Exercices : Estimations

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1 Exercices : Estimatios Exercice : Soit X de loi U[;a]) et X,,X ) u -échatillo de X. O cherche à estimer a. O ote X la moyee empirique de X.. Soit T = 2X. Motrer que T est u estimateur sas biais de a et calculer so risque quadratique. 2. Soit T = maxx,,x ). Doer la foctio de répartitio de X, puis détermier celle de T. E déduire ue desité de T puis so biais et so risque quadratique. 3. Soit T =. Détermier so biais et so risque quadratique. T 4. Pour de grades valeurs de, quelle est le meilleur estimateur de a? Exercice 2: SoitX ayat ue espérace met ue variacev, et soit X,,X ) u-échatillo de X. Oappelle variace empirique de X la variable W = X 2 2 i X, où X est la moyee empirique de X.. Soit Y ayat ue espérace et ue variace. Exprimer EY 2 ) e foctio de VY) et EY). 2. Calculer EX ) et VX ) et e déduire EX 2 ). 3. Calculer alors EW ) et e déduire u estimateur sas biais de v. Exercice 3: U sériciculteur a pesé cocos proveat de so élevage de vers à soie. Il a obteu les résultats suivats : Poids e g,64,65,66,67,68,69,7,7 Effectif Poids e g,72,73,74,75,76,77,78,79 Effectif O appelle m la moyee des poids de tous les cocos de l élevage et o suppose que le poids X d u coco suit ue loi ormale de variace,6g 2.. Préciser les paramètres de cette loi ormale. 2. O choisit au hasard u échatillo de cocos. O appelle X i le poids du i-ème coco de cet échatillo. O suppose que X,,X sot mutuellemet idépedates, de même loi que X. O pose T = X i et o admet que T suit ue loi ormale. Préciser les paramètres de cette loi ormale et détermier la variable cetrée réduite T associée à T. 3. Détermier u réel t tel que P t T t), Motrer que PT,784 m T +,784), E déduire u itervalle de cofiace pour m au iveau de cofiace,95 et doer ue estimatio de cet itervalle. Probabilités : Chapitre 6 Exercices Page Estimatios

2 Exercice 4: Lors d u sodage sur persoes iterrogées, 6 peset voter pour A. O modélise le choix par u échatillo X,,X ) de variables idépedates de même loi de Beroulli de paramètre p. O cherche à détermier u itervalle de cofiace pour p au iveau de cofiace 99 %.. Détermier l espérace et la variace de la moyee empirique F = X i. 2. O ote F la variable cetrée réduite associée à F. Par quelle loi peut-o approcher celle de F? O suppose désormais que F suit la loi N,). 3. Détermier t tel que P t F t),99 et e déduire que ) p p) p p) P F t p F +t,99 4. Motrer que pour tout p [;], p p) et e déduire u itervalle de cofiace pour p au 4 iveau de cofiace, 99 puis e doer ue estimatio. Probabilités : Chapitre 6 Exercices Page 2 Estimatios

3 Exercice : Correctio. T s exprime e foctio des X i doc c est u estimateur de a. O cherche le biais de T doc il ous faut calculer so espérace. ET ) = E2X ) = 2 EX i ) = 2 a 2 = a O a doc bt ) = ET ) a = et aisi T est u estimateur sas biais de a. Comme T est u estimateur sas biais de a, so risque quadratique est égal à sa variace. Or comme les X i sot idépedates o a : ) 2 VT ) = V X i = 4 VX 2 i ) = 4 a = a2 3 si x < x 2. D après le cours la foctio de répartitio de X est défiie par Fx) = si x a. a si x > a Notos G la foctio de répartitio de T. Par défiitio G x) = PT x). Or [T x] = [X x] [X x]. Doc comme les X i sot idépedates : si x < x ) O a doc G x) = si x a. a si x > a G x) = PX x) PX x) = Fx)) Ue desité de T s obtiet e dérivat G là où elle est dérivable et e complétat les poits maquats : si t < ou t > a ) g t) = t si t a a a Pour calculer le biais de T il ous faut calculer so espérace. Comme la desité de T est ulle e dehors de [;a] et que t tg t) est cotiue sur [;a], T admet ue espérace et : ET ) = t a ) t dt = a a t dt = a [ t ] a = a Doc bt ) = a a a = Pour les mêmes raiso que pour l espérace, T admet ue variace et : VT ) = t 2 ) t dt ET a a ) 2 = t dt 2 a 2 a ) 2 ] a = [ t +2 2 a 2 a +2 ) = a a 2 ) 2 = +2)) 2a2 Probabilités : Chapitre 6 Exercices Page 3 Estimatios

4 O a doc : 3. O a vu que ET ) = a rt ) = VT )+bt ) 2 = a )) 2a2 ) 2 = 2+2)a2 +2)) 2 = 2a 2 +2)) doc ET ) = a et aisi T est u estimateur sas biais de a. De plus comme VT ) = o a VT +2)) 2a2 ) = a 2 +2) 4. T et T sot meilleurs que T + o a : a 2 rt ) + 3 Doc le meilleur estimateur est T. Exercice 2: et doc rt ) = a 2 +2). car ils sot des estimateurs sas biais. De plus lorsque ted vers et rt ) + a2 2. O sait que VY) = EY 2 ) EY) 2 doc o a EY 2 ) = VY)+EY) O a : EX ) = E ) X i = EX i ) = m = m et comme les variables X i sot idépedates : ) VX ) = V X i = VX 2 i ) = v = v 2 2 v Grâce à la questio précédete o a doc EX ) = +m2. 3. O a doc : ) EW ) = E X 2 2 i X = EX 2 2 i) EX ) = v ) v+m 2 ) +m2 = v+m 2 v m2 = v Si o pose W = W alors o a bie que W est u estimateur de v et de plus EW ) = EW ) = v doc c est bie u estimateur sas biais. Exercice 3:. Les paramètres d ue loi ormale sot so espérace et sa variace. X Nm;,6) m;,6 ). 2. ET) = m et VT) =,6 doc T N O a par défiitio : T = T ET) = VT) T m = T m,6/,4 Probabilités : Chapitre 6 Exercices Page 4 Estimatios

5 3. O sait doc que T N,). Doc P t T t) = Φt) Φ t) = 2Φt). O a doc P t T t),95 2Φt),95 Φt),975 t,96 O peut doc choisir t =, D après la questio précédete : P,96 T,96),95 P P,4,96 T m,4,96),95 P T,784 m T +,784),95,96 T m ),96,95,4 5. D après la questio précédete [T,784;T +,784] est u itervalle de cofiace pour m au iveau de cofiace, 95. Le tableau de valeurs ous permet de calculer ue réalisatio de T :,732 U itervalle de cofiace réalisé est doc [, 7536;, 724]. Exercice 4:. EF) = VF) = EX i ) = p et, comme les X i sot idépedates, VX i ) = p p). 2. D après le théorème de la limite cetrée, comme > 3, que les X i sot idépedates, suivet toutes la même loi et ot ue variace o ulle, F suit approximativemet la loi ormale cetrée réduite. 3. O a P t F t) = Φt) Φ t) = 2Φt) doc O choisit t = 2,58. De plus comme F = P t F t),99 2Φt),99 Φt),995 t 2,58 F p p p)/, o a ) p p) p p) P t F t) = P F t p F +t ) p p) p p) O a doc bie P F t p F +t,99 4. Il suffit ici d étudier la foctio f : x x x) sur [;] et de remarquer qu elle atteit so maximum e x = 2 et que ce maximum vaut [ 4. ] [ p p) p p) O a doc F t p F +t F t ] p F +t doc : 2 2 P F t ) ) p p) p p) p F +t P F t p F +t, Doc [F,29 p F +,29] est u itervalle de cofiace de p au iveau de cofiace,99. De plus u réalisatio de F est d après l éocé :,6 doc ue estimatio de cet itervalle est [,47;,729]. Probabilités : Chapitre 6 Exercices Page 5 Estimatios