Calculs de limites en un point ou à l infini

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1 NOTES DE COURS Chap. LIM0 Calculs de ites en un point ou à l infini.. LE POINT SUR LES LIMITES DE RÉFÉRENCES Pr. 4 p =+ + p =+ FONCTIONS p ET AVEC p N p 4 =+ 0 p 3 3 Limites de p p = 0 + p = 0 Limites de p 3 3 Pr. Limites de p+ 3 LIMITES DES FONCTIONS p+ ET AVEC p N p+ Limites de p =+ p+ + p+ =+ p+ = 0 + p+ = 0 p+ = 0 = p+ Cpge Tsi 08/9 Mathématiques CALCULS DE LIMITES EN UN POINT OU À L INFINI Chap. LIM0

2 AUTOUR DE LA FONCTION EXPONENTIELLE Pr.3 Limites de e + e =+ e =+ Limites de e e = 0 + e = 0 3 FONCTION ln() ET Pr.4 + ln()=+ Limite en+ de = Limites de ln() ln()= Encart n o App. Déterminer les ites suivantes : (). + 5 (). 7 (3). 3 (4). + (5). (6). 0 + LIMITES DE RÉFÉRENCES (7). 0 5 (8) Cpge Tsi 08/9 Mathématiques CALCULS DE LIMITES EN UN POINT OU À L INFINI Chap. LIM0

3 .. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES Pr.5 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES f et g sont deu fonctions définies sur un même intervalle I de R et 0 est un élément de I ou une borne finie ou infinie de I. l et l désigneront deu réels finis. L information signifie qu il reste à déterminer le signe à l aide de la règle des signes. Le symbole? signifie que l on ne peut donner de résultat. On parlera alors dans ce cas de forme indéterminée. Les résultats suivants sont valables, que tende vers un nombre 0 ou vers+ ou vers. f () 0 f () 0 f () 0 g () 0 f ()+ g () 0 l R + l R l+l ?? g () 0 f () g () 0 0 l ?? l 0 0 l l +? +? + g () 0 f () 0 g () 0 l 0 + 0? l l 0 l 0 0 +???? Encart n o App. Déterminer les ites suivantes : (). 43 () (3) (4). (5) (6) (7) (8) OPÉRATIONS SIMPLES AVEC LES LIMITES (9). + (0). + 5 ( (). (3 + ) + ) ( (). 3 )( + + ) Cpge Tsi 08/9 Mathématiques 3 CALCULS DE LIMITES EN UN POINT OU À L INFINI Chap. LIM0

4 . 3. CALCULS DE LIMITES ET LEVÉES D INDÉTERMINÉES 3. LIMITE EN± POUR UN POLYNÔME OU UN QUOTIENT DE POLYNÔMES LIMITE EN ± D UN POLYNÔME Th. Soit P un polynôme de degré n N : R, P()=a n n + a n n a + a 0 où a 0,..., a n sont des réels avec a n 0 Alors : R, ( P()=a n n + a n a n + a n a n a a n n + a 0 ) a n }{{ n } ± La ite en+ (respectivement ) de P est donnée par celle de a n n, et ces deu ites sont «égales». LIMITES EN ± D UN POLYNÔME Me. MÉTHODE À ce stade de l année, on peut adopter la rédaction suivante : «En factorisant par le monôme de plus haut degré du polynôme, on en déduit que le comportement de P() lorsque tend vers+ est donné par celui de a n n et ainsi P()=...» + Encart n o 3 App.3 Déterminer les ites en + et des fonctions f suivantes : (). f ()= (). f ()= (3). f ()= + 4+ LIMITES EN ± D UN POLYNÔME LIMITE EN ± D UN QUOTIENT DE POLYNÔMES Th. Soient P et Q deu polynômes s écrivant : R, P()=a n n + a n n a + a 0 avec a n 0 et R, Q()= b p p + b p p b + b 0 avec b p 0 Pour tout non nul n annulant pas Q : La ite en+ (respectivement ) de P Q est donnée par celle de a n n P() Q() = a n n quantité qui tend vers b p p quantité qui tend vers sous-entendu quand tend vers ± b p p, et ces deu ites sont «égales». LIMITES EN ± D UN QUOTIENT DE POLYNÔMES Me. MÉTHODE À ce stade de l année, on peut adopter la rédaction suivante : «En factorisant par les monômes de plus haut degré des polynômes, on en déduit que le comportement du quotient P() Q() lorsque tend vers+ est donné par celui de a n n b p p et ainsi + P() Q()» Cpge Tsi 08/9 Mathématiques 4 CALCULS DE LIMITES EN UN POINT OU À L INFINI Chap. LIM0

5 Encart n o 4 App.4 Déterminer les ites en et en des fonctions f suivantes : (). f ()= (). f ()= (3). f ()= FONCTION RATIONNELLE EN ± 3. LIMITE D UNE COMPOSÉE COMPOSITION DE FONCTIONS Rem. REMARQUE Soit f : I J et g : J R. On peut se représenter la fonction composée g f par le diagramme suivant : f g I J R Th.3 Soit f : I J et g : J R et a un élement de I (fini ou infini). La fonction composée g f est donc bien définie et on a : Si f () a b LIMITE D UNE COMPOSÉE g f et si g(y) y b l alors g(f ()) a l Encart n o 5 App.5 ( Déterminer + ln + ). COMPOSITION ET LIMITES Cpge Tsi 08/9 Mathématiques 5 CALCULS DE LIMITES EN UN POINT OU À L INFINI Chap. LIM0

6 3.3 TAUX D ACCROISSEMENTS Dans ce paragraphe, f désignera une fonction définie sur un intervalle I de R, et 0 un point de I. Cadre de travail et/ou notation(s) utilisée(s) TAUX D ACCROISSEMENT EN 0 Def. DÉFINITION On appelle tau d accroissement de f en 0 la fonction τ : I \ { 0 } R f () f ( 0) 0. Encart n o 6 App.6 Les epressions suivantes peuvent être les tau d accroissement de fonctions usuelles en un point 0. Les identifier. (). f ()= ln() (). f ()= e (3). f ()= sin() ln(+ ) (4). f ()= (5). f ()= cos() (6). f ()=. TAUX D ACCROISSEMENT LIMITE D UN TAUX D ACCROISSEMENT TAUX D ACCROISSEMENTS DE RÉFÉRENCE Pr.6 On suppose ici que f est dérivable en 0. Par définition de la dérivabilité de f en 0, on a : f () f ( 0 ) = f ( 0 ). 0 0 Th.4 sin() ln(+ ) e = = = et cos() 0 = qui n est pas un tau d accroissement... Cpge Tsi 08/9 Mathématiques 6 CALCULS DE LIMITES EN UN POINT OU À L INFINI Chap. LIM0

7 Encart n o 7 App.7 Déterminer les ites suivantes : (). 0 e (). ln() (3). cos() 0 (4). e e TAUX D ACCROISSEMENTS 3.4 CROISSANCES COMPARÉES CROISSANCES COMPARÉES Pr.7 Soit n N. e + n =+ + ln() n = 0 + n e = 0 INTERPRÉTATION DES CROISSANCES COMPARÉES Rem. REMARQUE e Dire que + n = + revient à dire que la fonction e est «prépondérante» devant la fonction n avec n N au voisinage de +. LEVÉE D UNE INDÉTERMINÉE DU TYPE «SUR» OU Me.3 MÉTHODE (). Pour lever une forme indéterminée du type, on peut factoriser au numérateur et au dénominateur par le terme qui est «prépondérant» devant les autres. (). Pour lever une forme indéterminée du type, on peut factoriser la différence par le terme qui est «prépondérant» devant les autres. Encart n o 8 App.8 Déterminer + e +. LEVÉE D INDÉTERMINÉE Cpge Tsi 08/9 Mathématiques 7 CALCULS DE LIMITES EN UN POINT OU À L INFINI Chap. LIM0

8 3.5 D ENCADREMENT Th.5 Soient f, g et h trois fonctions définies sur un intervalle I et a une borne finie ou infinie de I. On suppose que : I, f () g() h(). On a alors : Si f ()=+, alors g()=+ a a Si h()=, alors g()= a a Si f ()= l et h()= l où l R, alors g()= l. a a a D ENCADREMENT UTILISATION DU D ENCADREMENT POUR UN CALCUL DE LIMITE Me.4 MÉTHODE Si l on réussit à écrire un inégalité du type f () g() et que l on montre que f () a + on obtient alors que g() a +. Si l on réussit à écrire un inégalité du type f () g() et que l on montre que g() a on obtient alors que f () a. Si l on réussit à écrire un encadrement du type f () g() h() et que l on montre que f ()=l et a obtient alors que g() l. a h()= l on a Encart n o 9 App.9 f est une fonction telle que, pour tout > : f a-t-elle une ite en+? LIMITES ET ENCADREMENT 3+ cos() f () Encart n o 0 App. 0 LIMITES Montrer que, pour tout R : cos() 3 + En déduire + cos(). Cpge Tsi 08/9 Mathématiques 8 CALCULS DE LIMITES EN UN POINT OU À L INFINI Chap. LIM0