Exercices sur le produit scalaire

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1 Correction 1 1. En remarquant l égalité suivante : AC AB + BC On obtient les coordonnées du vecteur : AC Ä x + x ; y + y ä. On a : AB» x + y BC» x + y AC» (x + x ) + (y + y ) 3. Le théorème de Pythagore et sa réciproque donne une condition nécessaire et suffisante pour que le triangle ABC soit rectangle en B ; cette contion est : AC AB + BC En utilisant le résultat de la question précédente, on a : Exercices sur le produit scalaire AC AB + BC (x + x ) + (y + y ) x + y + x + y x + x x + x + y + y y + y x + y + x + y Correction x x + y y 0 ò x x + y y 0 x x + y y 0 1. On a les coordonnées suivantes des vecteurs : AB (x B x A ; y B y A ) Ä 1 ; 4 ä AD (x D x A ; y D y A ) Ä 4 ; 1 ä Ainsi, on a la valeur du produit scalaire suivant : AB AD x AB x AD + y AB y AD ( 4) 1 0. Calculons les coordonnées du vecteur DC : DC (x C x D ; y C y D ) Ä 1 ; 4 ä On remarque ainsi que les vecteurs AB et DC ont même coordonnées : ces deux vecteurs sont égaux ; on en déduit que le quadrilatère ABCd est un parallélogramme. Or, d après la question 1., les vecteurs AB et AD sont orthogonaux : l angle BAD est droit. Ainsi, ABCD est un parallélogramme et il possède un angle droit : ABCD est un rectangle. Correction 3 1. Le point A étant le centre du repère, on a : A Ä 0 ; 0 ä Les relations trigonométriques dans un triangle rectangle permettent d obtenir les coordonnées des deux autres sommets de cette figure : Ñ E 4 cos π 6 ; 4 sin π é ; 4 1 ( ) 3 ; Ñ C cos π 4 ; sin π é 4 ; ( ) ; On en Ñ déduit les coordonnées des points : 3 é B ; 0 ; D ( 3 ; 0 ). Le point A étant le centre du repère, tout point M du plan a les même coordonnées que le vecteur AM : a. b. c. 3 AB AD AB AE Ä ä AC AD Le point D est le projeté orthogonal du point E sur la droite (AD). Le point C est le projeté orthogonal du point C sur la droite (AD). Correction 4 1. Voici les coordonnées polaires des points présents dans la figure : ò ò ò O 0 ; 0 A ; 0 B 3 ; 0 C ; π ò D 3 ; π ò E ; π ò F 3 ; π ò G ; π ò H 3 ; π ò Voici les coordonnées cartésiennes de ces points : O Ä 0 cos 0 ; 0 sin 0 ä Ä 0 ; 0 ä A Ä cos 0 ; sin 0 ä Ä ; 0 ä B Ä 3 cos 0 ; 3 sin 0 ä Ä 3 ; 0 ä C cos π 6 ; sin π ( ) 3 ; 1 6 Feuille - -

2 Ñ D 3 cos π 6 ; 3 sin π ; 3 ( ) ; E F cos π 4 ; sin π 4 Ñ 3 cos π 4 ; 3 sin π 3 4 ; 3 Ç G cos π 3 ; sin π 3 Ç H 3 cos π 3 ; 3 sin π 3 é é å ( 1 ; 3 ) å Ñ 3 ; 3 3. Puisque O est l origine du repère, pour tout point X du plan, ce point et le vecteur OX ont les même coordonnées. Utilisons les coordonnées trouvées à la question précédente : a. OA OC b. OB OD c. OB OE d. OB OG 3 ( 1) Correction 5 1. a. Déterminons les coordonnées des deux vecteurs BA et BC BA (x A x B ; y A y B ) Ä 1 ; 3 ( 4) ä Ä 3 ; 7 ä BC (x C x B ; y C y B ) Ä 0 1 ; ( 4) ä Ä 1 ; ä On a ainsi les valeurs suivantes : BA BC ( 3) ( 1) BA» ( 3) » BC ( 1) + 5 b. Le produit scalaire est donnée également à l aide de la formule suivante : BA BC BA BC cos ABC cos ABC cos ABC Les fonctions trigonométriques inverses permettent d obtenir la valeur de l angle géométrique : ABC sin ,6 o 58 5 c. A l aide d un dessin à la main, on se rend é compte que l angle négativement ; on a alors : BA ; BC 8,6 BA ; BC est orienté. Le calcul des coordonnées des vecteurs donnent : DE Ä 4 ; 5 ä ; DF Ä 1 ; 1 ä Ainsi, le produit scalaire DE DF a pour valeur : DE DF ( 4) ( 1) + ( 5) ( 1) 9 La calcul des normes de vecteurs donne : DE» ( 4) + ( 5) 41» DF ( 1) + ( 1) Le produit scalaire de deux vecteurs est également déterminé par la formule suivante : DE DF DE DF cos EDF 9 41 cos EDF cos EDF 9 41 Les fonctions trigonométriques inverses permettent d écrire : EDF cos 1 9 6,34 o 41 au centième de degré près. Un dessin à la main permet de montrer que l angle DE ; DF est orienté positivement. Ainsi, on a : DE ; DF 6,34 o Correction 6 1. Calculons les produits scalaires demandés : R F1 F + F1 + F F 1 F F 1 + F 1 F 1 + F F F 1 cos α + F 1 F 1 + F F 1 co 96 cos α + 48 cos γ + 64 F R F + F1 + F F F F + 1 F F + F F F F cos β + F 1 F cos γ + F 7 cos β + 48 γ + R F F + F1 + F F F F + F 1 F + F F F F + F 1 F cos α + F F co 96 cos α + 7 β a. Puisque R 0, on doit également avoir les égalités suivantes : R F1 0 ; R F 0 ; R F 0 Feuille - -

3 On obtient le système d équations suivant : 96 cos α + 48 cos γ cos β + 48 cos γ cos α + 7 cos β En divisant les deux membres de la première ligne par 16 ; en divisant la seconde ligne par 1 ; en divisant la troisième ligne par 4 ; on obtient : 6 cos α + 3 cos γ cos β + 4 cos γ cos α + 3 cos β b. En notant : X cos α ; Y cos β ; Z cos γ Le système devient : 6X+ 3Z+40 6X+ 3Z 4 6Y +4Z+30 4X+3Y 6 4X+3Y +60 6Y +4Z 3 1X+ 6Z 8 1X+ 6Z 8 1X+9Y 18 9Y +6Z 10 6Y +4Z 3 6Y +4Z 3 1X+ 6Z 8 1X+ 6Z 8 18Y 1Z 0 18Y 1Z 0 18Y +1Z 9 4Z 11 1X+ 6Z 8 1X+ 6Z 8 18Y 1Z 0 Z X + 6Z 8 18Y 9 Z X Y 9 Z 11 4 X Y 9 Z X 43 4 Y 9 Z 11 4 Ainsi, le système initial a pour solution : cos α cos β 9 cos γ Y 11 0 Z X+ 6Z 8 Y 9 Z 11 4 Les relations trigonométriques inverses nous permettent d obtenir la mesure de ces trois angles : α cos ,6 o 48 β cos ,7 o Correction 7 γ cos Le fichier n existe pas Correction 8 6,7 o Voici la représentation du triangle ABC : A J C 1. J étant le milieu du segment [AC], on a : AJ 3 cm M K En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle AJB rectangle en J, on a : AB AJ + JB JB JB 9 JB 7 JB 3 3 Le point M est l intersection des médianes dans le triangle ABC équilatéral ; il est situé sur les / 3 de chaque médiane à partir du sommet. Ainsi, on a la mesure suivante : BM 3 JB Dans un triangle équilatéral, les médianes sont également des hauteurs ; ainsi, les angles AJB, CIA, CKB sont des angles droits : a. b. AC AB AK + KC AB AK AB + KC AB AK AB AC AI IC + IC IC AI IC + IC IC IC IC IC 9 I B Feuille - -

4 c. MC MA MJ + JC MJ + JA MJ MJ + MJ JA + JC MJ + JC JA MJ JC JA On a MJ CI d. CM MI + IM MI CI MI + IM MI IM On a IM 3 3 Correction 9 1. a. Le vecteur AB a pour coordonnée : AB (x B x A ; y B y A ) Ä 4 ; ä Ainsi, le vecteur u a pour norme : u Le vecteur AC a pour coordonnée : AC (x C x A ; y C y A ) Ä ; 3 ä Ainsi, le vecteur v a pour norme : v» ( ) b. A l aide des coordonnées des vecteurs u et v : u v x u x v + y u y v 4 ( ) a. On a le développement suivant : 3 u v 9 u 1 u v + 4 v ( ) b. Ainsi, la norme du vecteur 3 u v est : 3 u v 3 u v Correction Soit A, B, C trois points du plan et M un point quelconque du plan : AM BC + BM CA + CM AB AM BC + BA + AM CA + CA + AM AB AM BC+ BA CA+ AM CA+ CA AB+ AM AB AM BC + CA + AB AM 0 + BA CA CA BA BA CA + CA AB. Notons H le point d intersection de la hauteur du triangle ABC issue de A avec la hauteur issue de B. On a, d après la question précédente : AH BC + BH CA + CH AB 0 Or, on a (AH) (BC) et (BH) (CA). On obtien CH AB 0 CH AB 0 On en déduit que la droite (CH) et (AB) sont perpendiculaires ; ainsi, (AH) est également une hauteur du triangle ABC. Les trois hauteurs sont concourantes en H. Correction 11 Pour montrer que les deux droites (AC) et (BI) sont perpendiculaires, nous allons étudier le produit scalaire des vecteurs AC et BI. AC BI AB + BC BC + CI AB BC + AB CI + BC BC + BC CI En utilisant les angles droits du rectangle : 0 + AB CI + BC BC + 0 En utilisant la colinéarité des vecteurs mis en jeux dans ces produits scalaires : AB CI + BC BC a a + a a + 4 a a + a 0 Le produit scalaire est nul et aucun de ces deux vecteurs est nul ; les droites (AC) et (BI) sont perpendiculaires. Correction 1 1. I est le projeté de M sur la droite (DC) ; on en déduit que la droite (MI) est perpendiculaire à la droite (DC). Ainsi, les droites (MI) et (BC) sont parallèles entre elles car chacune d elles est perpendiculaire à la droite (DC). Les points D, I, C et les points D, M, B sont alignés. Les droites (MI) et (CB) sont parallèles. D après le théorème de Thalès, on a : DI DC DM DB IM CB On en déduit l égalité suivante : Feuille - -

5 DI BC IM DC On a : BC DC ; IM JC DI DC JC BC En prenant des vecteurs colinéaires et de même sens, on peut écrire : DI DC JC BC. En utilisant le relation de Chasles, on peut écrire : DI DC JC BC DA + AI DC JC BC DA DC + AI DC JC BC AI DC JC BC AI DJ + JC JC BC AI DJ + AI JC JC BC AI DJ JC BC AI JC AI DJ JC AI DJ JC ID AI DJ 0 AD + IA Aucun de ses vecteurs n est nul, on en déduit, puisque le produit scalaire est nul que ces deux vecteurs sont orthogonaux. Correction Le point M est un point du cercle C et le segment [AB] forme un diamètre de ce cercle ; ainsi, le triangle AMB est rectangle en M. Ainsi, on en déduit que les vecteurs AM et BM sont orthogonaux : AM BM 0. A l aide de la relation de Chasles et des relations algébriques sur le produit scalaire, on obtient : AB AB AB AP + P B AB AP AB + AP P B AB AM + MB + P B AN + NB AP AM + AP MB + P B AN + P B NB Les angles AMB et ANB sont droits AP AM + P B NB AP et AM sont colinéaires ; ainsi que P B et NB AP AM + P B NB Correction 14 Les formules d Al-Kashi appliquées à ce triangle donne : AB AC + BC AC BC cos ACB AC AB + BC AB BC cos ABC BC AB + AC AB AC cos BAC Ainsi, on peut calculer la mesure des trois angles du triangle ABC : cos ACB AB AC BC AC BC AB ACB cos 1 AC BC AC BC 6,4 ACB cos 1 4,8 8 4,8 8 ACB 53,1 o cos ABC AC AB BC AB BC cos ABC 4,8 6,4 8 6,4 8 ABC,9 o cos BAC BC AB AC AB AC cos BAC 8 6,4 4,8 6,4 4,8 BAC 90 o Correction 15 Calcul de la longueur DC : La formule d Al-Kashi donne dans le triangle BCD : DC BD + BC BD BC cos DBC cos co Par application numérique, au dixième près, on obtient : CD 4,8 cm Calcul des longueurs AD : Dans le triangle ABD, on a les formules : sin DBA AD sin ADB sin DAB AB DB Connaissant la mesure des angles DAB et ABD, on peut écrire : sin DBA AD sin DAB DB sin DBA DB sin DAB AD AD sin DBA DB sin DAB Par application numérique, on obtient : DA 4,7 cm Feuille - -

6 Calcul des longueurs AB : On utilise la formule obtenue précédemment et sachant que l angle ADB mesure 43 o sin DBA AD sin ADB AB sin ADB AB sin DAB DB sin DAB DB DB sin ADB AB sin DAB AB DB sin ADB sin DAB Par application numérique, on obtient : AB 4,1 cm Correction 16 Le fichier n existe pas Correction a. On a : MA + MB + MC MA + MB + MC MJ + JA + MJ + JB + JC + JC MJ + MJ JA + JA + MJ + MJ JB + JB + JC + 4 JC + JC 4MJ + MJ JA+ JB+JC +JA +JB +JC Hors, en regardant sur le dessin, on a placé le point K défini par la relation (JAKB est un parallélogramme) : JA + JB JK JA + JB + JC 0 On en déduit que : MA +MB +MC 4MJ +JA +JB +JC b. I étant le milieu du segment [AB], le théorème de la médiane permet d écrire : JA + JB IJ + AB Ainsi, un point M de E doit vérifier la relation : 4MJ + JA + JB + JC 4MJ + IJ + AB 4MJ + JC + AB 4MJ + AB + JC + 4JC 4MJ + AB + (JC) 4MJ + AB + IC c. Le théorème de Pythagore dans le triangle AIC rectangle en A permet d écrire : IA + AC IC IC IC 3 IC 3 Donc un point appartient à E si, et seulement si : 4MJ + AB + IC 7 4MJ MJ + 7 4MJ MJ 9 MJ 3 L ensemble E est l ensemble des points situés à une distance de 3 du point J : c est le cercle de centre J et de rayon 3.. a. Dans le repère A ; 1 6 AB ; 3 1 AC on a les coordonnées suivantes : A Ä 0 ; 0 ä ; B Ä 6 ; 0 ä ; C Ä 0 ; 3 ä Les points de E sont caractérisés par la relation : MA + MB + MC 7 ÄxM ä + Ä ä ò ÄxM ä + Ä ä ò x A ym y A + x B ym y B ÄxM ä Ä ä ò + x C + ym y C 7 ÄxM x M + ym + 6 ä ò + y M + x M + Ä y M 3 ä ò 7 ò x M + ym + x M 1x M + + ym + x M + ym 6y M 7 4x M + 4yM 1x M y M 7 4 x M + ym 3x M 3y M x M + y M 3x M 3y M x M + ym 3x M 3y M JC b. Ainsi, en identifiant cette équation cartésienne à l équation générale d un cercle : x + y ax by + c 0 On en déduit que E est un cercle de centre le Ç 3 point de coordonnée ; 3 å et de rayon : r 3 ä 3 a + b c + ä Feuille - -

7 Correction a. Les coordonnées du point I se calculent par la formule : Ç xa + x B I ; y å ( A + y B ; + ( 6) ) Ä 0 ; ä b. La longueur AB vaut : AB» (x B x A ) + (y B y A )» 6 + ( 8) En utilisant la relation : MA MB IM AB On obtient : MA MB 40 IM AB 40 IM AB 0 Choisissons le point H appartenant à (AB) tel que IH 0 AB AB et IH sont de même signe. Cherchons les coordonnées du point H. AB est un vecteur directeur de (AB) et de longueur 10. AB Ä 6 ; 8 ä AB u est un vecteur unitaire de (AB) ; Ä 10 ä u 0,6 ; 0,8 IH u ; IH Ä 1, ; 1,6 ä On en déduit H Ä 1, ; 3,6 ä L ensemble des points M vérifiant cette relation est la droite perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point H. Un vecteur normal à cette droite est le vecteur AB ; son équation cartésienne est de la forme : 6x 8y + c 0 Le point H appartenant à cette droite 6 1, 8 ( 3,6) + c 0 c L ensemble des solutions est la droite ayant pour équation cartésienne : 6x 8y Utilisant la relation suivante : MA + MB MI + 1 AB Ainsi, les points M vérifiant la relation demandées vérifient également : MA + MB 150 MI + 1 AB 150 MI AB MI 100 MI 50 Les distances étant des nombres positifs MI 5 Cet ensemble de points est un cercle de centre I et de rayon 5. Ainsi, son équation cartésienne est de la forme : x + y ax by + c 0 x + y ( ) y + c 0 x + y + 4y + c 0 Où c vérifie r a + b c On en déduit c 46 x + y + 4y 46 0 Correction a. Les coordonnées polaires des points M et N sont : M[ρ ; α] ; M[ρ ; β] Ainsi, ces deux points ont pour coordonnées cartésiennes dans ce même repère : M Ä ρ cos α ; ρ sin α ä ; N Ä ρ cos β ; ρ sin β ä b. On obtient la valeur suivante pour le produit scalaire : OM ON ρ cos α ρ cos β + ρ sin α ρ sin β ρ ρ cos α cos β + sin α sin β. a. Le point M appartenant à l axe des abscisses, ses coordonnées polaires sont [ρ ; 0]. Le point N a les caractéristiques suivantes : i ON ρ ; ; ON β α Ainsi, les coordonnées polaires du point N sont [ρ ; β α] b. Les coordonnées cartésiennes sont : M Ä ρ ; 0 ä ; N ( ρ cos Ä β α ä ; ρ sin Ä β α ä ) c. Ainsi, le produit scalaire OM ON a pour valeur OM : ON ρ ρ cos Ä β α ä 3. La valeur du produit scalaire de deux vecteurs est indépendant du repère orthonormé, mais partageant la même unité ; ainsi, on a : ρ ρ cos α cos β + sin α sin β ρ ρ cos Ä β α ä cos α cos β + sin α sin β cos Ä β α ä Feuille - -

8 Correction 0 1. a. Le point K, milieu du segment [AB], a pour coordonnée Ç : xa + x B K ; y å Ç A + y B 1 + ; 1 4 å Ç 1 ; 5 å On a les coordonnées de vecteurs suivants : AB (x B x A ; y B y A ) Ä ( 1) ; 4 ( 1) ä Ä 3 ; 3 ä KM (x M x K ; y M y K ) Ç 1 x ; 5 å y Ainsi, la condition AB KM 0 se traduit sur les variables x et y par : AB KM 0 x AB x KM + y AB y KM 0 3 Ä 1 x + ( 3) 5 y 0 3 3x y 0 3x + 3y x + y b. La médiatrice du segment [AB] est la droite perpendiculaire à la droite (AB) et passant par le point K milieu du segment [AB] ; ainsi, l ensemble des points M de la médiatrice du segment [AB] doivent vérifier l équation : AB KM 0 D après la question précédente, la médiatrice du segment [AB] a pour équation : x + y a. Le vecteur CD a pour coordonnée : CD (x D x C ; y D y C ) Ç 1 5 ; 3 å 5 Ç ; Le vecteur u a pour coordonnée u est orthogonal au vecteur CD car : CD u å Ç 3 5 ; 1 å 5 b. Le vecteur DM a pour équation : Ç DM x 1 5 ; y 7 å 5 L ensemble des points M (x ; y) de la droite vérifie la relation : x 1 5 x DM x u + y y 7 5 DM u 0 DM y u Ç 5 x y 7 1 å x y x y x + 105y x + 7y L intersection des deux droites (d) et (d ) sont les points M de coordonnée (x ; y) vérifiant le système d équations suivant : x + y x + 7y 10 0 En additionnant les deux lignes, on obtient : 8y 7 0 8y 7 y 7 8 D après la première ligne, on a : x + y x x x x 31 8 Le point d intersection a pour coordonnée Ç 31 8 ; 7 å 8 Feuille - -