x. y ' x '. y pour tous éléments,, ', ' , C

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1 RÉSUMÉ 5 : DÉTERMINNTS Ds tot ce résmé, ser égl soit à, soit à PREMIÈRE ÉTUDE : DÉTERMINNT D UNE MTRICE CRRÉE D ORDRE D Si x x ' y y ', lors o ote d x x ' et( ) y y ' Clcl d détermit d ordre : o x x ' x y ' x ' y por tos élémets,, ', ' y y ' x y x y de x Notos C y et x ' C y ' les dex coloes de O oter lors det ( ) det C, C P )U détermit d ordre est liéire pr rpport à chce de ses vribles O dit q il est biliéire O doc por tot sclire et totes mtrices C, C, C, C de ( ), b)u détermit d ordre est tisymétriqe Cel sigifie qe l o por totes mtrices C, C de ( ), det I c)o : t P O por tote mtrice ( ) det det( ) : det C C, C det C, C det C, C det C, C C det C, C det C, C : det C, C det C, C DEUXIÈME ÉTUDE : DÉTERMINNT D UNE MTRICE CRRÉE D ORDRE 3 D Si x x ' x" y y ' y", lors o ote z z ' z" x x ' x" de t ( ) y y ' y" z z ' z" Clcl d détermit d ordre 3 : il y dex méthodes priciples por clcler détermit d ordre 3 : )Première méthode por clcler détermit d ordre 3 : l règle de Srrs : x x' x" y y' y" x y' z" y z' x" z x' y" x" y' z y" z' x z" x' y z z' z" x x' x" + y y' y" + z z' z" + Pge sr 6

2 b)dexi méthode : développemet pr rpport à e lige o e coloe Pr exemple, développemet pr rpport à l dexi lige doe : x x ' x" x ' x" x x" x x ' y y ' y" y y ' y" (les siges sot doés pr le détermit symboliqe z ' z" z z" z z ' z z ' z" ) x Notos C y z x' C y ' z ', x" et C3 y" z" les trois coloes de O oter lors det( ) det C, C, C 3 P3 )U détermit d ordre 3 est liéire pr rpport à chce de ses vribles O dit q il est triliéire O doc C C C C3 C C C3 C C C3 C C C C3 C C C3 C C C3 C C C C C C C C C C det,, det,, det,, det,, det,, det,, det,, det,, det,, b)u détermit d ordre 3 est tisymétriqe O doc C C C3 C C C3 C C C3 C C3 C C C C C C C det,, det,, det,, det,, det,, det,, 3 3 det I c)o 3 : t P4 O por tote mtrice 3( ) det det( ) CS GÉNÉRL : DÉTERMINNT D UNE MTRICE CRRÉE D ORDRE P5 Il existe e iqe pplictio det : ( ) vérifit les trois coditios sivtes : ) det est liéire pr rpport à chce de ses vribles O dit q il est liéire O lors por tot {,, }, por totes coloes C,, C, C, C, C,, C de,( ) et por tot sclire : C C C C C C C C C C C C C C C C det,,,,,, det,,,,,, det,,,,,, b) det est tisymétriqe O lors, si c) det( I ) i i : det C,, Ci, Ci, Ci,, C, C, C,, C det C,, Ci, C, Ci,, C, Ci, C,, C P6 Soit ( ) )Si dex coloes de sot égles, lors det( ) 0 b)por tot : det det( ) Pge sr 6

3 P7 O pet ssi tiliser les opértios élémetires sr les coloes : ))Si b)si c)si ', lors det( ') det( ) Ci C Ci ', vec 0, lors det( ') det( ) Ci Ci Ci C ' vec i, lors det( ') det( ) )Cel sigifie qe, si est détermit d ordre lors : )O psse de à si l o permte dex coloes de b)o psse de à si l o mltiplie e coloe de pr c)o e chge ps l vler de si l o ote à l e des coloes de e combiiso liéire des tres coloes de P8 Le détermit d e mtrice triglire spériere, triglire ifériere o digole est égl prodit de ses coefficiets digox, B ( ) : det( B) det( )det( B) P9 O P0 Ue mtrice ( ) est iversible si et selemet si det( ) 0 P O t ( ) : det d et( ) O lors ds ce cs det det( ) P Cel permet d ffirmer qe l propriété 7, éocée sr les coloes de, est ssi vlble sr ses liges, c'est-à-dire : ))Si b)si c)si ', lors det( ') det( ) Li L Li ', vec 0, lors det( ') det( ) Li Li Li L ' vec i, lors det( ') det( ) )Cel sigifie qe, si est détermit d ordre lors : )O psse de à si l o permte dex liges de b)o psse de à si l o mltiplie e lige de pr c)o e chge ps l vler de si l o ote à l e des liges de e combiiso liéire des tres liges de DÉVELOPPEMENT D UN DÉTERMINNT P3 Soit détermit d'ordre O ote por tot ( i, ) {,, } i le détermit d'ordre obte à prtir de e li retirt l i lige et l coloe i s'ppelle le mier d'idices ( i, ) de O lors les reltios sivtes : i ) {,, } : ( ) i i (C est le développemet de pr rpport à l coloe) i i b) i {,, } : ( ) i i (C est le développemet de pr rpport à l i lige) Pge 3 sr 6

4 Por développer détermit selo e lige o e coloe, o pet tiliser le détermit symboliqe d ordre sivt : s : le sige écrit sr l i lige coloe de est le sige de ( ) i s DÉTERMINNT DE VNDERMONDE D3 Cosidéros ombres complexes,,, Cosidéros le détermit d'ordre sivt : s'ppelle détermit de Vdermode P4 Le détermit ci-desss por vler : ( ) ce qi reviet à écrire : i i ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) DÉTERMINNT D UNE FMILLE DE VECTEURS DNS UNE BSE D4 Soiet etier E -ev de dimesio e, e,, e e bse de E,,, e fmille de E,,, O ppelle détermit de l fmille ds l bse e e e det,,,,,,,,,, de E le détermit sivt : Coordoées d vecter ds l bse ttetio : l vler de déped de l bse det,,, Si ' est e tre bse de E, det,,, est ps e géérl égl à det,,, Pge 4 sr 6

5 P5 ) det est liéire pr rpport à chce de ses vribles O dit q il est liéire O lors por tot {,, }, por tos vecters,,,,,,, de E et por tot sclire : det,,,,,, det,,,,,, det,,,,,, b) det est tisymétriqe O lors, si i i : det,, i, i, i,,,,,, det,, i,, i,,, i,,, P6 Soiet etier E -ev de dimesio e, e,, e e bse de E,,, e fmille de E,,, det,,, 0 L fmille est e bse de E si et selemet si DÉTERMINNT D UN ENDOMORPHISME EN DIMENSION FINIE etier E -ev de dimesio P7 Soiet f ( E) e bse de E Le détermit de l mtrice Mt f, e déped ps de l bse choisie tremet dit, si est e tre bse de E, lors o det Mt f, det Mt f, etier E -ev de dimesio D5 Soiet f ( E) e bse de E O ppelle détermit de f le ombre sivt : det( f ) det Mt f, L propriété précédete permet d ffirmer qe l vler de det( f ) e déped ps de l bse choisie P8 Soiet etier E -ev de dimesio ( f, g) ( E) )O det( gof ) det( g)det( f ) b)o f biectif si et selemet si det( ) 0 f O lors det f det( f ) c)o : det( f ) det( f ) Pge 5 sr 6

6 etier P9 Soiet E -ev de dimesio f ( E) )O lors por tote bse e, e,, e de E por tote fmille,,, de : det f ( ), f ( ),, ( ) f det( )det,,, f E,,, b)por tote bse e e e de E, o det( ) det ( ), ( ),, ( ) f f e f e f e COMPLÉMENT )Soit e, e Soit (, v) e bse qelcoqe d e fmille de E espce vectoriel E de dimesio Le ombre det (, v) correspod rpport sivt : det (, v) ire d prllélogrmme de côtés et v (e ble) ire d prllélogrmme de côtés e et e (e vert) e v e )Soit e, e, e 3 e bse qelcoqe d espce vectoriel E de dimesio 3 Soit (, v, w) e fmille de E Le ombre det (, v, w) correspod rpport sivt : det (, v, w) volme d prllélépipède de côtés, v et w volme d prllélépipède de côtés e, e et e 3 w v Pge 6 sr 6