBPRQK N(SLT U VOWX K N9WYLT U VO. La condton J K LZP\[M N OBP\[ mplque : QK N O W5X]K N OP[, c est-à-dre que X>PYS Q et J K LMN OPYQK NS5LT U VOSZQK N]WZLT U VO La condton J K L P"M N OP[ mplque QK N]S_9T U V OPYQK Ǹ W59T U V O. Avec le changement de varable abpnsz9t U V on a QK a]opbqk a>wzc9t U VO. La foncton Q est donc pérodque en N (à L fxé) de pérode depfc 9T U V et en L (à N fxé) de pérode c. Toute foncton pérodque de pérode d peut se décomposer sous la forme (Théorème de la sére de Fourer) : QK a]ophg jk l]m n jo pqr c s a WZt jq u v>r c s]a dxw W n"y En remplaçant ce développement dans l expresson de J plus haut on obtent, avec dyp c9t U V, J K LMN OPhg jk`l m c j4q u v r s]u V N q u v r sl S5ct j4o pq r s]u V N et avec le changement de notaton z j PbS(ct j et { j Pc J K LM N OPhg jk l]m z jo pqr s]u V N WZ{ jq u v r s U V N }w j, on a : q u v>r s]l q u v r sl Les nœuds de vbraton sont les ponts d ampltude nulle L ~P]9T r, avec.pb M cm M r S, séparés par j T c P9T r. Pour r Pb (mode fondamental) l n y a pas de nœud. Pour un harmonque r le nombre de nœuds est r SZ. b. Les coeffcents z j et { j sont donnés par : 2.2 Corde de pano z j P c.ƒb LJ y\ y K LO q u v r s]l { j P c r s U V ƒ. L4 J K LO q u v r s]l y\ a. On a z j P[ et { j P a r s UYm ƒ g g L ˆ`Š ˆŒ Ž 2 Ž j 11 S5 ˆ j w

4 Ç Ñ Ç En posant : 5š œ œ _ b 5 š œ œ 9Ÿ5 2 œ _ 4 œ 9š Ÿ5 9 5 avec 2 et Ÿ( 2 B, et en utlsant : ª.«` ± ² ³ µ «b on obtent : ¹ º» 4Ã ÅÆÈ B RÄ 2 œ 5ËÍÌ B¼ ½*¾ À2ÁÂ pour les harmonques pas trop élevées, et on obtent : ¹ ºZÎ» 2 ¹ º YÏ ] 2¼ ½ ZÐ`9œ Ð. ÒÌ 2Ì š, ce qu mplque *Ñ Ñ Ó Ó Ó Ñ b. Pour supprmer un mode l faut. On constate que ces ponts correspondent aux nœuds de vbraton du mode propre. Ï c. Ce n est pas possble pour pusque le mode fondamental n a pas de nœud. d. Il faudrat pour cela que la condton ntal sot exactement de la forme d un des modes normaux. > 9œ Dffcle à réalser. e. Pour l ne subsste que les harmonques mpars. Ce sont les seuls qu possèdent un ventre de vbraton au mleu, là où la corde est frappée. 4Ì 2.3 Corde de gutare a. Dans ce cas ¹ º Ï et º Ô ¾ À ÁÂ Ã B RÄ ÅÆ b. Pour la gutare, on ne peut pas en général donner à une valeur très nféreur àœ 4ÕYÌ. S on suppose de l ordre de, alors même pour les harmonques les plus bas,. Les ampltudes sont par conséquent très rapdement décrossantes en foncton de. c. Le son de la gutare est plus pur. Pas nécessarement plus agréable à l orelle... Note : S est de l ordre de, l n est pas justfé d étendre les lmtes de l ntégraton à Ÿ Ö et le résultat donné plus haut n est pas exact. Les conclusons sont cependant qualtattement correctes. Pour se rendre compte, l convent de prendre, par exemple : Ø š ÈÙ Ô _9š B ªfÚ En utlsant : Ú Ú*Û Ü Ý ªfÚ Ú Ú Ú _ š Û Ü 12

5 on obtent : Þ ß5àá pour â parã Þß5àåäæ ç è é â é pour â mpar et encore une fos on constate que le son est plus pur que celu du pano. Références Chrstan Garng, Ondes, Dunod 1990, p

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