Exercices sur le produit scalaire

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Exercices sur le produit scalaire"

Transcription

1 Correction 1 1. En remarquant l égalité suivante : AC AB + BC On obtient les coordonnées du vecteur : AC Ä x + x ; y + y ä. On a : AB» x + y BC» x + y AC» (x + x ) + (y + y ) 3. Le théorème de Pythagore et sa réciproque donne une condition nécessaire et suffisante pour que le triangle ABC soit rectangle en B ; cette contion est : AC AB + BC En utilisant le résultat de la question précédente, on a : Exercices sur le produit scalaire AC AB + BC (x + x ) + (y + y ) x + y + x + y x + x x + x + y + y y + y x + y + x + y Correction x x + y y 0 ò x x + y y 0 x x + y y 0 1. On a les coordonnées suivantes des vecteurs : AB (x B x A ; y B y A ) Ä 1 ; 4 ä AD (x D x A ; y D y A ) Ä 4 ; 1 ä Ainsi, on a la valeur du produit scalaire suivant : AB AD x AB x AD + y AB y AD ( 4) 1 0. Calculons les coordonnées du vecteur DC : DC (x C x D ; y C y D ) Ä 1 ; 4 ä On remarque ainsi que les vecteurs AB et DC ont même coordonnées : ces deux vecteurs sont égaux ; on en déduit que le quadrilatère ABCd est un parallélogramme. Or, d après la question 1., les vecteurs AB et AD sont orthogonaux : l angle BAD est droit. Ainsi, ABCD est un parallélogramme et il possède un angle droit : ABCD est un rectangle. Correction 3 1. Le point A étant le centre du repère, on a : A Ä 0 ; 0 ä Les relations trigonométriques dans un triangle rectangle permettent d obtenir les coordonnées des deux autres sommets de cette figure : Ñ E 4 cos π 6 ; 4 sin π é ; 4 1 ( ) 3 ; Ñ C cos π 4 ; sin π é 4 ; ( ) ; On en Ñ déduit les coordonnées des points : 3 é B ; 0 ; D ( 3 ; 0 ). Le point A étant le centre du repère, tout point M du plan a les même coordonnées que le vecteur AM : a. b. c. 3 AB AD AB AE Ä ä AC AD Le point D est le projeté orthogonal du point E sur la droite (AD). Le point C est le projeté orthogonal du point C sur la droite (AD). Correction 4 1. Voici les coordonnées polaires des points présents dans la figure : ò ò ò O 0 ; 0 A ; 0 B 3 ; 0 C ; π ò D 3 ; π ò E ; π ò F 3 ; π ò G ; π ò H 3 ; π ò Voici les coordonnées cartésiennes de ces points : O Ä 0 cos 0 ; 0 sin 0 ä Ä 0 ; 0 ä A Ä cos 0 ; sin 0 ä Ä ; 0 ä B Ä 3 cos 0 ; 3 sin 0 ä Ä 3 ; 0 ä C cos π 6 ; sin π ( ) 3 ; 1 6 Feuille - -

2 Ñ D 3 cos π 6 ; 3 sin π ; 3 ( ) ; E F cos π 4 ; sin π 4 Ñ 3 cos π 4 ; 3 sin π 3 4 ; 3 Ç G cos π 3 ; sin π 3 Ç H 3 cos π 3 ; 3 sin π 3 é é å ( 1 ; 3 ) å Ñ 3 ; 3 3. Puisque O est l origine du repère, pour tout point X du plan, ce point et le vecteur OX ont les même coordonnées. Utilisons les coordonnées trouvées à la question précédente : a. OA OC b. OB OD c. OB OE d. OB OG 3 ( 1) Correction 5 1. a. Déterminons les coordonnées des deux vecteurs BA et BC BA (x A x B ; y A y B ) Ä 1 ; 3 ( 4) ä Ä 3 ; 7 ä BC (x C x B ; y C y B ) Ä 0 1 ; ( 4) ä Ä 1 ; ä On a ainsi les valeurs suivantes : BA BC ( 3) ( 1) BA» ( 3) » BC ( 1) + 5 b. Le produit scalaire est donnée également à l aide de la formule suivante : BA BC BA BC cos ABC cos ABC cos ABC Les fonctions trigonométriques inverses permettent d obtenir la valeur de l angle géométrique : ABC sin ,6 o 58 5 c. A l aide d un dessin à la main, on se rend é compte que l angle négativement ; on a alors : BA ; BC 8,6 BA ; BC est orienté. Le calcul des coordonnées des vecteurs donnent : DE Ä 4 ; 5 ä ; DF Ä 1 ; 1 ä Ainsi, le produit scalaire DE DF a pour valeur : DE DF ( 4) ( 1) + ( 5) ( 1) 9 La calcul des normes de vecteurs donne : DE» ( 4) + ( 5) 41» DF ( 1) + ( 1) Le produit scalaire de deux vecteurs est également déterminé par la formule suivante : DE DF DE DF cos EDF 9 41 cos EDF cos EDF 9 41 Les fonctions trigonométriques inverses permettent d écrire : EDF cos 1 9 6,34 o 41 au centième de degré près. Un dessin à la main permet de montrer que l angle DE ; DF est orienté positivement. Ainsi, on a : DE ; DF 6,34 o Correction 6 1. Calculons les produits scalaires demandés : R F1 F + F1 + F F 1 F F 1 + F 1 F 1 + F F F 1 cos α + F 1 F 1 + F F 1 co 96 cos α + 48 cos γ + 64 F R F + F1 + F F F F + 1 F F + F F F F cos β + F 1 F cos γ + F 7 cos β + 48 γ + R F F + F1 + F F F F + F 1 F + F F F F + F 1 F cos α + F F co 96 cos α + 7 β a. Puisque R 0, on doit également avoir les égalités suivantes : R F1 0 ; R F 0 ; R F 0 Feuille - -

3 On obtient le système d équations suivant : 96 cos α + 48 cos γ cos β + 48 cos γ cos α + 7 cos β En divisant les deux membres de la première ligne par 16 ; en divisant la seconde ligne par 1 ; en divisant la troisième ligne par 4 ; on obtient : 6 cos α + 3 cos γ cos β + 4 cos γ cos α + 3 cos β b. En notant : X cos α ; Y cos β ; Z cos γ Le système devient : 6X+ 3Z+40 6X+ 3Z 4 6Y +4Z+30 4X+3Y 6 4X+3Y +60 6Y +4Z 3 1X+ 6Z 8 1X+ 6Z 8 1X+9Y 18 9Y +6Z 10 6Y +4Z 3 6Y +4Z 3 1X+ 6Z 8 1X+ 6Z 8 18Y 1Z 0 18Y 1Z 0 18Y +1Z 9 4Z 11 1X+ 6Z 8 1X+ 6Z 8 18Y 1Z 0 Z X + 6Z 8 18Y 9 Z X Y 9 Z 11 4 X Y 9 Z X 43 4 Y 9 Z 11 4 Ainsi, le système initial a pour solution : cos α cos β 9 cos γ Y 11 0 Z X+ 6Z 8 Y 9 Z 11 4 Les relations trigonométriques inverses nous permettent d obtenir la mesure de ces trois angles : α cos ,6 o 48 β cos ,7 o Correction 7 γ cos Le fichier n existe pas Correction 8 6,7 o Voici la représentation du triangle ABC : A J C 1. J étant le milieu du segment [AC], on a : AJ 3 cm M K En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle AJB rectangle en J, on a : AB AJ + JB JB JB 9 JB 7 JB 3 3 Le point M est l intersection des médianes dans le triangle ABC équilatéral ; il est situé sur les / 3 de chaque médiane à partir du sommet. Ainsi, on a la mesure suivante : BM 3 JB Dans un triangle équilatéral, les médianes sont également des hauteurs ; ainsi, les angles AJB, CIA, CKB sont des angles droits : a. b. AC AB AK + KC AB AK AB + KC AB AK AB AC AI IC + IC IC AI IC + IC IC IC IC IC 9 I B Feuille - -

4 c. MC MA MJ + JC MJ + JA MJ MJ + MJ JA + JC MJ + JC JA MJ JC JA On a MJ CI d. CM MI + IM MI CI MI + IM MI IM On a IM 3 3 Correction 9 1. a. Le vecteur AB a pour coordonnée : AB (x B x A ; y B y A ) Ä 4 ; ä Ainsi, le vecteur u a pour norme : u Le vecteur AC a pour coordonnée : AC (x C x A ; y C y A ) Ä ; 3 ä Ainsi, le vecteur v a pour norme : v» ( ) b. A l aide des coordonnées des vecteurs u et v : u v x u x v + y u y v 4 ( ) a. On a le développement suivant : 3 u v 9 u 1 u v + 4 v ( ) b. Ainsi, la norme du vecteur 3 u v est : 3 u v 3 u v Correction Soit A, B, C trois points du plan et M un point quelconque du plan : AM BC + BM CA + CM AB AM BC + BA + AM CA + CA + AM AB AM BC+ BA CA+ AM CA+ CA AB+ AM AB AM BC + CA + AB AM 0 + BA CA CA BA BA CA + CA AB. Notons H le point d intersection de la hauteur du triangle ABC issue de A avec la hauteur issue de B. On a, d après la question précédente : AH BC + BH CA + CH AB 0 Or, on a (AH) (BC) et (BH) (CA). On obtien CH AB 0 CH AB 0 On en déduit que la droite (CH) et (AB) sont perpendiculaires ; ainsi, (AH) est également une hauteur du triangle ABC. Les trois hauteurs sont concourantes en H. Correction 11 Pour montrer que les deux droites (AC) et (BI) sont perpendiculaires, nous allons étudier le produit scalaire des vecteurs AC et BI. AC BI AB + BC BC + CI AB BC + AB CI + BC BC + BC CI En utilisant les angles droits du rectangle : 0 + AB CI + BC BC + 0 En utilisant la colinéarité des vecteurs mis en jeux dans ces produits scalaires : AB CI + BC BC a a + a a + 4 a a + a 0 Le produit scalaire est nul et aucun de ces deux vecteurs est nul ; les droites (AC) et (BI) sont perpendiculaires. Correction 1 1. I est le projeté de M sur la droite (DC) ; on en déduit que la droite (MI) est perpendiculaire à la droite (DC). Ainsi, les droites (MI) et (BC) sont parallèles entre elles car chacune d elles est perpendiculaire à la droite (DC). Les points D, I, C et les points D, M, B sont alignés. Les droites (MI) et (CB) sont parallèles. D après le théorème de Thalès, on a : DI DC DM DB IM CB On en déduit l égalité suivante : Feuille - -

5 DI BC IM DC On a : BC DC ; IM JC DI DC JC BC En prenant des vecteurs colinéaires et de même sens, on peut écrire : DI DC JC BC. En utilisant le relation de Chasles, on peut écrire : DI DC JC BC DA + AI DC JC BC DA DC + AI DC JC BC AI DC JC BC AI DJ + JC JC BC AI DJ + AI JC JC BC AI DJ JC BC AI JC AI DJ JC AI DJ JC ID AI DJ 0 AD + IA Aucun de ses vecteurs n est nul, on en déduit, puisque le produit scalaire est nul que ces deux vecteurs sont orthogonaux. Correction Le point M est un point du cercle C et le segment [AB] forme un diamètre de ce cercle ; ainsi, le triangle AMB est rectangle en M. Ainsi, on en déduit que les vecteurs AM et BM sont orthogonaux : AM BM 0. A l aide de la relation de Chasles et des relations algébriques sur le produit scalaire, on obtient : AB AB AB AP + P B AB AP AB + AP P B AB AM + MB + P B AN + NB AP AM + AP MB + P B AN + P B NB Les angles AMB et ANB sont droits AP AM + P B NB AP et AM sont colinéaires ; ainsi que P B et NB AP AM + P B NB Correction 14 Les formules d Al-Kashi appliquées à ce triangle donne : AB AC + BC AC BC cos ACB AC AB + BC AB BC cos ABC BC AB + AC AB AC cos BAC Ainsi, on peut calculer la mesure des trois angles du triangle ABC : cos ACB AB AC BC AC BC AB ACB cos 1 AC BC AC BC 6,4 ACB cos 1 4,8 8 4,8 8 ACB 53,1 o cos ABC AC AB BC AB BC cos ABC 4,8 6,4 8 6,4 8 ABC,9 o cos BAC BC AB AC AB AC cos BAC 8 6,4 4,8 6,4 4,8 BAC 90 o Correction 15 Calcul de la longueur DC : La formule d Al-Kashi donne dans le triangle BCD : DC BD + BC BD BC cos DBC cos co Par application numérique, au dixième près, on obtient : CD 4,8 cm Calcul des longueurs AD : Dans le triangle ABD, on a les formules : sin DBA AD sin ADB sin DAB AB DB Connaissant la mesure des angles DAB et ABD, on peut écrire : sin DBA AD sin DAB DB sin DBA DB sin DAB AD AD sin DBA DB sin DAB Par application numérique, on obtient : DA 4,7 cm Feuille - -

6 Calcul des longueurs AB : On utilise la formule obtenue précédemment et sachant que l angle ADB mesure 43 o sin DBA AD sin ADB AB sin ADB AB sin DAB DB sin DAB DB DB sin ADB AB sin DAB AB DB sin ADB sin DAB Par application numérique, on obtient : AB 4,1 cm Correction 16 Le fichier n existe pas Correction a. On a : MA + MB + MC MA + MB + MC MJ + JA + MJ + JB + JC + JC MJ + MJ JA + JA + MJ + MJ JB + JB + JC + 4 JC + JC 4MJ + MJ JA+ JB+JC +JA +JB +JC Hors, en regardant sur le dessin, on a placé le point K défini par la relation (JAKB est un parallélogramme) : JA + JB JK JA + JB + JC 0 On en déduit que : MA +MB +MC 4MJ +JA +JB +JC b. I étant le milieu du segment [AB], le théorème de la médiane permet d écrire : JA + JB IJ + AB Ainsi, un point M de E doit vérifier la relation : 4MJ + JA + JB + JC 4MJ + IJ + AB 4MJ + JC + AB 4MJ + AB + JC + 4JC 4MJ + AB + (JC) 4MJ + AB + IC c. Le théorème de Pythagore dans le triangle AIC rectangle en A permet d écrire : IA + AC IC IC IC 3 IC 3 Donc un point appartient à E si, et seulement si : 4MJ + AB + IC 7 4MJ MJ + 7 4MJ MJ 9 MJ 3 L ensemble E est l ensemble des points situés à une distance de 3 du point J : c est le cercle de centre J et de rayon 3.. a. Dans le repère A ; 1 6 AB ; 3 1 AC on a les coordonnées suivantes : A Ä 0 ; 0 ä ; B Ä 6 ; 0 ä ; C Ä 0 ; 3 ä Les points de E sont caractérisés par la relation : MA + MB + MC 7 ÄxM ä + Ä ä ò ÄxM ä + Ä ä ò x A ym y A + x B ym y B ÄxM ä Ä ä ò + x C + ym y C 7 ÄxM x M + ym + 6 ä ò + y M + x M + Ä y M 3 ä ò 7 ò x M + ym + x M 1x M + + ym + x M + ym 6y M 7 4x M + 4yM 1x M y M 7 4 x M + ym 3x M 3y M x M + y M 3x M 3y M x M + ym 3x M 3y M JC b. Ainsi, en identifiant cette équation cartésienne à l équation générale d un cercle : x + y ax by + c 0 On en déduit que E est un cercle de centre le Ç 3 point de coordonnée ; 3 å et de rayon : r 3 ä 3 a + b c + ä Feuille - -

7 Correction a. Les coordonnées du point I se calculent par la formule : Ç xa + x B I ; y å ( A + y B ; + ( 6) ) Ä 0 ; ä b. La longueur AB vaut : AB» (x B x A ) + (y B y A )» 6 + ( 8) En utilisant la relation : MA MB IM AB On obtient : MA MB 40 IM AB 40 IM AB 0 Choisissons le point H appartenant à (AB) tel que IH 0 AB AB et IH sont de même signe. Cherchons les coordonnées du point H. AB est un vecteur directeur de (AB) et de longueur 10. AB Ä 6 ; 8 ä AB u est un vecteur unitaire de (AB) ; Ä 10 ä u 0,6 ; 0,8 IH u ; IH Ä 1, ; 1,6 ä On en déduit H Ä 1, ; 3,6 ä L ensemble des points M vérifiant cette relation est la droite perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point H. Un vecteur normal à cette droite est le vecteur AB ; son équation cartésienne est de la forme : 6x 8y + c 0 Le point H appartenant à cette droite 6 1, 8 ( 3,6) + c 0 c L ensemble des solutions est la droite ayant pour équation cartésienne : 6x 8y Utilisant la relation suivante : MA + MB MI + 1 AB Ainsi, les points M vérifiant la relation demandées vérifient également : MA + MB 150 MI + 1 AB 150 MI AB MI 100 MI 50 Les distances étant des nombres positifs MI 5 Cet ensemble de points est un cercle de centre I et de rayon 5. Ainsi, son équation cartésienne est de la forme : x + y ax by + c 0 x + y ( ) y + c 0 x + y + 4y + c 0 Où c vérifie r a + b c On en déduit c 46 x + y + 4y 46 0 Correction a. Les coordonnées polaires des points M et N sont : M[ρ ; α] ; M[ρ ; β] Ainsi, ces deux points ont pour coordonnées cartésiennes dans ce même repère : M Ä ρ cos α ; ρ sin α ä ; N Ä ρ cos β ; ρ sin β ä b. On obtient la valeur suivante pour le produit scalaire : OM ON ρ cos α ρ cos β + ρ sin α ρ sin β ρ ρ cos α cos β + sin α sin β. a. Le point M appartenant à l axe des abscisses, ses coordonnées polaires sont [ρ ; 0]. Le point N a les caractéristiques suivantes : i ON ρ ; ; ON β α Ainsi, les coordonnées polaires du point N sont [ρ ; β α] b. Les coordonnées cartésiennes sont : M Ä ρ ; 0 ä ; N ( ρ cos Ä β α ä ; ρ sin Ä β α ä ) c. Ainsi, le produit scalaire OM ON a pour valeur OM : ON ρ ρ cos Ä β α ä 3. La valeur du produit scalaire de deux vecteurs est indépendant du repère orthonormé, mais partageant la même unité ; ainsi, on a : ρ ρ cos α cos β + sin α sin β ρ ρ cos Ä β α ä cos α cos β + sin α sin β cos Ä β α ä Feuille - -

8 Correction 0 1. a. Le point K, milieu du segment [AB], a pour coordonnée Ç : xa + x B K ; y å Ç A + y B 1 + ; 1 4 å Ç 1 ; 5 å On a les coordonnées de vecteurs suivants : AB (x B x A ; y B y A ) Ä ( 1) ; 4 ( 1) ä Ä 3 ; 3 ä KM (x M x K ; y M y K ) Ç 1 x ; 5 å y Ainsi, la condition AB KM 0 se traduit sur les variables x et y par : AB KM 0 x AB x KM + y AB y KM 0 3 Ä 1 x + ( 3) 5 y 0 3 3x y 0 3x + 3y x + y b. La médiatrice du segment [AB] est la droite perpendiculaire à la droite (AB) et passant par le point K milieu du segment [AB] ; ainsi, l ensemble des points M de la médiatrice du segment [AB] doivent vérifier l équation : AB KM 0 D après la question précédente, la médiatrice du segment [AB] a pour équation : x + y a. Le vecteur CD a pour coordonnée : CD (x D x C ; y D y C ) Ç 1 5 ; 3 å 5 Ç ; Le vecteur u a pour coordonnée u est orthogonal au vecteur CD car : CD u å Ç 3 5 ; 1 å 5 b. Le vecteur DM a pour équation : Ç DM x 1 5 ; y 7 å 5 L ensemble des points M (x ; y) de la droite vérifie la relation : x 1 5 x DM x u + y y 7 5 DM u 0 DM y u Ç 5 x y 7 1 å x y x y x + 105y x + 7y L intersection des deux droites (d) et (d ) sont les points M de coordonnée (x ; y) vérifiant le système d équations suivant : x + y x + 7y 10 0 En additionnant les deux lignes, on obtient : 8y 7 0 8y 7 y 7 8 D après la première ligne, on a : x + y x x x x 31 8 Le point d intersection a pour coordonnée Ç 31 8 ; 7 å 8 Feuille - -

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.

PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond. PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux

Plus en détail

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès et sa réciproque Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre

Plus en détail

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Activités numériques [13 Points]

Activités numériques [13 Points] N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible

Plus en détail

Exercices de géométrie

Exercices de géométrie Exercices de géométrie Stage olympique de Bois-le-Roi, avril 2006 Igor Kortchemski Exercices vus en cours Exercice 1. (IMO 2000) Soient Ω 1 et Ω 2 deux cercles qui se coupent en M et en N. Soit la tangente

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire

Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE

CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin

Plus en détail

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11 Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble

Plus en détail

Chapitre 2 : Vecteurs

Chapitre 2 : Vecteurs 1 Chapitre 2 : Vecteurs Nous allons définir ce qu'est un vecteur grâce à une figure (le parallélogramme), mais au préalable nous allons aussi définir une nouvelle transformation (la translation). Nous

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x = LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste

Plus en détail

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une

Plus en détail

Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigés d exercices sections 3 à 6. Liste des exos recommandés :

Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigés d exercices sections 3 à 6. Liste des exos recommandés : LM323 Envoi 2 2009-2010 Contenu de cet envoi Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigé du devoir 1. Un exercice de révision sur le chapître 1. Exercices sur l inversion. Corrigés

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux

315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité

Plus en détail

Deux disques dans un carré

Deux disques dans un carré Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................

Plus en détail

Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites

Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites I Droites perpendiculaires Lorsque deux droites se coupent, on dit qu elles sont sécantes Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites Lorsque deux

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

5 ème Chapitre 4 Triangles

5 ème Chapitre 4 Triangles 5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du

Plus en détail

Mesure d angles et trigonométrie

Mesure d angles et trigonométrie Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi

Plus en détail

L ALGORITHMIQUE. Algorithme

L ALGORITHMIQUE. Algorithme L ALGORITHMIQUE Inspirée par l informatique, cette démarche permet de résoudre beaucoup de problèmes. Quelques algorithmes ont été vus en 3 ième et cette année, au cours de leçons, nous verrons quelques

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

Vecteurs. I Translation. 1. Définition :

Vecteurs. I Translation. 1. Définition : Vecteurs I Translation Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui a tout point M associe le point M tel que [AM ] et [BM] aient le même

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point

Plus en détail

Trois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur

Trois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur 29=30 Trois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur leur amène une addition de 30 francs. Les trois personnes décident de partager la facture en trois, soit 10 francs chacun. Le serveur rapporte

Plus en détail

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image

Plus en détail

Eté 2015. LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES

Eté 2015. LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES Eté 2015 LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES Destiné aux élèves entrant en Seconde au Lycée Honoré d Estienne d Orves Elaboré par les professeurs de mathématiques des collèges et lycées du secteur Une

Plus en détail

Sommaire de la séquence 10

Sommaire de la séquence 10 Sommaire de la séquence 10 Séance 1........................................................................................................ J étudie un problème concret................................................................................

Plus en détail

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes

Plus en détail

Du Premier au Second Degré

Du Premier au Second Degré Du Premier au Second Degré Première Bac Pro 3 ans November 26, 2011 Première Bac Pro 3 ans Du Premier au Second Degré Sommaire 1 Fonction Polynôme du second degré 2 Fonction Polynôme du Second Degré: Synthèse

Plus en détail

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point 03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Chapitre. Conquérant est une toile de 1930 qui se trouve au Centre Paul Klee à Berne (Suisse). Paul Klee (1879-

Chapitre. Conquérant est une toile de 1930 qui se trouve au Centre Paul Klee à Berne (Suisse). Paul Klee (1879- Chapitre 9 REVOIR > les notions de points, droites, segments ; > le milieu d un segment ; > l utilisation du compas. DÉCOUVRIR > la notion de demi-droite ; > de nouvelles notations ; > le codage d une

Plus en détail

cent mille NOMBRES RELATIFS ET REPÉRAGEȘ 1 Chapitre 3 Notion de nombre relatif Comparaison Repérage sur une droite et dans le plan Calcul littéral

cent mille NOMBRES RELATIFS ET REPÉRAGEȘ 1 Chapitre 3 Notion de nombre relatif Comparaison Repérage sur une droite et dans le plan Calcul littéral Chapitre 3 cent NOMBRS 5 T RPÉRAGȘ RLATIFS Notion de nombre relatif 3 Comparaison 9 mille Repérage sur une droite et dans le plan Calcul littéral ACTIVITÉS USAG DS NOMBRS RLATIFS ACTIVITÉ Dans la vie quotidienne

Plus en détail

INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES

INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Livret de liaison Seconde - Première S

Livret de liaison Seconde - Première S Livret de liaison Seconde - Première S I.R.E.M. de Clermont-Ferrand Groupe Aurillac - Lycée Juin 2014 Ont collaboré à cet ouvrage : Emmanuelle BOYER, Lycée Émile Duclaux, Aurillac. Patrick DE GIOVANNI,

Plus en détail

Exercice numéro 1 - L'escalier

Exercice numéro 1 - L'escalier Exercice numéro 1 - L'escalier On peut monter un escalier une ou deux marches à la fois. La figure de droite montre un exemple. 1. De combien de façons différentes peut-on monter un escalier de une marche?

Plus en détail

Nombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation

Nombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation 1 Nombres complexes cours, exercices corrigés, programmation Nous allons partir des nombres réels pour définir les nombres complexes. Au cours de cette construction, les nombres complexes vont être munis

Plus en détail

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés.

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R

Plus en détail

Géométrie dans l espace

Géométrie dans l espace Géométrie dans l espace Mabrouk Brahim Université Virtuelle de Tunis 2007 Ce cours a pour objet la présentation des différents concepts de la géométrie de l espace comme une continuation de ceux vus en

Plus en détail

Le seul ami de Batman

Le seul ami de Batman Le seul ami de Batman Avant de devenir un héros de cinéma en 1989, Batman est depuis plus de 50 ans un fameux personnage de bandes dessinées aux États-Unis. Il fut créé en mai 1939 dans les pages de Détective

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

6 ème. Rallye mathématique de la Sarthe 2013/2014. 1 ère épreuve de qualification : Problèmes Jeudi 21 novembre 2013

6 ème. Rallye mathématique de la Sarthe 2013/2014. 1 ère épreuve de qualification : Problèmes Jeudi 21 novembre 2013 Retrouver tous les sujets, les corrigés, les annales, les finales sur le site du rallye : http://sarthe.cijm.org I Stéphane, Eric et Christophe sont 3 garçons avec des chevelures différentes. Stéphane

Plus en détail

PARTIE NUMERIQUE (18 points)

PARTIE NUMERIQUE (18 points) 4 ème DEVOIR COMMUN N 1 DE MATHÉMATIQUES 14/12/09 L'échange de matériel entre élèves et l'usage de la calculatrice sont interdits. Il sera tenu compte du soin et de la présentation ( 4 points ). Le barème

Plus en détail

DURÉE DU JOUR EN FONCTION DE LA DATE ET DE LA LATITUDE

DURÉE DU JOUR EN FONCTION DE LA DATE ET DE LA LATITUDE DURÉE DU JUR E FCTI DE LA DATE ET DE LA LATITUDE ous allons nous intéresser à la durée du jour, prise ici dans le sens de période d éclairement par le Soleil dans une journée de 4 h, en un lieu donné de

Plus en détail

Intégrales doubles et triples - M

Intégrales doubles et triples - M Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Seconde MESURER LA TERRE Page 1 MESURER LA TERRE

Seconde MESURER LA TERRE Page 1 MESURER LA TERRE Seconde MESURER LA TERRE Page 1 TRAVAUX DIRIGES MESURER LA TERRE -580-570 -335-230 +400 IX - XI siècles 1670 1669/1716 1736/1743 THALES (-à Milet) considère la terre comme une grande galette, dans une

Plus en détail

COMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre?

COMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Claire FORGACZ Marion GALLART Hasnia GOUDJILI COMPTERENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Si l on se pose la question de savoir comment on peut faire

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

INFORMATIONS DIVERSES

INFORMATIONS DIVERSES Nom de l'adhérent : N d'adhérent :.. INFORMATIONS DIVERSES Rubrique Nom de la personne à contacter AD Date de début exercice N BA Date de fin exercice N BB Date d'arrêté provisoire BC DECLARATION RECTIFICATIVE

Plus en détail

Corrigés Exercices Page 1

Corrigés Exercices Page 1 Corrigés Exercices Page 1 Premiers algorithmes Questions rapides 1 1) V ; ) F ; 3) V ; 4) F. 1) a ; ) b ; 3) a et b ; 4) b. 3 L'algorithme répond à la question : "le nombre entré estil positif?". 4 a (remarque

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 13 avril 2011

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 13 avril 2011 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry avril EXERCICE Commun à tous ls candidats Parti I points. L ax ds ordonnés st asymptot à C au voisinag d ; la fonction étant décroissant sur ] ; + [, la limit quand

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

Equations cartésiennes d une droite

Equations cartésiennes d une droite Equations cartésiennes d une droite I) Vecteur directeur d une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la

Plus en détail

UN TOURNOI A GAGNER ENSEMBLE

UN TOURNOI A GAGNER ENSEMBLE UN TOURNOI A GAGNER ENSEMBLE Ce tournoi réunit 3 classes de CM1, CM2 et 6, chaque équipe essaye de réussir le plus grand nombre possible des 82 exercices proposés. Objectifs généraux : Pour les 6, accueillir

Plus en détail

2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh

2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh 2 Fonctions binaires 45 2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh On peut définir complètement une fonction binaire en dressant son tableau de Karnaugh, table de vérité à 2 n cases pour n variables

Plus en détail

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements 3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?

Plus en détail

«Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.

«Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement. «Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.» Léonard de Vinci MATHEMATIQUES Les mathématiques revêtaient un caractère particulier

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000

Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000 Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000 Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000. 23 1 et 2 Pauline collectionne les cartes «Tokéron» depuis plusieurs mois. Elle en possède 364 et veut les

Plus en détail

L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ

L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et

Plus en détail

Chapitre 1 Cinématique du point matériel

Chapitre 1 Cinématique du point matériel Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la

Plus en détail

Michel Henry Nicolas Delorme

Michel Henry Nicolas Delorme Michel Henry Nicolas Delorme Mécanique du point Cours + Exos Michel Henry Maître de conférences à l IUFM des Pays de Loire (Le Mans) Agrégé de physique Nicolas Delorme Maître de conférences à l université

Plus en détail

Le contexte. Le questionnement du P.E.R. :

Le contexte. Le questionnement du P.E.R. : Le contexte Ce travail a débuté en janvier. Le P.E.R. engagé depuis fin septembre a permis de faire émerger ou de réactiver : Des raisons d être de la géométrie : Calculer des grandeurs inaccessibles et

Plus en détail

Chapitre 14. La diagonale du carré

Chapitre 14. La diagonale du carré Chapitre 4 La diagonale du carré Préambule Examinons un puzzle tout simple : on se donne deux carrés de même aire et on demande, au moyen de quelques découpages, de construire un nouveau carré qui aurait

Plus en détail

Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires?

Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires? omment démontrer que deux droites sont perpendiculaires? Utilisons On sait que (hypothèses) or...(propriété, définition) donc...(conclusion) Réciproque de Pythagore,5 1,5 = + Si dans un triangle le carré

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

Étude des formes de pratiques de la gymnastique sportive enseignées en EPS à l école primaire

Étude des formes de pratiques de la gymnastique sportive enseignées en EPS à l école primaire Étude des formes de pratiques de la gymnastique sportive enseignées en EPS à l école primaire Stéphanie Demonchaux To cite this version: Stéphanie Demonchaux. Étude des formes de pratiques de la gymnastique

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie

Plus en détail

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée. ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle

Plus en détail