Feuille d exercices n 12 Calcul de primitives

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1 Lycée Benjamin Franklin PTSI D Blottière Mathématiques Feuille d eercices n Calcul de primitives Eercice 05 On fie un repère orthonormé (O; i, j ) du plan L unité d aire est donnée par l aire du carré de côté OI où I est l unique point du plan tel que OI = i Soit I := 3 + d (a) Justifier l eistence de I (b) econnaître la courbe représentative de la fonction (c) En déduire un calcul de I par voie géométrique f : [,3] + (d) Vérifier le résultat de la question précédente par voie algébrique Soit J := d 0 (a) Justifier l eistence de J (b) econnaître la courbe représentative de la fonction (c) En déduire un calcul de J par voie géométrique f : [0,] (d) Vérifier le résultat de la question précédente par voie algébrique, à l aide du changement de variable = cos(t) Eercice 06 Calculer toutes les primitives de Arctan sur Calculer toutes les primitives de Arcsin sur ], [ Eercice 07 Pour tout n N, on définit la fonction f n par Calculer une primitive de f sur Calculer une primitive de f sur f n : n e 3 Proposer une démarche pour calculer une primitive de f n de proche en proche, pour tout n N On demande d eposer une méthode, pas de la mettre en œuvre

2 Eercice 08 Soit (a,b,c) On introduit le trinôme du second degré P := ax +bx +c et on note := b 4ac son discriminant On epose une méthode pour déterminer une primitive de la fonction a + b+ c sur un intervalle I de sur lequel cette fonction est définie (ie sur un intervalle de qui ne contient aucune racine de P) On distingue 3 cas Cas où P possède deu racines réelles distinctes (ie >0) Dans ce cas, si on note r et r les deu racines réelles de P, le calcul de la forme canonique de P, permet d écrire P sous la forme P = a(x r )(X r ) On peut alors déterminer deu constantes réelles α et α telles que pour tout I : a + b+ c = a( r )( r ) = ( α + α ) a r r En utilisant l epression de droite dans la précédente égalité, on peut alors calculer une primitive de u a sur I (cf primitive d une fonction «du type» +b+c u ) Cas où P possède une racine réelle double (ie =0) Dans ce cas, si on note r la racine réelle de P, le calcul de la forme canonique de P, permet d écrire P sous la forme P = a(x r ) On a donc pour tout t I a + b+ c = a( r ) = a ( r ) En utilisant l epression de droite dans la précédente égalité, on peut alors calculer une primitive de a +b+c sur I (cf primitive d une fonction du «type» u u α, avec α ) Cas où P ne possède aucune racine réelle (ie <0) Dans ce cas, le calcul de la forme canonique de P permet d écrire P sous la forme o α et β ]0,+ [ On a donc pour tout I : P = a ( (X + α) + β ) a + b+ c = a ( (+ α) + β ) = aβ ( ) +α + β En utilisant l epression de droite dans la précédente égalité, on peut alors calculer une primitive de a +b+c sur I (cf primitive d une fonction du «type» u Arctan (u)) Appliquer cette méthode pour répondre au trois questions suivantes Déterminer une primitive de la fonction f : sur tout intervalle réel I sur lequel la fonction f est bien définie

3 Déterminer une primitive de la fonction g : 4+ 8 sur tout intervalle réel I sur lequel la fonction g est bien définie 3 Déterminer une primitive de la fonction h : 3 5 sur tout intervalle réel I sur lequel la fonction h est bien définie Eercice 09 appel : La notion de dérivabilité pour une fonction de la variable réelle à valeurs complees et la notion de dérivée d une fonction de la variable réelle à valeurs complees dérivable ont toutes deu été définies dans l eerice 04 Soit I un intervalle de et soit f : I C une fonction dérivable sur I Soit λ un nombre complee de forme algébrique λ=r + i s, où (r, s) On note λ f la fonction définie par (a) Montrer que λ f est dérivable sur I (b) Montrer que pour tout I, (λ f ) ()=λ f () Soit (α,β) \ {(0,0)} (a) Soit l application λ f : I C λ f () g : e α cos(β) Déduire de l eercice 04 et de la question qu une primitive de g est donnée par la fonction (b) Soit l application G : ( e α+iβ e(α+iβ) h : e α sin(β) Déduire de l eercice 04 et de la question qu une primitive de h est donnée par la fonction H : ( Im 3 (a) Déterminer toutes les primitives de la fonction sur (b) Déterminer toutes les primitives de la fonction sur α+iβ e(α+iβ) f : e cos() f : e 3 sin() ) ) 3

4 Eercice 0 Déterminer toutes les primitives sur de Déterminer toutes les primitives sur ], [ de 3 Déterminer toutes les primitives sur de f : th() f : ],[ f 3 : cos 4 () 4 Déterminer toutes les primitives sur de f 4 : Déterminer toutes les primitives sur de f 5 : cos()sin 5 () 6 Déterminer toutes les primitives sur de f 6 : ch() 7 Déterminer toutes les primitives sur de f 7 : Déterminer toutes les primitives sur ]0, + [ de f 8 : ]0,+ [ e 9 Déterminer toutes les primitives sur de 0 Déterminer toutes les primitives sur ]0, + [ de f 9 : sin () f 0 : ]0,+ [ + 4

5 Déterminer toutes les primitives sur ]0, + [ de f : ]0,+ [ ln () Déterminer toutes les primitives sur ]0, + [ de f : ]0,+ [ ( ) Arctan 3 Déterminer toutes les primitives sur de f 3 : e sin(5) 4 Déterminer toutes les primitives sur ], + [ de f 4 : ],+ [ 5 Déterminer toutes les primitives sur de f 5 : e +e 6 Déterminer toutes les primitives sur ]0, [ de f 6 : ]0,[ ln() 7 Déterminer toutes les primitives sur de f 7 : e 8 Déterminer toutes les primitives sur ] 0, π [ de ] f 8 : 0, π [ tan() 9 Déterminer toutes les primitives sur ]0, [ de f 9 : ]0,[ 3 0 Déterminer toutes les primitives sur de f 0 : sin() +cos() 5