Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes

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1 Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes MTH6311 S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2014 (v2) MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 1/29

2 Plan 1. Introduction 2. Formulation et non-réalisabilité 3. Voisinages 4. Application d une métaheuristique VNS MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 2/29

3 1. Introduction 2. Formulation et non-réalisabilité 3. Voisinages 4. Application d une métaheuristique VNS MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 3/29

4 Objectif Définir le problème de coloration de graphe et passer en revue les différents éléments permettant de définir une première métaheuristique. MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 4/29

5 Le problème On considère un graphe G = (V, E). k-col est le problème de décision consistant à déterminer s il est possible de colorer les sommets de G en utilisant au plus k couleurs, de telle sorte qu aucune arête n ait ses deux extrémités de même couleur. k-col N P-complet pour k 3. COLC est le problème consistant à trouver le nombre chromatique χ(g), le plus petit nombre de couleurs permettant de colorer les sommets de G. COLC N P-difficile. MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 5/29

6 Exemples d applications Confection d horaires : les différents items à insérer dans un horaire correspondent aux sommets d un graphe qui sont reliés si il y a une incompatibilité entre eux. Les couleurs correspondent aux périodes de temps. Assignation de tâches : les sommets correspondent aux tâches et sont reliés en cas d incompatibilité. Affectation de fréquences. MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 6/29

7 Justification de l emploi de métaheuristiques Le problème est N P-difficile. Les méthodes exactes peuvent prendre plusieurs mois à colorer optimalement certains graphes de seulement 100 sommets. Les instances réelles possèdes des milliers de sommets. MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 7/29

8 1. Introduction 2. Formulation et non-réalisabilité 3. Voisinages 4. Application d une métaheuristique VNS MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 8/29

9 Le problème : formulation Le problème COLC s écrit χ(g) = min{f(x) : x Ω}. x X X : ensemble des colorations des sommets de G. x X peut être non réalisable, et/ou incomplète (sommets non colorés). Ω : ensemble des colorations réalisables (i.e. coloration complète et pas deux arêtes reliant deux sommets de même couleur). f : nombre de couleurs de la coloration x X. Irréalisabilité? MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 9/29

10 Le problème : non-réalisabilité Si x Ω, on parle d une coloration réalisable, ou légale. Si x X Ω : Avec une coloration incomplète, si toutes les arêtes ont leurs extrémités colorées d une couleur différente, on parle d une coloration partielle légale. S il existe des arêtes avec des extrémités de même couleur, ces arêtes sont appelées des arêtes conflictuelles, et leurs sommets sont appelés des sommets conflictuels. MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 10/29

11 Le problème : non-réalisabilité (suite) Plusieurs façon d exprimer f(x) quand x X Ω : f(x) =nombre de couleurs de la coloration x. Ne pas considérer les conflits ni les sommets non-colorés. Typiquement f(x) < χ(g). Il va falloir traiter explicitement les cas non-réalisables (procédure de réparation). Pénalités : f(x) =nombre de couleurs de la coloration x +α nombre de sommets conflictuels +β nombre de sommets non-colorés. L irréalisabilité est traitée implicitement lors de la minimisation, mais il faut choisir les poids α et β. MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 11/29

12 1. Introduction 2. Formulation et non-réalisabilité 3. Voisinages 4. Application d une métaheuristique VNS MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 12/29

13 Voisinages On décrit ici plusieurs structures de voisinage. Certaines induisent des mouvements réalisables, d autres pas. MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 13/29

14 Voisinage d ordre k Soit x Ω. Nk Ω (x) est l ensemble des colorations de Ω, i.e. réalisables, telles qu exactement k sommets sont de couleur différente, sans augmenter f. Exemple avec k = 1 : Voisinage irréalisable d ordre k : Nk X (s) qui comprend des colorations de X pas nécessairement réalisables. On ne doit jamais augmenter le nombre de couleurs. MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 14/29

15 Échange bichromatique Échange de deux couleurs d une composante connexe induite par les sommets de ces deux couleurs. Exemple de deux échanges bichromatiques consécutifs : MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 15/29

16 Autre voisinage Changer la couleur d un sommet et changer les couleurs des sommets adjacents de même couleur, en essayant de ne pas générer de conflits. MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 16/29

17 Autre voisinage Échanger la couleur des deux sommets d une arête. MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 17/29

18 Autre voisinage Pour colorer des sommets non colorés sans augmenter le nombre de couleurs, mais possiblement en créant des sommets conflictuels. Pour chaque sommet non-coloré, attribuer une couleur déjà utilisée qui minimise le nombre de nouvelles arêtes conflictuelles. MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 18/29

19 Procédure de réparation On doit appliquer une procédure de réparation sur les colorations complètes et non-légales, si on ne considère pas de pénalité dans f. Soit g le nombre de sommets conflictuels. Minimiser g avec une procédure de recherche locale. On se concentre uniquement sur les sommets et arêtes conflictuels. En dernier recours, on attribue de nouvelles couleurs aux sommets conflictuels. Si on a des choix à effectuer, on les fait au hasard. MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 19/29

20 1. Introduction 2. Formulation et non-réalisabilité 3. Voisinages 4. Application d une métaheuristique VNS MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 20/29

21 Notre métaheuristique On choisit une métaheuristique VNS, car elle est le meilleur compromis entre simplicité et efficacité. Les différentes composantes à définir sont : Génération d une solution initiale. Méthode de descente. Méthode de perturbation. MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 21/29

22 Recherche à voisinages variables (VNS) VNS [1] Choisir une solution x Ω Poser k 1 [2] Tant qu aucun critère d arr^et n est satisfait x shaking(x,k) choisir aléatoirement une x descente(x ) Si f(x ) < f(x) Poser x x Poser k 0 Si k < k max Poser k k + 1 Sinon Poser k 1 solution x dans N k (x) MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 22/29

23 Solution initiale Nous allons appliquer un algorithme glouton consistant, pour chaque sommet non coloré, à attribuer une couleur non conflictuelle. Au début, on commence avec une seule couleur, puis on les augmente à chaque fois que c est nécessaire. Toute décision est prise au hasard, ainsi on peut répéter cette procédure un certain nombre de fois pour ne conserver que notre meilleure essai (principe du multistart). MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 23/29

24 Principe général de la descente Descente [1] Choisir une solution x Ω [2] Déterminer une solution x qui minimise f dans N(x) [3] Si f(x ) < f(x) Poser x x Aller en [2] Sinon STOP MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 24/29

25 Notre descente On suppose qu on part d une solution x Ω réalisable, et le but est de l améliorer rapidement. On ne considère qu un seul type de voisinages : le N Ω 1 réalisable. On considère une couleur au hasard, et on essaie de l éliminer, c est-à-dire changer les couleurs des sommets à cette couleur pour une autre couleur déjà utilisée. On accepte le premier mouvement qui baisse f, et on recommence. Si on a des choix à effectuer, on les fait au hasard. MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 25/29

26 Méthode de perturbation On considère successivement les voisinages réalisables N Ω 1, N Ω 2, etc. On essaie de ne pas augmenter f, mais on accepte de le faire si on est bloqué. Choix de k max? En théorie c est le nombre de sommets V, mais on va préférer une fraction de V (25%), car il faut qu une solution voisine reste relativement proche. MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 26/29

27 Représentation d un graphe Format standard DIMACS. Exemples d instances. MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 27/29

28 Structures de données Représentation d un graphe. Pour chaque sommet, avoir un accès à ses voisins pour vérifier la légalité d une couleur. Représentation d une solution : Pour chaque sommet, mémoriser sa couleur. Pour chaque couleur c, mémoriser la liste des sommets mis à cette couleur. Tout changement de couleur doit se répercuter sur ces structures. Il faut être capable de copier des solutions afin de faire des perturbations et des descentes sur des copies et revenir facilement à la solution non-perturbée. Moyen d éviter les copies en mémorisant tous les changements et en les annulant? Calcul incrémentiel de f : simplement ne pas recalculer f à chaque fois, mais faire évoluer sa valeur en fonction des ajouts et disparitions de couleurs. MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 28/29

29 Classes importantes Graph, Vertex, Edge. Random Pickup : pour tous les choix au hasard. Coloration. Représente une solution. Regroupe aussi les différentes méthodes de résolution (coloration initiale, descente, et VNS). MTH6311: Applications des métaheuristiques #1 Coloration de graphes 29/29

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