Déterminants. Déterminant d'une matrice carrée d'ordre n. I.1 Matrice carrée d'ordre inférieur à 3. det(a) = g h k =

Transcription

1 MT25 - ch1 Page 1/10 Déterminants Dans tout ce chapitre, K = R ou K = C E désigne un K-espace vectoriel de dimension nie n avec n 2 I Déterminant d'une matrice carrée d'ordre n I1 Matrice carrée d'ordre inférieur à 3 Dénition 1 Soit A une matrice carrée d'ordre n avec n 3 On appelle déterminant de A le scalaire noté det(a) déni comme suit : ( ) a b si n = 2 et A =, on pose det(a) = c d a c a b c si n = 3 et si A = d e f, on pose g h k det(a) = b d = a b c Règle de Sarrus : pour une matrice carrée d'ordre 3, A = d e f, le scalaire det(a) est g h k donné par a b c det(a) = d e f g h k =

2 MT25 - ch1 Page 2/10 I2 Cas général Théorème 1 (admis) Il existe une unique application f : M n (K) K, appelée déterminant, vériant les trois propriétés suivantes : (i) f est linéaire par rapport à chacune des colonnes de sa variable (ii) si B est la matrice obtenue en permutant 2 colonnes de A M n (K) alors f(b) = (iii) f(i n ) = Pour toute matrice A M n (K), le nombre f(a) s'appelle le déterminant de A et se note det(a) (i) signie que, si on se xe des matrices colonnes C 1, C 2,, C i 1, C i+1,, C n de M n,1 (K) alors l'application (ii) signie que quand on permute deux colonnes d'une matrice, Dans le cas où A = (a i,j ) 1 i n 1 j n a 1,1 a 1,j a 1,n, on écrit det(a) = a i,1 a i,j a i,n a n,1 a n,j a n,n I3 Propriétés du déterminant liées aux colonnes Proposition 2 Soit A M n (K) (i) Si une colonne de A est nulle alors det(a) = (ii) Si deux colonnes de A sont égales, alors (iii) Pour tout scalaire λ K, det(λ A) = (iv) Le déterminant d'une matrice diagonale est égal au produit de ses termes diagonaux

3 MT25 - ch1 Page 3/10 II II1 Calcul pratique de déterminants Les opérations élémentaires Proposition 3 (Caractère multilinéaire alterné du déterminant) Soit A M n (K) 1 Si on multiplie une colonne de A par λ K alors le déterminant de A est 2 On ne change pas le déterminant de A en ajoutant à une colonne de A un multiple d'une autre colonne 3 On ne change pas le déterminant de A en ajoutant à une colonne de A une combinaison linéaire Exemple : factoriser le déterminant (x) = x x x II2 Déterminant d'un produit, déterminant d'une transposée Théorème 4 (admis) Pour toutes matrices carrées A et B d'ordre n, det(ab) = Mise en garde : Théorème 5 (admis) Une matrice et sa matrice transposée ont même déterminant : si A M n (K) alors Ce résultat essentiel nous permet d'obtenir, à partir des lignes, les propriétés que nous avons obtenues sur le déterminant à partir des colonnes de la matrice

4 MT25 - ch1 Page 4/10 Soit A M n (K) Si une ligne de A est nulle, alors Si deux lignes de A sont égales, alors Si on permute deux lignes de A, alors le déterminant est multiplié par On ne change pas le déterminant de A en ajoutant à une ligne de A une II3 Déterminant d'une matrice triangulaire Proposition 6 Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au Preuve : on suppose que A est une matrice triangulaire supérieure : a 1 x 2 x 3 x n 0 a 2 A = an 1 z 0 0 a n II4 Développement par rapport à une colonne ou à une ligne Soit A = (a i,j ) 1 i n 1 j n a 1,1 a 1,j a 1,n = a i,1 a i,j a i,n a n,1 a n,j a n,n une matrice carrée d'ordre n

5 MT25 - ch1 Page 5/10 Pour i 1, n et j 1, n, on note A [i,j] la matrice obtenue à partir de A en supprimant la i ème ligne et la j ème colonne Proposition 7 (admise) Soit A M n (K) On peut calculer le déterminant de la matrice A en développant par rapport à sa j ème colonne det(a) = n ( 1) i+j a i,j det ( ) A [i,j] i=1 par rapport à sa i ème ligne Vérication dans le cas n = 3 On développe par exemple par rapport à la deuxième colonne de A où a b c A = d e f g h k Exemple : calculer le déterminant δ =

6 MT25 - ch1 Page 6/10 III Famille de vecteurs et endomorphisme Dans ce paragraphe, E est un K espace vectoriel de dimension nie n, muni d'une base B III1 Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base Dénition 2 Soit ( x1, x 2,, x n ) une famille de n vecteurs de E Si on note X i la matrice colonne des coordonnées de chaque vecteur x i dans la base B, et si on note A la matrice carrée d'ordre n, dont les colonnes sont, dans cet ordre, X 1, X 2,, X ( n, on appelle déterminant de la famille de vecteurs x1, x 2,, ) x n dans la base B, le scalaire noté det B ( x 1, x 2,, x n ) déni par : Le déterminant d'une famille de vecteurs dépend de la base dans laquelle on se place Si B = ( e1, e 2,, ) e n est une base de E, alors det B ( e 1, e 2,, e n ) = Proposition 8 Soit n 2 (i) L'application det B : E n K ( x1, x 2,, x n ) detb ( x 1, x 2,, x n ) par rapport à chacune de ses n variables (les autres étant xées), càd est linéaire (ii) Pour tous vecteurs x 1, x 2,, x n de E, s'il existe des indices distincts i et j tels que x i = x j alors (iii) Pour tous vecteurs x 1, x 2,, x n de E, si k > i alors det B ( x 1,, x i 1, x k, x i+1,, x k 1, x i, x k+1,,, x n ) =

7 MT25 - ch1 Page 7/10 III2 Déterminant d'un endomorphisme Dénition 3 Soit f un endomorphisme de E et B une base de E On pose det(f) = Le déterminant d'un endomorphisme f est indépendant de la base choisie B En eet, On a det(id E ) = Si f et g sont deux endomorphismes de E alors det(f g) = Si λ K et f L (E) alors det(λf) =

8 MT25 - ch1 Page 8/10 IV Applications des déterminants IV1 Inversibilité d'une matrice Théorème 9 Soit A M n (K) La matrice A inversible si, et seulement si, Dans ce cas : det(a 1 ) = Preuve : : on suppose que A est inversible alors AA 1 = I n Donc, en composant par det, det(aa 1 ) = det(i n ) = 1 D'où la conclusion voulue : par contraposée On suppose que A n'est pas inversible Notons (C 1,, C n ) les colonnes de A et B 0 la base canonique de M n,1 (K) IV2 Caractérisation de bases Théorème 10 Soit B = (e 1, e 2,, e n ) une base de E et F = (x 1, x 2,, x n ) une famille de n vecteurs de E Alors F est une base de E si, et seulement si, Preuve : On suppose que F = (x 1, x 2,, x n ) est une base de E On note A la matrice carrée d'ordre n dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs x i dans la base B Alors det(a) =

9 MT25 - ch1 Page 9/10 IV3 Comatrice Dénition 4 Soit A une matrice carrée de M n (K) On appelle comatrice de A la matrice notée com(a) dont le coecient général est γ i,j = ( ) a b Exemple : posons A = M c d 2 (R) Alors Proposition 11 Pour toute matrice A M n (K), A t (com A) = Preuve : pour tous entiers i et j appartenant à 1, n, notons M j (L i ) la matrice déduite de A en remplaçant la j ème ligne de A par la i ème ligne de A Si i j alors Si i = j alors Posons B = A t (com A) = (b i,j ) On obtient (i, j) 1, n 2, b i,j = Proposition 12 Si A est une matrice inversible, alors A 1 =

10 MT25 - ch1 Page 10/10 IV4 En géométrie Dans le plan, deux vecteurs u et v sont colinéaires ssi leur déterminant (dans une base quelconque) est Dans l'espace, trois vecteurs u, v et w sont ssi leur déterminant est nul Équation cartésienne d'un plan de l'espace