BIBLIOGRAPHIE. J.L. Caubarrere, H. Djellouah, J. Fourny, F.Z. Khelladi : Introduction à la mécanique.

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2 INTRODUCTION Conforme au programmes du LMD, ce fascicule s adresse au éudians de première année de l universié dans le domaine des Sciences de la Maière. Il es conçu de façon à aplanir au mieu les difficulés inhérenes au discours scienifique ou en conservan la rigueur nécessaire. Le cours qui présene les principales noions à comprendre e à connaîre es accompagné d illusraions e d applicaions direces afin d assimiler immédiaemen les noions raiées. Le premier chapire es consacré à des rappels sur l algèbre vecorielle e l analyse dimensionnelle. Les deu raien des grandeurs physiques de base qui son uilisées pour l epression des lois physiques. En plus des rappels nécessaires, l objecif de cee parie es d inroduire des définiions claires e des noaions appropriées. Le deuième chapire es dédié à la cinémaique. Son bu es de décrire les mouvemens d objes sans s inéresser au causes qui les produisen. Il raie uniquemen des mouvemens de poins maériels c es-à-dire eclusivemen des ranslaions. Le roisième chapire raie de la dynamique du poin maériel, dans le cadre de la mécanique de Newon avec ses rois lois ou principes indissociables: la loi d inerie, la loi fondamenale de la dynamique e la loi des acions réciproques. Nous y considérons les lois générales, dies lois de forces, éablies pour un cerain nombre d ineracions avec des applicaions desinées à la prévision des mouvemens des corps. La noion de momen cinéique d une paricule par rappor à l origine e celle des pseudo-forces y son égalemen raiées. Le quarième chapire concerne la roisième méhode d analyse qui es celle du ravail e de l énergie. Cee approche élimine le calcul de l accéléraion en relian direcemen la force, la masse, la viesse e le déplacemen. Nous considérons d abord le ravail d une force e l énergie cinéique d une paricule. Nous raions ensuie les noions d énergies poenielle e oale que nous appliquons au principe de conservaion de l énergie dans diverses siuaions praiques. Dans le cinquième chapire on passe à l éude de la dynamique d un sysème composé de plusieurs poins maériels considérés ensembles. Nous eaminons d abord le choc de deu corps pour monrer les relaions qui eisen enre les viesses des deu objes enran en collision, avan e après le choc. Le cenre de masse d un sysème de paricules es ensuie défini ainsi que les caracérisiques cinémaiques e dynamiques de son mouvemen. Les lois de Newon son alors formulées pour le cas de sysèmes de poins maériels.

3 BIBLIOGRAPHIE J.L. Caubarrere, H. Djellouah, J. Fourny, F.Z. Khelladi : Inroducion à la mécanique. R. Resnick, D. Halliday : Mécanique Physique Tome 1. M. Alonso, E.J. Finn : Physique générale Tome 1-Mécanique e Thermodynamique. M.A. Ruderman, W.D. Knigh, C. Kiel : Cours de physique de Berkeley Tome 1 - Mécanique. M.S. Maalem : Mécanique-Cours e Eercices. 3

4 SOMMAIRE INTRODUCTION BIBLIOGRAPHIE CHAPITRE I VECTEURS ET ANALYSE DIMENSIONNELLE I. GRANDEUR SCALAIRE- GRANDEUR VECTORIELLE..7 II- VECTEUR 7 II.1. Veceurs II.. Propriéés II.3. Inensié Module II.4. Mesure algébrique III. OPERATIONS ELEMENTAIRES SUR LES VECTEURS..10 III.1. Addiion vecorielle III.. Sousracion vecorielle III.3. Relaion de Chasles III.4. Produi d un veceur par un scalaire IV. SYSTEME DE COORDONNEES CARTESIENNES..11 IV.1. Sysème carésien orhonormé bidimensionnel IV.. Sysème carésien orhonormé ridimensionnel V. PRODUIT SCALAIRE 15 V.1. Définiion IV.3. Composanes d un veceur V.. Forme géomérique V.3. Forme analyique V.4. Propriéés V.5. Condiion d orhogonalié de deu veceurs V.6. Applicaions du produi scalaire en géomérie VI. PRODUIT VECTORIEL 17 VI.1. Définiion VI.. Forme analyique VI.3. Propriéés VI.4. Condiion pour que deu veceurs soien parallèles VI.5. Applicaions du produi vecoriel en géomérie 4

5 VI.6. Applicaions du produi vecoriel en physique VI.7. Orienaion de l'espace VII. LE PRODUIT MIXTE DE TROIS VECTEURS..19 VII.1. Définiion VII.. Propriéé VII.3. Applicaion du produi mie en physique VIII. ANALYSE DIMENSIONELLE.1 VIII.1. Dimension Equaion au dimensions VIII.. Erreur e inceriude CHAPITRE II CINEMATIQUE I.INTRODUCTION 5 I.1. Sysème de référence I.. Noion de poin maériel I.3.Trajecoire II. MOUVEMENT RECTILIGNE...6 II.1. Définiion II.. Diagramme des espaces II.3. Veceur déplacemen II.4. Viesse II.5. Accéléraion II.6. Relaions inégrales II.7. Eude cinémaique de mouvemens recilignes pariculiers III. MOUVEMENT DANS L ESPACE III.1. Repérage de la posiion III.. Veceur déplacemen III.3. Veceur viesse III.4. Veceur accéléraion III.5. Passage de l accéléraion à la viesse e à la posiion III.6. Approimaion des grandeurs insananées à l aide des grandeurs moyennes III.7. Abscisse, viesse e accéléraion curvilignes III.8. Composanes inrinsèques de l accéléraion III.9. Eude du mouvemen en coordonnés polaires 5

6 III.10. Eude du mouvemen en coordonnées cylindriques III.11. Complémen sur le mouvemen circulaire III.1. Le mouvemen harmonique simple III.13. Le mouvemen relaif CHAPITRE III DYNAMIQUE D UNE PARTICULE I. CONCEPT DE FORCE.69 I.1. Noion de force I.. Le veceur force I.3. Ineracions fondamenales II. PRINCIPE D INERTIE...7 II.1. Epérience II.. Enoncé du principe d inerie II.3. Corps isolé mécaniquemen II.4. Référeniel d inerie ou galiléen II.5. Concep de masse III. LA QUANTITE DE MOUVEMENT 76 III.1. Définiion III.. Conservaion de la quanié de mouvemen IV. LES LOIS DE NEWTON...80 IV.1. La première loi IV.. La deuième loi IV.3. La roisième loi IV.4. Validié des lois de Newon V. PREVISION DES MOUVEMENTS DES CORPS - LOI DE FORCE..83 V.1. Le poids V.. Loi de graviaion universelle V.3. Les forces de conac ou forces de liaison V.4. Les forces élasiques VI. MOMENT CINÉTIQUE D UNE PARTICULE..104 VI.1. Momen cinéique d une paricule VI.. Théorème du momen cinéique pour une paricule VI.3. Conservaion du momen cinéique - Forces cenrales VI.4. Applicaion : démonsraion de la deuième loi de Kepler 6

7 VII. PSEUDO-FORCES OU FORCES D INERTIE 108 VII.1. Cas d un mouvemen circulaire VII.1. Cas d un mouvemen reciligne CHAPITRE IV TRAVAIL ET ÉNERGIE INTRODUCTION I. TRAVAIL D UNE FORCE 113 I.1. Définiions I.. Uilisaion des coordonnées carésiennes I.3. Noion de puissance II. ENERGIE CINETIQUE.117 II.1. Définiion II..Théorème de l énergie cinéique III. FORCES CONSERVATIVES ET ENERGIE POTENTIELLE..118 III.1. Forces conservaives III.. Concep d énergie poenielle III.3. Energie mécanique oale III.4. Déerminaion de l énergie poenielle III.5. Forces conservaives e énergie poenielle III.6. Les diagrammes d énergie poenielle IV. ENERGIE MECANIQUE ET FORCES NON CONSERVATIVES...13 CHAPITRE V SYSTEMES A PLUSIEURS PARTICULES I. INTRODUCTION II. L IMPULSION ET LA QUANTITE DE MOUVEMENT 136 III. COLLISIONS DE PARTICULES ISOLEES III.1. Collisions élasiques III.. Collisions parfaiemen inélasiques (ou chocs mous) IV. MOUVEMENT D UN SYSTEME DE PARTICULES IV.1. Le cenre de masse IV.. Viesse e accéléraion du cenre de masse IV.3. La deuième loi de Newon pour un sysème de paricule 7

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9 CHAPITRE I VECTEURS ET ANALYSE DIMENSIONNELLE I. GRANDEUR SCALAIRE- GRANDEUR VECTORIELLE En physique, on uilise deu ypes de grandeurs : les grandeurs scalaires e les grandeurs vecorielles. Les grandeurs physiques scalaires son enièremen définies par un nombre e une unié appropriée. On peu cier comme eemples : la masse m d un corps, la longueur l d un obje, l énergie E d un sysème, la charge élecrique q Une grandeur physique vecorielle es une quanié spécifiée par un nombre e une unié appropriée plus une direcion e un sens. Géomériquemen, elle es représenée par un veceur ayan la même direcion, le même sens e un module mesuré en choisissan une unié graphique correspondane, c es-à-dire l échelle. On peu cier comme grandeurs vecorielles la viesse v d un mobile, le poids P d un corps, les champs élecrique E e magnéique B Eemple : Le poids d un corps de masse 1kg peu êre représené par un veceur ayan les caracérisiques suivanes : - origine : le cenre de gravié de l obje ; - direcion : vericale ; - sens : du hau vers le bas ; - module : le poids éan de 9,8 N, si on choisi une échelle qui fai correspondre 1cm à N ( 1cm N ) le veceur aura une longueur de 4.9 cm. II- VECTEUR II.1. Veceur Un veceur MN (figure I.1) es un segmen oriené qui possède: - une origine M ; 9

10 - un module MN : la longueur du segmen MN ; N - une direcion : celle de la droie ( MN ) ; - un sens : de M vers N. Remarque : On peu désigner un veceur par une seule lere, par eemple : A=MN. M A Figure I.1 II.. Propriéés Un veceur es di «veceur libre» s il es défini par sa direcion son sens e sa longueur sans fier son poin d applicaion. V A D B F Eemple: Les veceurs AB, CD e EF représenans du veceur libre V (figure I.). son des E C Figure I. Un veceur es nommé "veceur glissan" si l'on impose sa droie suppor (Δ) sans fier son poin d applicaion. D C B A Eemple : Les veceurs AB e CD son des représenans du veceur glissan V ( figure I.3). Un veceur AB es appelé "veceur lié" si l'on fie son origine A (figure I.4). V A Figure I.3 B Figure I.4 (Δ) (Δ) Deu veceurs liés AB différenes son: e CD d'origines égau s'ils on même direcion, même sens e même module (figure I.5 ( a )) ; opposés s'ils on même direcion, même module mais des sens opposés ( figure I.5 ( b )); ils son dis "direcemen opposés" s'ils on même suppor (Δ) (figure I.5 ( c )). A A C D A B C C B B D D ( a ) ( b ) (Δ) ( c ) Figure I.5 10

11 II.3. Inensié Module Une unié de longueur ayan éé choisie sur la droie (Δ), suppor du veceur AB, on appelle module du veceur AB, désigné par AB, la longueur AB. Si AB représene une grandeur physique F, la mesure, noée F, de cee grandeur avec l unié adéquae es son inensié. Cas pariculier : si AB = 1, le veceur es di uniaire. Il peu êre uilisé pour mesurer ou veceur qui lui es parallèle. Eemple : Sur la figure I.6, V éan parallèle à u, on peu définir u comme veceur uniaire, on aura alors : V=3u. II.4. Mesure algébrique On appelle ae (Δ) une droie suppor orienée (Δ) (figure I.7). u V=3u Figure I.6 La mesure algébrique, noée AB, d'un veceur AB de longueur AB es définie par : AB AB= si AB a pour sens le sens posiif de l'ae oriené. AB = AB si AB a pour sens le sens négaif de l'ae oriené. Deu veceurs AB e CD son dis opposés si leurs suppors son parallèles e leurs mesures algébriques compées sur le même ae (Δ) son opposées. A A B B Figure I.7 (Δ) (Δ) Cas pariculier : AB e BA son deu veceurs opposés. Soi un ae poran un poin A e un poin O que l'on choisi pour origine ( figure I.8). L'abscisse du poin A es la mesure algébrique du veceur OA. O A Figure I.8 (Δ) 11

12 III. OPERATIONS ELEMENTAIRES SUR LES VECTEURS III.1. Addiion vecorielle La somme de deu veceurs libres U e V, noée U+V, es un veceur libre W, obenu par la "règle du parallélogramme"(figure I.9). Lorsque le nombre de veceurs à addiionner es supérieur à deu on applique la méhode géomérique qui consise à les placer bou à bou comme indiqué sur la figure I.10. U V W= U + V R U V Figure I.9 W Propriéés : D Commuaivié : A+B=B+A Disribuivié par rappor à l addiion des veceurs : A+B +C =A+ B+C III.. Sousracion vecorielle A B R=A+ B+C+D Figure I.10 C Ean donné deu veceurs U e V, la différence W=V U peu s écrire : W=V + ( U ). On peu alors appliquer la règle du parallélogramme (figure I.11). U A W V Aure méhode : Dans l illusraion de la figure I.1, W es consrui de façon que M soi son milieu e celui de AB. W = V U Figure I.11 C V B III.3. Relaion de Chasles Ean donné rois poins A,B e C, AB = AC + CB A U M W Figure I.1 Cas pariculier : Si les rois poins A, B e C son alignés sur un ae, alors nous obenons la relaion de Chasles pour les mesures algébriques : AB = AC + CB 1

13 III.4. Produi d un veceur par un scalaire que: Le produi d'un veceur V par un scalaire α es un veceur, noé α V (figure I.13), el sa direcion es celle de V ; son sens : celui de V si α > 0, celui de V si α < 0 ; son module es égal au produi de celui de V par la valeur absolue de α : α V = α V. V α V α > 0 Figure I.13 α V α<0 V Propriéés : La muliplicaion d'un veceur par un scalaire vérifie les propriéés suivanes: Disribuivié par rappor à l'addiion des veceurs : α (U+V)=αU+αV ; Disribuivié par rappor à l'addiion des scalaires : (α +β)u=αu+βu ; Associaivié : α(β U)=(αβ)U ; IV. SYSTEME DE COORDONNEES CARTESIENNES IV.1. Sysème carésien orhonormé bidimensionnel Ce sysème es uilisé pour repérer un poin dans un plan. Il es composé de deu aes orhogonau du y plan, O e Oy, munis des veceurs uniaires i e j orienés posiivemen (figure I.14). M y M(,y) La posiion d un poin M du plan es caracérisée par le veceur OM. Soien M e Myles projecions de j M sur les aes O e Oy, respecivemen. Remarquons que, par consrucion : O i M OM = OM + OM y Figure I.14 13

14 Si alors OM = i OM y = y j OM = i + y j Les grandeurs algébriques e y son les coordonnées carésiennes du poin M dans O,, y ; le sysème ( ) Les veceurs uniaires iej formen une base orhonormée (leur module es égal à 1 e ils son perpendiculaires enre eu). IV.. Sysème carésien orhonormé ridimensionnel Ce sysème es uilisé pour repérer un poin M quelconque de l espace (figure I.15). Il es composé de rois aes, O, Oy e Oz, munis des veceurs uniaires i, j e k orienés posiivemen. La posiion d un poin M de l espace es caracérisée par le veceur OM. Soien M, My e M z les projecions de M sur les aes O, Oy e Oz, respecivemen. M éan sa z. projecion sur le plan ( O,, y ), remarquons que, par consrucion : OM = OM +OM Remarquons égalemen que, par consrucion : OM = OM + OM y z +OM Soi OM = OM + OM y z M z Si OM = i OM y = y j OM z = z k M k O i OM j M(,y,z) M M y y Alors OM = i + y j + z k Figure I.15 Les grandeurs algébriques, y e z son les coordonnées carésiennes du poin M dans le O,, y, z. sysème ( ) 14

15 Les veceurs uniaires i, j, k formen une base orhonormée. IV.3. Composanes d un veceur Soi A un veceur, A, A y e A z ses projecions direces sur les aes d un sysème de O,, y, z ( figure I.16). coordonnées carésiennes ( ) z z A z A A z A O A y y A i k O j A y y A Figure I.16 A' Figure I.17 A' Ramenons A e ses projecions à l origine O (figure I.17). On consaera alors que : z A=A'+A A'=A +Ay A=A +A y +Az (I.1) si, de plus : A = A i A y = Ay j A = A k z z alors : A=A i+ay j+azk (I.) 15

16 A, A y e A z son les composanes du veceur A sur les aes des coordonnées. ; ce son ses projecions algébriques A A, A y, A z ou A Ay Noaions : ( ) A A A, A y e Az son ses projecions géomériques sur les aes des coordonnées. Le module de A es donné par : z A= A +A y+az (I.3 ) Remarques : a) Ean donné les poins M( M, y M,z M ) e N(, y N,z N ) N dans ( O,, y, z) les composanes du veceur MN s obiennen en écrivan : MN = MO+ ON = ON OM = ( ) i +(y y ) j +(z z ) k (I.4 ) N M N M N M MN ( ),(y y ),(z z ) Soi ( ) N M N M N M le module de MN es défini par : ² ² ² MN = ( ) +(y y ) +(z z ) (I.5 ) N M N M N M le milieu I de MN a pour coordonnées : M + N ym + y N z M +,, b) Ean donné les veceurs A( A, A y, A z) e B( B, B y, Bz) C =A +B Si C=A+B, il aura pour composanes C C y=a y+by C=A+B z z z z N, B Si D = A, il aura pour composanes D =A B D D =A B D=A B y y y z z z 16

17 V. PRODUIT SCALAIRE V.1. Définiion Le produi scalaire de deu veceurs U e V, noé U V, es le scalaire défini par : UV = U V cosθ (I.6 ) où θ es l'angle U, V. Le produi scalaire es donc posiif pour θ aigu, négaif pour θ obus. V.. Forme géomérique Par définiion du produi scalaire UV : V UV = U Vcosθ= U V V U VU es la projecion algébrique de V sur U (figure I.18) U V U Figure I.18 U Le produi scalaire de deu veceurs es égal au produi du module de l'un par la mesure algébrique de la projecion de l'aure sur sa droie suppor. V.3. Forme analyique En posan U, U, y Uz e V, V, y V z les composanes respecives de U e V dans la base orhonormée i, j, k, le produi scalaire de ces deu veceurs es le scalaire défini par la relaion : U V= U i+uy j+uz k V i+vy j+vz k UV = UV+UV+UV (I.7 ) y y z z car : i i = j j = k k = 1 i j = j k= k i = 0 17

18 V.4. Propriéés Commuaivié : UV=VU ; Disribuivié par rappor à l'addiion : U+V W = U W+V W ; Linéarié : α U β V = ( αβ) UV ( α e β éan des scalaires) V.5. Condiion d orhogonalié de deu veceurs. U V cos U,V = 0 U V=0 U V U V +U V +U V =0 y y z z ( I.8) V.6. Applicaions du produi scalaire en géomérie Déerminaion du cosinus de l'angle enre deu veceurs U ( U,U y,uz) V( V,V y,vz). e Par applicaion du produi scalaire : UV UV+UV+UV y y z z cos U, V = = U V U +U +U V +V +V y z y z (I.9) Relaion mérique dans un riangle quelconque (figure I.19) Nous avons BC = BA + AC A d'où a θ b Soi BC = BA + AC + BA AC = BA + AC AB AC c = a +b B c Figure I.19 ab cosθ (I.10) C Remarque : dans le cas d un riangle recangle en A, on rerouve le héorème de Pyhagore : c = a +b. 18

19 VI. PRODUIT VECTORIEL VI.1. Définiion Le produi vecoriel de deu veceurs U e V, es un veceur W, noé W= U V: de direcion elle que: W U ew V (W es perpendiculaire au plan conenan les C veceurs U e V ) ( figure I.0). O de sens el que le rièdre U,V,W soi direc. U A Figure 1.0 de module : W=U.Vsin U,V. (I.11 ) W V B W mesure l'aire du parallélogramme OABC consrui sur les représenans OA e OB des veceurs U e V. En effe, H éan la projecion de A sur OB, on a AH = OA sin U,V = U.sin U,V (I.1) e l'aire du parallélogramme devien OB AH= U V sin U,V = W (I.13) Remarque : VI.. Forme analyique i j = k ; j k= i ; k i = j i i = j j = k k = 0 En posan U, U, y Uze V, V, y Vles z composanes respecives de U e V dans la base orhonormée i, j, k, le produi vecoriel de ces deu veceurs es le veceur défini par la relaion: 19

20 i j k ( ) ( ) ( ) W =U V= U Uy U z = UyVz UzVy i+ UzV UVz j+ UVy UyV k V V V W y z W Wy z (I.14) Pour obenir les composanes du produi vecoriel on effecue la différence classique des "produis en croi" des composanes pour W e on en dédui W y e Wz successivemen en effecuan une permuaion circulaire sur les indices : yz. VI.3. Propriéés Non commuaivié : U V = V U ; Disribuivié par rappor à l'addiion U+V W=U W+V W; Linéarié : α U β V = ( αβ) U V ( α e β éan des scalaires) VI.4. Condiion pour que deu veceurs soien parallèles. soi U//V U Vsin U,V = 0 ( I.15) U V=0 ( I.16) VI.5. Applicaions du produi vecoriel en géomérie - Sachan que l aire du parallélogramme (ABCD) es donnée par AB AD ; l aire du riangle (ABC) es par conséquen égale à 1 AB AD ; - Equaion carésienne d'une droie (D) passan par deu poins A e B d'un plan Oy : Si un poin M (D) alors AM AB =0. VI.6. Applicaions du produi vecoriel en physique - Par définiion, le momen d'un veceur AB par rappor à un poin O (figure I.1) es : 0

21 P O M H A Figure I.1 B Soi M ( AB / O) =OA AB (I.17 ) Son module es (AB/O) M =OA ABsin(OA,AB) = OA sin( OA, AB ) AB OH M (AB/O) = OH AB (I.18 ) VI.7. Orienaion de l'espace - "Règles des rois doigs" de la main droie ( figure I.). On associe les veceurs de base i, j, k au aes d'un rièdre recangle formé par les rois doigs de la main droie. Pour former un rièdre direc, on oriene - i dans la direcion du pouce. - j dans la direcion de l'inde. - k dans la direcion du majeur. Figure I. VII. LE PRODUIT MIXTE DE TROIS VECTEURS VII.1. Définiion Soi rois veceurs A, B e C, le produi mie de ces rois veceurs es le scalaire : a=a(b C) C es le produi scalaire de l un des veceurs par le produi vecoriel des deu aures. L ordre des veceurs es imporan. En posan A, A y, A z ; B, B y, B z e C, C y, C z les composanes respecives de A,B e C dans la base orhonormée i, j, k, le produi mie de ces rois veceurs es le scalaire défini par la relaion: 1

22 i j k a=a(b C) = (A i +A j +A k)b B B y z y z C C C y z ( I.19 ) B B B B B B = A A A y z z y + y + z Cy Cz Cz C C Cy Inerpréaion géomérique : Considérons le veceur V = ( B C) don le module es égal à la surface du parallélogramme consrui sur les représenans de B e C. Remarquons que AV = OH V où OH es la V H θ A C projecion de A sur le suppor de V. En conséquence, la valeur absolue du produi mie a = A.( B C) mesure le volume du parallélépipède ( figure I.3). O B Figure I.3 VII.. Propriéé Une permuaion circulaire des veceurs ne modifie pas la valeur du produi mie : a = A.(B C) = C.(A B) = B.(C A) (I.0 ) VII.3. Applicaion du produi mie en physique Le momen d une force F, appliquée au poin M de l espace, par rappor à un ae ( Oz) muni du veceur uniaire k (figure I.4) es donné par la relaion: M (F/O) i 0 z k j F M y M (F/Oz) = k OM F Figure I.4

23 VIII. ANALYSE DIMENSIONELLE VIII.1. Dimension Equaion au dimensions Toue grandeur physique es caracérisée par sa dimension qui es une propriéé associée à une unié. La dimension de la grandeur G se noe [G]. Elle nous informe sur la naure physique de la grandeur. Par eemple, si G a la dimension d une masse, on di qu'elle es homogène à une masse. La relaion [G] = M correspond à l'équaion au dimensions de la grandeur G. Il eise sep grandeurs fondamenales : - la longueur (L) - la masse (M) - le emps (T) - l inensié du couran élecrique (I) - la empéraure (θ) - l inensié lumineuse (J) - la quanié de maière (N) Toues les aures son liées à ces grandeurs fondamenales. Par eemple, une aire A éan le produi de deu longueurs, sa dimension es [A] = L. Toue relaion doi êre homogène en dimension, c'es-à-dire que ses deu membres on la même dimension. Ainsi l équaion A = B + C.D n a de sens que si les dimensions de A e de (B + C.D) son ideniques. Pour obenir la dimension du second membre on doi appliquer les règles suivanes : la dimension du produi C.D es le produi des dimensions de chacune des grandeurs C e D : [C.D] = [C].[D]; la dimension de la somme B + C.D es la somme des dimensions de chacun des deu ermes B e C.D : [B + C.D] = [B] + [C.D]. Remarques : Toue équaion au dimensions d une grandeur G peu se mere sous la forme : [G] = L a M b T c I d θ e J f N g (I.1) Pour les foncions sin(f), cos(f), an(f), log(f) e e f, l argumen f es sans dimension. Applicaion : période d un pendule simple Inuiivemen, on peu penser que la période P d un pendule simple (figure I.5) pourrai dépendre de la longueur l du fil, de la masse m du corps e de l accéléraion de la pesaneur g. Eablissons la relaion qui décri cee dépendance. 3

24 Epression de P en foncion des aures grandeurs : α β γ P=k m l g (I.) où k es une consane sans dimension e α, β e γ son des eposans à déerminer. Remarquons que : [ P] = T; m = M ; l = L ; g = (LT ) = L T α α β β γ γ γ γ L équaion au dimensions de (I.) es alors : T= M L L T = M L T α β γ γ α β+γ γ L équaion devan êre homogène, il en résule les relaions suivanes La relaion (I.) devien alors : α= 0 β+γ= 0 β= γ 1 1 γ= 1 γ= β= l P=k g l m Figure I.5 Cee analyse monre que la période du pendule ne dépend pas de la masse m. VIII.. Erreur e inceriude Dans oue epérience, il n eise pas de mesures eaces. Celles-ci son oujours enachées d erreurs plus ou moins imporanes selon la méhode de mesure adopée, la qualié des insrumens uilisés e le rôle de l opéraeur. L insrumen de mesure, même consrui sur un éalon, possède aussi une ceraine précision communiquée par le fabrican. Les mesures son donc réalisées avec des approimaions. L esimaion des erreurs commises sur les mesures e de leurs conséquences es alors indispensable. a. Erreur absolue e erreur relaive L erreur absolue d une grandeur G mesurée es la différence ΔG enre la valeur epérimenale e une valeur de référence suscepible d êre considérée comme eace. Dans la praique, la valeur eace éan inaccessible, on l approche en effecuan la moyenne d une série de mesures de la grandeur G Δ G = G G mes ref 4

25 G ref = G = moy n 1 n G i où les G i son les valeurs obenues lors de la série des n mesures effecuées. L erreur relaive es le quoien de l erreur absolue à la valeur de référence. L erreur relaive es sans dimension; elle nous indique la qualié (la précision) du résula obenu. Elle s eprime en ermes de pourcenage. Erreur relaive = ΔG G ref b. Inceriude absolue e inceriude relaive Lors des mesures physiques, nous ne possédons pas en général de valeur de référence, comme celle don nous venons de parler. Lorsque nous mesurons la disance enre deu poins, l inervalle de emps qui sépare deu événemens, la masse d un obje ou l inensié d un couran nous ne savons pas quelle es la valeur eace de la grandeur mesurée. Touefois, par une analyse des moyens uilisés pour faire la mesure, nous pouvons inroduire les noions suivanes : L'inceriude absolue sur la mesure de G es l'erreur maimale suscepible d êre commise dans l évaluaion de G. L'inceriude relaive es le rappor enre l inceriude absolue e la valeur de référence de G. Elle s eprime égalemen en ermes de pourcenage e c es une manière commode de chiffrer la précision d'une mesure. La déerminaion de l inceriude absolue nécessie l idenificaion préalable des sources d erreurs pouvan affecer la qualié de la mesure e de quanifier les inceriudes qui leur son associées. En général ces inceriudes son aribuées au insrumens e à l opéraeur. Dans le premier cas, le consruceur fourni une noice indiquan l inervalle de confiance cenré sur la valeur affichée. Pour le second cas, l opéraeur doi êre en mesure d esimer l inceriude de la mesure en foncion de ses propres capaciés. La valeur de la grandeur G peu êre obenue par mesure direce. Dans ce cas, son inceriude es la somme des deu inceriudes précédemmen ciées. Par eemple pour mesurer une résisance R on peu uiliser un ohmère. Une aure possibilié consise à mesurer la différence de poeniel V à ses bornes e l inensié I du couran qui la raverse à l aide d un volmère e d un ampèremère. On uilise alors la relaion R = V/I e la mesure es ainsi indirece. Dans le cas d une mesure indirece d une grandeur G eprimée en foncion de grandeurs indépendanes, la déerminaion de son inceriude obéi au règles suivanes : 5

26 Cas d une somme ou d une différence Si G = A + B ΔG = ΔA + ΔB, e Si G = A B ΔG = ΔA + ΔB Auremen di, l'inceriude absolue sur la somme ou la différence de deu grandeurs es égale à la somme des inceriudes absolues de ces grandeurs. Cas d un produi, d un rappor ou d une puissance Supposons mainenan que la grandeur cherchée G soi le résula du calcul suivan : G=k α A.B γ C β où A, B e C son des grandeurs que l on mesure e k es une consane. Dans ce cas l inceriude relaive sur le résula s obien selon la démarche suivane : Nous appliquons la foncion logarihme au deu membres de la relaion α β A.B log G = log k = log k +αloga + βlog B γlogc γ C ( I.3) La différenielle de l epression donne : dg da db dc = α + β γ (I.4 ) G A B C Sachan que les erreurs absolues ou relaives s addiionnen, nous obenons : ΔG ΔA ΔB ΔC = α + β + γ (I.5 ) G A B C Auremen di, l'inceriude relaive sur un produi ou un rappor de deu grandeurs es égale à la somme des inceriudes relaives de ces grandeurs. La valeur corrigée de G serai donc : G corrigée =G ± ΔG Dans le cas de la déerminaion d une résisance R par la méhode indirece, V ΔR ΔV ΔI R = = + I R V I 6

27 CHAPITRE II CINEMATIQUE I. INTRODUCTION La cinémaique es la branche de la mécanique qui décri le mouvemen d un corps, c es-à-dire la modificaion apparene de sa posiion avec le emps, en ignoran les agens qui en son la cause. La plupar des corps éudiés par les physiciens son en mouvemen. Le mouvemen apparaî à oues les échelles de l univers, depuis les paricules els que les élecrons, les proons e les neurons qui consiuen les aomes, jusqu au galaies. Il es esseniel de bien définir le mouvemen pour pouvoir comprendre beaucoup de phénomènes que nous observons auour de nous. Un corps peu avoir un mouvemen : de ranslaion : mouvemen d une voiure sur une roue ; de roaion : celle de la erre sur elle-même ; de vibraion : peies oscillaions d un sysème masse-ressor ; combinan plusieurs de ces mouvemens. I.1. Sysème de référence Le repos e le mouvemen son deu noions relaives. En effe, un observaeur A immobile voi un arbre dans une posiion fie alors que le conduceur B d une voiure roulan à proimié le voi en mouvemen vers l arrière. Ce eemple monre que la descripion d un mouvemen doi préciser la naure de l observaeur. En physique, l éude d un mouvemen es effecuée en remplaçan l observaeur par un sysème de coordonnées appelé égalemen repère ou sysème de référence. Un repère peu êre fie ou mobile: le sysème lié à A es fie e celui lié à B es mobile. Pour eprimer les noions de repos e de mouvemen par rappor à un référeniel, considérons un repère orhonormé R(O,, y, z ) dans lequel es repérée la posiion M(,y,z) d un corps. Le corps es au repos par rappor à ce repère si ses coordonnées son consanes au cours du emps. Cependan, si au moins l une d elles varie le corps es en mouvemen par rappor à R. 7

28 I.. Noion de poin maériel Les mouvemens des corps son souven rès complees. Lorsque, dans l éude du mouvemen d un mobile, on ne considère que sa posiion, on peu, pour simplifier, réduire ce corps à un poin maériel ayan la même masse e localisé en son cenre de gravié. Cela revien à négliger ou effe de roaion du solide sur lui-même ou son eension spaiale. Eemple : Sysème masse-fil-poulie de la figure II.1: A peu êre rédui à un poin maériel ; B e le fil ne peuven pas l êre. I.3.Trajecoire B Figure II.1 A C es le lieu géomérique des posiions successives occupées par le poin maériel au cours du emps e par rappor au sysème de référence choisi. La rajecoire peu êre une réalié maérielle (roue, voie ferrée.) ou une réalié physique qui n es pas maérialisée (rajecoire d un projecile). II. MOUVEMENT RECTILIGNE Le choi de ce mouvemen es moivé par sa simplicié : sa descripion es facile e il es décri par des équaions simples. II.1. Définiion C es un mouvemen pour lequel la rajecoire suivie es droie. Le repère peu alors êre rédui à une origine O e un ae O poré par la rajecoire (figure II.). La posiion M du mobile es repérée par le veceur posiion : II.. Diagramme des espaces OM = i (II.1) La posiion M d un mobile dépend du emps. Par conséquen, à chaque insan elle peu êre repérée par le veceur : O Figure II. OM() = () i (II.) i M 8

29 La relaion = f() es l équaion horaire du mouvemen. Eemple : une chue libre d un corps lâché à l origine O d un ae verical oriené vers le bas. Le graphe de () consiue le diagramme des espaces. 1 = g pour Remarque : le diagramme des espaces n es pas nécessairemen une droie même dans le cas d un mouvemen reciligne. Il ne fau pas confondre le diagramme des espaces avec la rajecoire. Eemple : Diagramme des espaces pour la chue libre: 5 4 (m) 3 1 II.3. Veceur déplacemen 0 0,0 0,3 0,6 0,9 1, (s) Figure II.3 Soien M e i M f deu posiions d un mobile sur l ae (O) au insans i e f. respecivemen. Le veceur MM i f es appelé veceur déplacemen enre i e f.. i f O M i MM i f M f Figure II.4 D après la relaion de Chasles : MM = MO+ OM (II.3) i f i f La relaion enre ce veceur déplacemen e les veceurs posiions es alors: 9

30 M M =Δ OM = OM OM (II.4) i f f i En conséquence, sa composane sur l ae (O) es: Δ = (II.5) f i Remarque : il ne fau pas confondre son module avec la disance parcourue. En effe, si nous considérons le déplacemen M O M d un mobile en mouvemen sur un ae O, i MM i f = f i e la disance parcourue es donnée par d= MiO + OMf = i + f. f II.4. Viesse a. Définiion Considérons le mouvemen de chue libre d une bille décri par les mesures relevées dans le ableau II.1 : posiion M 0 M 1 M M 3 M 4 M 5 (s) (m) Tableau II.1 Remarquons que pour les posiions successives l inervalle de emps es consan, soi Δ = 1s, mais les déplacemens correspondans son de plus en plus grands : MM < MM < MM < MM < MM Cela veu dire que le mobile va de plus en plus vie e pour caracériser cee propriéé on inrodui la noion de viesse : Le veceur viesse V d une paricule radui le au de variaion de son veceur posiion OM par rappor au emps. - Cee variaion peu concerner la direcion de OM, son module ou les deu. - L unié de la viesse dans le sysème inernaional (SI) es le mère par seconde (m/s). 30

31 b. Viesse moyenne La viesse moyenne d un mobile enre deu insans i e f correspondan au posiions M i e M f es définie par le rappor : V m f i Δ OM OMf OM = = Δ En valeurs algébriques, e dans le cas d un mouvemen reciligne sur un ae (O): f i i (II.6) V m f i Δ f = = Δ f i i (II.7) Eemple: Considérons le mouvemen de chue libre d une bille décri par le ableau II.1 5s 5s Vm = = = 40 (m s) Vm = 40 i m s 3s s ( ) 5s 5s Vm = = = 5 (m s) Vm = 5 i m s 0s s ( ) Remarque 1: dans le diagramme des espaces de la figure II.5 V m B A Δ = = pene de la sécane (le segmen) AB Δ (m) 10 B 5 A Δ Δ (s) Figure II.5 31

32 Remarque : la viesse moyenne scalaire es donnée par le rappor : disance parcourue d V = emps mis = Δ (II.8) Remarque 3 : une viesse moyenne V m f i caracérise l inervalle de emps [ ] lequel elle es déerminée. Dans l eemple précéden de la chue libre :, dans i f 5s 5s 5s 4s m m m m 0s 1s s 0s V V V V. Viesse insananée α. Définiion Il arrive que l on s inéresse à la viesse d une paricule à un insan pariculier correspondan à une posiion donnée. Considérons l eemple de diagramme des espaces de la figure II.6. La viesse moyenne V m B A caracérise l inervalle [, ] A B. Pour avoir une viesse qui se réfère à l insan A, inuiivemen il convien de réduire l inervalle [ A, B ] [, ]. Cela revien à faire endre B vers A, soi : A A à ( ) Δ d V A = lim = Δ 0 Δ d = A (II.9) (m) 30 0 B B B B 10 A i Figure II.6 (s) Ainsi, la pene du segmen AB endra vers celle de la angene au graphe, au poin A (voir figure II.6). Comme es la projecion algébrique du veceur posiion sur l ae, ceci nous suggère la définiion suivane : le veceur viesse insananée d un mobile, au emps, es donné par la relaion 3

33 Δ OM d OM V() = lim = Δ 0 Δ d (II.10) Algébriquemen, dans le cas d un mouvemen reciligne suivan (O) : d V() = = pene de la angene au diagramme des espaces d au poin correspondan à l insan. Le graphe de V () es appelé diagramme de la viesse. β. Mesure de la viesse Première méhode: si nous disposons du diagramme des espaces, nous pouvons obenir les valeurs algébriques, V, en mesuran les penes des angenes au graphe au poins considérés. Il es imporan de faire aenion au uniés e au signes Eemple (m) (km) Δ Δ 45 Δ 0 5 Δ (s) (h) V km/h < 0 VX ( m/s) > 0 X ( ) Figure II.7 33

34 Deuième méhode : lorsqu on dispose d un nombre suffisan de couples de valeurs (, V () ), on peu racer le graphe de V ( ) e obenir les valeurs inconnues par erapolaion ou inerpolaion comme l illusre la figure II.8. V (m/s) V =5m/s (viesse iniiale) es une valeur erapolée V =1,75m/s es une valeur inerpolée =5s (insan d'arrê) es une valeur erapolée 5 0 Valeurs connues (s) Figure II.8 Troisième méhode: on peu confondre la viesse moyenne e la viesse insananée dans deu cas : 1 er cas: lorsque la viesse es consane (mouvemen uniforme) e on a : f V() = V m, i e f (II.11) i ème cas: lorsque l écar Δ = f i es suffisammen pei on peu confondre la viesse moyenne Remarques: V - = f i m Δ f i avec la viesse insananée V() au milieu de l inervalle: [, ] f i + f = f i < ε(pei) V() = V m avec = (II.1) i V Δ es suffisammen pei lorsque la différence enre ( ) n es pas significaive par rappor au erreurs de mesure. - le milieu de l inervalle [, ] segmen M i M f. i f e i f V m ne correspond pas nécessairemen au milieu du f i 34

35 II.5. Accéléraion La viesse pouvan varier avec le emps, on caracérise ce changemen en inroduisan la noion d accéléraion. Le veceur accéléraion a radui le au de variaion du veceur viesse V en foncion du emps. - Cee variaion peu concerner la direcion de la viesse, son module ou les deu ; - L unié de l accéléraion dans le sysème inernaional es le m/s. a. Définiions En adopan la démarche suivie dans le cas de l inroducion de la viesse nous pouvons définir les grandeurs suivanes: α. Accéléraion moyenne L accéléraion moyenne d un mobile enre deu insans i e f es donnée par le rappor : f ΔV Vf V a m = = Δ i f i i (II.13) En valeurs algébriques, e dans le cas d un mouvemen reciligne sur (O), a m f i ΔV V V = = Δ f i f i (II.14) β. Accéléraion insananée : L accéléraion moyenne caracérise l inervalle de emps [, ] i f. Le passage à la grandeur insananée s effecue de façon analogue à celui de la viesse. L accéléraion, à un insan donné, es alors définie par : Δ V dv a() = lim = Δ 0 Δ d (II.15) Algébriquemen, dans le cas d un mouvemen reciligne suivan (O) : a () dv d pene de la angene au diagramme de la viesse = = (II.16) 35

36 Remarque: noons que dv d a () = d = d (II.17) Ainsi, l orienaion de la concavié du diagramme des espaces donne le signe de a : a > 0 concavié vers le sens posiif de l ae (O) ; a < 0 concavié vers le sens négaif de l ae (O). Eemple: Pour le mouvemen décri par le diagramme des espaces de la figure II.9 : a ( ) 0 A > B a ( ) 0 < C a ( ) = 0 A B C Figure II.9 b. Mesure de l accéléraion Comme pour la viesse, on peu déerminer l accéléraion : - en mesuran les penes des angenes au diagrammes des viesses ; - en procédan par inerpolaion ou erapolaion sur les graphes des accéléraions ; a() - en confondan l accéléraion moyenne au milieu de l inervalle de emps [, ] II.6. Relaions inégrales i f a m f i avec l accéléraion insananée si celui-ci es suffisammen pei : f + i Δ= f i <ε(pei) a () = a m avec = Dans ce qui précède il apparaî que l on peu passer de la posiion à la viesse e de la viesse à l accéléraion par dérivaion. Dans cee parie on monrera que le passage en sens inverse peu êre effecué par inégraion. i f 36

37 a. Passage de la viesse à la posiion La posiion e la viesse son reliées par : d V() = d soi : d = V ()d e, par inégraion enre deu insans i e f, on obien : f ( ) ( ) ( ) f i i = V d (II.18) Conséquence : si nous connaissons la posiion 0 d un mobile, à un insan pariculier 0, e l epression de sa viesse en foncion du emps, il es alors possible de déerminer sa posiion () à n impore quel insan en écrivan : () () = + V d (II.19) 0 0 Eemple: Un mobile, animé d un mouvemen sur l ae (O) avec une viesse () ( ) V = + 1 m/s passe au poin d abscisse 0 = m au emps 0 = 0s. Déerminez l équaion horaire de la posiion. Réponse: () () ( ) = + V d = d = + + (m) Graphiquemen, l équivalence enre la valeur de l inégrale d une foncion e l aire siuée enre la courbe de son graphe e l ae des abscisses nous perme d écrire : f ( ) ( ) ( ) f i i = V d (II.0) V = aire algébrique délimiée par la courbe de V ( ),l ae des emps e les droies = i e = f f i i f Figure II.10 37

38 Eemple: considérons le diagramme de viesse de la figure II.11 ; connaissan ( 0s) déerminons ( s) e ( 5s). = 1m, V (m/s) 0 A 1 A A (s) - Figure II.11 ( ) ( ) ( ) 0 s = 0s + V d = 1+ aire A ( ) ( ) ( ) 5 1 ( ) 1 = 1+ = 0 m 5s = s + V d = 0+ aire A ( ) ( ) = =,5 m Remarques: - Les aires éan algébriques, oue parie se rouvan sous l ae (O) es négaive e celle se rouvan au-dessus es posiive. Dans l eemple précéden : 1 0 () A = V d = 1m< 0 5 (). A = V d =,5 m> 0 - Pour calculer la disance parcourue enre 0s e 5s on fai la somme des valeurs absolues des aires considérées : 5s d = A + A = 1+,5= 3,5 m. 0s 1 38

39 b. Passage de l accéléraion à la viesse L accéléraion e la viesse son reliées par : dv a () = d soi : dv = a () d L inégraion enre deu insans i e f donne : f f i i () V() V() = a d (II.1) Conséquence: si nous connaissons la viesse V 0 d un mobile, à un insan pariculier 0, e l epression de son accéléraion a () en foncion du emps, il es possible de déerminer sa viesse V () à n impore quel insan, en écrivan : Graphiquemen, () () 0 0 V = V + a d (II.) f f i i V ( ) V ( ) = a () d (II.3) Cee epression représene l aire algébrique délimiée par la courbe de a ( ) emps e les droies = i e = f., l ae des Eemple: A parir du diagramme de l accéléraion de la figure II-1, déerminons V ( s) e V ( 6s), sachan que V ( 0s) = 1m/s. a (m/s ) A 0 0 A (s) - Figure II.1 39

40 ( ) ( ) ( ) V s = V 0s + a d = 1+ aire A 1 0 ( ) ( ) ( ) 6 ( ) = = 1 m s V 6s = V s + a d = 1+ aire A = 1+ 4 = 7 m s II.7. Eude cinémaique de mouvemens recilignes pariculiers a. Mouvemen reciligne uniforme On considère le mouvemen d un mobile comme éan uniforme lorsque la valeur algébrique de sa viesse es consane. C es un mouvemen sans accéléraion en veru de la relaion : dv = = d a () 0 A parir de la formule inégrale, pour ( 0) Diagrammes : () 0 =, on obien : = + V d = V + (II.4) a V V > 0 V > 0 a =0 0 V < 0 V < 0 Figure II.13 b. Mouvemen reciligne uniformémen varié On di que le mouvemen es uniformémen varié lorsque l accéléraion du mobile es consane. En uilisan le calcul inégral, on obien pour la viesse : V () V a d = + = a + V 0 avec V0 = V ( 0) 40

41 - pour la posiion : () = 0 + = 0 + ( + 0) Eemples de diagrammes : Cas où a > 0 V d a V d a V = + + avec = ( 0) a X (m/s²) 6 V X (m/s) 6 (m) 0 4 (s) 4 * (s) -4 4 * (s) - -4 Figure II.14 Cas où a < 0 a (m/s²) X (s) - V 6 X (m/s) 4 * (s) -4 Figure II.15 6 (m) 4 * (s) -4-6 c. Formule indépendane du emps Cee formule es valable uniquemen pour le mouvemen uniformémen varié (a = consane). Par définiion dv a = d dv = a d 41

42 En muliplian les deu membres par V, on obien : V dv = a V d Comme il vien d V = V d = d d V dv = a d soi V VdV = V 1 1 a d a éan consan, on obien : V 1 ( ) V = a (II.5) 1 d. Naures pariculières du mouvemen reciligne V a = consane : le mouvemen es reciligne uniforme ; = consane : le mouvemen es reciligne uniformémen varié ; a V > 0: le mouvemen es reciligne accéléré (uniformémen si a = consane) ; a V < 0: le mouvemen es reciligne décéléré ou reardé (uniformémen si a = consane). III. MOUVEMENT DANS L ESPACE C es un mouvemen don la rajecoire es une courbe quelconque, c es-à-dire qu elle n es pas nécessairemen droie. III.1. Repérage de la posiion Pour décrire le mouvemen d un mobile, il fau choisir une origine O qui servira de poin de repère. Sa posiion P() es repérée à chaque insan par le veceur posiion r () OP () = (figure II.16). Pour analyser le mouvemen, il fau définir un sysème de coordonnées lié à l origine O. Le choi de ce sysème dépend des propriéés spécifiques du problème considéré. Figure II.16 4

43 Pour simplifier l éude du mouvemen dans l espace, nous choisirons dans un premier emps d uiliser le sysème de coordonnées carésiennes qui nous es familier. Nous en verrons d aures dans ce chapire. Le sysème de coordonnées carésiennes adopé es composé de rois aes (O, Oy, Oz), munis des veceurs uniaires i, j, k (figure II.17). Les élémens i, j, k formen une base orhonormée (ils son perpendiculaires enre eu e de modules égau à l unié). z z i k O OM j M(,y,z) y y M Figure II.17 Dans ce référeniel, le veceur posiion d un mobile M s écri comme sui : r = OM= i+ y j+ zk (II.6), y e z son les coordonnées du poin M dans nore référeniel. Comme la posiion varie avec le emps, ces coordonnées son des foncions de la variable. () () () = Les relaions y = y consiuen les équaions z = z paramériques du mouvemen. Eemple z La figure II.18 représene la rajecoire d un mouvemen hélicoïdal. A chaque insan, la posiion M du mobile es repérée par ses coordonnées carésiennes données par les équaions paramériques O ω M y 43 Figure II.18

44 = 0cos( ω) y = 0 sin( ω ) z = Vz où 0 e V z son des consanes. Remarques: - Dans le cas général, nous repérons une posiion en uilisan ses rois coordonnées dans un sysème à rois aes (ridimensionnel). Lorsque le mouvemen a lieu dans un plan (mouvemen plan), on peu réduire le repère à un sysème bidimensionnel composé, par eemple, des aes (O, Oy) conenus dans le plan du mouvemen. - L équaion de la rajecoire s obien en éliminan la variable enre les équaions paramériques. Par eemple, pour le mouvemen d un projecile lancé de l origine O avec une viesse iniiale, V 0, horizonale, les équaions paramériques son : = V0 1 y = g pour un ae (Oy) ascendan. On peu alors écrire : = V En subsiuan cee epression dans l équaion de y, on obien celle de la rajecoire : g y= ² V Lorsque les équaions paramériques coniennen des foncions rigonomériques de la variable emps, il fau essayer de procéder en eploian ceraines relaions qui les caracérisen. Par eemple, si () () = cos y = sin Alors ( ) ( ) + y = cos + sin = 1 III.. Veceur déplacemen Si à l insan 1 un mobile se rouve en M1 el que : 44

45 OM = i + y j + z k (II.7) ( ) e à l insan il se rouve en M el que : OM = i + y j + z k (II.8) ( ) le veceur déplacemen es le veceur MM 1 (figure II.19). M 1 OM 1 Δ OM M OM O Figure II.19 Sa relaion avec les veceurs posiions es alors: MM =Δ OM=Δ r= OM OM (II.9) 1 1 Dans le sysème de coordonnées carésiennes : III.3. Veceur viesse Δ r =Δ OM=Δ i+δ y j+δ zk avec Δ = Δy = y Δz = z y z (II.30) a. Veceur viesse moyenne V m 1 Soien M 1 la posiion du mobile à l insan 1 e M celle à l insan. Dans ce cas aussi, nous définissons le veceur viesse moyenne enre ces deu insans par : V m 1 MM Δ 1 = = Δ OM Δ (II.31) 45

46 Caracérisiques: son module es : V m 1 MM 1 = = Δ Δ OM Δ (II.3) il a la même direcion e le même sens que MM 1. c es un veceur glissan ; son poin d applicaion es un poin du segmen [ M M 1 ]. z M 1 MM 1 OM 1 OM 1 M V m 1 O y Figure II.0 Son epression analyique dans le sysème de coordonnées carésiennes es: Δ Δy Δz Vm = i+ j+ k Δ Δ Δ 1 = V i + V j + V k m my mz (II.33) b. Viesse insananée V() Comme pour le mouvemen reciligne, la viesse insananée, dans son sens général, donne des renseignemens plus précis que le veceur viesse moyenne : elle défini la viesse du mobile à chaque insan. 46

47 La viesse insananée s obien égalemen, à parir de la viesse moyenne en réduisan l inervalle de emps Δ jusqu à zéro. Ainsi, la viesse insananée V ( ) s obien en considéran la limie de V m lorsqu on fai endre M vers M 1. Graphiquemen, la direcion du veceur déplacemen end vers celle de la angene en M 1. Mahémaiquemen, cela se radui par : () V lim Δ OM d OM = = Δ 0 Δ d (II.34) Caracérisiques: Le veceur viesse insananée es, à chaque insan, angen à la rajecoire; Son sens es celui du mouvemen. Composanes dans un sysème de coordonnées carésiennes: Dans la base O, i, j, k, V s eprime : d V() = i y j zk d + + d dy dz = i + j + k d d d = V i + V j + V k y z (II.35) soi d V = = pene de la angene au graphe de d dy V () Vy = = pene de la angene au graphe de y d dz Vz = = pene de la angene au graphe de z d () () () (II.36) e V = V + Vy + Vz (II.37) 47

48 Mouvemen plan: La base es réduie à i, j e V s eprime : V V i V j () = + y soi () V d V = d dy Vy = d e V = V + V y y V y M() V j O i Figure II.1 V III.4. Veceur accéléraion a. Veceur accéléraion moyenne a m La variaion relaive de la viesse au cours de l inervalle de emps Δ = 1 es donnée par le veceur accéléraion moyenne : 1 ΔV V V a m = = Δ Δ 1 1 (II.38) son module es : a m 1 Δ V = Δ (II.39) 48

49 il a même direcion e même sens que généralemen a m 1+ milieu de l inervalle, soi: = (figure II.). 1 Δ V ; es appliqué au poin M où le mobile se rouve à l insan y M() 1 1 V 1 = + 1 M( ) M() Δ V V Représenaion a m 1 Consrucion V 1 a m 1 O Figure II. D un poin de vue algébrique, ceci nous amène à écrire dans le repère carésien : ΔV ΔV y ΔVz a m = i+ j+ k 1 Δ Δ Δ = a i + a j + a k m my mz (II.40) b. Veceur accéléraion insananée a() Comme précédemmen, nous allons passer à la limie Δ 0 pour obenir l accéléraion insananée Δ V dv a() = lim = Δ 0 Δ d Son module, sa direcion e son sens ne peuven généralemen êre précisés qu en inroduisan ses composanes dans un sysème de référence. Touefois a es oujours oriené vers le côé concave de la rajecoire. 49

50 Dans le sysème de coordonnées carésiennes, a s écri : d a (V i V j V k) d dv dv y dv z = i + j + k d d d () = + y + z = a i + a j + a k y z (II.41) soi dv d a = = = pene de la angene au graphe de V d d dvy dy a () a y = = = pene de la angene au graphe de V y d d dvz dz a z = = = pene de la angene au graphe de V z d d () () () (II.4) e a = a + ay + az (II.43) III.5. Passage de l accéléraion à la viesse e à la posiion V e a Rappelons que () () s obiennen par dérivaion à parir de r () : () V () () dr dv = e a () = d d Il arrive que c es l accéléraion qui es connue. Il fau donc passer de celle-ci à la viesse e ensuie à la posiion, par inégraion. Pour ce faire, nous pouvons mere les deu relaions précédenes sous la forme : dr Algébriquemen ces relaions donnen : d () = V() d e dv() = () a d () = V () d ; dy( ) = V ( ) d ; dz( ) V ( ) y = () = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) dv a d ; dv a d ; dv a d y y z z L inégraion de ces équaions a pour conséquences : z d 50

51 si nous connaissons le veceur posiion OM (, y, z ) pariculier 0, e l epression emporelle de sa viesse V()( V (),V y(),v z() ) de déerminer sa posiion à n impore quel insan, en écrivan : d un mobile, à un insan, il es possible () = + () V d 0 () = + () y y V d () = + () y z z V d 0 z (II.44) si nous connaissons le veceur viesse V0 ( V 0,V y0,vz0) d un mobile, à un insan pariculier 0, e l epression emporelle de son accéléraion a()( a (),a y(),a z() ) possible de déerminer sa viesse à n impore quel insan, en écrivan :, il es () = + () V V a d 0 () = + () V V a d y y0 y () = + () V V a d z z0 z (II.45) III.6. Approimaion des grandeurs insananées à l aide des grandeurs moyennes Comme pour le mouvemen reciligne, si Δ = f i es suffisammen pei on peu confondre : la viesse moyenne, ; l inervalle de emps [ ] i f V l accéléraion moyenne de l inervalle de emps[, ]. Soi i f m a f i m avec la viesse insananée Vm () f i avec l accéléraion insananée a() f V() = Vm f + i a() = am i f i (pei) avec f Δ = <ε = i au milieu de au milieu 51

52 III.7. Abscisse, viesse e accéléraion curvilignes Si la rajecoire d un mobile M es connue on peu: l oriener dans un sens arbiraire ; choisir un poin origine M 0, fie, sur cee rajecoire ; choisir une unié graphique. M 0 La valeur algébrique de l arc (M 0M) es l abscisse curviligne s du poin M Eemple: Sur une care rouière les disances son déerminées à parir des abscisses curvilignes. L origine es le poin kilomérique zéro e l unié le kilomère. On défini, respecivemen, la viesse e l accéléraion curvilignes par les relaions : O Figure II.3 () V () a ( ) ds = (II.46) d ( ) dv = (II.47) d Eemple: Mouvemen circulaire varié sur une rajecoire de rayon R: dθ d θ s = R θ ; V = R ; a = R d d Sens >0 M s θ M 0 Figure II.4 III.8. Composanes inrinsèques de l accéléraion a. Définiions Dans cerains cas, pour déerminer l accéléraion en un poin M, on uilise ses composanes inrinsèques qui son ses projecions algébriques (figure II.5): 5

53 - a sur un ae angeniel (MT) muni du veceur uniaire mouvemen. - n u, dirigé dans le sens du a sur un ae normal (MN) muni du veceur uniaire n, oriené vers le côé concave de la rajecoire. N u Trajecoire orienée a n a a u n M u a Figure II.5 T a a n a n D où l epression a = a + a n = a u + a u n n (II.48) a e a n son, respecivemen, les composanes angenielle e normale de l accéléraion. Remarque: les veceurs uniaires e u n u formen une base orhonormée appelée base de Frene. C es une base de projecion (ou repère) liée à la posiion M du mobile. En physique il ne fau pas confondre cee noion avec celle de référeniel qui, lui, es lié à un observaeur. b. Epressions des composanes angenielle e normale de l accéléraion Comme le veceur viesse es angeniel, il s écri dans le repère de Frene : V = Vu V éan le module. Dérivons cee epression par rappor au emps pour rouver l accéléraion : 53

54 dv d u a = u + V d d Noons que du d du ds = ds d Rappelons que d s = d Les veceurs de la base de Frene formen en permanence une base orhonormale e leurs dérivées vérifien un cerain nombre de relaions. Noammen, on l admera : V du 1 u n ds = ρ ρ(s) es appelé rayon de courbure de la rajecoire au poin considéré. Si la rajecoire es suffisammen régulière, il y a oujours un cercle e un seul qui lui es angen ; ρ es alors son rayon. Il en résule l epression eplicie suivane de l accéléraion dv V a = u + un ρ d = a u + a u n n (II.49) Inerpréaion: dv - a = indique que la composane angenielle es liée au changemen du module d de la viesse, c'es-à-dire si l obje se déplace plus vie ou moins vie. - V a n = ρ la présence de ρ signifie que la composane normale indique que la rajecoire es courbe. En conséquence, la direcion du veceur viesse varie. Eemples: - Mouvemen reciligne varié : reciligne signifie qu il n y a pas de variaion de la direcion du veceur viesse. Dans ce cas le rayon de courbure ρ de la rajecoire es infini e de ce fai a n = 0. Varié veu dire a 0. 54

55 - Mouvemen circulaire uniforme : circulaire signifie que le mobile se déplace sur une V² rajecoire circulaire de rayon R = ρ. De ce fai a n = 0. Uniforme veu dire a = 0. R - Complémens: α) le rayon de courbure en un poin P de la rajecoire O Trajecoire Figure II.6 P P Soien P un poin voisin de P e O le poin d inersecion des normales à la rajecoire, en P e P. Le rayon de courbure, ρ, es égal à la limie de la disance (OP) lorsque P end vers P. β) naure du mouvemen ρ= consane : le mouvemen es circulaire ; a = 0 : le mouvemen es uniforme ; a = consane : le mouvemen es uniformémen varié ; a > 0 : le mouvemen es accéléré (uniformémen si a = consane) ; a < 0 : le mouvemen es décéléré ou reardé (uniformémen si a Eercice : Monrer que le mouvemen décri par les équaions paramériques ( ) () = cos (m) y = sin (m) = consane). dans le sysème de coordonnées carésiennes ( O,, y) es circulaire uniformémen accéléré. Réponse : Remarquons que ( ) ( ) cercle cenré en O e de rayon R=1m. Le veceur viesse a pour composanes + y = cos + sin = 1. La rajecoire es alors un 55

56 d V = = sin m/s d V dy Vy = = cos ( m/s) d ( ) e pour module ( ) ( ) V = V + Vy = 4 cos sin + = (m/s) L accéléraion aura pour composanes inrinsèques: dv a (m/s²) = = d a V an = = 4 (m/s²) R Finalemen la composane angenielle de l accéléraion es consane e posiive. Le mouvemen es alors uniformémen accéléré. III.9. Eude du mouvemen en coordonnés polaires a. Définiion Ce sysème de coordonnées es approprié pour éudier les mouvemens plans à symérie de roaion. Le repérage s effecue relaivemen à un ae polaire (O), d origine O appelée pôle. On peu alors repérer la posiion de ou poin M du plan conenan (O) par : u θ u r le rayon polaire () () r = OM (II.50) O r M θ Figure II.7 l angle polaire θ () = O,OM (II.51) qui peuven varier avec le emps. Noons que le rayon r e l angle θ (els que définis dans la figure II.7) son posiifs. b. La base - u r Dans ce sysème on uilise la base consiuée par les veceurs uniaires : ayan la direcion e le sens de OM - u θ obenu par roaion de u r d un angle π ; dans le sens rigonomérique. 56

57 La base ( u r,u θ ) es liée au poin M, e de ce fai les direcions des veceurs uniaires peuven varier avec le emps. Leurs dérivées vérifien un cerain nombre de relaions, noammen, on l admera : r du dθ du d θ θ = u θ ; = u r (II.5) d d d d c. Lien avec les coordonnées carésiennes y O r θ Figure II.8 M Les coordonnées polaires r e θ du poin M son liées au coordonnées carésiennes par les relaions suivanes: = r cosθ (II.53) y = rsin θ d. Veceurs posiion, viesse e accéléraion Veceur posiion: Les définiions de r() e de u r nous permeen d écrire : OM = r u r (II.54) Veceur viesse: Par définiion dom d V= = r() u r () d d dr d u r = ur + r d d dr dθ = ur + r u d d = Vu+ Vu r r θ θ θ V θ V O u θ r θ M u r V r Figure II.9 Trajecoire On peu y idenifier les composanes de la viesse : dr V r = : composane radiale (II.55) d V dθ Vθ = r : composane ransversale (II.56) d 57

58 Veceur accéléraion: On obien son epression par dérivaion du veceur viesse : dv d dr dθ a = = u r r u d d + d d θ r r θ θ d r dr d u dr dθ d θ dθ d u = u + + u + r u + r d d d d d d d d θ θ θ θ θ u r uθ uθ r u r u θ r dr dr d drd d d d = d d d d d d d d θ dr d drd d θ θ θ r u r r u θ = + + d d d d d ( ) r ( ) = r rθ u + rθ+ rθ u = a u + a u r r θ θ Par idenificaion on obien : ar = r r θ : composane radiale (II.57) a aθ = r θ+ r θ: composane ransversale (II.58) III.10. Eude du mouvemen en coordonnées cylindriques θ Lorsqu un mouvemen a lieu sur une surface cylindrique ou en spirale, on uilise souven les coordonnées cylindriques que l on défini par rappor au sysème carésien. Le mobile M es alors repéré par z z M les coordonnées polaires r e θ de sa projecion «m» sur le plan (O,, y) ; sa coordonnée aiale z. Les coordonnées cylindriques ne son qu une eension des coordonnées polaires au cas ridimensionnel. Dans ce sysème, les grandeurs cinémaiques vecorielles, OM, V e a son définies par les composanes polaires de leurs projecions sur le plan (O,,y), compléées par leurs composanes aiales. On obien alors pour : O r m θ Figure II.30 k u θ u r y 58

59 le veceur posiion: OM = r u + z k (II.59) r le veceur viesse: dr dθ dz V = u r + r u θ+ k (II.60) d d d soi dr V r = : composane radiale (II.61) d dθ V Vθ = r : composane ransversale (II.6) d dz V z = : composane aiale (II.63) d le veceur accéléraion: ( ) r ( ) a = r rθ u + r θ+ rθ u + z k (II.64) θ soi ar = r r θ : composane radiale (II.65) a aθ = r θ+ r θ: composane ransversale (II.66) az = z : composane aiale (II.67) III.11. Complémen sur le mouvemen circulaire a. Veceur posiion V u θ u r R M La rajecoire éan un cercle, le mobile peu êre repéré par les coordonnées polaires : O θ ( ) r = R = consane OM θ = θ () (II.68) e Figure II.31 OM = R u r 59

60 b. Veceur viesse ω Les composanes s obiennen à parir des epressions générales en coordonnées polaires : O Figure II.3 OM M V dr dθ dθ V= u r + r u θ = R u d d d = Rωu = Vu θ θ θ (II.69) V es la viesse curviligne lorsque la rajecoire es orienée dans le sens de θ. dθ ω = es la viesse angulaire du mouvemen. Elle es reliée à la viesse d curviligne par la relaion V= Rω e son unié es le rd/s. Dans le cas où la rajecoire es dans le plan (O,, y), en remarquan que la relaion (II.69) devien alors : u θ = k u, r V = Rω k u r = ω k R u r =ω OM Ainsi, dans un mouvemen circulaire on représene la viesse angulaire par un veceur de module égal à d θ e el que le rièdre OM, V, ω soi direc (voir figure II.3). d c. Veceur accéléraion Uilisons l epression générale de l accéléraion en coordonnées polaires : ( ) r ( ) a = r rθ u + r θ+ rθ u (II.70) θ En enan compe du fai que r = R, on obien a = Rθ u r + R θu θ r = Rω u + Rα u θ (II.71) d θ dω α = = es l accéléraion angulaire. Elle es reliée à la composane ransversale du d d veceur accéléraion par la relaion : a = Rα e son unié es le rd/s. θ 60

61 d. Passage de l accéléraion angulaire à la viesse angulaire e à l angle polaire Par définiion, dω α= dω= αd d Par conséquen, si nous connaissons la viesse angulaire ω 0 d un mobile, à un insan pariculier 0, e l epression emporelle de son accéléraion angulaire α (), il es possible de déerminer sa viesse angulaire à n impore quel insan, en écrivan : ω () =ω 0 + αd (II.7) De la même façon, on peu passer de la viesse angulaire à l angle polaire en écrivan : dθ ω= dθ= ωd d Ainsi, si nous connaissons la posiion θ 0 d un mobile, à un insan pariculier 0, e l epression emporelle de sa viesse angulaire ω ( ), il es possible de déerminer sa posiion à n impore quel insan, en écrivan : 0 θ () =θ 0 + ωd (II.73) 0 Eemple: Un mobile es animé d un mouvemen circulaire d accéléraion angulaire α = rd /s. Sachan qu à l insan = 0s ω = 1rd /s e θ rd, déerminer les aures caracérisiques du mouvemen, soi ( ) 0 0 = ω e ( ) θ. L uilisaion des relaions précédenes donne lieu à : () d 1 d 1( rd s) ω =ω + α = + = () d ( 1) d ( rd) 0 θ =θ + ω = + + =

62 e. Cas pariculier du mouvemen circulaire uniforme R θ M θ 0 M 0 C es le mouvemen circulaire d un mobile qui, à = 0s se rouve en M0( R,θ 0), e ourne dθ à la viesse angulaire ω = consane. d O Circulaire R = ce Uniforme V = ce ω = ce Figure II.33 Ce mouvemen es périodique, c'es-à-dire que le mobile passe en un poin quelconque de la rajecoire à inervalles de emps égau. Il es caracérisé par : la période T qui es le emps nécessaire pour faire un our comple ; la fréquence f qui es le nombre de ours par unié de emps. Il eise une relaion simple enre la viesse angulaire e la période. Le premier our es accompli au bou de la période T. Il vien : ( ) T T θ T =θ + ω d =θ +ω d =θ +ωt Après un our comple, l angle θ 0 a augmené de π, ce qui nous perme d écrire : θ ( T) θ0 = π = ωt Ce qui nous donne la relaion π ω = (II.74) T Comme le mobile effecue un our par période de emps, la fréquence es alors : f 1 ω = = T π (II.75) 6

63 III.1. Le mouvemen harmonique simple a. Inroducion Considérons un poin M qui de déplace sur un dθ cercle de rayon A à la viesse angulaire ω = d consane. Lorsque M se déplace sur sa rajecoire, sa projecion, M, sur l ae ( O ), effecue des oscillaions sur le segmen B B cenrées en O. M A B θ M O B La figure II.34 monre que M a pour abscisse : = Acosθ Figure II.34 soi : Par ailleurs, on déermine la valeur de l angle θ ( ) en écrivan : () θ =θ +ω d=θ +ω = Acos( ω +ϕ ) (II.76) avec ϕ=θ 0. Le mouvemen de M es un mouvemen harmonique simple; ses caracérisiques son : A : l ampliude; ω : la pulsaion ou la fréquence angulaire; ω + ϕ : la phase; ϕ : la phase iniiale. b. Propriéés du mouvemen harmonique simple Rappelons que : ( ω +ϕ ) = ( ω +ϕ+ π) cos cos π = cos ω + +ϕ ω 63

64 On en conclu que : π () = Acos( ω +ϕ ) = Acos ω + +ϕ ω soi π () = + ω Ce qui revien à dire que ce mouvemen harmonique es périodique, de période = π 1 ω T e de fréquence f = =. Sa viesse e son accéléraion s obiennen en ω T π écrivan : d v ; (II.77) d pour la viesse: = = Aωsin( ω + ϕ) dv a = = Aω cos ω +ϕ = ω (). (II.78) d pour l accéléraion: ( ) c. Représenaions graphiques Remarquons que : = Acos( ω +ϕ ) π v= Aωsin ω +ϕ = Aωcos ω +ϕ+, ce qui fai apparaîre un déphasage ( ) de π de la viesse par rappor à (). égal à π. = ω ω +ϕ = ω, donc le déphasage enre l accéléraion e () es a A cos( ) ( ) π T Remarque: un déphasage de π rad es équivalen à T= ( s). En conséquence, les π déphasages enre la viesse e l accéléraion par rappor à (), mesurés en ermes de période, T T son alors respecivemen ( s ) e ( s ) 4 Eemple : cas où M passe à =0s par O dans le sens posiif (v>0). 64

65 X A 0 -A 0,5T T 1,5T (T) T - V Aω 0 -Aω 0,5T T 1,5T (T) T - 0,00 1,57 3,14 4,71 6,8 7,85 9,4 10,99 1,56 a Aω Aω 0,5T T 1,5T (T) T Figure II.35 0,00 1,57 3,14 4,71 6,8 7,85 9,410,991,56 Le cercle, rajecoire du mouvemen de M, es parfois appelé cercle de référence. Il es uile car il perme de rouver les epressions pour la viesse e l accéléraion en projean sur l ae O les veceurs viesse e accéléraion. En effe, si V M e AM son la viesse e l accéléraion de M, v e a son la viesse e l accéléraion de M, (voir la figure II.36), on a M es la projecion de M v es la projecion de V M sur (O) a es la projecion de A M. O A M a M M v V M X Figure II.36 III.13. Le mouvemen relaif a. Inroducion Nous avons jusqu ici considéré des référeniels fies, don les veceurs de base ne varien pas avec le emps. Or deu référeniels peuven êre en mouvemen relaif, soi parce 65

66 que leurs origines se déplacen l une par rappor à l aure, soi parce que l orienaion relaive des deu référeniels change avec le emps, soi les deu. Nous nous proposons, dans ce cas, de considérer le problème de la déerminaion des caracérisiques d un mouvemen par rappor à l un des référeniels lorsqu il es connu dans l aure référeniel. Pour ce faire, nous considérerons un mobile M e les deu sysèmes de coordonnées carésiennes suivans : R(O,, y, z ), supposé fie, qui es appelé repère absolu ; R (O,, y, z ), en mouvemen quelconque par rappor à R, qui es le repère relaif. b. Le mouvemen absolu z R z R M k' k r i' O' j' y i O j y Figure II.37 Le mouvemen de M considéré par rappor au repère absolu R(O,, y, z ) es caracérisé par les grandeurs : - le veceur posiion r = OM= i+ y j+ zk (II.79) - la viesse absolue - l accéléraion absolue dom d dy dz Va () = = i+ j+ k (II.80) d d d d () R dva d d y d z aa i j k = = + + (II.81) d d² d² d² R Remarque : les dérivaions son effecuées dans R dans lequel la base ( i, j,k ) es invariable. 66

67 c. Le mouvemen relaif z R z k R M r' k' i' O' j' y Le même mouvemen, considéré par rappor au repère relaif R (O,, y, z ), es caracérisé par les grandeurs : - le veceur posiion - la viesse relaive i O j y Figure II.38 r' = OM = ' i' + y' j' + z'k' (II.8) - l accéléraion relaive dom d' dy' dz' Vr () = = i' + j' + k' (II.83) d d d d R' dvr d ' d y' d z' a r () i' j' k' = = + + (II.84) d d d d R' Remarque: les dérivaions son effecuées dans R dans lequel la base ( i,j,k ) es invariable. d. Composiion des veceurs viesses z R Par définiion, la viesse absolue du poin M es : Va () dom = d R z k R r M r 0 r' k' i' O j' y i O j y Figure II.39 67

68 La relaion de Chasles perme d écrire : Soi : OM = OO + O M r r 0 r' = + avec r' = OM = 'i + y' j + z'k Si on dérive par rappor au emps, en enan compe du fai que la base ( i,j,k ) peu varier dans R, on obien : dom d r 0 d' d i' dy' d j' dz' dk' Va = = + i' + ' + j' + y' + k' + z' () En réarrangean les ermes on obien : d d d d d d d d R dr0 di' dj' dk' d dy dz Va = + ' + y' + z' + i' + j' + k' () d d d d d d d = V + V e r (II.85) La grandeur dr0 di' dj' dk' Ve = + ' + y' + z' es appelée viesse d enraînemen e d d d d représene la viesse du repère R par rappor au repère R. Plus précisémen il s agi de la viesse absolue d un poin A, fie dans le référeniel R, coïncidan avec la posiion de M au emps considéré. Son epression comprend deu ermes: dr d 0 Va ( O' ) = représene la viesse de ranslaion de l origine O par rappor à R. di' dj' dk' ' + y' + z' radui le changemen d orienaion du référeniel mobile R. d d d Théorème de composiion des viesses: Le veceur viesse absolue es égal à la somme des veceurs viesses d'enraînemen e relaive: V = V + V (II.86) a e r 68

69 e. Composiion des veceurs accéléraions Si on dérive le veceur viesse absolue par rappor au emps, on obien le veceur accéléraion absolue a défini dans le repère R: a d V a d d r 0 d i ' d j' d k' d dy dz a a = = + ' + y' + z' + i' + j' + k' () d d d d d d d d d R d r d i' d j' d k' d ' d y' d z' = d² d d² d² d d d 0 ' y ' z ' i ' j' k' d ' d i ' dy ' d j' dz ' d k' d d d d d d (II.87) Cee epression fai apparaîre rois ermes : d r 0 d i' d j' d k' ae = + ' y' z' + + es l accéléraion d enraînemen, d² d d² d² représenan l accéléraion du poin coïncidan A par rappor au repère absolu R. d' dy' dz' ar = i' + j' + k es l'accéléraion relaive. d d d d ' d i ' dy ' d j' dz ' d k' ae = + + d d d d d d accéléraion de Coriolis es une accéléraion complémenaire, die Théorème de composiion des accéléraions: Le veceur accéléraion absolue es égal à la somme des veceurs accéléraions d'enraînemen, relaive e de Coriolis: a = a + a + a (II.88) a e r c 69

70 70

71 CHAPITRE III DYNAMIQUE D UNE PARTICULE Dans le chapire précéden, consacré à la cinémaique, nous avons effecué une descripion géomérique du mouvemen sans nous préoccuper des agens qui en son la cause. Dans cee parie, nous abordons la dynamique qui es la parie de la mécanique qui raie des causes du mouvemen. Elle perme de déerminer les causes d un mouvemen connu e de prédire le mouvemen pour des causes données. En somme, il s agi d éablir les relaions enre les deu. I. CONCEPT DE FORCE I.1. Noion de force Nous savons, par epérience, que le mouvemen d une paricule es déerminé par la naure e la disposiion des corps qui l enouren, c es-à-dire son environnemen. Ainsi, le mouvemen es le résula de l ineracion enre la paricule e son environnemen. Cee ineracion, appelée force, es caracérisée par les propriéés de la paricule (masse, charge, momen dipolaire ) e par la naure de l environnemen dans lequel elle es placée. Nous avons vu qu en physique, la force es, inuiivemen, perçue comme une grandeur qui radui les ineracions enre les objes. C es une cause capable de produire ou de modifier le mouvemen d'un corps, ou d engendrer sa déformaion. Il es possible de classer les forces en forces de conac ou acions à disance. Il y a force de conac lorsqu elle radui une ineracion enre deu corps en conac physique. Les forces de conac comprennen, par eemple : - les "forces de froemen" : les forces de froemen apparaissen lorsque deu corps en conac son en mouvemen relaif, l un par rappor à l aure. Elles s'opposen oujours au mouvemen du corps considéré. - les "forces de ension" eercées sur un corps : ce son des forces qui iren sur un élémen d'un corps comme par eemple, la ension eercée par un fil ou par un ressor. Les "forces à disance" : ce son des forces qui peuven se manifeser même s il n y a pas de conac physique enre les deu corps qui ineragissen. Ces forces inerviennen par l'inermédiaire de champs vecoriels comme par eemple : 71

72 les forces de graviaion : ce son des forces d aracion qui s eercen enre des corps e qui son dues à leurs masses. Le poids d un corps e les forces échangées par les asres son esseniellemen des forces de graviaion. les forces élecriques : elles s eercen enre deu objes poran des charges élecriques. Elles peuven êre aussi bien aracives que répulsives. les forces magnéiques : elles s eercen enre des aimans, enre des aimans e cerains maériau (en pariculier le fer) ou bien enre deu conduceurs parcourus par un couran élecrique. Elles, aussi, peuven êre aracives ou répulsives. Le ableau III.1 présene des eemples d ineracions. Ineracion Paricule Environnemen m masse ressor + mur + surface du suppor projecile erre -q +Q charge négaive charge posiive N S morceau de fer aiman Tableau III.1 7

73 I.. Le veceur force Toue force peu êre représenée par un veceur (F) don les quare propriéés son la direcion : droie selon laquelle l'acion s'eerce (celle du fil de la Figure III.1) ; le sens : sens selon lequel s'eerce l'acion (de A vers B, voir Figure III.1) ; le poin d'applicaion : poin où l'acion s'eerce sur le corps (le poin A) ; le module : l inensié de la force à laquelle es associée une unié adéquae. Les forces son addiives, c es-à-dire que si N forces agissen simulanémen sur un corps, le mouvemen de ce dernier es le même que dans le cas où il subi l acion d une seule force égale à la somme vecorielle des N forces. Cee somme es appelée résulane des N forces. A F B Figure III.1 I.3. Ineracions fondamenales Malgré leur grande diversié, les forces renconrées dans la naure son les manifesaions des quare ineracions fondamenales : - l ineracion graviaionnelle : elle se manifese par une force d aracion enre oues les paricules. Cee force apparaî dans la plupar des phénomènes décris par l'asronomie e la géologie (le mouvemen des asres, la monée des marées ; les corps airés par la Terre en son voisinage, la non désagrégaion de la Terre ). - l ineracion élecromagnéique : elle se manifese enre les charges élecriques dans ous les phénomènes faisan inervenir l'élecricié e/ou le magnéisme. - l ineracion fore : c es l ineracion qui s eerce enre les nucléons qui son les consiuans du noyau d un aome. Elle perme au paricules composées de quarks, comme les proons e les neurons, de ne pas se désagréger. Elle s eerce à rès coure disance e es responsable de la cohésion du noyau. - l ineracion faible : elle s'applique à oues les paricules de maière (quarks, élecrons, neurinos, ec...). En pariculier, les neurinos, qui son élecriquemen neures e qui ne son pas des quarks, ne son sensibles qu'au ineracions faible e graviaionnelle. L'ineracion faible se manifese dans cerains ypes de réacions nucléaires elles que la radioacivié. 73

74 Le ableau III., ci-dessous, donne les porées e les inensiés relaives des ineracions fondamenales. Ineracion Inensié relaive Porée Nucléaire fore m Elecromagnéique 10 infinie Nucléaire faible 6 10 m Graviaionnelle 10 infinie II. PRINCIPE D INERTIE II.1. Epérience Tableau III. Considérons la figure III. qui représene une collision enre deu paricules effecuée dans les condiions de froemens «nuls» sur un plan horizonal. Pour éudier les mouvemens, on a réalisé une chronophoographie (décomposiion des mouvemens à l aide d une série de phoographies prises à inervalles de emps réguliers) qui es reproduie dans cee figure. Mouvemens recilignes uniformes Mouvemens recilignes uniformes Figure III. 74

75 On peu observer que la rajecoire du cenre de chacune des paricules es reciligne e que sa viesse es consane (les écars enre les billes son de même longueur) avan e après le choc. Les forces appliquées sur chacune d elles dans ces deu zones son le poids e la force de conac avec le sol (figure III.3). Comme le mouvemen se mainien sur le plan horizonal, cela veu dire qu aucune des deu forces ne l empore sur l aure e que leur somme vecorielle es nulle F Désignons par C la force de conac subie par l un des deu objes de la par de l aure lors de la collision (figure III.4). Le bilan des forces qui lui son appliquées es P+ C+ F = F C 0 C C P Figure III.3 C On consae que, conrairemen au cas précéden, la résulane des forces n es pas nulle duran le choc e que la direcion du mouvemen a changé. Noons égalemen que lorsqu on pose ces objes sur le sol ils resen immobiles an qu une acion eérieure n inervien pas pour les déplacer. FC P Figure III.4 Conclusion : ces paricules on conservé leur éa de repos ou leurs mouvemens recilignes uniformes an qu aucune force n inervien pour les modifier. II.. Enoncé du principe d inerie En l absence de forces eernes, un obje au repos rese au repos e un obje en mouvemen coninue de se déplacer en mouvemen reciligne uniforme. L absence de forces eernes signifie que la somme vecorielle des forces appliquées es nulle Corollaire : cee propriéé de ous les corps à résiser au changemen de viesse es appelée inerie. Tou corps possédan cee propriéé a une accéléraion nulle. On di que ce corps es doué d inerie. Remarque : un grand nombre de fais courans son des manifesaions de l inerie. Les mouvemens des voyageurs provoqués par les véhicules au démarrages, au freinages e à l eécuion des virages en son des eemples. 75

76 II.3. Corps isolé mécaniquemen En l absence de forces eernes, le corps es di libre ou isolé mécaniquemen. On appelle sysème un ensemble de corps idenifiés du rese de l univers. Un sysème es isolé lorsque la résulane des forces eérieures qui lui son appliquées es nulle. Dans cerains ouvrages, on di que les sysèmes pour lesquels la somme des forces qui s eercen sur eu es nulle son pseudo-isolés, le qualificaif «isolé» éan réservé au cas où ils ne son soumis à aucune force. II.4. Référeniel d inerie ou galiléen Nous avons vu qu une paricule libre, donc douée d inerie, doi avoir une accéléraion nulle. Or l accéléraion dépend du sysème de référence uilisé. Une paricule n es donc libre que par rappor à un référeniel dans lequel elle ne subi pas d accéléraion. Un référeniel d inerie (ou galiléen) es un référeniel dans lequel un corps qui n es soumis à aucune force ou qui subi des forces don la résulane es nulle, sera au repos ou en mouvemen reciligne uniforme. Pour le définir, considérons l éa cinémaique d une paricule libre, par rappor à un référeniel en mouvemen. Son accéléraion relaive a r es donnée par : ar = aa ae ac (III.1) a,a a e e ac éan, respecivemen les accéléraions absolues, d enraînemen e de Coriolis. Si le repère es en mouvemen reciligne uniforme, - le caracère reciligne implique - le caracère uniforme enraîne d r 0 ac = 0 e ae = d d r 0 d = = 0 soi ae 0 La paricule éan isolée aa = 0 e on obien 76

77 ar = 0 Ainsi, une paricule libre ne subi pas d accéléraion dans un repère fie ou en mouvemen reciligne uniforme. Ce dernier es donc galiléen. Dans la grande majorié des epériences couranes, un référeniel lié à la erre peu êre considéré comme un référeniel d inerie. Remarque : En réalié la Terre n es pas vraimen un référeniel d inerie, à cause de son mouvemen orbial auour du soleil e de sa propre roaion auour de son ae. Cependan, dans le premier mouvemen son accéléraion, dirigée vers le soleil, es de l ordre de 3 4, 4 10 m / s e dans le second, un poin de l équaeur a une accéléraion addiionnelle, dirigée vers le cenre de la erre, d environ 3,37 10 m / s. Ces deu accéléraions, faibles devan celle de la pesaneur, peuven êre négligées. Illusraion : Imaginons un obje posé sur le plaeau d un camion en mouvemen reciligne uniforme. Le corps rese immobile par rappor au véhicule an que le mouvemen de ce dernier garde son caracère reciligne uniforme. Cependan, si le plaeau es suffisammen lisse, le corps glisserai lorsque le camion eécue rapidemen son mouvemen dans un virage. En effe, le repère lié au camion es alors animé d un mouvemen curviligne e le principe d inerie n y es plus applicable. En conséquence, l obje ne conserverai pas son éa de repos par rappor au camion. II.5. Concep de masse Jusqu à ce niveau du cours, nous savons que le mouvemen d une paricule es décri par ses veceurs posiion, viesse e accéléraion. Cependan, des eemples de la vie courane monren que ces paramères cinémaiques son insuffisans pour rendre compe, de façon complèe, du comporemen du poin maériel. Par eemple, imaginons un homme qui fai l epérience de déplacer le plus rapidemen possible une caisse en bois, iniialemen au repos, sur une disance fiée. Il devra donc accélérer du mieu qu il peu le mouvemen pour augmener le plus vie possible la viesse e aeindre son bu en un minimum de emps. Il es éviden que, dans le cas où il pose une deuième caisse sur la première, il lui sera plus difficile d accélérer, donc de modifier la viesse du mouvemen. Ainsi, plus imporane es la quanié de maière à déplacer plus grande sera la résisance au changemen de la viesse ou, auremen di, son inerie sera plus grande. Il es donc nécessaire d inroduire une grandeur physique mesuran la capacié du corps à résiser au mouvemen qu on souhaie lui imposer. Sachan que la masse d un corps es proporionnelle à la quanié de maière qui le compose, en conséquence elle es d auan plus grande que l inerie de celui-ci es plus imporane. Ainsi, on peu considérer la masse comme une mesure de l inerie. C'es-à-dire que plus un obje aura une masse imporane e plus il sera difficile de le faire accélérer, ralenir ou changer de direcion. 77

78 III. LA QUANTITE DE MOUVEMENT III.1. Définiions Dans ceraines siuaions, pour éudier l éa d un corps, il es uile d inroduire des informaions sur l obje lui-même e sur son mouvemen. Nous avons vu que, en plus de ses caracérisiques cinémaiques, le mouvemen peu êre influencé par la masse du mobile. Le concep de quanié de mouvemen fourni une disincion quaniaive enre les mouvemens de deu paricules de même viesse mais de masses différenes. C es la grandeur qui combine une propriéé cinémaique du mouvemen, la viesse, e la masse. La quanié de mouvemen P d une paricule es définie comme éan le produi de sa masse par son veceur viesse. P = mv (III.) Pour un sysème consiué de N paricules, on défini sa quanié de mouvemen oale comme éan la somme vecorielle des quaniés de mouvemens de chacune des paricules. N = 1 P P (III.3) i P Ainsi, la quanié de mouvemen es un veceur ayan la même direcion e le même sens que la viesse e a pour unié SI le kg.m / s. L impulsion d P es le changemen de la quanié de mouvemen produi dans un cour laps de emps donné. III.. Conservaion de la quanié de mouvemen a. Cas d une paricule Par définiion, un corps isolé es doué d inerie e, par conséquen, se déplace avec une viesse consane, ce qui implique qu il conserve sa quanié de mouvemen. Principe de conservaion de la quanié de mouvemen : une paricule libre se déplace avec une quanié de mouvemen consane. b. Sysème formé de deu paricules La figure III.5 représene une collision enre deu paricules réalisée dans les condiions de froemens «nuls» sur un plan horizonal. 78

79 y m 1 V 1 m 1 V 1 V m m V Figure III.5 Considérons le sysème formé par les deu paricules. Pour pouvoir lui appliquer le principe de conservaion de la quanié de mouvemen, il fau que la résulane des forces eernes agissan sur lui soi nulle. Vérifions que cee condiion es réalisée. Les forces appliquées sur les deu paricules son le poids e la force de conac avec le plan horizonal. C 1 C P1 Figure III.6 P 79

80 Comme le mouvemen se mainien sur le plan horizonal, cela veu dire qu aucune des deu forces ne l empore sur l aure e que leur somme vecorielle es nulle. Le bilan des forces eérieures es alors Fe = P1+ C1+ P + C = Remarque : Cee relaion es égalemen vérifiée duran le choc car la force eercée par m1 sur m e celle appliquée par m sur m 1 son des forces inernes au sysème formé par les deu masses. La résulane des forces eernes agissan sur le sysème éan nulle, nous pouvons lui appliquer le principe de conservaion de la quanié de mouvemen, soi mv 1 1+ mv = mv 1 1+ mv P P (III.4) Puisqu il s agi d une équaion vecorielle, la conservaion de la quanié de mouvemen vau pour chaque composane : m1v1 + mv = m1v 1 + mv (III.5) m V + m V = m V + m V (III.6) 1 1y y 1 1y y Graphiquemen, le principe de conservaion de la quanié de mouvemen peu êre illusré par la figure III.7 mv P m1v 1 P m V 1 1 mv Figure III.7 Principe de conservaion de la quanié de mouvemen : Ce principe peu êre éendu à un sysème formé d un nombre quelconque de paricules : La quanié de mouvemen oale d un sysème isolé de plusieurs paricules es consane. 80

81 Si Fe = 0, alors = = consane i P P (III.7) Remarques : α) la quanié de mouvemen de chaque paricule peu, dans cerains cas, varier mais la quanié de mouvemen oale rese consane. β) le principe de conservaion de la quanié de mouvemen es valable même à l échelle des paricules élémenaires de la maière. γ) pour l eemple du choc de deu paricules que nous avons éudié, nous pouvons écrire : P P P P P P = + = + (III.8) P 1 P1 = P P (III.9) Δ P = ΔP (III.10) Ce qui signifie que la quanié de mouvemen perdue par l une des deu paricules es gagnée par l aure. Il s agi donc d un échange de quanié de mouvemen lors de la collision. Eemple : Deu blocs A e B, de masses m A e m B, son reliés par un ressor de masse négligeable e reposen sur un plan horizonal. On éire le ressor en éloignan les deu corps l un de l aure, puis on les relâche à parir de l éa de repos. Déerminer la relaion enre leurs viesses, en supposan l absence de froemens. C A C B m A m B P A Figure III.8 P B Si on considère le sysème consiué par l ensemble des deu blocs, e en enan compe du fai que la ension du ressor es une force inerne, on aura : Fe = PA+ CA + PB+ CB = En conséquence, la quanié de mouvemen oale se conserve : 81

82 P = P = 0s > 0s soi m V + m V = 0= m V + m V A A0 B B0 A A B B d où m B A = V B ma V IV. LES LOIS DE NEWTON Les rois lois de Newon son à la base de la mécanique classique. Ces lois on éé posulées sans démonsraion mais elles son en el accord avec les epériences que leur validié ne pourrai êre mise en doue IV.1. La première loi : c es le principe de l inerie (cf. II). IV.. La deuième loi En mécanique newonienne, la dérivée par rappor au emps du veceur quanié de mouvemen d un corps es égale à la somme des forces s eerçan sur celui-ci. Mahémaiquemen, cela se radui par la relaion : d F = P (III.11) d où P es la quanié de mouvemen de la paricule e F la résulane des forces qu elle subi. Cee égalié, appelée «relaion fondamenale de la dynamique», es valable an que la viesse es rès inférieure à celle de la lumière. Remarquons qu elle associe un erme cinéique, la dérivée du veceur quanié de mouvemen, à un erme dynamique, la somme des forces appliquées sur le poin maériel. Elle perme donc de prédire le mouvemen si on connai les forces e de déerminer leur résulane pour un mouvemen donné. Cas pariculier d un corps à masse consane : La masse éan consane, la dérivée de la quanié de mouvemen s effecue comme sui : d(m V) dm d V d V F= = V+m =m =ma d d d d 0 (III.1) 8

83 ainsi, la "relaion fondamenale de la dynamique" (R.F.D.) pour un corps de masse consane es donnée par : F =ma (III.13) Remarques : F représene la résulane des forces eérieures agissan sur le corps considéré ; puisqu il s agi d une relaion vecorielle, elle vau pour chaque composane : F =ma F =ma y y F=ma z z F a= m a même orienaion que la force résulane. IV.3. La roisième loi Lorsque deu corps son en ineracion, ils eercen l un sur l aure des forces opposées en sens mais égales en inensié e en direcion. Dans les eemples des figures III.9 e III.10, la force F1/, eercée par 1 sur, es égale en module e es opposée en sens à la force F /1, eercée par sur 1. 1 F/1 F1/ F F/1 F1/ 1 Figure III.9 Figure III.10 F = F 1/ /1 83

84 Propriéés : les deu forces agissen suivan la droie, appelée ligne d acion, joignan les deu corps. nous nommons acion la force eercée par l un des deu corps e réacion celle qui es eercée par l aure. Cependan, on peu considérer indisincemen que l une ou l aure des deu forces es l acion, l aure devenan alors la réacion. les deu forces son de même naure e n agissen pas sur le même corps. Ainsi, la force appelée communémen réacion (au poids) du sol sur un corps qu il suppore ne l es pas au sens de la roisième loi de Newon. En effe, ces forces ne son pas de même naure e s appliquen oues les deu sur le corps posé sur le sol. il es impossible de rouver une force qui agi de façon isolée ; oue force es associée à une réacion. Remarque : Considérons la chue libre d une bille A, de masse m A, sous l effe de la force graviaionnelle Fg. Son accéléraion éan aa = F g /ma, son déplacemen duran un inervalle de emps es alors Δ y A = a A. A eerce sur la Terre une force de même module qui engendre une accéléraion de la Terre at = F g /mt, mt éan la masse de la planèe. Le déplacemen associé à cee accéléraion duran es donc Δ yt = at. Le 4 rappor du déplacemen de A sur celui de la Terre es: ΔyA Δ yt = aa at = mt ma 10. Ce résula monre que Δ y >>Δ y. A IV.4. Validié des lois de Newon T Les lois de Newon son valables dans n impore quel sysème de référence galiléen. Pour le démonrer, considérons les deu référeniels d inerie: R(O,, y, z), supposé fie (repère absolu). R (O,, y, z ), en mouvemen reciligne uniforme par rappor à R (repère relaif). Si une paricule es soumise à des forces don la résulane es F, nous pouvons lui appliquer la deuième loi de Newon dans le repère R: F =maa (III.14) a a éan l accéléraion absolue. Dans R, l accéléraion de la paricule es a r =aa ae ac 84

85 où ae e ac son respecivemen les accéléraions d enrainemen e de Coriolis. Comme R es en mouvemen reciligne uniforme, - le caracère reciligne fai que a c =0 e a e d r 0 = d - le caracère uniforme enraîne d r 0 d = 0 soi e = 0 a e en conséquence ar = aa F=mar (III.15) En conclusion, la deuième loi de Newon es valable dans n impore quel sysème de référence galiléen. V. PREVISION DES MOUVEMENTS DES CORPS - LOI DE FORCE Dans cee secion, nous allons considérer les lois générales, dies lois de forces, éablies pour un cerain nombre d ineracions. V.1. Le poids a. Définiion Nous appelons poids d un corps, en un lieu donné, la force aracive, noée P, que la erre eerce sur celui-ci. L éude epérimenale de la chue de corps de différenes masses, quelque soien leurs viesses iniiales, en négligean la résisance de l air, donne lieu au conclusions suivanes : - le mouvemen de chue libre au voisinage de la erre es un mouvemen d accéléraion consane ; - ous les corps omben en un lieu donné avec la même accéléraion, que l on noe g, e que l on appelle accéléraion de la pesaneur. La deuième loi de Newon nous perme de définir le poids d un corps de masse m : P= mg (III.16) 85

86 Remarques: En général, on appelle champ oue foncion qui dépend de la posiion. En pariculier, un champ vecoriel es un veceur qu on associe à chaque poin de l espace. C es pourquoi on uilise l epression «champ de pesaneur» quand on désigne g. g poine à peu près vers le cenre de la erre e sa grandeur se siue enre 9,78 m/s e 9,83 m/s selon les endrois (plus for au pôles, plus faible vers l équaeur). Elle vau environ 9.81 m/s en Algérie. Ces variaions son aribuables à la forme légèremen aplaie de la erre, mais aussi à l effe de la force cenrifuge associée à la roaion de la erre, un effe qui n es pas sricemen graviaionnel. b. Applicaion : Mouvemen d un projecile dans le champ de la pesaneur. Considérons un projecile en mouvemen dans le champ de pesaneur. Choisissons un sysème carésien d ae (Oy) verical ascendan comme le monre la figure III.11. En conséquence, a = g j 1, y 1,0 B V 0 0,8 V Ay 0,6 0,4 A V 0 g C V 0 V Cy 0, V 0y V 0 θ 0 V 0 0,0 O 0 V D 0 Figure III.11 V Dy Si la viesse iniiale de la paricule es dans le plan (O, Oy) e si sa posiion iniiale coïncide avec l origine O, on écri : ( ) ( ) 0s = 0, y 0s = ( ) V 0s = V cosθ i+v sinθ j ( V 0 = V0 cosθ 0; V 0y = V 0 s in θ 0) 86

87 où V0 es le module de la viesse iniiale e θ 0 l angle de ir. Les équaions du mouvemen son ainsi a = 0 (III.17) a y = g (III.18) La viesse s obien par une première inégraion V() =V 0 + a 0 d=v0cosθ 0 (III.19) Vy() =V 0y + a 0 yd=v0sinθ0 g d = g+v 0 0sinθ 0 (III.0) On peu ensuie inégrer la viesse pour rouver la posiion () = 0+ Vd=0+ ( V0cosθ 0 ) d = ( V0cosθ 0 ) 0 0 g y() = y 0+ Vyd=0+ ( g+v0sinθ 0) d = + ( V0sinθ 0) 0 0 soi () = ( ) V0cosθ 0 (III.1) g y() = + ( V0sin θ0) (III.) On peu éliminer le emps de ces équaions e eprimer la coordonnée y en foncion de : De l équaion (III.1) il vien : = (III.3) V cosθ 0 0 En subsiuan cee epression dans (III.), on obien g ( 0 0) ( V0cosθ 0 ) V0cosθ 0 y= + V sinθ (III.4) soi g = + θ (III.5) V cosθ y g 0 ( ) 0 0 y es donc une foncion quadraique de e la rajecoire de la paricule es une parabole. La rajecoire d un projecile possède deu caracérisiques pariculières : 87

88 la haueur maimale : c es l ordonnée, y B, du somme de la rajecoire (poin B sur la figure III.11). Il es caracérisé par V sinθ V By = g B +V0sinθ 0 =0 B = g 0 0 Avec la relaion (III.) on obien ( V sinθ ) ( V sinθ ) ( V sinθ ) y B = + = (III.6) g g g la porée : c es la disance horizonale enre le poin de ir e le poin d impac. Auremen di, c es la composane horizonale du veceur déplacemen correspondan. Dans nore cas, le projecile éan iré à parir du sol qui es parfaiemen horizonal, la porée es égale à D (abscisse du poin D de la figure III.11) e s obien en résolvan l équaion (III.5) pour y = 0. Remarquons que cee dernière peu se mere sous la forme : g + g θ 0 = 0 ( V0cosθ 0) (III.7) La soluion es soi = 0 (le poin de dépar), soi, celle qui nous inéresse : ( ) V cosθ V cos θ sin θ V sin θ g = = g g g D = θ 0 (III.8) La figure III.1 illusre la relaion enre la porée e l angle de ir. 6 y(m) 80 V 0 =10m/s (m) Figure III.1 Trajecoires paraboliques d un projecile associées à différenes valeurs de l angle de ir, pour une viesse de ir de 10m/s 88

89 Eercice : Supposons que le projecile soi lancé d une haueur y 0 au-dessus du sol. Monrez que sa porée es alors V 8gy d= sinθ + sin θ + cos θ g V0 V 0 θ 0 y 0 V.. Loi de graviaion universelle a. La loi de graviaion universelle La loi de la graviaion universelle de Newon es la base de la héorie epliquan une grande variéé de phénomènes allan du mouvemen des planèes à la chue des corps en passan par le flu e le reflu des marées. La loi de la graviaion universelle de Newon s eprime comme sui : Enre deu paricules maérielles de masses m 1 e m, placées à une disance r l une de l aure, s eerce une force d aracion d inensié mm 1 Fg = G (III.9) r G es appelé consane de graviaion universelle ou consane de Cavendish. Elle a éé mesurée pour la première fois par H. Cavendish à l aide d une balance à orsion en C es une consane de proporionnalié qui dépend du sysème d uniés choisi. Dans le sysème S I : G= 6, m 3 kg -1 s -. Remarques : Figure III.13 - si F1/ es la force graviaionnelle eercée par l obje 1 sur l obje e F/1 eercée par l obje sur l obje 1, alors F1/ = F/1 (3ème loi de Newon). celle m 1 m F/1 F1/ Figure III.14 89

90 - la loi de graviaion universelle obéi au principe de superposiion : s'il y a plus de deu corps, il fau considérer la présence de oues les forces d'aracion eercées sur les corps. Chaque corps subi une force d'aracion qui es la résulane des forces graviaionnelles eercées par les corps voisins. Eemple : cas de rois corps non alignés. m 1 F/1 F3/1 r 1 13 F/1 F3/ 1 r F1 F1/ F1/3 F1/ F F3 F1/3 m F3/ F/3 m 3 r 3 F3/ F/3 Figure III.15 Figure III.16 La figure III.16 représene les forces eercées sur chacun des corps e les résulanes associées. Ainsi, la résulane des forces eercées par m e m 3 sur m 1 es F = F + F 1 /1 3/1 - la force graviaionnelle eercée par la erre sur un obje peu se mere sous la forme : MT Fg = mg( r) = m G r² gr ( ) (III.30) - la force graviaionnelle au voisinage de la erre, c'es-à-dire la force d aracion eercée par la erre sur un obje, es le poids. À l'aide de la loi de graviaion universelle de Newon e le poids, on a M mg mg T 0 R = (III.31) T soi M g = G (III.3) T 0 R T 90

91 où - M T es la masse de la Terre (5, kg) ; - m es la masse du corps en kilogrammes ; - R T es le rayon de la Terre (6, m) ; - g 0 es le champ de pesaneur (9,8 m/s près de la surface de la Terre). b. Applicaion 1 : roisième loi de Kepler La loi de la graviaion universelle a éé éablie par Newon en s appuyan en pariculier sur les lois de Kepler, don la roisième : le carré de la période de révoluion d une planèe du sysème solaire es proporionnel au cube du rayon moyen de son orbie. T = kr (III.33) 3 - k es une consane de proporionnalié qui s eprime en s /m 3. Elle es la même pour oues les planèes en orbie auour du soleil. - r es le rayon moyen de l orbie de la planèe. Dans le cas d une orbie ellipique, il représene le demi grand ae de la rajecoire ; pour les grandes planèes, la rajecoire es praiquemen circulaire e r correspond alors au rayon du cercle. La consane k es déerminée par l applicaion de la deuième loi de Newon pour une grande planèe don le mouvemen es circulaire uniforme. soi, en modules Fe = Fg = ma mm S V G = m (III.34) r r m s es la masse du soleil e m celle de la planèe. Comme la viesse es reliée à la période de révoluion par il vien π V = ω r = r (III.35) T ms 4π G = r r T d où 91

92 T 4π = r (III.36) Gm 3 Par idenificaion avec la roisième loi de Kepler (équaion (III.33)), on obien l epression suivane de la consane k S 4π k = (III.37) Gm S Applicaion: le soleil possédan une masse du soleil un rayon moyen rt ms 11 = 1, m, on obien k =, s m e T = 3, s 30 = 1,99 10 kg e l orbie de la erre auour Remarque : Pour deu planèes 1 e de périodes de révoluion respecives T 1 e T, en mouvemen sur des orbies de rayons moyens r 1 e r, on obien la relaion T T r = (III.38) r c. Applicaion : Le saellie géosaionnaire Un saellie géosaionnaire es un saellie qu un observaeur sur Terre voi oujours dans le ciel au même endroi (il parai immobile par rappor au sol). Cee caracérisique es imporane pour les élécommunicaions e la élédiffusion. Le saellie ourne donc auour de la Terre à la même viesse angulaire que celle de la roaion de la Terre sur elle-même. De ce fai, sa période de roaion auour de la planèe es la même que la période de révoluion de celle-ci. Par conséquen, le saellie géosaionnaire décri dans un référeniel erresre un mouvemen circulaire uniforme de période T = 4 heures e ce dernier s'inscri dans le plan équaorial de la Terre. Rappelons que la période es reliée à la viesse angulaire par π ω = (III.39) T r Saellie Terre Figure III.17 9

93 La deuième loi de Newon donne en modules : Fg = ma avec mm T Fg = G r V a = = ω r r mm = r T G mω r (III.40) m T es la masse de la Terre (5, kg), e m celle du saellie. On isole r : 13 mt = r G ω (III.41) Applicaion numérique : r πr V = = 3,08 10 m/s T 7 3 = 4,1 10 m ; V.3. Les forces de conac ou forces de liaison a. Inroducion Ce son les forces qui s eercen enre deu corps en conac physique l un avec l aure. Cee définiion fai inervenir rois élémens : deu objes que l on me en conac par une surface. Remarquons qu à l échelle aomique, même les surfaces rès lisses ne son pas vériablemen planes. Dans la réalié elles on des anfracuosiés un peu parou comme l indique la représenaion de la figure III.18 dans laquelle les surfaces en conac son oues bosselées. Ainsi, au lieu d avoir un conac parou, on aura des microconacs rès localisés. Il fau donc disinguer la surface apparene e la surface qui es vraimen en conac. Cee dernière es beaucoup plus peie que la première. En conséquence, la force de conac ne s applique pas de façon uniforme sur oue la surface, mais elle n inervien que sur les aspériés. A ces endrois, les molécules éan rès proches les unes des aures, ce son les aomes des deu corps qui enren muuellemen en ineracion. Les forces agissan sur ceuci son rès compliquées à analyser: forces coulombiennes, force de Vander Waals, ec... Plusieurs faceurs influencen ces forces: la naure des maériau en présence, le fini des surfaces, les corps inersiiels (conaminans, molécules adsorbées, débris d usure, poussières, ec. ), la empéraure e le degré de conaminaion des surfaces. Comme il es quasimen impossible de modéliser les forces de conac en prenan en compe oue les ineracions 93

94 microscopiques, elles son déerminées de façon globale au moyen de méhodes epérimenales. Surface de conac apparene A i : Surface du poin de conac réel Surface de conac réelle = Ai Figure III.18 b. mise en évidence des forces de conac Dans les eemples du ableau III.3, le poids P n es pas égal à ma e, de ce fai, la deuième loi de Newon implique qu il eise une force de conac avec le sol, désignée C, elle que Soi c. Le froemen Fe = P+ C= ma C= ma P Considérons un obje posé sur un plan horizonal. Celuici es en équilibre sous l acion des deu forces P e C qui doiven êre égales e opposées. Analysons le comporemen de ce corps e l évoluion des acions de conac (plan/obje) lorsqu on eerce sur lui une force de racion horizonale F graduellemen croissane. On C P Figure III.19 94

95 observera deu ypes de froemens: le "froemen saique" e le "froemen dynamique". Eemple Représenaion des forces Observaions Corps en équilibre sur un plan horizonal C C appelée habiuellemen réacion ne l es pas au sens de la roisième loi de Newon. P C conribue au mainien du corps sur le plan horizonal. Roue en mouvemen ma P C C ma P C conribue au mainien de la roue sur le plan horizonal e es à l origine du mouvemen de la roue. Voiure dans un virage ma C C 1 P C m a C conribue au mainien de la voiure sur le plan horizonal e l empêche de déraper. Elle se répari sur les quare roues. P Tableau III.3 95

96 Le "froemen saique"(figure III.0) : Premier cas : l adhérence Le corps es en équilibre e, P éan verical e F horizonale, l applicaion de la deuième loi de Newon me alors en évidence une force de conac C elle que soi Fe = P+ C+ F = 0 C= P F La projecion géomérique de cee équaion sur l ae (O) donne : C X = F (III.4) C X es une force d adhérence qui s oppose à F e au déplacemen évenuel de l obje vers la droie. De plus cee force es angene à la surface de conac, elle es par définiion une force de froemen. Comme le corps ne se déplace pas on di que froemen saique. Si F limie C X es une force de Deuième cas : la rupure de l équilibre devien assez grande, il inervien une valeur F limie à parir de laquelle l équilibre es rompu e l'obje commence à glisser sur le plan. Cee valeur es associée à une adhérence limie 0X C = F qui limie nous perme de définir le coefficien de froemen saique μ S : C O C Y y Figure III.0 F C X V = 0 P μ S C0X = (III.43) C0Y 96

97 Le coefficien de froemen saique es caracérisé par les propriéés suivanes : - ce coefficien, sans dimension, eprime la proporionnalié du module de la force limie de froemen, C 0X, e celui de la force de pression, C 0Y ; - μ S dépend de la naure des surfaces en conac ; - il es déerminé epérimenalemen ; O - il ne dépend pas de l aire des surfaces en conac. Le "froemen dynamique" : c es celui C C Y ma F qui oppose une résisance lorsque l'obje posé sur le plan es déjà en glissemen (figure III.1). La loi fondamenale de la dynamique s écri : C X P Figure III.1 Fe = P+ C+ F = m a soi C = m a P F C possède une composane angenielle, X, qui s oppose au mouvemen du corps qui, par définiion, es une force de froemen dynamique. Comme dans le cas saique, on inrodui un coefficien de froemen dynamique (ou de glissemen) : C C X μd ( ou μ g ) = (III.44) C Y Le coefficien de froemen dynamique es caracérisé par les propriéés suivanes : - ses valeurs son déerminées epérimenalemen ; - μ d < μ S ; - μ d es sensiblemen indépendan de la viesse ; - μ d ne dépend que de la naure des surfaces en conac. Complémen : Les impureés enre les deu surfaces de conac son souven plus imporanes au niveau des sources de froemen que les imbricaions des aspériés de surface. 97

98 Le froemen es faiblemen dépendan de la surface car la rugosié à l'échelle aomique es elle que seulemen un rès faible pourcenage de la surface oale des deu objes son réellemen en conac (la surface de conac réelle es beaucoup plus peie que la surface de conac apparene, voir figure III.18). En réalié, l'origine du froemen fai inervenir une muliude de paramères couvran un specre rès large de phénomènes physiques : rugosié des surfaces, élasicié, plasicié, adhésion, lubrificaion, empéraure, usure, chimie des surfaces, humidié, ec. d. Généralisaion Lorsque deu corps son en conac, ils eercen l un sur l aure des forces de conac opposées en sens mais ayan la même inensié e la même direcion (principe de l acion e de la réacion). Eemples : 1 C 1 F 1 C 1 C 1 F 1 C 1 C 1 C 1 Figure III. Dans ces eemples, - C 1/ C = C (III.45) 1/ /1 es la force de conac eercée par le corps sur le corps - C /1 es la force de conac eercée par le corps sur le corps La force de conac possède deu composanes définies par rappor au plan angen au surfaces en conac (figure III.3) On peu aussi rouver la noaion C C C = T+ N (III.46) C= CII + C (III.47) 98

99 C N (ou C ) es la composane normale e représene une force de pression ; elle es orienée vers le corps sur lequel s applique C. C T (ou CII ) es la composane angenielle e représene la force de froemen ; elle es orienée de façon à s opposer au mouvemen relaif de la surface de conac du corps qui subi C par rappor au corps avec lequel il es en conac. Les eemples ci-dessous meen en évidence deu ypes de froemen : Le froemen résisan : il s oppose au déplacemen global du corps sur lequel il s applique ; C C N C T C C N F C T F Figure III.3a Le froemen moeur : il conribue au déplacemen global du corps sur lequel il s applique. C N C V F C N C T C C T Figure III.3b On défini les coefficiens de froemen - saique : μ S C0T = valable juse à la rupure d équilibre (III.48) C0N - dynamique : μ d CT valable lorsque le corps es en mouvemen relaif = (III.49) par rappor à l'aure corps avec lequel il es en conac CN 99

100 Eercice 1 Un obje de masse m=1kg, posé sur un sol horizonal, es iré avec une force F inclinée d un angle α = 30 (figure III.4). Son conac avec le sol es caracérisé par les coefficiens de froemens saique μ S = 0,5 e dynamique μ d = 0,. Calculez l inensié de la force F dans les rois cas suivans : 1. au momen de la rupure d équilibre ;. le corps es en mouvemen uniforme ; 3. son mouvemen a une accéléraion de Réponses : 1m s. L applicaion de la deuième loi de Newon donne : Fe = F+ P+ C= ma Projeons cee équaion sur les deu aes de coordonnées carésiennes ( e ) ( e ) F = Fcosα C = ma (III.50) y T F = Fsinα P + C = 0 (III.51) N L équaion (III.51) e la définiion du coefficien de froemen nous permeen d écrire : T N ( ) C = μc = μ P Fsin α En subsiuan cee epression dans III.50, il vien ( ) Fcosα μ P Fsinα = ma C C T C N O y F α e on ire : F ma + μp = cos α + μ sin α P Figure III.4 a 0m s ; = : F= 4,48 N 1 er cas : rupure d équilibre ( = μ μs ) a 0m s ; = : F=,07 N ième cas : mouvemen uniforme ( = μ μd ) a 1m s ; = F = 3,10 N 3 ième cas : mouvemen uniformémen accéléré ( = μ μd ) 100

101 Eercice Un bloc, de masse m =1kg, es posé sur une surface rugueuse inclinée d un angle θ par rappor à l horizonale (figure III.5). En augmenan graduellemen la valeur de θ, on a effecué les observaions suivanes : - le bloc a commencé à glisser lorsque l angle a aein la valeur θ = 0 ; - son accéléraion éai de 3, m /s pour θ = 30. En déduire les valeurs des coefficiens de froemens saique e dynamique. Réponses : C N y C T θ P sin θ O P cos θ P θ Figure III.5 L applicaion de la deuième loi de Newon donne : P+ C= m a Projeons cee équaion sur les deu aes de coordonnées carésiennes ( e ) ( e ) F = Psin θ C = ma (III.5) y T F = P cos θ + C = 0 (III.53) L équaion (III.53) e la définiion du coefficien de froemen nous permeen d écrire : C = μc = μp cos θ Psin θ μp cosθ= ma T N N On isole µ : Psinθ ma μ = (III.54) Pcosθ a = 0 m s ; μ= μ ; θ=0 : μ = gθ= 0,364 1 er cas : rupure d équilibre ( S ) S 101

102 ième cas : mouvemen uniformémen accéléré( a = 3.m s ; μ= μd ; θ=30 ): μ d gsinθ a = = 0, gcosθ e. Froemen visqueu α. Résisance visqueuse Si on prend une plaque pour la déplacer dans la direcion perpendiculaire à sa plus grande surface, on ressen une force qui end à s'opposer au déplacemen: cee force s appelle la résisance de l air. Une force de même naure peu êre ressenie si on epose la plaque à un écoulemen d air el que le ven. Ainsi, nous pouvons placer des objes dans une soufflerie e éudier les propriéés de la résisance de l air. Epérimenalemen, on peu mere en évidence les paramères influençan la résisance de l'air : l aire : si on double l'aire de l obje la force mesurée double égalemen. La résisance de l air es donc proporionnelle à l aire. la viesse: en augmenan la viesse de l'écoulemen de l'air, la force eercée par l'air augmene. la masse volumique: en aliude la densié de l'air diminue. On peu considérer qu'il y a moins de paricules d'air pour un même volume. Par conséquen, si le nombre de paricules diminue, la résisance diminue. La résisance de l'air es donc proporionnelle à sa masse volumique. la forme du corps: selon la forme du corps la résisance de l'air sera plus ou moins grande. Pour un corps sphérique, la résisance de l'air sera moins imporane que pour une plaque. Lorsqu un obje se déplace dans un fluide (gaz ou liquide), le milieu eerce généralemen une force de résisance opposée à la viesse de l obje. On doi disinguer ici deu ypes de résisance: - celle causée par la viscosié du milieu, une propriéé physique du fluide qui se manifese lors de l écoulemen de ce fluide à proimié d une surface ou d un obje ou, ce qui es équivalen, lors du mouvemen d une surface ou d un obje dans le fluide. La force de résisance visqueuse au mouvemen de l obje es proporionnelle à sa viesse e es à peu près opposée à celle-ci. f v = k V (III.55) k es un coefficien qui dépend de la géomérie de l obje e de la viscosié du fluide qui ellemême dépend de la pression e de la empéraure. f n'es eacemen opposée à la viesse que si l obje possède une symérie de roaion auour de l ae de la viesse. Pour ous les aures 10

103 objes, la force de résisance n es qu approimaivemen dans la direcion opposée à V peu causer sur l obje des mouvemens de roaion, ec. e - si la viesse de l obje dépasse une ceraine limie (qui dépend de la forme de l obje e du milieu dans lequel il se déplace), l écoulemen du fluide auour de l obje enre dans un régime urbulen, caracérisé par l appariion de ourbillons. L appariion de ces derniers cause des baisses de pression derrière le mobile qui se manifesen par une force de résisance, die force de raînée, généralemen proporionnelle au carré de la viesse de l obje. f = k'v (III.56) Dans ce cas aussi, cee force n es qu approimaivemen opposée à la direcion de V. Elle ne lui es eacemen opposée que si l obje présene une symérie de révoluion auour de la direcion de sa viesse. Dans ce cas, la force de raînée peu s écrire f k V V La force de résisance oale (viscosié + raînée) es alors : Remarque : f = (III.57) V kv k V V = (III.58) V Dans la plupar des cas considérés dans la cadre de ce cours, les viesses éan faibles, la force de résisance se rédui à la forme : f = k V β. Eemple de froemen visqueu horizonal Considérons le mouvemen supposé horizonal d un corps immergé dans un fluide e soumis à une force F, horizonale e consane. Le fluide eerce sur le corps une force de froemen de la forme: f = k V f A F Les aures forces appliquées sur le mobile son le poids P, la poussée d Archimède A e la force de racion F. Comme le mouvemen se mainien sur le plan horizonal, cela veu dire que P e A se compensen e par applicaion de la deuième loi de Newon nous avons: P Figure III.6 103

104 dv P+ A+ f+ F= ma kv+ F= m d 0 Algébriquemen on aura Dès lors il vien: En inégran on obien: En prenan l'eponenielle: dv kv + F = m d dv k = d F V m k F k ln V = + ce k m F V = Be k k m B es une consane d inégraion qu on peu obenir, par eemple, en uilisan les condiions iniiales. Si la viesse iniiale es nulle alors en conséquence nous obenons: Posons: F B = k F V( ) = 1 e k k m F m V L = ; τ= k k τ sera assimilé à une consane de emps. Ce qui donne : V V( ) = VL 1 e τ (III.59) V L τ τ 3τ τ Figure III.7 5τ 6τ Ainsi, la viesse croî de sa valeur iniiale jusqu'à une valeur asympoique V L appelée viesse limie (figure III.7). Nous observons égalemen un comporemen inéressan : un corps lourd me plus de emps pour aeindre la viesse limie qu'un corps mobile léger! 104

105 V.4. Les forces élasiques Considérons le sysème masse-ressor de la figure III.8. A l erémié inférieure du ressor, de longueur à vide l 0 e suspendu au plafond, es accrochée une masse qui lui fai subir un allongemen Δ l= l-l0 pour aeindre un équilibre. l 0 l F Figure III.8 P En veru de la deuième loi de Newon, le poids doi êre compensé par une force F par le ressor sur la masse dans le sens conraire à l allongemen: eercée P+ F = 0 F = P F = P = mg En faisan varier la masse e en mesuran l allongemen Δ l correspondan, on peu racer le graphe de la variaion du module de F en foncion de Δl. On obien un segmen F Pene K de droie de pene K (figure III.9). Une epérience analogue es réalisée avec un ressor en compression sous l effe d une masse posée sur son erémié supérieure comme le monre la figure III.30 : O Figure III.9 Δl F l 0 l P Figure III.30 Dans ce cas aussi, le poids doi êre compensé par une force F eercée par le ressor sur la masse dans le sens conraire à sa compression. En faisan varier la masse e en mesuran la compression Δ l correspondane, on peu racer le graphe de la variaion du module de F en 105

106 foncion de Δ l. On obien égalemen un segmen de droie de pene K. On en dédui que dans les deu cas la force F es reliée à la déformaion du ressor par F = K Δl (III.60) Cee dépendance linéaire de la force avec la déformaion es appelée loi de Hooke. La consane K es appelée «consane élasique» ou «consane de raideur» du ressor don l unié es le Newon par mère (N/m). Comme F es orienée dans le sens conraire à la déformaion du ressor, il convien d écrire : où u F= K Δ l (III.61) Δ ( ) l= l l u éan le veceur uniaire oriené dans le sens de l allongemen du ressor. Ainsi, lorsqu un ressor es déformé par une acion eérieure, il eerce une force de réacion décrie par (III.61) sur l agen qui le déforme. VI. MOMENT CINÉTIQUE D UNE PARTICULE 0 La quanié de mouvemen s es révélée rès uile dans l éude des mouvemens de ranslaion. Le momen cinéique es la grandeur physique qui joue un rôle analogue dans le cas des mouvemens de roaion ; on l appelle aussi quanié de mouvemen de roaion. VI.1. Momen cinéique d une paricule a. Définiion: Soi une paricule de masse m se rouvan en un poin repéré par le veceur posiion r e se déplaçan à la viesse V. Son momen cinéique L, par rappor à l origine O, es défini par : /O L = r P (III.6) P éan la quanié de mouvemen donnée par : P = mv 106

107 Par sa définiion, le momen cinéique es un veceur perpendiculaire au plan conenan les veceurs r e module es: P e oriené de façon à ce que le rièdre r, P, L soi direc e son = P P L/0 r sin r, L /O O z y Figure r III.31 mv b. Cas pariculiers Dans le cas d un mouvemen circulaire de rayon r cenré à l origine, le veceur posiion es oujours perpendiculaire à la direcion du veceur viesse e donc: L/0 = m r V L/0 = mrv = mr²ω Comme le momen cinéique a même sens e même direcion que le veceur viesse angulaire ω, il devien éviden que : L /0 = mr²ω (III.63) Pour un mouvemen plan curviligne quelconque, nous inroduisons les composanes radiale e ransversale de la viesse, dans un sysème de coordonnées polaires, de pôle O: V= Vr + Vθ e il vien L/0 = m r V = m r Vr+ Vθ = m r Vr+ m r Vθ Compe enu du fai que V r es parallèle à r on obien e sous forme scalaire: L/0 = mr Vθ dθ = = (III.64) L/0 mrvθ mr² d 107

108 VI.. Théorème du momen cinéique pour une paricule La dérivée du momen cinéique s obien en appliquan les règles de dérivaion des produis de foncions : d r P dl/0 dr d = = P P + r (III.65) d d d d Remarquons que e, en veru de la deuième loi de Newon, dr P = V mv= 0 d P d r = r F d La dérivée du momen cinéique se rédui alors à la forme dl/0 d = r F où F es la résulane des forces eérieures appliquées sur la paricule. De la définiion du momen de F par rappor à l origine ( ) τ / O F = r F Il en résule que : dl d /0 = τ /O ( F) (III.66) D où le héorème du momen cinéique pour une paricule: la dérivée par rappor au emps du momen cinéique d'une paricule en mouvemen es égale au momen résulan des forces eérieures, par rappor au poin de référence uilisé pour le momen cinéique. Remarques : Le héorème du momen cinéique es analogue à la deuième loi de Newon. En coordonnées carésiennes, on obien les epressions suivanes : 108

109 ( ) ( ) ( ) L = m yv zv i + m zv V j + m V yv k /0 z y z y τ ( ) ( ) ( ) F = yf zf i + zf F j + F yf k /O z y z y VI.3. Conservaion du momen cinéique - Forces cenrales L analyse de la relaion dl d /0 = τ F = r F / O ( ) (III.67) monre que la dérivée du momen cinéique par rappor au emps es nulle dans deu cas : La paricule es isolée, c es-à-dire que la résulane des forces eérieures es nulle. En conséquence, le momen cinéique d une paricule libre es consan. F es consammen parallèle à r e, de ce fai, sa direcion passe consammen par le poin de référence uilisé pour le momen cinéique. Comme par définiion, une force don la direcion passe consammen par un même poin fie es une force cenrale, F es alors cenrale. Le poin de référence es, dans ce cas, appelé cenre de forces. Ainsi, le momen cinéique par rappor au cenre de forces es consan si la force es cenrale. La réciproque es aussi vraie: si le momen cinéique es consan, la force es cenrale. VI.4. Applicaion : démonsraion de la deuième loi de Kepler L r + ( d) ds r() dr V Dans le cadre du mouvemen d'une planèe auour du Soleil, cee dernière es soumise à la seule force graviaionnelle qui es cenrale puisqu elle es consammen dirigée vers le soleil. Son momen cinéique, par rappor au cenre du soleil, es évidemmen consan, c'es-à-dire L = m r V = consane (III.68) En se basan sur le schéma de la figure III.3 la Figure III.3 surface ds délimiée par r() + e dr, r( d) vau (cf. chapire I VI) 1 ds = r d r 109

110 soi, ds 1 d r 1 = r = r V d d Compe enu de la relaion (III.68), il vien : ds 1 L = m r V = = C (consane) d m m (III.69) La quanié ds es appelée viesse aréolaire. Par inégraion enre deu insans 1 e on d obien la surface balayée duran ce inervalle de emps Conséquences: ( ) 1 = = 1 1 S C d C 1. l aire balayée enre deu insans es proporionnelle à l inervalle de emps correspondan. C'es la deuième loi de Kepler (ou loi des aires).. le plan r,v es fie car r mv= consane. Donc, la rajecoire d'une planèe dans un cadre idéal (en négligean les ineracions avec les aures corps céleses) es plane. VII. PSEUDO-FORCES OU FORCES D INERTIE Nous avons vu que la deuième loi de Newon, F = m a, es valable dans n impore quel repère d inerie. Nous allons voir, dans cee parie, l incidence de l uilisaion d un repère non-galiléen. VII.1. Cas d un mouvemen circulaire Considérons une balle de poids P reliée par un fil ineensible à l ae d une plaeforme ournan avec une viesse de roaion consane (figure III.33). Au bou d un cerain emps, cee balle es enraînée dans un mouvemen giraoire de même viesse angulaire. Ce dernier éa es perçu de deu façons différenes par un observaeur fie e par un aure qui se rouve enrainé sur la plaeforme. 110

111 T C R P Figure III.33 Pour l observaeur (ineriel) au sol, la balle qui subi le poids P, la force de conac C avec la plaeforme e la ensiont du fil, es en mouvemen circulaire uniforme. Il applique la deuième loi de Newon : V² P + C + T = m soi T = m R a 0 R éan la disance de la balle au cenre de la plaeforme. Pour l observaeur (non-ineriel) poré par la plaeforme (figure III.34), la balle n es pas en mouvemen par rappor à lui e il conclu qu elle es en équilibre sous l'effe de deu forces F radiales, in e T, e de deu forces vericales, P e C. Dans ces condiions, la deuième loi de Newon s écri: P + C + T+ Fin = 0, soi Fin = T 0 R T C P Fin Figure III

112 Fin es une force dirigée vers l eérieur. Elle es d origine immaérielle puisqu il n y a pas de corps qui en soi la cause. On l appelle force d inerie. En comparan les deu résulas on conclu que : V² Fin = T = m a e Fin = m R Dans ce cas de mouvemen circulaire, cee force es appelée force cenrifuge. VII.. Cas d un mouvemen reciligne Considérons un pendule simple consiué d une masse m suspendue par un fil ineensible au plafond d un véhicule en mouvemen uniformémen accéléré, d accéléraion horizonale a. Ce pendule forme un angle θ avec la vericale e l analyse de son inclinaison n es pas effecuée de la même façon par un observaeur fie e par un aure qui se rouve dans le véhicule. Pour l observaeur (ineriel) au sol (figure III.35), les forces eercées sur le pendule son le poids P e la ension T du fil. Il applique ainsi la deuième loi de Newon en consaan que le pendule es enraîné par le véhicule avec l accéléraion a : P+ T = m a T θ a P Figure III.35 11

113 L observaeur (non-ineriel) se rouvan dans le véhicule (figure III.36), voi le pendule immobile e conclu que le poids ne pouvan équilibrer la ension du fil, une roisième force F in devrai inervenir. Il formule ainsi la deuième loi de Newon : Fin T θ a P Figure III.36 P+ T+ Fin = 0 En comparan ces deu dernières équaions, il conclu que Fin = m Cee force es d origine immaérielle puisqu il n y a pas de corps qui en soi la cause. C es aussi une force d inerie. a 113

114 114

115 CHAPITRE IV TRAVAIL ET ÉNERGIE INTRODUCTION Dans le chapire précéden, consacré à la dynamique, nous avons éabli les relaions qui eisen enre un mouvemen e les forces qui en son la cause. En pariculier, nous avons vu que la connaissance des forces qui agissen sur une paricule e des condiions iniiales (posiion e viesse) peu permere de prédire son mouvemen. Cependan, on ne connai pas oujours oues les forces en présence e même si c es le cas, il arrive que les équaions à résoudre soien difficiles à raier. Dans ces condiions, on peu faire appel à des noions elles que le ravail e l énergie qui fon l obje de ce chapire. I. TRAVAIL D UNE FORCE I.1. Définiions Si une paricule subi un déplacemen élémenaire dr sous l'effe d'une force F, cee dernière effecue un ravail élémenaire dw défini par : F B dw = F d r (IV.1) F Si la paricule es déplacée d un poin A à un aure B (figure IV.1), le ravail oal es A A W Figure IV.1 W 1 B B W F = F d r (IV.) A A Remarquons que Fdr = F drcos F,dr =Fdr=Fds (IV.3) W 3 où F es la composane angenielle de F e s la coordonnée Figure IV. B curviligne. 115

116 Ce qui donne : B sb W F = Fds (IV.4) sa A Le ravail W s eprime en Joules ( 1 J = 1 Nm). Remarques : Si la force F es perpendiculaire au déplacemen son ravail es nul. W es une grandeur algébrique : si W es posiif le ravail es appelé ravail moeur ; dans le cas conraire il es di ravail résisan. Le ravail dépend en général du chemin suivi enre A e B. Eemple : dans le cas de la figure IV., représenan rois chemins différens, le plus souven on a : B B B W F W F W F 1 3 A A A (IV.5) I.. Uilisaion des coordonnées carésiennes En epriman le produi scalaire en foncion des composanes de F e de dr, soi Fdr = Fd+ Fdy+Fdz (IV.6) y z nous obenons : B B W F = F dr A A B yb zb + y + z A ya za = F d F dy F dz (IV.7) Remarque : si la force F es consane en grandeur e en direcion l epression de prend une forme plus simple: B B yb zb W F = F d+ Fy dy Fz dz + A y A za A ( ) + ( ) + ( ) = F F y y F z z B A y B A z B A W F B A (IV.8) Ce résula monre que le ravail ne dépend alors que des posiions iniiale e finale e non pas du chemin suivi. Le ravail du poids en es une bonne illusraion. 116

117 Applicaion : Un corps de masse m = 1kges iré avec une force F sur une disance de 10m, le long d un plan incliné de 45 par rappor à l horizonale (figure IV.3). Les froemens éan insignifians e le mouvemen accéléré, d accéléraion a = 1m s, calculer les ravau des forces appliquées au corps : C F y O α= 45 P L applicaion de la deuième loi de Newon perme d écrire : F+ P+ C= ma (IV.9) Projeons cee équaion sur les deu aes de coordonnées carésiennes L équaion (IV.10) perme d écrire : ( e ) ( e ) F = F P sin α = ma (IV.10) F = C P cosα = 0 (IV.11) y ( ) Figure IV.3 F = ma + Psin α = m a + g sin 45 = 8.07 N Le ravail de F es alors B B yb W F = Fd+ Fydy A ya A ( ) + ( ) ( B A) + ( B A) ( ) = F F y y B A y B A = F 0 y y =8,07 10 J = 80,7 J Le ravail de P es donné par 117

118 B B yb W P = Pd+ Pydy A ya A ( ) + ( ) ( ) ( ) = P P y y B A y B A = Psinα P cos α 0 = 70,7 J B A Les froemens éan négligeables, la force de conac C plan, donc au déplacemen, e son ravail es nul. es alors perpendiculaire au I.3. Noion de puissance Pour élever vericalemen un corps d une haueur h, à viesse consane, il fau lui appliquer une force F qui es elle que : Soi e P+F=0 F=P=mg W F =mgh (IV.1) (IV.13) (IV.14) Ainsi, le emps n apparaissan pas dans cee epression, la valeur du ravail es la même que ce déplacemen ai duré une seconde ou une année. Pour enir compe de la viesse d eécuion de ce ravail, on défini la puissance qui es la viesse de variaion du ravail par rappor au emps : dw p= d (IV.15) En développan le ravail élémenaire on obien : La puissance moyenne développée enre deu insans i e f es : dr p= F =F V (IV.16) d W i p m = Δ f (IV.17) La puissance s eprime en Was ( W). 118

119 II. ENERGIE CINETIQUE II.1. Définiion Soi une paricule qui se déplace sous l'acion d'une force résulane F enre deu poins A e B. La deuième loi de Newon éan applicable le long du chemin AB, on pourra l uiliser dans l'epression du ravail. En effe, B B W F = F dr (IV.18) A A Sachan que F= ma dr= Vd il vien B BdV V B 1 A V A d A ( B A) W F = m V d = m V d V = m V V (IV.19) soi : B B 1 = Δ mv A A W F (IV.0) par définiion, la quanié : es appelée énergie cinéique ; elle se mesure en Joules. 1 EC = mv (IV.1) II..Théorème de l énergie cinéique La relaion B B 1 B W F = Δ mv = ΔE C A (IV.) A A eprime le héorème de l'énergie cinéique qui s énonce comme sui : 119

120 Lorsqu'un corps se déplace enre deu poins A e B, sous l'acion d'une force résulane F, le ravail de cee force es, quelque soien le chemin suivi e la naure des forces, égal à la variaion de l'énergie cinéique du corps. Remarques : L énergie cinéique es oujours posiive. Si le corps es soumis à plusieurs forces, de résulane F= Fi, alors : i A B B B B B Δ Ec = W F = W F + W F + W F +... i i i A A A A P =mv éan la quanié de mouvemen, il vien : P =m V Ec (IV.3) = P m Si F es perpendiculaire au déplacemen son ravail es nul e, en conséquence, l énergie cinéique es consane. III. FORCES CONSERVATIVES ET ENERGIE POTENTIELLE III.1. Forces conservaives Une force F es die conservaive si elle vérifie une de ces deu condiions qui son équivalenes : W 3 A W W 1 - Première condiion : le ravail de la force F enre deu poins A e B ne dépend pas du chemin suivi. Cee indépendance par rappor au chemin suivi implique que pour la figure IV.4: Figure IV.4 B B B B W F = W F = W F (IV.4) 1 3 A A A Soi B B B 1 = = 3 A A A F dr F dr F dr (IV.5) 10

121 - Deuième condiion: le ravail oal sur un chemin fermé (soi un aller e reour) es nul. En effe, d après l indépendance du ravail par rappor au chemin suivi : B B B B F dr = F dr F dr F dr = 0 (IV.6) 1 1 A A A A ce qui s écri Remarques : B A B A 1 1 A B A B F dr + F dr = 0 soi W F + W F = 0 (IV.7) Le ravail effecué par une force conservaive ne dépendan pas de la rajecoire, cee force doi dépendre uniquemen de la posiion e non de la viesse, ni du emps. Eemple de forces conservaives : les forces élasiques, élecriques. graviaionnelles e III.. Concep d énergie poenielle a. Première epérience Considérons le sysème masse-ressor de la figure IV.5, en l absence de froemens avec le sol. On déplace la masse de façon à comprimer le ressor d une longueur a, puis on abandonne le sysème à lui-même. La masse effecue alors des oscillaions, d ampliude a, cenrées en O. La parie de gauche de la figure représene, sur un cycle, des configuraions caracérisiques de ce mouvemen. En bou de course, c es-à-dire en = ± a, la masse n a pas d énergie cinéique puisque sa viesse es nulle. Cependan elle se reme en mouvemen vers la posiion d équilibre = 0 avec une viesse croissane. Cela veu dire qu elle acquier de l énergie cinéique. Comme l énergie ne se crée pas, elle provien de la ransformaion d une forme d énergie due à l éa (de compression ou d éiremen) du sysème masse-ressor. Cee énergie es appelée énergie poenielle (symbole Ep). Au-delà du poin d équilibre, la masse subi un ralenissemen jusqu au poin erême suivan, au cours duquel elle perd oue son énergie cinéique. En fai le sysème récupère de l énergie poenielle qu il réuilise pour renvoyer la masse vers la posiion d équilibre. Ce mouvemen es alors enreenu par une succession de ransformaions d énergie poenielle en énergie cinéique e d énergie cinéique en énergie poenielle. Ceci es vrai lorsque les froemens son absens. Remarquons que la force qui es responsable de ce mouvemen es la force élasique qui es conservaive (le poids e la force de conac se neuralisen). De ce fai, l énergie 11

122 poenielle associée es désignée par énergie poenielle élasique. Par ailleurs, l epérience es reproducible, c es-à-dire que lorsqu elle es refaie on obien les mêmes résulas. De plus, si on modifie l ampliude «a» l énergie poenielle va varier quaniaivemen. Cela veu dire qu elle dépend de la posion occupée par la masse. Energie cinéique Energie poenielle V = 0 Maimum de compression V V Maimum de viesse V V = 0 Maimum d eension V V Maimum de viesse V V = 0 Maimum de compression -a 0 a Figure IV.5 1

123 b. Deuième epérience Considérons la chue libre d un corps lâché sans viesse iniiale d une haueur h par rappor au sol (figure IV.6). L obje se me en mouvemen sous l acion de son poids, une force conservaive que la erre eerce sur lui. Au dépar l obje n a pas d énergie cinéique puisque sa viesse es nulle. Par conséquen, l éa du sysème erre-obje fai que ce dernier possède une énergie poenielle die graviaionnelle qu il peu ransformer en énergie cinéique. Comme l epérience es reproducible, cela veu dire que le corps récupère son énergie poenielle à chaque fois qu il revien à sa posiion iniiale. En changean la haueur de la chue e en éudian l énergie cinéique obenue il apparaî que cee énergie poenielle dépend de la posiion de l obje. h P Figure IV.6 Considérons mainenan le cas où le même corps es lancé vers le hau, à parir du sol, avec une viesse V 0, donc une énergie cinéique mv0. Arrivé à une ceraine haueur h, sa viesse s annule (ayan perdu oue son énergie cinéique) ; il effecue alors une chue libre analogue à celle décrie précédemmen. Ainsi, enre le sol e le poin de rebroussemen, le corps a ransformé son énergie cinéique en énergie poenielle qu il reransforme en énergie cinéique en reomban. III.3. Energie mécanique oale Nous avons vu que l énergie poenielle E P d un corps es une énergie due à l éa du sysème responsable de la force conservaive qu il subi. Cee énergie, qui dépend de la posiion occupée par le corps, peu êre ransformée en énergie cinéique E C e le corps la récupère lorsqu il rerouve son éa iniial. Ainsi, le sysème peu ransformer l énergie poenielle en énergie cinéique e vice versa. Considérons le déplacemen d une paricule sous l effe d une force conservaive : si le corps a perdu une quanié d énergie poenielle EP ( 0) d énergie cinéique Δ EC ( > 0) ; si le corps a perdu une quanié d énergie cinéique EC ( 0) d énergie poenielle Δ E ( > 0). P Δ <, il gagne une quanié Δ <, il gagne une quanié 13

124 Compe enu des signes des deu quaniés, on a dans ous les cas l égalié : ΔE = ΔE (IV.8) P C Ce qui nous perme d écrire : ( ) ΔE + ΔE = 0 Δ E + E = 0 (IV.9) P C P C soi E + E = consane (IV.30) P C La quanié E T=EP + EC représene l énergie mécanique oale de la paricule. Théorème : l énergie mécanique oale d une paricule soumise à des forces conservaives es consane. III.4. Déerminaion de l énergie poenielle a. Méhode Considérons un corps qui se déplace enre deu posiions, A0 r 0 e A r, sous l effe d une force conservaive F. Le héorème de l énergie mécanique perme d écrire : A P Ao A Δ E = Δ E (IV.31) C Ao En veru du héorème de l énergie cinéique, soi A A A A P = Δ Ao C = Ao = Ao Ao ΔE E W F F dr (IV.3) ( ) ( ) P P 0 A E A E A = F dr (IV.33) Ainsi, il apparaî que pour déerminer l énergie poenielle en n impore quel poin A, il fau connaîre celle d un poin de référence A 0. Souven, A 0 es choisi, par convenion, à l endroi où la force F EP( A 0). Ao es nulle (lorsque cela es possible) e on donne arbirairemen la valeur zéro à b. Energie poenielle élasique 14

125 Revenons au sysème masse-ressor du paragraphe III..a. La déformaion du ressor éan représenée par, la force élasique appliquée par le ressor es donc : F = k i (IV.34) Cee force s annule à l origine ( = 0) que nous uiliserons comme poin de référence. En conséquence, 1 EP( ) E ( 0) = F d = ( k) d = k (IV.35) 0 0 P 0 De façon générale, l énergie poenielle associée à une force élasique F = k Δl, dans le cas d une une déformaion Δ l, es donnée par 1 E ( ) ( ) P Δl = k Δl (IV.36) c. Energie poenielle graviaionnelle Considérons un corps de masse m se déplaçan sous l effe de la force graviaionnelle Fg que la erre eerce sur lui (figure IV.7), soi : M m r² T Fg = G u Il es éviden que cee force s annule à l infini que nous considérerons comme référence : u r Fg m r r MT m EP ( r) = Fg dr = G u dr (IV.37) r² Noons que udr = udrcos u,dr = dr (IV.38) M T d où Figure IV.7 1 M m r² r r T EP( r) = GMTm dr = G (IV.39) 15

126 d. Energie poenielle graviaionnelle au voisinage de la erre (ou énergie poenielle de pesaneur) Considérons un corps de masse m se déplaçan sous l effe de son poids enre deu poins A e B. La variaion de son énergie poenielle s obien en écrivan: B B B ΔEP = ΔE A C = W P (IV.40) A A Le ravail de P es donné par B B yb W P = Pd+ Pydy A ya A ( ) + ( ) = P P y y (IV.41) B A y B A Dans un sysème de coordonnées carésiennes d ae (Oy) verical ascendan, les composanes de P son : P = 0 ; Py = mg. En conséquence, B B P A = B A A ( ) ΔE = W P m g y y (IV.4) Ce résula éan valable quelque soien les poins A e B, nous pouvons écrire de façon générale: ΔEP = mgδy (IV.43) Par convenion, on donne la valeur zéro à E P en y = 0. L énergie poenielle s eprime alors : EP ( y) = mgy (IV.44) Il es possible de choisir le niveau de référence pour l'énergie poenielle (E p =0) à une aliude quelconque. On inrodui alors un ae verical ascendan don l origine es siuée à ce niveau de référence e l énergie poenielle de la pesaneur s écri : P ( ) E h = mgh (IV.45) où h es la coordonnée de la posiion sur ce ae. y h Eemple : Considérons un corps se déplaçan sur une rajecoire ayan la forme d un quar-de-cercle de rayon R e siuée dans le plan verical (O,, y). Nous nous proposons d eprimer les énergies poenielles graviaionnelles du mobile pour les deu posiions M e N e les deu niveau de références O e O de la figure IV.8. M O O N Figure IV.8 16

127 Posiion Référence : O Référence : O M mgr 0 N 0 - mgr e. Eude de quelques eemples Tableau IV.1 Pour une paricule en mouvemen sous l effe de forces conservaives, l énergie oale es consane. Pour la calculer, il fau chercher une posiion où la viesse es connue. α. Paricule dans un champ de force élasique Revenons au sysème masse-ressor du paragraphe III..a. La déformaion du ressor éan représenée par, l énergie poenielle de la masse es Son énergie oale es alors 1 EP ( ) = k (IV.46) 1 1 E k mv T = + (IV.47) Sachan que la viesse es nulle au poin d élongaion maimale, = a, on obien E T 1 k = a (IV.48) Soi, en n impore quel poin d abscisse E k mv k T = + = a (IV.49) Ainsi, l énergie cinéique en ce poin es : 1 1 EC( ) = mv =ET EP = k( a ) (IV.50) Par conséquen, la viesse en un poin d abscisse es donnée par la relaion V= k ( a ) m (IV.51) 17

128 Le diagramme des énergies de la figure IV.9, ci-dessous, monre bien le fai que oue diminuion d énergie poenielle es accompagnée par une augmenaion de la même quanié d énergie cinéique. 0,5Ka Energies E T E P ΔE P ΔE C E C X -a 0 Figure IV-9 +a β. Mouvemen d un projecile lancé vers le ciel à parir du sol - Viesse de libéraion V Soi 0 la viesse iniiale d un projecile lancé vers le ciel. Son énergie poenielle graviaionnelle es donnée par l epression : M m = (IV.5) ( ) T EP r G r où r es la disance qui le sépare du cenre de la erre, m sa masse e M T celle de la erre. Son énergie mécanique oale es alors M m 1 = + (IV.53) r T ET G mv = consane En uilisan les condiions iniiales r = R T (le rayon de la erre) e V=V0, il vien M m 1 M m 1 E = G + mv = G + mv (IV.54) T T T 0 r RT L énergie cinéique en n impore quel poin de la rajecoire es alors 18

129 1 M m M m 1 E = mv = G G + mv (IV.55) T T C 0 r RT Le diagramme des différenes énergies es représené sur la figure IV.10. Energies E C0 E C monée 0 R T descene r ma r E T E T E P0 E P Figure IV-10 La disance r ma correspond au poin d aliude maimale aein avan d effecuer une chue libre qui ramène le corps vers la erre. Pour que le projecile puisse se libérer de l aracion de la erre il fau admere que, s il n éai que sous le seul effe de la graviaion erresre, sa viesse iniiale lui permerai d aller vers l infini où son énergie cinéique serai nulle. Son énergie mécanique oale es alors M m 1 M m 1 E = G + mv = G + mv = 0 T T T 0 r RT 0 0 (IV.56) D où la viesse de libéraion du projecile V M T 0 = G (IV.57) R T III.5. Forces conservaives e énergie poenielle Commençons par considérer le mouvemen d une paricule conraine à se déplacer sous l effe d une force conservaive F. Dans ce cas, sa variaion d énergie poenielle, enre deu poins A 0 e A 1, es donnée par la relaion 19

130 A1 P A0 A1 Δ E = F dr (IV.58) Ao Pour un déplacemen élémenaire, cee relaion devien de = F d r = Fd F dy F dz (IV.59) P y z Par ailleurs, rappelons que si une foncion f(,y,z) es coninûmen dérivable, c es-àdire que les dérivées parielles f, f y e f z eisen e son coninues, on défini son gradien, qu on écri grad f, comme éan le veceur don les composanes son les dérivées parielles de cee foncion, soi : f f f grad f = i + j+ k y z (IV.60) La différence df = f ( + d, y + dy,z + dz) f (, y,z) (IV.61) es appelée différenielle df de la foncion f qui s eprime par le produi scalaire : Ainsi, la différenielle de l énergie poenielle s écri : f f f df = grad f d r = d + dy + dz (IV.6) y z E E E y z P P P dep = d + dy + dz (IV.63) En comparan les équaions (IV.59) e (IV.63), on obien par idenificaion : EP EP EP F = ; F y = ; Fz = IV.64 y z ( ) On di que la force F dérive du poeniel EP relaion r ou qu elle es reliée à son gradien par la F= grade = E p p En coordonnées polaires, le gradien s écri r 1 r θ grad = u r + u θ (IV.65) soi 130

131 E P 1 E P F( r, θ ) = u r u θ (IV.66) r r θ III.6. Les diagrammes d énergie poenielle Considérons une paricule qui se déplace sous l effe d une force conservaive F. L éude du diagramme de son énergie poenielle peu fournir des renseignemens concernan la naure de son mouvemen. Nous allons illusrer la procédure en nous basan sur l eemple d une paricule qui se déplace le long de l ae ( O) avec l énergie poenielle représenée dans la figure (IV.11). sens de F Figure IV.11 a. Déerminaion de la force à parir du diagramme Ep () La force conservaive e l énergie poenielle associée son reliées par : F= grade = E (IV.67) p p soi, dans nore cas 131

132 ( ) dep F ( ) = = la pene de la angene au graphe de Ep ( ) (IV.68) d Ainsi, on peu facilemen déerminer F ( ) au diagramme d énergie poenielle. b. Déerminaion des posiions d équilibres en évaluan graphiquemen la pene de la angene Dans nore cas, le champ de force es une simple foncion F() e la force poine vers la droie si F > 0, vers la gauche si F < 0. On di qu un poin d abscisse 0 es un poin d équilibre si la force es nulle à ce endroi F( 0 ) = 0; auremen di, si la dérivée de l énergie poenielle s annule en 0. Il s agi d un équilibre au sens où si la paricule es posée en ce poin sans viesse iniiale, elle reserai immobile. On qualifie l équilibre de sable si, lorsqu on écare légèremen la paricule de 0, la force end à la faire revenir vers cee posiion. Cela correspond à un minimum dans le diagramme d énergie poenielle. Cee condiion es remplie si la dérivée première de l énergie poenielle es nulle e sa dérivée seconde es posiive au poin 0 (concavié vers le hau). Le diagramme d énergie poenielle éudié fai apparaîre deu poins d équilibres C = m e G =3m. sables: ( ) ( ) Dans le cas où 0 correspond à un maimum dans le diagramme d énergie poenielle, la force a endance à éloigner la paricule de 0 si cee dernière en es légèremen déplacée e l équilibre es qualifié d insable. La dérivée première de l énergie poenielle y es nulle e sa dérivée seconde es négaive (concavié vers le bas). Sur le diagramme il n y a qu un seul poin d équilibre insable : l origine O. c. Déerminaion des poins de rebroussemen Les poins de rebroussemen (ou poins limies) son les poins où l énergie cinéique s annule. Pour les rouver il fau uiliser la relaion 1 E C = mv = ET E P (IV.69) Ces poins où les énergies oale e poenielle son égales délimien la rajecoire de la paricule. En effe, l énergie cinéique éan une grandeur posiive, la relaion (IV.69) nous indique que le mouvemen ne peu s effecuer que dans la région E () E. Par eemple, si ET = 10J, le diagramme d énergie poenielle monre que les poins F e H son des poins de rebroussemen. La paricule ne peu aller à gauche de F ou à droie de H où l énergie poenielle es supérieure à ET = 10J. Ce cas peu se produire, par eemple, si iniialemen elle es lâchée en F ou H sans viesse iniiale. E T =EP0+ EC0 = 10+ 0= 10J (IV.70) P T 13

133 Elle effecuera un mouvemen oscillaoire enre ces deu poins suivan le schéma (figure IV.1). V > 0 ; a > 0 Mouvemen accéléré V=0 F H V=0 Mouvemen décéléré V < 0 ; a > 0 V ma G G V ma V > 0 ; a < 0 Mouvemen décéléré Mouvemen accéléré V < 0 ; a < 0 Figure IV.1 La porion (F G H ) de la courbe es appelée puis de poeniel parce que la paricule ne peu pas quier le segmen (FH). Si ET =,5J, nous aurons quare poins de rebroussemen (B, D, E, I) e deu puis de poeniel : (B C D ) e (E G I ). La paricule oscillera dans l un ou l aure des deu puis mais ne peu pas passer de l un à l aure à cause de la porion (D OE ) de la courbe d énergie poenielle que l on appelle barrière de poeniel. Par eemple, si iniialemen elle es lâchée en B ou en D sans viesse iniiale, elle oscillera enre B e D ; si iniialemen elle es lâchée en E ou en I sans viesse iniiale, elle oscillera enre E e I ; si iniialemen elle es lancée à parir de F vers la droie avec une énergie cinéique E = 7,5 J, son énergie oale sera : C E T= EP0 + EC0 = ,5 =,5 J Le diagramme révèle que pour saisfaire la condiion poin I e ensuie oscillera enre E e I. E P() E T, elle aeindra le Dans le cas poeniel. ET = + 5 J, nous aurons deu poins de rebroussemen A e J e un puis de 133

134 Dans le cas où la paricule es abandonnée sans viesse iniiale au poin A 0, son énergie oale aura pour valeur 10 J e elle se déplacera dans le sens des posiifs an que son énergie poenielle resera inférieure à cee valeur ( Ep < 10 J ). IV. ENERGIE MECANIQUE ET FORCES NON CONSERVATIVES Rappelons que pour une paricule se déplaçan sous l effe de forces conservaives, ΔE = ΔE + ΔE = 0 ΔE T P C ΔEP + W FC = 0 (IV.71) C = W FC où W F C es le ravail résulan des forces conservaives. Si la paricule es soumise à des forces conservaives e à des forces non conservaives soi ΔET = ΔEP + ΔEC ΔET = ΔEP + W FC + W FNC ΔEC = W FC + W FNC 0 = ΔET W F NC (IV.7) W FNC représene le ravail résulan des forces non conservaives. Théorème : La variaion de l énergie mécanique oale d un corps es égale au ravail résulan des forces non conservaives auquelles il es soumis. Nous cions à ire d eemples les forces non conservaives suivanes : a. la force de conac ( hormis la force élasique) ; b. la force magnéique ; c. oues les forces qui dépenden epliciemen du emps ou de la viesse. Remarque : la force non conservaive qui inervien souven dans les eercices es la force de conac noée C. Enre deu poins A e B de la rajecoire suivie par le corps sur lequel elle s applique, son ravail es : 134

135 soi B B B W C = W CII + W C (IV.73) A A A 0 B W C = C d r = C ds B s B II II A sa A (IV.74) Dans le cas pariculier où C II rese consan pendan le mouvemen on aura : B s B W C C ds C = = (s B s A) s A A II II (IV.75) 135

136 136

137 CHAPITRE V SYSTEMES A PLUSIEURS PARTICULES Dans le chapire III nous avons inrodui les principes de la dynamique classique, concernan un poin maériel. Nous allons, dans ce qui sui, éudier la dynamique d un sysème composé de plusieurs poins maériels, c es à dire l éude dynamique d un sysème discre. Un sysème maériel discre es un ensemble fini de poins maériels. I. INTRODUCTION Les collisions e les chocs son des ineracions au cours desquelles des corps eercen les uns sur les aures, pendan un inervalle de emps cour, des forces d ineracion. Ces dernières son relaivemen élevées par rappor à celles provenan de l environnemen eérieur au sysème formé par les paricules enran en ineracion. La collision enre deu paricules a lieu lorsqu elles se dirigen l une vers l aure pour se percuer. Une collision peu se produire avec un conac physique (cas de la figure V.1.a), comme elle peu se produire par ineracion à disance (cas de la figure V.1.b). Dans ce dernier cas l ineracion a lieu avec une force de rès coure porée. Figure V.1 La figure V.1.b représene une collision par ineracion à disance enre un proon e le noyau d un aome d hélium. Les deu paricules poran des charges de même signe ne peuven pas enrer en conac physique en raison des forces élecrosaiques, rès fores, qu elles subissen lorsqu elles son rès proches l une de l aure. 137

138 Une eplosion es un événemen duran lequel les consiuans d un sysème se repoussen pour se séparer, en eerçan des forces relaivemen élevées les uns sur les aures pendan un inervalle de emps cour. II. L IMPULSION ET LA QUANTITE DE MOUVEMENT Considérons un sysème consiué de deu paricules qui enren en ineracion. Pour chaque paricule, nous avons vu qu en mécanique newonienne, la relaion enre la force e le mouvemen es donnée par la e loi de Newon: R = P d d (V.1) où R es la résulane des forces eérieures appliquées sur la paricule. Cee dernière subi F une force e provenan de l environnemen eérieur e une force F provenan de l acion de l aure paricule (figure V.) : R = F+ F e (V.) e F1 e F On a alors F 1 F1 Corps 1 Corps Figure V. d P = Rd La variaion de la quanié de mouvemen enre le débu de l ineracion à l insan i e sa fin correspondan à l insan f, s obien en inégran cee relaion : P i i ( ) f f ΔP = d = R d V.3 P P L inégrale du membre de droie qui mesure à la fois la force de l ineracion e la durée de l ineracion es appelée impulsion I de la force R qui es la résulane des forces F e Fe. I f = Rd (V.4) i Théorème: La variaion de la quanié de mouvemen d une paricule es égale à l impulsion de la résulane des forces qui agissen sur la paricule duran l inervalle de emps considéré. Remarque : Nous pouvons développer la relaion (V.3) en écrivan : Δ P f f f f P = P = + e = + e P d F F d Fd F d (V.5) i i i i 138

139 En général, la durée des chocs es suffisammen faible pour que l impulsion des forces eérieures ne provoque pas une variaion de quanié de mouvemen significaive. Il devien raisonnable de considérer que le sysème des deu paricules es isolé e d écrire : Δ P i f = F d = impulsion de F (V.6) Cee relaion vau pour chaque composane : Δ Δ Δ P P P f = I = F d (V.7) i f = I = F d (V.8) y y y i f = I = F d (V.9) z z z i Si l on s inéresse mainenan au sysème formé par les deu paricules, la variaion de la quanié de mouvemen oale duran l ineracion es : Δ = F + F d = 0 (V.10) i 0 f P1 1 1 En effe, en veru de la roisième loi de Newon, la force F1 eercée par la paricule «1» sur la paricule es opposée à F1 eercée par la paricule sur la paricule «1». Le principe de conservaion de la quanié de mouvemen du sysème formé par les deu paricules es donc vérifié au cours de la collision. III. COLLISIONS DE PARTICULES ISOLEES On doi pouvoir diviser le emps ainsi : avan, duran e après la collision, comme le suggère la figure V.3. V 1 V V V 1 Avan collision Duran la collision Figure V.3 Après collision Ici, le principe de conservaion de la quanié de mouvemen du sysème formé par les paricules es donc vérifié avan e après la collision. 139

140 mv 1 1+ mv = mv 1 1+ mv (V.11) P Les collisions son classifiées sur la base de considéraions énergéiques. Une collision es die élasique lorsque l énergie cinéique oale du sysème es conservée. Dans le cas conraire, c es-à-dire s il y a pere d énergie cinéique oale, la collision es inélasique même si la quanié de mouvemen oale es conservée. Si, en plus, les deu paricules on la même viesse après l ineracion, en resan collées l une à l aure, la collision es qualifiée de parfaiemen inélasique. En réalié les collisions enre objes macroscopiques son oujours inélasiques. En effe, les froemens fon qu une parie de l énergie es perdue sous forme de chaleur. Par ailleurs, si la collision provoque une déformaion, comme dans le cas d un choc enre deu voiures, ce phénomène consomme de l énergie. Cependan, lorsque ces peres ne son pas imporanes, on peu raisonnablemen supposer que le processus de collision es élasique. Les collisions élasique e parfaiemen inélasique son les cas limies enre lesquels on peu siuer les aures formes de collisions. Nous allons nous inéresser eclusivemen à ces deu caégories d ineracions. III.1. Collisions élasiques Dans une collision élasique enre élémens d un sysème isolé, l énergie cinéique e la quanié de mouvemen oales se conserven. Les collisions élasiques se produisen lorsque les forces d ineracion enre les paricules impliquées son conservaives. Dans une elle siuaion, lorsque les paricules enren en collision, une parie de l énergie cinéique es converie en énergie poenielle pour ensuie êre resiuée sous forme d énergie cinéique. Ici, les principes de conservaion de la quanié de mouvemen e de l énergie cinéique du sysème formé par les paricules son donc vérifiés : P' mv+ mv= mv + mv (V.1) mv mv = mv mv (V.13) a. Collision en une dimension Pour commencer, considérons le cas où les deu objes qui enren en collision se déplacen sur un ae (O). C es un cas pariculier d une collision plus générale qu on éudiera ulérieuremen. On suppose que le premier obje se déplace iniialemen à une viesse V1 = V1 i e le second à une viesse V = V i. Après la collision, les deu corps on respecivemen des viesses V 1 = V 1 i e V = V i. La figure V.4 monre un eemple qui n es pas unique puisque, comme nous allons le voir plus loin, il eise plusieurs possibiliés. 140

141 V 1 V V 1 V m 1 m Avan collision Figure V.4 m 1 m Après collision Le problème es de déerminer précisémen V 1 e V en foncion de V 1 e V e des masses des deu objes. A ce effe nous uiliserons: - la loi de conservaion de la quanié de mouvemen qui s écri sous la forme scalaire : mv + mv = mv + mv (V.14) la loi de conservaion de l énergie cinéique qui s eprime, en foncion des composanes : 1 mv mv = 1 mv mv (V.15) Pour déerminer les deu inconnues V 1 e V, nous avons besoin de réécrire les équaions (V.14) e (V.15) sous les formes : ( ) ( ) m V V = m V V (V.16) ( )( ) ( )( ) m V + V V V = m V + V V V (V.17) La division membre à membre des équaions (V.16) e (V.17) donne lieu à : V + V = V + V (V.18) 1 1 Soi : ( ) ( ) V1 V = V1 V V V 1 ' 1 (V.19) Cee équaion monre que les modules des viesses relaives des deu paricules ( i.e. la viesse d une paricule par rappor à l aure) avan e après la collision son égau lorsque cee dernière es élasique. L équaion (V.19) perme d écrire : V = V + V V (V.0)

142 Cee relaion peu êre uilisée pour éliminer Cee équaion peu se mere sous la forme : ce qui perme d écrire V dans (V.16) : ( ) mv + mv = mv + m V V + V (V.1) ( ) ( ) m + m V = m m V + m V (V.) m m m V = V + V m1+ m m1+ m (V.3) Un calcul similaire donne lieu à la relaion : m m m V = V + V m1+ m m1+ m (V.4) Les relaions (V.3) e (V.4) son compliquées pour êre inerpréées sous cee forme. Nous pouvons cependan les eploier pour les cas pariculiers suivans : Cas où les deu corps on la même masse (figure V.5): m1 = m = m (V.3) e (V.4) deviennen V 1 = V ; V = V1 Ainsi, m 1 communique sa viesse à m e cee dernière ransme la sienne à m 1. V 1 V V 1 V m 1 Avan collision m Figure V.5 m 1 m Après collision Cas où les deu corps on la même masse e m. es iniialemen au repos : m1 = m = m, V = 0 (figure V.6). (V.3) e (V.4) deviennen. V 1 = 0 ; V = V1 14

143 V 1 V m 1 m m 1 m Avan collision Figure V.6 Après collision Ainsi la paricule qui éai en mouvemen s arrêe e celle qui éai iniialemen au repos se me en mouvemen avec la viesse d incidence de la première. Cas où m. es au repos V = 0 e m 1>> m (figure V.7), V 1 V1 ; V V1 V 1 V 1 V m 1 m Avan collision Figure V.7 m 1 m Après collision Cas où m. es au repos V = 0 e m 1<< m (figure V.8), V 1 V1 ; V << V 1 V 1 1 m 1 m m 1 m Avan collision Après collision V V Figure V.8 b. Collision en deu dimensions Nous allons mainenan généraliser les calculs précédens au cas d une collision en deu dimensions. Dans ce cas, les paricules peuven avoir des direcions différenes avan ou après ou avan e après la collision. Nous devons alors eprimer les viesses sous la forme vecorielle dans la conservaion de la quanié de mouvemen : 143

144 mv+ mv= mv + mv Puisqu il s agi d une équaion vecorielle, la conservaion de la quanié de mouvemen vau pour chaque composane : 1 1y y 1 1 y ( ) ( ) mv mv = mv mv V.5 mv + mv = mv + mv V.6 La loi de conservaion de l énergie cinéique es l équaion scalaire : mv mv = mv mv V.7 ( ) Le problème consise à déerminer les quare inconnues V 1, V 1y, V e V y, alors que nous ne disposons que des rois équaions (V.5), (V.6) e (V.7). En conséquence, pour des condiions iniiales (avan le choc) données, il n y a pas une soluion unique pour les composanes des viesses engendrées par le choc des paricules. Il fau donc ajouer des conraines pour évier cee siuaion. Les deu eemples suivans en son des illusraions. Eemple 1 C es un cas classique de conraines où l on considère que les deu corps on la même masse ( m1 = m = m) e m es au repos ( V = 0 ) avan la collision. C es une siuaion que l on renconre dans les coups de billards e qui es illusrée par la figure V.9 Figure V.9 V 1 m θ 1 b m V 1 m θ m V y Les deu objes son déviés, après la collision, hors de l ae des, comme indiqué sur la figure. L angle θ 1 que fai la viesse du premier corps par rappor à la direcion iniiale de son mouvemen es appelé angle de diffusion. Ce angle dépend de la force qui agi enre les deu objes, ainsi que de la disance enre la cible e la direcion de la viesse du projecile. Cee disance, noée b, es appelée paramère d impac. Noons que les mouvemens après collision resen dans le plan défini par les posiions iniiales. Compe enu des conraines imposées ( m1 = m = m, V = 0 ), la conservaion de la quanié de mouvemen s écri : 144

145 mv = mv + mv 1 1 En élevan au carré les deu membres de cee équaion on obien, après simplificaion par m, 1 = ( ) V V V V V V.8 Par ailleurs, après simplificaion par /m, l équaion de conservaion de l énergie cinéique donne lieu à : 1 1 La comparaison de (V.8) e (V.9) perme de conclure que : ( ) V = V + V V.9 V V = 0 (V.30) 1 Ce qui veu dire que les rajecoires finales son perpendiculaires. Eemple : Considérons le cas de deu balles de billard de même masse qui se déplacen le long d un ae (O). La première, m 1, se déplace vers la droie avec une viesse V 1 =10 m/s e la seconde, m, se déplace vers la gauche avec une viesse V =5 m/s. Après la collision, supposée élasique, l une des deu balles prend la direcion de l ae (Oy) (figure V.10 cidessous). Il s agi de déerminer les viesses des deu balles après la collision. m V 1 V m Figure V.10 V 1 m O y m V La loi de conservaion de la quanié de mouvemen nous perme d écrire : m V + m V = m V + m V 1 1 La projecion de cee équaion sur les aes donne, après simplificaion par la masse m : 145

146 V + V = V + V (V.31) 1 1 V + V = V + V (V.3) 1y y 1y y Remplaçons les viesses connues par leurs valeurs : 10 5= 0+ V V = 5m/s 0+ 0= V + V V = V 1y y 1y y La collision éan élasique, nous pouvons uiliser la loi de conservaion de l énergie cinéique: 1 mv1 + 1 mv 1 1 = mv 1 + mv (V.33) qui s écri, en foncion des composanes : m( V1 + V1y ) + 1 m( V + Vy ) = 1 m( V 1 + V 1y ) + 1 m( V + V y ) (V.34) Après simplificaion e remplacemen des grandeurs connues par leurs valeurs, on obien: Comme ( 10 ) ² + ( 5 ) ² = V 1y + ( 5+ V y ) V = V 1y y il vien V = V = 100 m /s 1y y soi V = 50 m/s e V = 50 m/s 1y y III.. Collisions parfaiemen inélasiques (ou chocs mous) Rappelons que lorsque l énergie cinéique oale du sysème n es pas conservée après une collision, on di que cee dernière es inélasique même si la quanié de mouvemen oale ne change pas. Nous allons nous inéresser au cas des collisions parfaiemen inélasiques dans lesquelles les deu paricules on une viesse commune après l ineracion en resan collées l une à l aure. En conséquence, le principe de conservaion de la quanié de mouvemen s écri mv+ mv= m+ m V (V.35) ( )

147 La viesse commune après collision es alors mv 1 1+ mv V = m + m 1 (V.36) Eemple Un paineur de masse m1 enre en collision avec un aure paineur de masse m viesse V = 75kg, se dirigean vers l es avec une viesse V1 = 5m/s, = 50kg, glissan vers le nord avec une = 10m/s. Les deu paineurs resen accrochés l un à l aure après la collision qui leur confère un mouvemen reciligne (figure V.11). On se propose de calculer la viesse commune après la collision y y V V 1 θ m 1 V m Avan collision Figure V.11 Après collision Le froemen des pains sur la glace éan négligeable, le sysème composé par les deu paineurs peu êre considéré isolé; l applicaion du principe de conservaion de la quanié de mouvemen perme d écrire Soi mv+ mv= m+ m V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m1v1 + mv = m1+ m V = m1+ m V cos θ (V.37) m V + m V = m + m V = m + m V sin θ (V.38) 1 1y y 1 y 1 Remplaçons les grandeurs connues par leurs valeurs : Le rappor de (V.40) sur (V.39) donne lieu à = 15 V cos θ (V.39) = 15 V sin θ (V.40) gθ= 1,3333 θ = 53,13 147

148 e (V.40) perme d obenir la valeur du module V en écrivan : 500 V = 15 sin θ = 5 m/s Calculons les énergies cinéiques avan e après la collision : 1 1 Avan collision : EC = m1v1 + mv = 3437,5J 1 Après collision: E C = ( m1+ m) V = 156,5 J Ainsi, un peu moins de la moiié de l énergie cinéique iniiale a éé converie en d aures formes d énergies. IV. MOUVEMENT D UN SYSTEME DE PARTICULES Les rois lois de Newon que nous avons vues s appliquen au sens sric à un poin maériel seulemen. Il es imporan de comprendre commen les lois de Newon peuven êre formulées afin de les appliquer à des sysèmes de poins maériels. IV.1. Le cenre de masse Soi un sysème formé de n paricules de masses m 1,m,m 3,...m n, repérées par leurs veceurs posiions respecifs r 1,r,r 3,...,rn définis dans un référeniel fie. Définiion : Nous appelons cenre de masse un poin auquel nous pouvons raacher oue la masse M du sysème e don le veceur posiion es donné par r cm n mi r i = i= 1 n = m i= 1 i m r + m r + m r + + m r M n n (V.41) Les veceurs posiions peuven êre eprimés en foncion des coordonnées : cm n m i i i= 1 = = n m i= 1 i m + m + m + + m M n n (V.4) 148

149 y cm n my i i i= 1 = = n m i= 1 i my + my + my + + m y M n n (V.43) z cm n mz i i i= 1 = = n m i= 1 i mz + mz + mz + + m z M n n (V.44) IV.. Viesse e accéléraion du cenre de masse de r cm La viesse du cenre de masse, noée par rappor au emps V cm, s obien simplemen en calculan la dérivée drcm 1 dr1 dr dr3 drn V cm = = m1 + m + m3 + + m n d M d d d d (V.45) soi V cm n mv i i = i= 1 n = m i= 1 i mv+ mv+ mv+ + m V M n n (V.46) De même, l accéléraion du cenre de masse, noée a cm, s écri dvcm 1 dv1 dv dv3 dvn acm = = m1 + m + m3 + + mn d M d d d d (V.47) soi a cm n ma i i i= 1 = = n m i= 1 i ma+ ma+ ma+ + m a M n n (V.48) 149

150 IV.3. La deuième loi de Newon pour un sysème de paricules Ainsi la quanié de mouvemen oale du sysème s eprime comme éan le produi de la masse oale M par la viesse du cenre de masse : P = MV = m V + m V + m V + + m V cm n n = n (V.49) P P P P Alors, la dérivée emporelle de la quanié de mouvemen oale es P P P P P d dv d d d d = M = d d d d d d cm 1 3 n ( V.50)) Si Fi es la force résulane eercée sur la paricule i, la deuième loi de Newon perme d écrire i = F P d d i (V.51) La relaion (V.50) peu se mere sous la forme F = F1+ F+ F Fn (V.5) où F représene la force oale (ou la résulane) eercée sur le sysème. La deuième loi de Newon s applique donc au mouvemen du cenre de masse, à condiion de considérer la résulane de oues les forces appliquées : F = Macm (V.53) Remarquons que la force Fi forces eernes forces inernes sysème : e Fi in Fi s eerçan sur la paricule i se compose de la résulane des, eercées par l environnemen eérieur au sysème, e la résulane des, qui es la somme des forces eercées par oues les aures paricules du Comme e in Fi = Fi + F i (V.54) in Fi Fji = (V.55) j i 150

151 où F ji es la force eercée par la paricule j sur la paricule i, e que la roisième loi de Newon sipule que Fji = Fij, la résulane de oues les forces appliquées sur le sysème s écri alors F = F + F = F 0 e e i j i i i j i i (V.56) Pour comprendre ce calcul, considérons le cas de rois paricules, numéroées 1, e 3. Les forces agissan sur chacune des rois paricules son : e F = F + F + F e F = F + F + F 1 3 e F = F + F + F (V.57) En faisan la somme de ces rois forces, on rouve e e e F1+ F+ F3 = F1 + F + F3 + F1+ F1 + F31+ F1 3+ F3 + F 3 e e e = F + F + F (V.58) Ceci signifie que, pour connaîre le mouvemen du cenre de masse, il n es pas nécessaire de connaîre les déails des forces inernes au sysème, mais uniquemen les forces eernes. Complémen : considérons l eemple (Figure V.1) du mouvemen d un obus. Eplosion (P 0 ) (P ) (P 1 ) Figure V.1 Si l obus rese en un seul morceau, sa rajecoire, (P 0 ), es celle, parabolique, prévue par la héorie du mouvemen d un projecile. Si, l obus eplose en l air en deu morceau, le premier suivrai une rajecoire parabolique, (P 1 ), e le second se déplacerai sur une aure parabole (P ). Les rois paraboles (P 0 ), (P 1 ) e (P ) se superposen jusqu au poin où l eplosion a lieu pour ensuie se séparer (Figure V.1). De son coé, le cenre de masse des deu morceau poursuivrai sa rajecoire sur (P 0 ), au-delà de ce poin. 151