Cours de mathématiques de quatrième

Transcription

1 Cours de mathématiques de quatrième Bertrand Carry

2 SOMMAIRE 1. Proportionnalité Rappels Premier exemple : Deuxième exemple : Pourcentage, exemples Appliquer un pourcentage : Trouver un pourcentage : Distance, vitesse, temps Echelle de carte, de plan Représentation graphique A partir d un tableau de proportionnalité : A partir de points alignés avec l origine : Droite des milieux Théorème Théorème Produit, quotient de nombres relatifs Rappel : addition, soustraction Produit Quotient Théorème de Pythagore Cercle inscrit dans un triangle Distance d'un point à une droite Tangente à un cercle Bissectrices Bissectrice d un angle : Bissectrice d un triangle : Propriété : Quotients Quotients égaux Produits en croix (ou en diagonale) égaux Propriété : Propriété réciproque : Application à la proportionnalité : Somme et différence de quotients Produit de quotients Inverse d un nombre non nul Réciproque du théorème de Pythagore Pyramide Vue en perspective cavalière Patron Volume Exemples de puissances entières Puissances de Exposant entier naturel :

3 9.1.2 Exposant entier relatif strictement négatif : Autres puissances Quelques calculs Exemples : Quelques calculs : Ecriture scientifique d un nombre décimal : Calcul littéral Développement Rappel : Conséquence : Parenthèses Opposé d une somme : Soustraction : Théorème de Thalès Cône de révolution Le cône de révolution Perspective cavalière Patron Volume Cosinus d un angle aigu Définition Cas du triangle rectangle Triangle rectangle et cercle Equations Techniques Exemple de résolution Statistiques Exemple Exemple Comparaisons de nombres Nombres positifs ou négatifs Symboles Addition Multiplication par un nombre strictement positif Multiplication par un nombre strictement négatif Troncatures de nombres positifs Arrondis de nombres positifs Tableaux récapitulatifs : troncatures, arrondis de nombres positifs

4 Cours chapitre 1 : proportionnalité niveau quatrième 1. Proportionnalité 1.1 Rappels Premier exemple : Considérons le tableau de nombres suivant : Nombre x Nombre y 2 0,4 3 0,6 5,1 1,02 8,7 1,74 0,2 Chaque nombre y s obtient en multipliant le nombre x correspondant par 0,2. Ce tableau est donc un tableau de proportionnalité. Les nombres x et y sont proportionnels Deuxième exemple : Considérons le tableau de nombres suivant : Nombre x 3 4,1 10, Nombre y 0,75 1,025 2, Chaque nombre y s obtient en divisant le nombre x correspondant par 4. Ce tableau est donc un tableau de proportionnalité. Les nombres x et y sont proportionnels. Page 1

5 Cours chapitre 1 : proportionnalité niveau quatrième Remarque : Considérons le tableau de nombres suivant : Nombre x Nombre y = 10 et Ce tableau n est donc pas un tableau de proportionnalité. Les nombres x et y ne sont pas proportionnels. 1.2 Pourcentage, exemples Appliquer un pourcentage : 35 35% de 2800 personnes correspond à 2800 personnes, soit 980 personnes Trouver un pourcentage : lapins parmi 649 correspond à ( 100) % des lapins ou environ 39% des lapins Distance, vitesse, temps Considérons un objet qui se déplace à vitesse constante v pendant un temps t. La distance parcourue est notée d. les unités choisies sont cohérentes. Remarques : d = v t Avec les notations ci-dessus, on peut écrire : v = t d et t = v d. Considérons un objet qui se déplace sur une distance d pendant un temps t. La vitesse moyenne correspondante de cet objet est le quotient t d. 1.4 Echelle de carte, de plan 1 Sur une carte routière on lit : échelle Cela signifie que 1 cm sur la carte correspond à cm (2 km) dans la réalité ou que 1 mm sur la carte correspond à mm dans la réalité ou que 1 pouce sur la carte correspond à pouces dans la réalité, etc. Page 2

6 Cours chapitre 1 : proportionnalité niveau quatrième Sur la carte deux villes sont distantes de 8,5 cm. Dans la réalité elles sont donc distantes de 8,5 2 km, soit 17 km. Une échelle de carte, de plan, est souvent donnée sous la forme suivante : distance sur le plan distance réelle correspondante dans la même unité et on simplifie, si possible, l'écriture de la fraction afin que le numérateur soit égal à Représentation graphique A partir d un tableau de proportionnalité : Considérons un tableau de proportionnalité : Nombre x --- Nombre y --- Soit P un plan muni d un repère (O, I, J). Considérons tous les points de coordonnées (x,y). On admet que tous ces points sont alignés et de plus qu ils sont alignés avec l origine O du repère. Nombre x Nombre y 2 6 3,5 10, y Points de coordonnées (x,y) x Page 3

7 Cours chapitre 1 : proportionnalité niveau quatrième A partir de points alignés avec l origine : Dans un plan P muni d un repère (O, I, J), considérons des points de coordonnées (x,y) alignés avec l origine O du repère (la droite contenant ces points n étant pas confondue avec la droite des ordonnées). Les nombres x et y sont alors proportionnels. y C A B o x Page 4

8 Cours chapitre 2 : droite des milieux niveau quatrième 2. Droite des milieux P est un plan, une unité de longueur est choisie. 2.1 Théorème 1 Soit ABC un triangle, I et J les milieux respectifs des segments de droites [AB] et [AC]. Alors la droite (IJ) est parallèle à la droite (BC) et on peut écrire : IJ = 2 1 BC. A I J ABC est un triangle I est le milieu de [AB] J est le milieu de [AC] B C Page 5

9 Cours chapitre 2 : droite des milieux niveau quatrième 2.2 Théorème 2 Soit EFG un triangle, K est le milieu du segment de droite [EF]. Alors la droite parallèle à la droite (FG) et contenant K, coupe le segment de droite [EG] en son milieu. E d K F G EFG est un triangle K est le milieu de [EF] d est parallèle à (FG) Page 6

10 Cours chapitre 3 : produit, quotient de nombres relatifs niveau quatrième 3. Produit, quotient de nombres relatifs 3.1 Rappel : addition, soustraction En cinquième nous avons utilisé l addition et la soustraction de nombres relatifs : = -15 ; -8 + (-17) = -25 ; (-49) = = -47 ; -20 (-50) = 30 ; -62 (-7) = -55 Remarques : Quels que soient les nombres a et b on peut écrire : a b = a + (-b). -b est l opposé de b. Sur la calculatrice on distingue deux touches : - pour la soustraction (-) pour l opposé d un nombre. 3.2.Produit Le produit de deux nombres positifs est positif. Le produit de deux nombres négatifs est positif. Le produit d un nombre positif et d un nombre négatif est négatif. Exemples : 3,2 8 = 25,6-5 (-2,2) = 11-0,1 56,3 = -5,63 8,3 (-6) = -49,8 3.3.Quotient Le quotient de deux nombres positifs est positif. Le quotient de deux nombres négatifs est positif. Le quotient d un nombre positif et d un nombre négatif est négatif. Exemples : 3 = 1, = 8,5 2 Page 7

11 Cours chapitre 3 : produit, quotient de nombres relatifs niveau quatrième = -0,75 = -0,4 Remarques : Quel que soit le nombre a non nul on peut écrire : a a 1 = 1 1 est appelé inverse de a. a 1 est l inverse de est l inverse de est l inverse de est l inverse de 7 5 Quel que soit le nombre a et quel que soit le nombre b non nul, on peut écrire : a 1 = a. b b 5 1 = (-5) 6 6 Page 8

12 Cours chapitre 4 : théorème de Pythagore niveau quatrième 4. Théorème de Pythagore P est un plan, une unité de longueur est choisie. Soit ABC un triangle rectangle en A : AB 2 + AC 2 = BC 2 B BC 2 est la longueur au carré de l hypoténuse du triangle rectangle. C A Page 9

13 Cours chapitre 5 : cercle inscrit dans un triangle niveau quatrième 5. Cercle inscrit dans un triangle P est un plan, une unité de longueur est choisie. 5.1 Distance d'un point à une droite Considérons une droite d et un point A. La droite contenant A et perpendiculaire à d coupe d en H. La distance AH est appelée distance du point A à la droite d. H est appelé projeté orthogonal de A sur d. Premier cas : A d d A H Deuxième cas : A d Dans ce cas, AH =0 d A H Page 10

14 Cours chapitre 5 : cercle inscrit dans un triangle niveau quatrième 5.2 Tangente à un cercle Soit C un cercle de centre O et A un point de ce cercle. La tangente au cercle C en A est la droite T perpendiculaire à la droite (OA) et contenant A. C A T O On dit aussi que le cercle C est tangent à la droite T en A. Page 11

15 Cours chapitre 5 : cercle inscrit dans un triangle niveau quatrième 5.3 Bissectrices Bissectrice d un angle : La bissectrice d un angle est la droite (ou demi-droite) qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. C est un axe de symétrie de l angle. d La droite d est la bissectrice de l angle AOB. Remarques : Tout point M de la bissectrice d un angle AOB est équidistant des droites (OA) et (OB). Considérons un angle AOB et un point K, distinct de O, équidistant des droites (OA) et (OB). Alors la droite (OK) est la bissectrice de l angle AOB. Page 12

16 Cours chapitre 5 : cercle inscrit dans un triangle niveau quatrième Bissectrice d un triangle : Une bissectrice d un triangle est la bissectrice d un des angles intérieurs du triangle. La droite d, bissectrice de l angle FGE, est la bissectrice du triangle EGF issue de G Propriété : Les trois bissectrices d un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle. G E I Les bissectrices du triangle EFG sont concourantes en I qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle. F De plus les droites (EF), (EG) et (GF) sont tangentes à ce cercle. Page 13

17 Cours chapitre 6 : quotients niveau quatrième 6. Quotients 6.1 Quotients égaux Soit a un nombre et b un nombre non nul. Quel que soit le nombre non nul k, on peut écrire : a ak =. b bk Exemples : 4 7 = ; 3π 3 = 2π Produits en croix (ou en diagonale) égaux 6.2.1Propriété : Soit a, b, c et d quatre nombres vérifiant : c 0 et d 0. Si b a = d c, alors ad = bc Propriété réciproque : Soit a, b, c et d quatre nombres vérifiant : c 0 et d 0. Si ad = bc, alors b a = d c Application à la proportionnalité : Considérons un tableau de proportionnalité : Alors on peut écrire : ad = bc. Liste 1 a c Liste 2 b d Considérons un tableau de nombres non nuls : Liste 1 a c Liste 2 b d Si ad = bc, alors ce tableau est un tableau de proportionnalité. Page 14

18 Cours chapitre 6 : quotients niveau quatrième 6.3 Somme et différence de quotients Quels que soient les nombres a et c et quels que soient les nombres non nuls b et d, on désire a c effectuer la somme ou la différence des quotients et. Pour cela on choisit deux b d x y a c quotients de même dénominateur, et, égaux respectivement à et. f f b d Dans ce cas, on peut écrire : a c x y + = + b d f f a c x + y + = b d f a c x y - = - b d f f a c x y - = b d f Exemples : = = 20 7 = = = 21 8 = 21 Page 15

19 Cours chapitre 6 : quotients niveau quatrième 6.4 Produit de quotients Quels que soient les nombres a et c et quels que soient les nombres non nuls b et d, on peut écrire : a c ac =. b d bd Exemples : = = = ( 5) = = Inverse d un nombre non nul Quel que soit le nombre non nul b, l inverse de b est le nombre qui multiplié par b égale 1. 1 L inverse de b peut se noter. b b b 1 = 1 Exemples : L inverse de 5 est 5 1. L inverse de Remarque : 4 3 est 3. 4 Quel que soit le nombre a et quel que soit le nombre non nul b, on peut écrire : b a = a b 1. Page 16

20 Cours chapitre 6 : quotients niveau quatrième 6.6 Quotient de quotients Quel que soit le nombre a et quels que soient les nombres non nuls b, c et d, on peut écrire : a b a d = c b c d ad = bc Cas particuliers : Quel que soit le nombre a et quels que soient les nombres non nuls b et c, on peut écrire : a b a = c bc Quel que soit le nombre a et quels que soient les nombres non nuls c et d, on peut écrire : a ad = c c d Exemples : = = = = = = = = Page 17

21 Cours chapitre 7 : réciproque du théorème de Pythagore niveau quatrième 7. Réciproque du théorème de Pythagore P est un plan, une unité de longueur est choisie. Soit RST un triangle. Si RT 2 = RS 2 + ST 2, alors RST est rectangle en S. Page 18

22 Cours chapitre 8 : pyramides niveau quatrième 8. Pyramide E est l espace. Une unité de longueur est choisie ainsi que l unité d aire correspondante et l unité de volume correspondante. 8.1 Vue en perspective cavalière Voici deux vues en perspective cavalière d une même pyramide SABCD. La base de cette pyramide est le quadrilatère ABCD. Le sommet principal est le point S. Les faces latérales sont les quatre triangles : SAB, SBC, SCD et SDA. C B S D A A S D B C Page 19

23 Cours chapitre 8 : pyramides niveau quatrième Remarques : Une pyramide a pour base un polygone : triangle, quadrilatère, pentagone, hexagone, etc. Les autres faces, appelées faces latérales, sont des triangles ayant un sommet commun appelé sommet principal de la pyramide. Une pyramide qui a pour base un triangle est appelée tétraèdre. Ses faces latérales sont aussi des triangles. E K EFG peut être considéré comme une base (parmi les quatre possibles) de ce tétraèdre. Dans ce cas, le sommet principal de la pyramide est le point K. G F 8.2 Patron Un patron d une pyramide est formé à l aide du polygone de base et des triangles correspondant aux faces latérales. D A Patron de la pyramide SABCD du paragraphe précédent. B C Page 20

24 Cours chapitre 8 : pyramides niveau quatrième 8.3 Volume Pour calculer le volume d une pyramide, on a besoin de connaître sa hauteur. Considérons la pyramide SABCD ci-dessous. La droite (SH) est perpendiculaire à deux droites sécantes incluses dans le plan (ABC). Elle est donc perpendiculaire au plan (ABC). H est élément de ce plan (ABC). SH est appelé hauteur de la pyramide. S C B D (ABC) A H Le volume de toute pyramide est égal à : 1 aire de la base hauteur 3 Page 21

25 Cours chapitre 9 : exemples de puissances entières niveau quatrième 9. Exemples de puissances entières 9.1 Puissances de Exposant entier naturel : Considérons le nombre 3 : 3 o = = = 3 3 = = = = = 81 etc. Soit n un entier naturel. 3 n se lit «3 exposant n». 3 n est une puissance de 3. n est l exposant Exposant entier relatif strictement négatif : Considérons encore le nombre 3 : 3-1 = = = = 4 3 etc. Comme ci-dessus, soit p un entier relatif strictement négatif. 3 p se lit «3 exposant p». 3 p est une puissance de 3. p est l exposant. Page 22

26 Cours chapitre 9 : exemples de puissances entières niveau quatrième 9.2 Autres puissances 2 3 = = 8 On lit «2 exposant 3 égale 8». 8 est une puissance de deux. 4-2 = = 16 1 On lit «4 exposant -2 égale 16 1» est une puissance de quatre. (-5) 3 = -5 (-5) (-5) (-5) 3 = -125 (0,2) 4 = 0,2 0,2 0,2 0,2 (0,2) 4 = 0, Quelques calculs = (2 2 2) ( ) = = = 5 3 = 3-5 (6 7) 3 = (6 7) (6 7) (6 7) = (6 6 6) (7 7 7 ) = Page 23

27 Cours chapitre 9 : exemples de puissances entières niveau quatrième 9.4 Puissances entières de Exemples : 10-3 = 0,001 ; 10-2 = 0,01 ; 10-1 = 0,1 ; 10 0 = 1 ; 10 1 = 10 ; 10 2 = 100 ; 10 3 = Quelques calculs : (10 3 ) 2 = (10 3 ) (10 3 ) = = = Ecriture scientifique d un nombre décimal : Tout nombre décimal strictement positif peut s écrire sous forme scientifique, c est-à-dire sous la forme a 10 n, où a est un nombre décimal dont la partie entière est supérieure ou égale à 1 et inférieure ou égale à 9 et n est un entier relatif. Tout nombre décimal a strictement négatif peut aussi s écrire sous forme scientifique en prenant l opposé de l écriture scientifique du nombre décimal strictement positif a. Exemples : 125, 3 = 1, ,214 = 2, ,08 = 4, ,0024 = -2, Page 24

28 Cours chapitre 10 : calcul littéral niveau quatrième 10. Calcul littéral 10.1 Développement Rappel : k, a et b désignent des nombres : k(a + b) = ka + kb Conséquence : a, b, c et d désignent des nombres : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Exemples : x désigne un nombre, développer l expression suivante : (x + 3)( 2x + 5). (x + 3)( 2x + 5) = x 2x + x x = 2x 2 + 5x + 6x + 15 = 2x x + 15 t désigne un nombre, développer l expression suivante : (5t - 8)( 3t + 2). (5t - 8)( 3t + 2) = 5t 3t + 5t 2 + (-8) 3t + (-8) 2 = 15t t 24t 16 = 15t 2 14t Parenthèses Opposé d une somme : a et b désignent des nombres : l opposé de a +b est -a b. -(a + b) = -a b Exemple : a désigne un nombre : -( 3a 2 6a + 8) = - 3a 2 + 6a 8 Page 25

29 Cours chapitre 10 : calcul littéral niveau quatrième Soustraction : m, x et y désignent des nombres : m (x + y) = m x y Exemple : n désigne un nombre : 3n ( -5n 2 +7n 3) = 3n + 5n 2 7n + 3 = 5n 2 4n + 3 Page 26

30 Cours chapitre 11 : théorème de Thalès niveau quatrième 11. Théorème de Thalès P est un plan, une unité de longueur est choisie. ABC est un triangle M [AB] et M A N [AC] et N A (MN) // (BC) D après le théorème de Thalès on peut écrire : AM AB = AN AM et AC AB = MN BC. Page 27

31 Cours chapitre 12 : cône de révolution niveau quatrième 12. Cône de révolution E est l espace. Une unité de longueur est choisie ainsi que l unité d aire correspondante et l unité de volume correspondante Le cône de révolution Considérons une plaque rigide en forme de triangle ABC rectangle en A. On fait tourner ce triangle à une vitesse suffisamment élevée autour de l'axe (AC). L'œil humain perçoit alors un solide de l'espace appelé cône de révolution. C A B 12.2 Perspective cavalière Voici une représentation en perspective cavalière d'un cône : Le disque de base est schématisé par une ellipse. Page 28

32 Cours chapitre 12 : cône de révolution niveau quatrième 12.3 Patron Le patron d'un cône de révolution est constitué d'un disque (base) et d'une partie de disque (enveloppe latérale). Ces deux longueurs sont égales Page 29

33 Cours chapitre 12 : cône de révolution niveau quatrième 12.4 Volume Le volume V d'un cône de révolution s'obtient en utilisant la même formule que celle utilisée pour le volume d'une pyramide : V = 1 aire de base hauteur 3 S La droite (SA) est perpendiculaire à deux droites sécantes incluses dans le plan contenant le disque de base du cône ; elle est donc perpendiculaire au plan contenant cette base. SA est appelé hauteur du cône. A Si r est le rayon de base du cône, alors son volume V égale 1 3 π r2 SA. Page 30

34 Cours chapitre 13 : cosinus d un angle aigu niveau quatrième 13. Cosinus d un angle aigu P est un plan, une unité de longueur est choisie Définition Considérons un angle aigu xoy. y Soit A et B deux points, distincts, de la demi-droite ]Ox). Les droites perpendiculaires à la droite (AB) en, respectivement, A et B, coupent la demidroite [Oy) en, respectivement, M et N. OA OB OA Les rapports et sont égaux. Le nombre est appelé cosinus de l angle aigu OM ON OM OA xoy et on note : cos xoy =. OM x Page 31

35 Cours chapitre 13 : cosinus d un angle aigu niveau quatrième 13.2 Cas du triangle rectangle côté opposé à l angle EGF hypoténuse côté adjacent à l angle EGF EFG est un triangle rectangle en E. EG cos EGF = FG Page 32

36 Cours chapitre 14 : triangle rectangle et cercle circonscrit niveau quatrième 14. Triangle rectangle et cercle P est un plan. Tout triangle ABM, inscrit dans un cercle (ou demi-cercle) de diamètre [AB], est rectangle en M. A B M Page 33

37 Cours chapitre 14 : triangle rectangle et cercle circonscrit niveau quatrième Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse (côté opposé à l angle droit). I G E F Page 34

38 Cours chapitre 15 : équations niveau quatrième 15. Equations 15.1 Techniques Soit A et B deux nombres : Si A = B, alors quel que soit le nombre C on a : A + C = B + C. On peut ajouter un même nombre à chaque membre d une égalité. Si A = B, alors quel que soit le nombre C on a : A C = B C. On peut soustraire un même nombre à chaque membre d une égalité. Si A = B, alors quel que soit le nombre C on a : A C = B C. On peut multiplier chaque membre d une égalité par un même nombre. Si A = B, alors quel que soit le nombre non nul C on a : C A = C B. On peut diviser chaque membre d une égalité par un même nombre non nul Exemple de résolution Résolvons l équation suivante, d inconnue le nombre x : 3(x 2) + 7 = x Si 3(x 2) + 7 = x 2 1 alors 3x = x 2 1 alors 3x + 1 = x 2 1 alors 2x + 1 = - (on a soustrait x à chaque membre de l équation) 2 1 alors 2x = - 1 (on a soustrait 1 à chaque membre de l équation) 2 3 alors 2x = - 2 alors x = alors x = (on a divisé chaque membre de l équation par 2) Page 35

39 Cours chapitre 15 : équations niveau quatrième vérification : 3 3 si x = alors 3(x 2) + 7 = 3( 2) alors 3(x 2) + 7 = 3( ) alors 3(x 2) + 7 = alors 3(x 2) + 7 = 4 si x = alors x = alors x = 2 4 si x = 3 4 conclusion : alors 3(x 2) + 7 = x La solution de l équation, 3(x 2) + 7 = x, est :. 2 4 Page 36

40 Cours chapitre 16 : statistiques niveau quatrième 16. Statistiques La nouveauté par rapport aux classes de sixième et de cinquième est le calcul de la moyenne arithmétique Exemple 1 Voici les notes d un élève en mathématiques : 12/20, 16/20, 8/20, 14/20. On peut calculer : 16, 8 et Ce nombre est appelé moyenne arithmétique des nombres 12, = = 12,5 4 La moyenne arithmétique des nombres 12, 16, 8 et 14 est 12,5. On peut dire que la note moyenne de l élève, en mathématiques, est 12,5 sur Exemple 2 En fin de trimestre, un professeur de français annonce aux élèves que le devoir 1 aura un coefficient 2, le devoir 2 un coefficient 1, le devoir 3 un coefficient 2 et le devoir 4 un coefficient3. Voici les notes, sur 20, d un élève : devoirs notes coefficients devoir devoir devoir devoir Cela signifie que le devoir 1 est compté deux fois, le devoir 2 une fois, le devoir 3 deux fois et le devoir 4 trois fois. Page 37

41 Cours chapitre 16 : statistiques niveau quatrième On peut dire que les notes 12, 8, 14, 11 sont pondérées par, respectivement, les coefficients, 2, 1, 2, 3. Pour calculer la moyenne arithmétique des notes de l élève, on peut procéder comme dans l exemple précédent : = = 11,625 8 La note moyenne de l élève, en français, est environ 11,6 sur 20. Mais on peut mener le calcul plus rapidement : = 8 93 On peut aussi présenter le calcul dans un tableau : notes coefficients produits total 8 93 A l aide de ce tableau, on lit que la note moyenne de l élève, en français, est 8 93 sur 20. Page 38

42 Cours chapitre 17 : comparaison de nombres niveau quatrième 17. Comparaisons de nombres 17.1 Nombres positifs ou négatifs Parmi les nombres étudiés au collège, certains sont dits positifs comme : 0, 3 4, π, - ( - 8 ), etc. D'autres sont dits négatifs comme : 0, - 2, - 2 1, etc. 0 est le seul nombre positif et négatif. Un nombre positif non nul est dit strictement positif. Un nombre négatif non nul est dit strictement négatif Symboles Quatre symboles sont utilisés : < (on lit : est inférieur à) > (on lit : est supérieur à) (on lit : est inférieur ou égal à) (on lit : est supérieur ou égal à) a et b désignent des nombres : si a < b alors a - b est strictement négatif si a > b alors a - b est strictement positif si a b alors a - b est négatif si a b alors a - b est positif si a - b est strictement négatif alors a < b si a - b est strictement positif alors a > b si a - b est négatif alors a b si a - b est positif alors a b Page 39

43 Cours chapitre 17 : comparaison de nombres niveau quatrième 17.3 Addition Quels que soient les nombres a, b et c, on peut écrire : si a < b alors a + c < b +c si a > b alors a + c > b +c si a b alors a + c b +c si a b alors a + c b +c On dit que a + c et b + c sont rangés dans le même ordre que a et b. Exemples : x désigne un nombre : si x - 3 < 11 alors x < (on additionne 3) alors x < 14 a désigne un nombre : si 2 a - 9 < a + 3 alors 2 a a < a a (on soustrait a ou on ajoute -a) alors a - 9 < Multiplication par un nombre strictement positif Quels que soient les nombres a et b et quel que soit le nombre strictement positif k, on peut écrire : si a < b alors k a < k b si a > b alors k a > k b si a b alors k a k b si a b alors k a k b On dit que k a et k b sont rangés dans le même ordre que a et b. (k > o) Exemples : x désigne un nombre : si 2 1 x < 5 alors 2 1 x 2 < 5 2 (on multiplie par 2 et 2 > 0) Page 40

44 Cours chapitre 17 : comparaison de nombres niveau quatrième alors x < 10 a désigne un nombre : si 4 a < - 17 alors 4 a 4 1 < (on multiplie par 4 1 et 4 1 > 0 ou on divise par 4 et 4 > 0) alors a < Multiplication par un nombre strictement négatif Quels que soient les nombres a et b et quel que soit le nombre strictement négatif k, on peut écrire : si a < b alors k a > k b si a > b alors k a < k b si a b alors k a k b si a b alors k a k b On dit que k a et k b sont rangés dans l ordre inverse de celui de a et de b. (k < o) Exemples : x désigne un nombre : si x < 5 alors x (-2) > 5 (-2) (on multiplie par -2 et 2 < 0) alors x > -10 a désigne un nombre :si -4 a < - 17 alors 4 a (- 4 1 ) > - 17 (- 4 1 ) (on multiplie par et < 0 ou on divise par -4 et -4 < 0) 17 alors a > 4 Page 41

45 Cours chapitre 17 : comparaison de nombres niveau quatrième 17.6 Troncatures de nombres positifs Considérons les nombres suivants : 12,3052 2, dont une valeur approchée à la calculatrice est 0, π dont une valeur approchée à la calculatrice est 3, On peut considérer les troncatures à l unité de chacun des nombres ci-dessus en ne relevant que les nombres situés à gauche de la virgule dans leurs écritures décimales. 12 est la troncature à l unité de 12, est la troncature à l unité de 2, est la troncature à l unité de est la troncature à l unité de π On peut considérer les troncatures au dixième de chacun des nombres ci-dessus en ne relevant que les nombres situés à gauche de la virgule dans leurs écritures décimales et la première décimale. 12,3 est la troncature à l unité de 12,3052 2,6 est la troncature à l unité de 2,6432 0,8 est la troncature à l unité de 7 6 3,1 est la troncature à l unité de π On peut considérer les troncatures au centième de chacun des nombres ci-dessus en ne relevant que les nombres situés à gauche de la virgule dans leurs écritures décimales et les deux premières décimales. 12,30 est la troncature au centième de 12,3052 2,64 est la troncature au centième de 2,6432 0,85 est la troncature au centième de 7 6 3,14 est la troncature au centième de π etc. Page 42

46 Cours chapitre 17 : comparaison de nombres niveau quatrième 17.7 Arrondis de nombres positifs Considérons les nombres du paragraphe 17.6 : 12,3052 2, dont une valeur approchée à la calculatrice est 0, π dont une valeur approchée à la calculatrice est 3, On peut considérer les arrondis à l unité de chacun des nombres ci-dessus en observant la première décimale de l écriture décimale de chacun des nombres. Si cette décimale est inférieure à 5, l arrondi à l unité du nombre est sa troncature à l unité. Si cette décimale est supérieure ou égale à 5, l arrondi à l unité du nombre est sa troncature à l unité augmentée de est l arrondi à l unité de 12, est l arrondi à l unité de 2, est l arrondi à l unité de 7 6 dont une valeur approchée à la calculatrice est 0, est l arrondi à l unité de π dont une valeur approchée à la calculatrice est 3, On peut considérer les arrondis au dixième de chacun des nombres ci-dessus en observant la deuxième décimale de l écriture décimale de chacun des nombres. Si cette décimale est inférieure à 5, l arrondi au dixième du nombre est sa troncature au dixième. Si cette décimale est supérieure ou égale à 5, l arrondi au dixième du nombre est sa troncature au dixième augmentée de 0,1. 12,3 est l arrondi au dixième de 12,3052 2,6 est l arrondi au dixième de 2,6432 0,9 est l arrondi au dixième de 7 6 dont une valeur approchée à la calculatrice est 0, ,1 est l arrondi au dixième de π dont une valeur approchée à la calculatrice est 3, Page 43

47 Cours chapitre 17 : comparaison de nombres niveau quatrième On peut considérer les arrondis au centième de chacun des nombres ci-dessus en observant la troisième décimale de l écriture décimale de chacun des nombres. Si cette décimale est inférieure à 5, l arrondi au centième du nombre est sa troncature au centième. Si cette décimale est supérieure ou égale à 5, l arrondi au centième du nombre est sa troncature au centième augmentée de 0,01. 12,31 est l arrondi au centième de 12,3052 2,64 est l arrondi au centième de 2,6432 0,86 est l arrondi au centième de 7 6 dont une valeur approchée à la calculatrice est 0, ,14 est l arrondi au centième de π dont une valeur approchée à la calculatrice est 3, etc Tableaux récapitulatifs : troncatures, arrondis de nombres positifs nombre Valeur approchée calculatrice Troncature à l unité Troncature au dixième Troncature au centième 12, ,3 12,30 2, ,6 2, ,8 0,85 7 π ,1 3,14 nombre Valeur approchée calculatrice Arrondi à l unité Arrondi au dixième Arrondi au centième 12, ,3 12,31 2, ,6 2, ,9 0,86 7 π ,1 3,14 Page 44