AVEC QUELLE BANDE? 1

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1 AVEC QUELLE BANDE? 1 ETAPE 1 : CONSTRUIRE UN SEGMENT DE LONGUEUR «9 x 1,5 cm» Présenter les bandes de 9 et 1,5 cm Donner la consigne : o Construire avec précision, sans utiliser de règle graduée, un segment de longueur «9 x 1,5 cm», en utilisant au choix, soit l une, soit l autre des deux bandes qui viennent d être présentées. o Calculer sans calculatrice la longueur de ce segment Laisser un temps suffisant aux élèves pour choisir la bande qu ils vont utiliser et pour s engager dans la réalisation de la tâche. ETAPE 2 : MISE EN COMMUN Faire l inventaire des résultats trouvés et pointer les éventuels désaccords ; Répertorier les méthodes de calculs qui ont conduits à ces résultats Inventorier les méthodes de constructions utilisées Mettre en débat les méthodes Faire valider les résultats Remarquer les liens entre les méthodes ETAPE 3 : CONSTRUIRE UN SEGMENT DE LONGUEUR «5,2 x 4,5 cm» Présenter les bandes de 5,2 cm et 4,5 cm Donner la consigne : o Construire avec précision, sans utiliser de règle graduée, un segment de longueur «5,2 x 1,5 cm», en utilisant, soit l une, soit l autre des deux bandes qui viennent d être présentées. o Trouver un maximum de façons possibles de calculer la longueur de ce segment Donner une bande à chaque élève et leur laisser un temps suffisant aux élèves pour s engager dans la réalisation des tâches demandées. ETAPE 4 : MISE EN COMMUN Faire l inventaire des résultats trouvés et pointer les éventuels désaccords ; Inventorier, faire expliciter et mettre en débat les méthodes de constructions utilisées ; Répertorier, faire expliciter et mettre en débat les méthodes de calculs utilisées ; Faire valider les résultats ; Remarquer les liens entre les méthodes de construction et de calcul. ETAPE 5 : SYNHTESE Demander aux élèves de lister sur un exemple les méthodes utilisables pour construire les segments et calculer leurs longueurs ; Construire la trace écrite à partir de leurs propositions. ETAPE 6 : EXERCICES D ENTRAINEMENT - Donner à construire des segments longs comme un certain nombre de fois une longueur donnée - Donner à calculer des mesures de longueurs (de contenance, de masse, de durée) données sous la forme d un produit de deux décimaux. PROLONGEMENT 1 Adapté de «Construire les nouveaux nombres au cycle 3» - Canopé (à paraitre)

2 On pourra reprendre cette activité dans d autres contextes de proportionnalité simple (par exemple, calcul du prix d une certaine longueur de tissu dont on donne le prix au mètre), avant de proposer aux élèves d essayer d effectuer des produits de deux décimaux dans un contexte purement numérique.

3 MESURER DES SEGMENTS 2 ETAPE 1 : MESURAGE D'UN SEGMENT A L'AIDE D'UNE BANDE ET ECRITURE D'UN MESSAGE Présenter l activité. Présenter le matériel. Présenter la tâche à effectuer, demander aux élèves d écrire un message qui permettra à ceux qui le recevront de trouver sur la feuille n 3, le segment qui a même longueur que le segment qu ils ont reçu, en précisant qu ils ne sont pas autorisés à mesurer les segments avec leur double décimètre. ETAPE 2 : ECHANGES DE MESSAGES Faire échanger les feuilles n 2 Faire identifier, par les récepteurs, les segments de la feuille n 3 qui correspondent aux messages reçus. Faire échanger à nouveau les feuilles n 2 pour que les émetteurs si leur message a permis ou non aux récepteurs de trouver le bon segment. ETAPE 3 : MISE EN COMMUN Recenser les messages correspondant au segment [AB]. Faire expliciter les démarches et les mettre en débat. Les faire valider par la manipulation. Pointer les erreurs et faire analyser les causes d échecs. Procéder de même avec les segments [CD] puis [EF]. ETAPE 4 : TRACE ECRITE Proposer une trace écrite sous forme d'un affichage collectif ou dans les cahiers en faisant coller des bandes. ETAPE 5 : APPLICATION Faire mesurer tous les segments de la feuille 3. Recenser les propositions des élèves. Les mettre en débat et les faire valider par retour au matériel. Pointer le fait que des écritures différentes peuvent désigner une même longueur. ETAPE 6 : REINVESTISSMENT Distribuer aux élèves une feuille sur laquelle des demi-droites d origine 0 sont tracées et des bandes unités Leur demander d utiliser ce matériel pour tracer des segments de longueurs données Faire expliciter les différentes procédures utilisées et formuler les égalités qui peuvent en découler. PROLONGEMENTS POSSIBLES : Faire comparer des mesures de longueurs données : trouver la plus petite, la plus grande, celles qui sont égales Faire produire d autres écritures pour désigner des mesures de longueurs données. 2 D après «Bandes unités»ermel CM1

4 GRADUER LA REGLE 3 ÉTAPE 1 : PREMIERS ESSAIS DE GRADUATION Faire rappeler la démarche de mesurage par report et pliage de l unité et souligner les imprécisions qu elle engendre. Proposer de fabriquer un outil plus précis : «une règle graduée». Distribuer à chaque élève un rectangle de papier de couleur (la règle à graduer) et une bande unité puis demander de fabriquer des règles graduées en quarts d unité. ÉTAPE 2 : LA REGLE GRADUEE IDEALE Confronter différentes productions des élèves, et faire repérer ce qui va et ce qui ne va pas. En déduire les critères qui permettent d affirmer qu une règle est correctement graduée. ÉTAPE 3 : NOUVEL ESSAI Demander aux élèves de réaliser une nouvelle règle graduée en quarts respectant les critères précédents. Faire utiliser cette règle pour construire quelques segments dont la longueur est exprimée en quarts de bande unité. ÉTAPE 4 : D AUTRES REGLES GRADUEES Distribuer aux élèves les règles préparées et faire identifier en quelle fraction d unité chacune d elle a été graduée. Distribuer la demi droite graduée et demander aux élèves de mesurer des segments [AB], [AC], [AD], [AE] et de choisir pour cela la ou les règles adaptée(s). Échanges et validation. Conclure en demandant aux élèves comment ils ont procédé pour effectuer le mesurage et comment on pourrait repérer chacun des différents points A, B, C, D et E. PROLONGEMENTS POSSIBLES : Mesures d autres distances, placements d autres points, recherches d autres abscisses. Encadrements de fractions par deux entiers consécutifs. Arrondis de fractions à l entier le plus proche. 3 D après «Construire les nouveaux nombres au cycle 3» (Canopé A paraitre)

5 RECTANGLES A FOISON 4 ETAPE 1 : ANTICIPER LE RESULTAT D UN PRODUIT PAR 10 Projeter au afficher la surface modèle ci-dessous, et inviter la classe à faire part de ses remarques. Demander aux élèves de prévoir la mesure de l aire totale de la surface que l on obtiendrait en prenant 10 fois chacune des surfaces colorées en bleu, jaune et rouge. ETAPE 2 : MISE EN COMMUN Lister les propositions Les mettre en débat Illustrer l opération à l aide du matériel et faire procéder aux échanges dix contre un, jusqu à ce que la classe s accorde sur un résultat commun (23,4u par exemple) Demander aux élèves d identifier le calcul dont ils viennent de trouver le résultat (10 fois 2,34 u) En synthèse, lier calcul et méthode utilisée pour l effectuer ETAPE 3 : MULTIPLICATION PAR 100 Projeter ou afficher la surface modèle ci-dessous et demander aux élèves de trouver le décimal qu elle représente Demander aux élèves de prévoir la mesure de l aire totale de la surface que l on obtiendrait en prenant 100 fois chacune des surfaces colorées en bleu, jaune et rouge. Mettre en débat les propositions et illustrer les échanges avec le matériel et/ou dans le tableau de numération dynamique où la virgule est fixe et où ce sont les chiffres qui changent de place selon la valeur qu ils vont prendre par l effet de la multiplication Faire identifier le calcul illustré (100 fois 1,24 u) et verbaliser la méthode utilisée pour l effectuer (124 u). ETAPE 4 : DES REGLES POUR MULTIPLIER PAR 10,100 ou 1000 Organiser un jeu où il s agit de donner le plus rapidement possible les résultats de produits de décimaux par 10,100 ou Faire formuler les règles utilisées par les élèves gagnants, les illustrer dans le tableau de numération En synthèse s appuyer sur les formulations des élèves pour construire les règles de multiplications par 10,100 ou ETAPE 5 : EXERCICES D ENTRAINEMENT - Effectuer des produits de décimaux par 10, 100 ou Rechercher un facteur manquant dans un produit donné d un décimal par 10,100 ou Rechercher comment passer sur la calculatrice d un décimal à un autre, produit du premier par 10,100 ou Adapté de «Construire les nouveaux nombres au cycle 3»- Canopé (à paraitre)

6 RANGER DES SURFACES 5 ETAPE 1 : ANTICIPER LE RANGEMENT DES SURFACES Présenter les modèles de surface à découper et distribuer le matériel à chaque binôme Afficher le tableau ci-dessous surface a b c d e f aire 5,05 u 10,24 u 2,7 u 5,5 u 2,12 u 2,08 u Donner la consigne : o chaque équipe se voit affecter une lettre et doit construire une surface d aire correspondante o elle doit ensuite ranger les aires indiquées dans le tableau de la plus petite à la plus grande Laisser un temps de recherche suffisant aux équipes pour qu elles aboutissent toutes à une proposition de classement ETAPE 2 : MISE EN COMMUN Faire l inventaire des propositions et pointer les désaccords. Mettre en débat les réponses proposées et les éventuelles erreurs. Valider le rangement correct par retour au matériel. ETAPE 3 : APPLICATION Lancer un défi aux élèves en leur proposant de classer des mesures d aires le plus rapidement possible Faire jouer plusieurs parties en variant les nombres ETAPE 4 : SYNTHESE Demander aux élèves, comment ils proposent de procéder pour ranger des mesures d aires données en écriture décimale. Construire la trace écrite à partir de leurs propositions. ETAPE 5 : EXERCICES D ENTRAINEMENT - Donner des nombres à comparer deux à deux, sans recours possible au matériel, mais choisis pour que ce matériel puisse être évoqué mentalement. - Donner à ranger d autres surfaces dont l aire est donnée, de la plus petite à la plus grande, sans avoir directement recours au matériel, mais qui pourra être proposé en aide. PROLONGEMENT On pourra proposer aux élèves d essayer de comparer ou de ranger des décimaux donnés en écriture décimale ou fractionnaire dans d autres contextes que celui des aires. On pourra par exemple demander d anticiper l ordre dans lequel deux ou plusieurs points d abscisses données vont se ranger sur une demi- droite graduée. 5 Adapté de Capmaths- CM1 Hatier 2010

7 BANDES ACCOLEES 6 ETAPE 1 : CALCUL DE LA SOMME DES LONGUEURS PAR DES METHODES PERSONNELLES Projeter ou présenter les deux bandes ((respectivement de longueur 1u + u et u) et inviter la classe à faire part de ses remarques. Demander aux élèves de calculer la longueur totale des deux bandes mises bout à bout. Recueillir les propositions. Les mettre en débat jusqu à ce que la classe s accorde sur un résultat commun (2 par exemple). ETAPE 2 : CALCUL DE LA SOMME PAR OPERATION POSEE Présenter la nouvelle contrainte : «calculer l addition des longueurs 1u + u et de u en posant l opération». Donner la consigne : «trouver une disposition qui permette d effectuer le calcul facilement et de trouver un résultat correct». Laisser un temps de recherche. Recueillir les propositions. Les mettre en débat jusqu à établir la difficulté l intérêt pratique d utiliser une disposition d addition sans écriture fractionnaire. Présenter en synthèse le tableau de numération étendu aux fractions décimales. ETAPE 3 : ECRITURE DECIMALE Présenter la nouvelle contrainte : «poser l addition, comme on le fait pour les nombres entiers, sans écrire le tableau de numération, ni utiliser d écritures fractionnaires». Laisser un temps de recherche. Recueillir et mettre en débat les propositions jusqu à ce que quelqu un propose d utiliser l écriture «à virgule» et que tous s accordent sur son intérêt. Présenter en synthèse l écriture à virgule comme un codage de l écriture fractionnaire des fractions décimales utile pour faciliter les calculs. Donner quelques exercices d applications. ETAPE 4 : REINVESTISSEMENT Entrainer à passer d une écriture à l autre dans des exercices où il s agit par exemple de : - lire des nombres qui repèrent des points et les écrire sous forme décimale ; - placer des points repérés par des nombres donnés en écriture décimale, comparer ces nombres ; - effectuer des additions et des soustractions de nombres décimaux ; 6 Adapté de «Construire les nouveaux nombres au cycle 3» - Canopé (à paraitre)

8 - transformer des écritures fractionnaires en écritures décimales et inversement

9 LES BONBONS RUBAN 7 ÉTAPE 1 : ÉMETTRE DES CONJECTURES Présenter la situation Donner la consigne : o Le ruban A mesure 3 unités, o le ruban B mesure 8 unités, o le ruban B est long comme combien de fois le ruban A? Laisser le temps d émettre une proposition. ÉTAPE 2 : PREMIÈRE MISE EN COMMUN Faire l inventaire des propositions. Mettre en débat les réponses proposées. Faire dire comment on peut les valider. Invalider les réponses erronées par recours à la multiplication posée. Conclure sur l impossibilité de trouver un coefficient entier ou décimal. Si une réponse fractionnaire correcte est proposée, la soumettre à la classe sans se prononcer sur sa validité ÉTAPE 3 : CONSTRUIRE LA BANDE «B» A PARTIR DE LA «A» Distribuer aux élèves une bande de longueur 3 unités et une feuille A4. Donner la consigne o Essayer de construire une bande de 8 unités, o à l aide de la bande de 3 unités, o sans utiliser la règle graduée. Laisser un temps aux élèves pour exécuter la tâche. Mettre en commun les méthodes. Valider celles qui conviennent. ÉTAPE 4 : RELANCE Reposer la question initiale. Recueillir les réponses. Les mettre en débat jusqu à ce que la classe s accorde sur une réponse commune. La valider par recours à la multiplication, en l illustrant par une manipulation sur les bandes-unités. ÉTAPE 5 : SYNTHÈSE Interroger la classe sur ce qu elle a retenu de l activité. Construire la trace écrite à partir de ses propositions. ÉTAPE 6 : RÉINVESTISSEMENT Poser la question inverse : «Le ruban A mesure 3 unités, le ruban B mesure 8 unités, le ruban A est long comme combien de fois le ruban B?». Poser des questions du même type avec des rubans d autres tailles. PROLONGEMENTS 7 Adapté de «Construire les nouveaux nombres au cycle 3» - Canopé (à paraitre)

10 Pour installer la signification de la fraction quotient en tant que nombre, qui multiplié par b donne a, on pourra poser le même type de questions dans d autres contextes de grandeur, puis dans un contexte purement numérique. On pourra aussi demander aux élèves de trouver le résultat exact de divisions telles que 8 : 3, pour les amener à considérer la fraction quotient comme étant aussi le résultat de la division de a par b.