Mes outils de géométrie

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1 Mes outils de géométrie Les angles droits les droites perpendiculaires Point, segment, droite Le cercle 4 Les polygones 5 Les points alignés 6 Le rectangle 7 Les droites parallèles 8 La symétrie 9 Le milieu d un segment 0 Les solides Les triangles Le losange Tracer la hauteur d un triangle 4 Les patrons de solides 5 Le carré 6 L agrandissement ou la réduction de figures 7 Les programmes de construction

2 Géométrie Les angles droits Les droites perpendiculaires b) Tracé ) Les angles droits a) Repérage Pour reconnaître un angle droit, j utilise mon équerre. Si mes segments ou mes droites se coupent selon les bords droits de mon équerre, il y a un angle droit. Pose l équerre de telle sorte que l angle droit de l équerre soit sur la demi-droite déjà tracée. Fais glisser l équerre jusqu à l extrémité de la demi-droite. Trace le ème côté de l angle droit avec ton crayon à papier. ) Les droites perpendiculaires Si les deux droites se coupent sous mon équerre ou s écartent de mon équerre, il n y a pas d angle droit. Des droites perpendiculaires sont des droites qui se coupent en formant un angle droit. Pour tracer une droite perpendiculaire à une autre, il suffit de tracer un angle droit et de le prolonger.

3 Géométrie Point, segment, droite Géométrie Le cercle Le rayon est la distance entre le centre du cercle et un point du Un point est l élément le plus petit de la géométrie. Il est souvent matérialisé par une croix mais dans certains livres on peut le trouver représenté par un point. cercle. [OA] est un rayon. [OB] est aussi un rayon. C A X B centre rayon O Une droite est une infinité de points alignés. On peut toujours la prolonger, elle n a pas de longueur. On peut la nommer en utilisant deux points qui sont sur la droite. Dans ce cas, on note ces deux points entre parenthèses. Elle peut aussi avoir le nom d une lettre en écriture cursive. B A Droite (AB) cercle Cercle C de centre O Le diamètre est un segment qui joint deux points du cercle en passant par le centre. [AB] est un diamètre. Pour tracer un cercle, on utilise un compas : (d) Droite (d) Un segment est une portion de droite délimitée par deux points. Un segment a une longueur précise. Il se note entre crochets. Segment [AB] On écarte le compas de la valeur du rayon. On pique la pointe du compas sur le centre. On trace avec le crayon sans déplacer la pointe.

4 Géométrie 4 Les polygones Géométrie 5 Les points alignés Un polygone est une figure fermée tracée uniquement à la règle. C est une figure à plusieurs côtés. Des points sont alignés si on peut tracer une droite qui passe par tous ces points. Exemple : Polygones Non polygones Les points A, B et C sont alignés. côté Le point D n est pas aligné avec les points A, B et C. sommet Les polygones à côtés s appellent les triangles. Les polygones à 4 côtés s appellent les quadrilatères.

5 Géométrie 6 Le rectangle ) Construction d un rectangle On peut tracer un rectangle de longueur et de largeur données : ) Propriétés du rectangle Le rectangle est un quadrilatère : il a 4 côtés. Tous ses angles sont des angles droits Ses côtés opposés ont la même longueur. Le côté le plus grand Avec la règle et l'équerre : je trace un segment, je mesure la longueur avec la règle, je trace la perpendiculaire au segment à une extrémité, je mesure la largeur, s appelle la longueur (L) et le côté le plus court s appelle la largeur (l). longueur je recommence pour les deux autres côtés du rectangle. largeur Avec le compas, la règle et l'équerre : je trace un cercle, je trace deux diamètres du cercle, Les diagonales du rectangle : je relie les extrémités des diamètres. ont la même longueur se coupent en leur milieu Avec la règle, l'équerre et le compas : je trace un segment, je mesure la longueur avec la règle, je trace la perpendiculaire au segment à une extrémité, je reporte la largeur du segment avec le compas,

6 je reporte la longueur en partant de chaque extrémité déjà tracée, je relie les extrémités reportées. 5 4

7 Géométrie 7 ) Définition Les droites parallèles ) Méthode de tracé avec la règle et l équerre Je veux tracer une droite (d ), parallèle à la droite (d ) et passant par le point A. Deux droites sont parallèles quand elles ne se coupent jamais, même si on les prolonge au-delà de la feuille. A A A (f) (i) (d ) (d ) (d ) (d) (g) (h) ) Je place un côté de l'équerre sur la droite (d ). ) Je place la règle sur l'autre côté de l'équerre. ) Je fais glisser l'équerre sur la règle, jusqu'à ce que le deuxième côté de l'angle droit passe par le point A. (e) Les droites (d) et (e) se coupent : elles ne sont pas parallèles. Les droites (f) et (g) ne se coupent pas dans la feuille, mais vont se couper si on les prolonge : elles ne sont pas parallèles. Les droites (h) et (i) sont parallèles. A (d ) (d ) A (d ) 5) Je prolonge la droite parallèle. 4) Je trace la droite parallèle. La droite (d) est parallèle à (d) et passe par A.

8 Géométrie 8 ) Figures symétriques La symétrie Sur un quadrillage : On peut construire l'image de chaque point en comptant les carreaux entre le point et l'axe de symétrie. L'image se trouve alors au même nombre de carreaux de l'autre côté de l'axe. Quand une figure géométrique peut être pliée, le long d'une droite, en deux parties superposables, on dit que cette figure est symétrique par rapport à la droite. On appelle cette droite axe de symétrie de la figure. Une même figure peut avoir plusieurs axes de symétrie. Exemples : Axe de symétrie Axe de symétrie Axe de symétrie Axe de symétrie ) Symétrique d une figure par rapport à une droite Axe de symétrie Tracer le symétrique d'une figure par rapport à une droite, c'est compléter la figure pour que la droite devienne axe de symétrie de l'ensemble. La figure symétrique est l'image de la figure de départ (comme dans un miroir). Sans quadrillage : Pour chaque point, il faut construire l'image en traçant la perpendiculaire à l'axe de symétrie passant par le point. Il faut ensuite mesurer la distance du point à l'axe, puis la reporter de l'axe à l'image (on peut aussi utiliser un compas). Axe de symétrie

9 Géométrie 9 Le milieu d un segment Géométrie 0 Les solides Le milieu d un segment est le point qui est à égale distance des deux extrémités du segment. Il existe différentes méthodes pour trouver le milieu d un segment : Par pliage du segment sur lui-même. ) Définition Un solide est un objet qui délimite un volume. Un solide présente des faces, des arêtes et des sommets. arête Les Par mesure avec la règle. sommet face faces d'un so- Il suffit ensuite de diviser la mesure du segment par. lide peuvent être : Par utilisation du compas. Les deux cercles ont pour centre les extrémités du segment et ils ont même rayon. Les points d intersection des cercles sont à égale distance des extrémités du segment. planes ou courbes M M est le milieu du segment.

10 ) Quelques solides Solide Nom Types de faces Sphère face courbe Cylindre Cône faces planes face courbe Sa base est un disque face plane faces courbe Sa base est un disque. Cube 6 faces planes Pavé (ou parallélépipède rectangle) Pyramide Prisme 6 faces planes 5 faces planes Sa base est un carré. Son nombre de faces planes dépend de la forme de sa base. Sa base est un polygone.

11 Géométrie ) Rappels Les triangles Le triangle équilatéral Un triangle équilatéral est un triangle qui a TROIS côtés de même longueur. Le triangle est un polygone à côtés. Le triangle a aussi sommets. Quand on trace un triangle sans se soucier de sa forme ou de la longueur de ses côtés, on dit qu'il s'agit d'un triangle quelconque. angle côtés sommet Le triangle rectangle Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit. On l'appelle ainsi parce qu'il forme la moitié d'un rectangle. ) Les triangles particuliers Le triangle isocèle Un triangle isocèle est un triangle qui a DEUX côtés de même longueur. Cas particulier : triangle rectangle isocèle

12 Géométrie ) Propriétés Le losange On pique sur D et on trace un arc qui coupe le premier. L intersection des deux arcs de cercle nous donne le point C. Le losange est un quadrilatère ayant ses 4 côtés de même longueur. b) Si on ne connaît que la longueur des diagonales. Par exemple, on veut construire le losange IJKL, avec IK = 5 cm et JL = cm. On sait que les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu, donc, on trace les diagonales [IK] de 5 cm et [JL] de cm, perpendiculaires et qui se coupent en leur milieu. Ses diagonales : sont perpendiculaires se coupent en leur milieu ) Tracé d un losange a) Si on ne connaît que la longueur d un côté Par exemple, on veut tracer le losange ABCD de côté 4 cm. - On trace les côtés [AB] et [AD] de 4 cm. - On mesure 4 cm au compas. On pique sur B et on trace un arc.

13 Géométrie Tracer la hauteur d un triangle Géométrie 4 Les patrons de solides Dans un triangle, la hauteur issue d un sommet est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé. ) Qu est-ce qu un patron? Un solide est souvent constitué de faces planes, qu'il est possible de représenter sur une feuille de papier. (AH) est la hauteur issue de A. Un patron est le dessin de ses faces, qui permet par pliage de reconstruire ce solide. ) Le patron du cube Pour construire la hauteur (AH), il suffit de placer son équerre de façon à obtenir une droite perpendiculaire à [BC] et passant par A. Un cube est constitué de 6 faces carrées identiques. Pour construire son patron, il faut «déplier» le cube pour représenter les 6 carrés à plat ) On numérote les ) On ouvre le cube faces ) On le délie complètement

14 Voici le patron que l on obtient : Géométrie 5 Le carré 4 ) Propriétés du carré Le carré est un quadrilatère : il a 4 côtés. 5 6 Tous ses côtés ont la même longueur Tous ses angles sont des angles droits Les diagonales du carré : Attention, d autres patrons sont possibles, par exemples les patrons suivants : ont la même longueur sont perpendiculaires se coupent en leur milieu ) Construction d un carré Avec la règle et l'équerre : je trace un segment, je mesure sa longueur avec la règle, je trace la perpendiculaire au segment à une extrémité, je mesure la même longueur, je recommence pour les deux autres côtés du carré.

15 Avec le compas, la règle et l'équerre : je trace un cercle, Géométrie 6 Agrandissement et réduction de figures je trace deux diamètres perpendiculaires du cercle, ) Réduire / agrandir une figure je relie les extrémités des diamètres. Réduire une figure, c'est diviser toutes ses longueurs par le même nombre. Avec la règle, l'équerre et le compas : je trace un segment, je mesure sa longueur avec la règle, je trace la perpendiculaire au segment à une extrémité, je reporte la longueur du segment avec le compas, je reporte à nouveau la longueur en partant de chaque extrémité déjà tracée, je relie les extrémités reportées. 4 cm 6 cm : cm Agrandir une figure, c'est multiplier toutes ses longueurs par le même nombre. cm 5 ) Utiliser un quadrillage 9 cm 4 cm cm x 6 cm

16 Pour réduire (ou agrandir) plus facilement une figure, on peut utiliser un quadrillage. Il suffit ensuite de reproduire la même figure dans un quadrillage réduit (ou agrandi). Géométrie 7 Les programmes de construction ) Définition Un programme de construction est un texte qui donne des instructions pour tracer précisément une figure géométrique. ) Lire un programme de construction Un programme de construction est un texte de géométrie : il utilise le vocabulaire de géométrie. Il faut s'assurer de bien comprendre tous les mots. Il faut suivre les instructions dans l'ordre où elles sont écrites. Avant de tracer précisément, on doit faire un brouillon. On essaie de suivre le programme, rapidement, à main levée. Cela permet de voir si on a bien compris toutes les étapes, et de savoir de quels outils on va avoir besoin. Exemples : programme brouillon outils Tracer points P, Q, R à des endroits différents crayon

17 programme brouillon outils Tracer un carré ABCD de côté 4 cm. Tracer le point M, milieu de [AB]. Tracer le point N, milieu de [CD]. Tracer le segment [MN]. Tracer une droite (d). Placer un point A sur la droite (d). Tracer la droite (e), perpendiculaire à (d) et passant par A. Placer le point B sur la droite (e), tel que AB = 5 cm. Tracer le cercle de centre A et de rayon AB. crayon règle graduée équerre crayon règle graduée équerre compas

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